Исследование жесткой интегродифференциальной задачи ИЭФ методом касательных Текст научной статьи по специальности «Математика»

198 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 9/1(110)

ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 004.942

ИССЛЕДОВАНИЕ ЖЕСТКОЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ИЭФ МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ

© 2013 Л.В. Сахарова1

Статья посвящена проблеме разработки методов приближенного решения жесткой интегродифференциальной задачи на примере моделирования изо-электрического фокусирования (ИЭФ) в так называемых "аномальных" режимах. Представлен новый метод асимптотического решения задачи с большим параметром — геометрический метод касательных, основанный на аппроксимации решения задачи системой ломаных с известными геометрическими параметрами.

Ключевые слова: жесткая интегродифференциальная задача, метод касательных.

Введение

Изоэлектрическое фокусирование (ИЭФ) является одним из наиболее эффективных и универсальных современных методов фракционирования белков. ИЭФ широко используется во многих отраслях современной биологии: в биохимии и биотехнологии, популяционной и молекулярной генетике, при расшифровке первичной структуры генов, при тонком фракционировании белков, близких по своим физико-химическим свойствам [1].

При ИЭФ в электрофоретическую камеру (ЭК), представляющую собой цилиндр длиной I и радиусом г, помещается раствор амфолитов (амфотерных аминокислот, обладающих высокой буферной емкостью). В ЭК под действием электрического тока создается неоднородная по рН среда (рН = —1дН, где Н — концентрация ионов водорода Н +). Разделяемые компоненты при некоторых значениях рН имеют нулевую скорость миграции и собираются (фокусируются) в соответствующих областях ЭК [1]. Говорят, что в этом случае образовалось стационарное распределение амфолитов. Картина при этом остается неизменной в любом осевом сечении ЭК. Таким образом, все рассматриваемые величины являются функциями одной переменной х, ось которой параллельна оси цилиндра. Соответствующие точки х = хь называются изоэлектрическими точками. При моделировании электрофоретических явлений методами механики сплошных сред

1 Сахарова Людмила Викторовна (L_Sakharova@mail.ru), кафедра общенаучных дисциплин филиала МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова в г. Ростове-на-Дону, 344006, Российская Федерация, г. Ростов-на-Дону, ул. Седова, 8, корпус 3, филиал НГМА.

Рис. 1. Процесс трансформации классических гауссовских кривых ИЭФ в "аномальных" режимах при возрастании плотности тока

для описания системы используются функции аналитических концентраций ам-фолитов; их графики называются профилями концентраций амфолитов.

Основоположниками математической теории ИЭФ [1-3] построена базовая теория метода, согласно которой функция аналитической концентрации определяется плотностью гауссовского распределения. Экспериментально было установлено, что данная математическая модель применима к широкому классу амфолитов, и их профили концентраций имеют вид, схожий с гауссовскими кривыми [1]. С одной стороны, гауссовское распределение концентраций амфолитов было получено при компьютерном моделировании ИЭФ многими зарубежными авторами [1; 4-6]. С другой стороны, ими же было получено искажение гауссовского распределения [7-9], получившее название "аномальных"режимов задачи математического моделирования ИЭФ. Автором настоящей статьи также были зафиксированы "аномальные" режимы при численном моделировании ИЭФ [10-13]. Суть явления состоит в следующем. В обычном режиме по мере увеличения плотности тока гауссов-ская кривая профиля концентрации растягивается по вертикали; в момент выхода в "аномальный" режим она как бы "упирается" максимумом в некий графический "потолок", ограничивающий ее дальнейший рост и деформирующий ее по мере увеличения плотности тока. На вершинах профилей вначале появляются так называемые "плато"; затем профили концентраций приобретают вид прямоугольников либо трапеций. В то же время градиент рН, имеющий линейный (либо волнообразный) вид в обычных режимах, приобретает в "аномальных" режимах ступенчатую форму.

При комплексном математическом моделировании систем ИЭФ методами математической физики [14-16] было установлено, что при высоких плотностях тока соответствующая начально-краевая задача становится жесткой в силу появления малого параметра перед производными, из-за чего решение и приобретает указанные особенности.

Возникает закономерный математический вопрос (оставшийся за рамками работ [7-9], являющихся прикладными электрохимическими исследованиями): каково математическое истолкование данного явления? Каким уравнением определяется геометрический "потолок" и какими зависимостями связано это уравнение с электрохимическими параметрами системы ИЭФ? Как рассчитать геометрические параметры трапеций, в которые деформируются изначальные гауссовские кривые? Какие асимптотические формулы можно использовать для описания трапециевидных профилей концентраций и ступенчатого градиента рН в "аномальных" режимах?

Ответы на перечисленные вопросы содержатся в настоящей работе, посвященной асимптотическому моделированию жесткой интегродифференциальной задачи ИЭФ методом касательных. Автором предложен новый метод, позволяющий аппроксимировать профили концентраций трапециями, а градиент рН — ломаной с известными геометрическими параметрами. Установлено, что построенное решение имеет высокую степень сходимости с расчетным решением задачи и является слабым (вариационным) решением задачи ИЭФ.

1. Физическая и математическая постановка задачи

В электрофоретическую камеру помещен водный раствор N амфолитов. Для каждого амфолита известны его коэффициенты миграции Ик, константы диссоциации реакций К(к), к2\ а также общие количества к = 1, 2,..., N. Температура Т внутри ЭК считается постоянной. Под действием постоянного тока плотности . в ЭК сформировано распределение концентраций амфолитов, приведшее к стационарному распределению концентрации ионов водорода.

Фундаментальная математическая теория электрофоретических явлений (как частный случай ИЭФ) была создана на основе представления электрохимически активной среды как гомогенной (однофазной) смеси; поведение системы в ней описывается с помощью системы основных уравнений баланса [14-16]. Для математического описания системы используются следующие функции: Н(х) — концентрация ионов водорода; ОН — концентрация гидроксил-ионов ОН_, связанная с Н стандартным уравнением ОН = /Н, где к^ = 10_14 — константа автодиссоциации воды; Е(х) — напряженность электрического поля; ^ (х), к = 1, 2,N — аналитические концентрации амфолитов (то есть суммарные концентрации их отрицательных, положительных и нейтральных ионов). Указанные функции являются решениями одномерной задачи, состоящей из N +1 дифференциальных уравнений, одного алгебраического уравнения и N интегральных уравнений, заменяющих краевые условия:

+ & (аЧ - ак_ 1)Е = 0,к =1, 2(1.1)

ах

N ( а \

. = ^ 1-Пк -х ((аЧ - ак_1)£к) + Ик(ак + ак_^кЕ -к=1 ^ х '

-Пи + Ии НЕ + Баи + Паи ОН Е, (1.2)

а>х ах

N

^2(ак - а_1 )а + Н - ОН = 0, (1.3)

к=1

пг2

'' ( (х) ах = тк, (1.4)

Jo

где £ = НТ/Е — стандартный электрохимический параметр (величины Н,Т и Е — соответственно универсальная газовая постоянная, температура и число Фарадея); И и, Паи — известные константы, подвижности ионов водорода и гидроксил ионов; Пк, Пи, Паи — константы, коэффициенты диффузии ионов, Пк = £ик ; ак и ак — функции Н, так называемые степени диссоциации амфолита, определяемые

из формул:

Н2 к1к)к2к)

а = —тп—тп-тг^-, а —

* к(к)к(к) + к(к) Н + Н2 1 к{к)к2к) + к(к) Н + Н2

Дифференциальные уравнения (1.1) есть уравнения массопереноса, полученные на основании уравнения потока амфолита. Дифференциальное уравнение (1.2) представляет собой обобщенный, то есть с учетом диффузии, закон Ома (плотность тока является суммой плотностей токов всех ионов, включая ион водорода и ион гидроксила). Алгебраическое уравнение (1.3) есть уравнение электронейтральности. Наконец, интегральные уравнения (1.4) соответствуют закону сохранения массы вещества.

Основная математическая проблема численного решения системы (1.1)—(1.4), получившей название интегродифференциальной задачи ИЭФ, состоит в необходимости при решении системы дифференциальных уравнений (1.1) определять величину Н из неявно заданного алгебраического уравнения (1.3). Поэтому автором был предложен ряд преобразований системы, приводящий ее к виду, более удобному для аналитического исследования. Предложенные преобразования не избавили задачу от главной проблемы — невозможности непосредственного интегрирования, однако существенно упростили процесс нахождения ее асимптотических решений.

2. Преобразование задачи

Утверждение 1.1. Интегродифференциальная задача (1.1)-(1.4) относительно N + 2 неизвестных функций Н, Е, £к, к = 1, 2,..., N, может быть сведена к краевой задаче относительно N неизвестных функций Ск(х), к = 1, 2,..., N:

^¿Ск 1= Фк (Ф) I (21)

¿х Сk Фк (Ф) о'

о = £МкСк (фКФ) - ММЛ +2кшЦСН(Ф - Фо), (2.2)

к= V Фк(ф) )

п

Ск Фк(Ф) + 2кшвкф =0, (2.3)

к=1

Фк(Ф) = 5к + Ск(ф - фк), (2.4)

/I

Ск(х) Фк(Ф) ¿х = Мк, Мк = 2Пг2 ; (2.5) старые и новые неизвестные функции связаны посредством соотношений:

Ск(х) = Ск(х) Фк(Ф), (2.6)

Н = ехр(Ф). (2.7)

Доказательство. Введем в рассмотрение новую функцию Ф, определенную уравнением (2.7). Для упрощения уравнений введем новые обозначения:

2 ФР кр

Фк = 2¡п(к{к)к2к)/к1), (2.8)

1

¿к = 2\1 к1к)/к2к), (2.9)

фо = 11п(мон/мн), (2-10)

М = VMh Ион. (2-11)

В принятых обозначениях функции, входящие в (1.1)—(1-3), приобретают форму:

еk = ak - a—i = вН(ф - фк)(Зк + еН(ф - фк)) — 1,

а к = a кк + a—i = еН(ф - ф к )(дк + еН(ф - ф к )) — 1.

Кроме того, рассмотрим новые функции концентраций и новую плотность тока, позволяющие исключить из системы малый параметр kw и связанные со старыми величинами посредством формул: £к = 2kw £kew, J = 2kw Jnew. В результате систему (2.1)—(2.3) можно переписать в следующей, более компактной форме:

Jpnew

+ £new екЕ = 0, (2.12)

dx

N ( d \

Jnew =J2 М к 1-е — (е к £new) + ak£nkew Е) +(-£ Уф + Е) меН(ф - фо), (2.13) к=1 ^ Х

N

к СП™ + Нф = 0. (2.14)

=1

Для дальнейшего упрощения системы введем новые функции фк(ф), определенные формулой (2.4), а также представление через них функции £к(х) посредством формулы (2.6). Тогда вк = ф'к(Ф)(фк(ф))-1, °к = фк(Ф)(фк(Ф))-1 и в новых переменных система (2.12)-(2.14) приобретает форму трех уравнений, обозначенных как (2.1), (2.3), (2.4). Система дифференциальных уравнений (2.1)-(2.4) значительно компактнее и проще, чем (1.1)—(1.3); кроме того, из нее исключена неизвестная функция Е.

Утверждение доказано.

3. Локальный метод касательных

Предложенный автором метод касательных базируется на свойстве, присущем системе профилей концентраций амфолитов в "аномальном" режиме: каждый из профилей имеет точки пересечения лишь с двумя соседними амфолитами (Рис.1). Метод касательных основан, в первую очередь, на локальном "растяжении" графика вдоль оси абсцисс путем замены переменной: £ = х/£ (£ - малая величина). Абсциссу, соответствующую точке пересечения профилей к-го и к + 1-го амфолитов, примем за новое начало координат (рис. 2):

Ь (0) = &+1(0). (3.1)

Как следует из рис. 2, в новой системе координат функции концентраций удовлетворяют следующим краевым условиям:

6 (-~) = ^ (3.2)

6 (+^)=0, (3.3)

6 +1(-гс)=0, (3.4)

6+1(+~) = S0к+l, (3.5)

Рис. 2. Касательные к профилям двух соседних амфолитов в точке их пересечения

где Б0 и Ь10+1 — неизвестные параметры, подлежащие определению (будем называть их параметрами задачи ИЭФ).

Для функции ф очевидно выполнение следующих краевых условий:

ф(—ж) = фк, (3.6)

ф(+ж) = фк+1, (3.7)

где фк+1, фк - константы, подлежащие определению.

Утверждение 2.2. Функции £к(0), £к+1(0) в окрестности точки Ь = 0 определяются уравнениями

£к(Ь) = Ск (Ь)фк (ф), €к+1&) = вк+1(Ь)фк+1(ф), (3.8)

где функции ск (Ь), Ск+1(Ь) находятся из краевой задачи, состоящей из двух дифференциальных уравнений и одного уравнения алгебраического:

1 ¿Ск = ф'к (ф) £ Ск & фк(ф) а'

г = к, к +1,

(3.9)

к + 1 г=к

*Пф) —

(ф'г(ф)У фг(ф)

(3.10)

Ск ф'к (ф) + Ск+1ф'к+1(ф) = 0, (3.11) с двумя начальными условиями

Ск(О)=О.5Б0/фк(ф(О)), г = к, к + 1. (3.12)

При этом величина ф(0) в формулах (3.12) определяется из алгебраического уравнения:

ф'к (ф(0))фк+1(ф(0)) + ф'к+1(ф(0))фк (ф(0)) = 0. (3.13)

Доказательство. 1 этап. Уравнения (2.1)-(2.3) на основании (рис. 2) перепишем для двух функций Ск (Ь) и Ск+1(Ь).

2 этап. Уравнение (2.3) при Ь ^ —ж с учетом (3.2), (3.4), (3.6), (3.8) приобретет форму: Ск(—ж) ■ 0 + 0 ■ вН(Афк) + 2кш ■ вН(фк) = 0.

Поскольку Ск(—ж) есть конечная величина, последнее равенство означает, что при Ь ^ —ж вкладом слагаемого 2кш ■ вН(фк) можно пренебречь в силу его малости.

а =

Аналогично при Ь ^ уравнение (2.3) и условия (3.3), (3.5), (3.7) показывают, что слагаемым 2кы ■ вк(фк+1) также можно пренебречь в силу его малости. Следовательно, уравнения (2.1)-(2.3) можно переписать в форме (3.9)-(3.11), в частности, уравнение (3.11) в общем виде:

п

'к (ф) = 0. (3.14)

к=1

Уравнение (3.14), в свою очередь, умножением на ф[ приведем к виду:

Фк (ф) ) = Щ c'k Фк (ф). \к=1 J к = 1

Е<

к = 1

Откуда на основании (3.9) и (3.14) получаем, что

_Cк Фк(Ф) = const

к = 1

или с учетом (3.8)

£к + £к+i = const. (3.15)

Условия (3.1)-(3.5), (3.15) показывают, что S0 +0 = const, 0 + S0+1 = const. Следовательно,

S0 = S0+1 = const. (3.16)

Из начального условия (3.1) вытекает, что 2£к = S0, и, следовательно,

6 (0)= 6+i(O)=O.5S0. (3.17)

3 этап. Уравнения (3.1), (3.8) и (3.14), записанные для t = 0, дают систему двух линейных однородных алгебраических уравнений относительно двух неизвестных — cк (0) и cк +i(0). Система совместна, если ее определитель равен нулю, откуда и получаем уравнение (3.13) для определения величины ф(0). Отсюда на основании (3.8) и (3.17) получаем начальные условия (3.12). Утверждение доказано.

Теперь проведем в точке t = 0 касательные к графикам (рис. 2). Очевидно, что они задаются уравнениями:

Ш = Ш+ Ф) t, i = k,k +1, (3.18)

Ф(^ = Ф(0)+ ф' (0) t. (3.19)

Утверждение 2.3. В уравнениях (3.18) и (3.19) коэффициенты £к(0), £к+1(0) и ф(0) определяются посредством уже полученных формул (3.17) и (3.13), а угловые коэффициенты касательных выражаются формулами:

(0) = S0/At к, (3.20)

й +1 (0) = -S0/At к, (3.21)

ф'(0)=2Ф к, к+1(Ф(0))/At к, (3.22)

где

A' = т{ФкШ> - • '3.23)

Фкк+1{фт = (fin - Фк) (L+if + L+^ifki.

\ф к+1 Ф к J V Ф к Ф к+1

(3.24)

-ф=0

Доказательство. 1. Рисунок 2 показывает, что касательная для £к (Ь) пересекает прямую £ = Б0 в точке М1(Ькк,Б0), а ось абсцисс £ = 0 - в точке М2(Ьк, 0). На основе (3.18) получаем равенство:

Ьк — *к2 = (£к (—ж) — £к (+ж))(£'к (0))-1. (3.25)

Аналогичные соотношения для £к+1(Ь) и ф(Ь) на основании уравнений (3.18), (3.19) приобретают вид:

Ь к+1 — Ь к+1 = (£ к +1(—ж) — £к+1(+ж))(£'к+1(0))-1, (3.26)

4 — 4 = (ф(—ж) — ф(+ж))(ф ' (0))-1. (3.27)

Переобозначим величины:

Ь к — Ь к = АЬ к, Ь к +1 — Ь к+1 = АЬ к+1, (3.28)

4 — Ьф = АЬф, ф к — ф к+1 = Аф к. (3.29)

Как результат, уравнения (3.25)-(3.27) с учетом условий (3.1)-(3.7), (3.16) приобретают форму:

£'к (0) = Б0/АЬ к, (3.30)

£'и+1(0) = —Б0/АЬ к+1, (3.31)

ф'к (0) = Афк/АЬф. (3.32)

Таким образом, формулы (3.30)-(3.32) позволяют вычислить £к(0), £'+1(0), ф'(0), если известны АЬ к, АЬ к+1, АЬф. Уравнение (3.8) показывает, что £'к (0) = = (Скфк(ф) + Скф'к(ф) ф')\г=0. Как результат, уравнения (3.30), (3.31) с учетом (3.9) преобразуются к виду:

Б0 = АЬ к Ск (0) фк (ф(0)) (Л/а + Аф к/АЬф), (3.33)

Б0 = —АЬ к+1 Ск+1(0) фк +1(ф(0)) (Л/а + Аф к/АЬф). (3.34)

Очевидно, что Л /а+Аф к/АЬф = 0 , так как в противном случае величина Б0 была бы равна нулю. Это означает, что система уравнений (3.33),(3.34) совместна при условии выполнения равенства:

АЬ кСк (0)фк (ф(0)) + АЬ к+1Ск +1(0)фк+1(ф(0)) = 0.

Подстановка Ск (0) и Ск+1 (0) из (3.12) с учетом (3.13) приводит к важному равенству:

АЬ +1 = АЬ . (3.35)

2. Уравнение касательной для £к (Ь), записанное для точек М1 и М2, дает систему двух линейных уравнений, преобразование которой с учетом (3.15) и (3.29) приводит к следующим уравнениям:

Ьк = 0, 5АЬк, Ьк = —0, 5АЬк. (3.36)

Аналогично рассмотрение уравнения касательной для £к+1(Ь) с учетом (3.16) и (3.31) позволяет получить уравнения:

Ьк+1 = 0, 5АЬк, Ьк = —0, 5АЬк. (3.37)

Следовательно, Ьк = Ьк+1, Ьк = Ьк+1 . Дифференцирование уравнения (3.14) с учетом (3.16), (3.30), (3.31) дает уравнения (3.22), (3.24). Подстановка (3.22) в (3.33) с использованием (3.12) приводит к уравнению (3.23).

Рис. 3. Аппроксимация системы профилей концентраций амфолитов трапециями

3. Рисунок 2 показывает, что касательная (3.19) для ф(х) пересекает прямую ф = фк в точке ,фк) и прямую ф = фк+1 в точке 1^2(4 , фк+1). Использование

уравнения (3.19) в этих точках позволяет получить формулы:

^ ПК Л + фк - ф(0) ^ ПК Л + фк + 1 — ф(0)

=0-5Мк^фт > 2 =0-5Мк ф(ф(0)) •

Утверждение доказано.

Как следует из утверждения 2.3, угловые коэффициенты касательных в точке их пересечения тем больше, чем больше значение плотности тока J. Формулы (3.20)-(3.24) объясняют тот факт, что в предельном состоянии "аномальных" режимов графики принимают прямоугольный вид.

4. Обобщение метода касательных

Теперь будем рассматривать задачу на всем отрезке [0,/]. Введем следующие обозначения (рис. 3): пусть Х1 есть точка пересечения профилей 1-го и 2-го амфолитов; Х2 есть точка пересечения профилей 2-го и 3-го амфолитов; хN-1 есть точка пересечения профилей (Ж — 1)-го и Ж-го амфолитов. Рассмотрим графическую аппроксимацию профилей концентраций с помощью касательных.

Как следует из рис. 3, к-й профиль концентрации: 1) на отрезке [хк_ 1,хк] аппроксимируется прямой, проходящей через точки (х2к_ 1,Бк-1) и (хк,Бк); 2) на отрезках [хк_ 1,х2к_ 1] и хк,хк] - касательными, проходящими через точки (хк_ 1, 0), (х2к_ 1,Бк-1) и (хк,Бк), (хк, 0); 3) во всех остальных точках отрезка [0,/] концентрация принимается равной нулю. Следует отметить, что в общем случае значения Бк не считаются равными для всех к. Равенство Бк-1 = Бк верно для локальной асимптотики, когда можно пренебречь вкладом слагаемого с кт; как будет показано далее, в общем случае данное слагаемое может оказывать существенное влияние на асимптотику.

Возвращение к исходной переменной х осуществляется на основании формул:

хк = хк +0, 5 АЬк • е, хк = хк — 0, 5 АЬк • £• (4.1)

Применим интегральные условия (2.5) к функциям ^, к = 1, 2,N. Интегрирование осуществляется простейшим суммированием площадей трапеций и приводит к следующему выводу, записанному в виде утверждения.

Утверждение 2.4. Параметры задачи ИЭФ Б0, к = 0,1, 2,..., N, а также Х1,Х2,... определяются из системы N +1 линейных алгебраических уравнений, к = 2, 3,..., N — 1:

ш\ = Ах1 ■ Б1 + 0, 5(Бо + Б1)(х1 — А.Х1),

тк = Ахк■ Бк-1 + Ахк ■ Бк +0, 5(Бк-1 + Бк)(хк — хк-1 — Ахк-1 — Ахк), тК = АхК-1 ■ БК-1 + 0, 5(БК-1 + БК)(Ь — хК-1 — АхК-1).

(4.2)

и N — 1 простейших интегральных уравнений:

Бк = Бо — 2кш ^ вН(ф)^ ^ + ф'^ ¿х, к = 1,...^ — 1. (4.3)

Поскольку рН = — ^ (кш ■ ехр (ф)), то

8Н(ф) = 0.5(ехр (ф) — ехр (—ф)) = 0.5(10Г-рН — 10рН-7),

а значит, чем меньше величина рН, тем больше вклад слагаемого 2■ вк(ф) в асимптотику. В то же время для больших значений рН верно следующее утверждение.

Утверждение 2.5. Для рН > 7 параметры электрохимической системы Б0, к = 0,1, 2,..., N определяются формулами

Бо = L¿ ти хк = ¿ hi, ^ = тт0. (4.4)

i=1 i=1 к

Следовательно, в случае рН > 7 геометрическим "потолком" системы профилей концентраций является горизонтальная прямая, определяемая уравнением (4.4); в случае рН < 7 роль такого "потолка" играет ломаная, параметры которой определяются уравнениями (4.2)—(4.3).

Формулы (4.2)- (4.3) указывают, что функции а к (х) ограничены для любой плотности тока некоторыми константами, зависящими от электрохимических параметров системы.

5. Тестирование модели

Расчеты проводились в предположениях: длина ЭК, l = 2 (дм); радиус ЭК, r = 0, 2 (дм); T = 298 (К). Плотность тока измерялась в А/дм. кв. Значения констант диссоциации Kk), k) и коэффициенты миграции ¡k взяты из монографии [1]. Исходные количества амфолитов одинаковы, mk = 0,1 (моль). Асимптотика строилась на основании формул (3.20)-(3.24).

Пример 1. Рассмотрена система стандартных амфолитов с pH > 7: His-His, His — Gly, His, в — Ala — His, Tyr — Arg. Асимтотические профили были построены на основании формул (4.4). Расчеты показывают, что в "аномальном" режиме расчетные и асимптотические профили концентрации дают высокую степень совпадения. Рисунок 4 подтверждает вывод о том, что для pH > 7 все профили концентрации ограничены сверху прямоИ £ = S0.

Рис. 4. Расчетные и асимптотические профили концентрации системы с pH > 7: His — His, His — Gly, His, ß — Ala — His, Tyr — Arg

Рис. 5. Расчетные и асимптотические профили концентрации системы с pH < 7: Asp, m — ABA, a — Asp — His, Tyr — Tyr, IsoGln

Пример 2. Рассмотрена система стандартных амфолитов с pH < 7: Asp, m — —ABA, a—Asp—His, Tyr—Tyr, IsoGln. Асимтотические профили были построены на основании формул (4.2), (4.3). Рисунок 5 подтверждает вывод о том, что для pH < 7 система профилей концентраций ограничена ломаной линией, параметры которой определяются формулами (4.2), (4.3).

6. Построенная аппроксимация как решение задачи в слабой формулировке

Как видно из рис. 4, 5, построенные аппроксимации профилей концентраций не являются всюду дифференцируемыми функциями (в точках стыка прямых производная у графиков отсутствует); следовательно, они не являются решениями исходной задачи (2.1)-(2.7) в обычном (сильном) смысле. С целью снижения требований, налагаемых на дифференцируемость функций переформулируем задачу в слабой форме. Для этого уравнение (2.1) умножим на произвольную функцию «(х), удовлетворяющую условиям: V £ С1 [0,/], «(0) = 0, «(/) = 0; затем проинте-грирум уравнение на отрезке [0, /].

[ —-«(х)йх = [ Фк(Ф) — с- • «(х)йх. (6.1)

]о йх Уо ф-(ф) ОЕ

Уравнение (6.1) представляет собой слабую формулировку уравнения (2.1). Докажем, что асимптотическое решение (3.18)—(3.19), (3.20)-(3.24), (4.1), (4.4) яв-

ляется слабым решением исходной задачи, то есть при подстановке в уравнение (6.1) дает невязку, стремящуюся к нулю.

Из рис. 3 и уравнения (6.1) следует, что суммарная невязка решения состоит из частичных невязок по пяти отрезкам:

ük = v(x) J о

dck dx

ф'к

J

Фи ea

ck

dx =

/*A !*B !*C f D ¡*L

= + + + + = 5oa + SAB + SEC + SCD + SDL. (6.2)

JO J A JB JC JD Рассмотрим невязку на каждом из отрезков по отдельности.

1. Если x G [0, xk_!] U [xk,L], то =0 , а значит ck = 0, следовательно,

SOA + SDL = 0.

2. Если x G [x\_1;x|], то = Sk , Ф = Фк, а значит, си = Sk/(1 + Sk). Следовательно, dck/dx = 0, ф'к = 0, Sec = 0.

3. Если x G [xk; xk], а значит, на основании (3.17)-(3.24) уравнение (2.1) c помощью простых алгебраических преобразований приводится к виду:

a(x) a(xk)

dk (Ф) ' Sk Ф)

1 - *k,k+i№)Sk(Ф) (

1 +

2(x - xk) Atk e

(1 - *ф )*k.

k+1

Ф ))

(6.3)

где фк — значение ф, соответствующее точке х = хк. В формуле (6.3) разложим функции а(х), вк(ф) в ряд Тейлора; подстановка полученного уравнения в интегральное соотношение (6.1) позволяет оценить абсолютную величину невязки решения на отрезке СБ:

\SCD |

D

v(x)

dck ф^ _ J

dx фk ea

dx

< 4\v(xí)\(xkk - xk), x1 G (xk,xk).

с

4. Аналогично получаем абсолютную величину невязки решения на отрезке АВ: \5аб \ < 4\у(х*2)\(х— — хк1-1), х/2 е (хк-1 ,хк-1).

На основании формул пунктов 1)-4) получаем оценку для суммарной невязки решения: \&к \ < 4 (\и(х\)\(хк — хк) + [и^х^Кх^,-1 — х^-1)). Это означает, что при J ^ 0 невязка решения стремится к нулю: ^ 0, и асимптотика является слабым (вариационным) решением задачи ИЭФ.

Выводы. В соответствии с результатами метода касательных концентрации амфолитов являются ограниченными функциями: \£к(х)\ ^ Ск; в частности, в случае рН > 7 геометрическим "потолком" системы профилей концентраций является горизонтальная прямая, определяемая уравнением Ск = ^ 2^=1 тг, где т - исходные количества амфолитов. Установлено, что существует геометрическая аппроксимация профилей концентраций трапециями, а градиента рН — ломаной линией с известными геометрическими параметрами, определяемыми из формул (3.18)-(3.19), (3.20)-(3.24), (4.1), (4.4). Выявлено, что построенное решение имеет высокую степень сходимости с расчетным решением задачи. Аналитические формулы, выражающие построенную геометрическую аппроксимацию, в то же время являются слабым (вариационным) решением рассматриваемой задачи ИЭФ.

Литература

[1] Righetti P.G. Isoelectric focusing: Theory, Methodology and Application. Elsevier Biomedical Press. New York; Oxford: Elsevier, 1983. 386 p.

[2] Rilbe H. Theoretical aspects of steady - state isoelectric focusing // Isoelectric focusing. Acad. Pres. New York; London, 1976. P. 14-52.

[3] Mosher R.A., Bier M., Righetti P.G. Computer simulation of immobilized pH gradients at acid and alkaline extremes: A quest for extended pH intervals // Electrophoresis. 1985. № 7. P. 59-66.

[4] Mosher R.A., Thorman W. The condensation of ampholytes in steady state moving boun-daries. Analysis by computer simulation // Electrophoresis. 1985. № 7. P. 595-400.

[5] The formation of stable pH gradients with weak monovalent buffers for isoelectric focusing in free solution / R.A. Mosher [et al.] // Electrophoresis. 1985. № 6. P. 545-551.

[6] Mosher R.A., Salive D.A., Thorman W. The Dynamics of Electrophoresis. New York: VCH Publishers, 1992. 236 p.

[7] High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing of proteins / W. Thormann [et al.] // Electrophoresis. 2004. № 25. P. 324-337.

[8] Thormann W., Mosher R A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: Focusing with concurrent electrophoretic mobilization is an isotachophoretic process. Research Article // Electrophoresis. 2006. № 27. P. 968-983.

[9] Zilberstein G.V., Baskin E.M., Bukshpan Sh. Parallel processing in the isoelectric focusing chip // Electrophoresis. 2003. № 24. P. 3735-3744.

[10] Сахарова Л.В. Асимптотическое тестирование задачи математического моделирования ИЭФ в "аномальных" режимах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. № 3. C. 73-82.

[11] Сахарова Л.В. Исследование механизма трансформации гауссовского распределения концентраций при аномальных режимах изоэлектрического фокусирования // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер.: Естественные науки, 2012. № 1(167). C. 30-36.

[12] Сахарова Л.В. Численный анализ интегродифференциальной задачи изоэлектрического фокусирования в "гипергаусcовских" режимах // Вестник Тюменского государственого университета. Сер.: Физико-математические науки. Информатика. 2012. № 4. C. 137-144.

[13] Sakharova L.V., Vladimirov V.A., Zhukov M.Yu. Anomalous pH-gradient in Ampholyte Solution. ArXiv: 0902.3758vl [physics.chem-ph] 21 Feb 2009.

[14] Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза: Применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.

[15] Жуков М.Ю., Юдович В.И. Многокомпонентные смеси в локальном химическом равновесии // Молекуляр. биология. 1981. Вып. 28. С. 54-57.

[16] Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д.: Изд-во Рост. ун-та, 2005. 216 с.

Поступила в редакцию 5/Д/2013; в окончательном варианте — 5/Л/2013.

INVESTIGATION OF RIGID INTEGRAL AND DIFFERENTIAL PROBLEM OF IEF BY TANGENT

METHOD

© 2013 L.V. Sakharova2

The article is devoted to the problem of development by methods of approximate solution of rigid integral and differential problem on the example of modeling of isoelectric focusing (IEF) in the so-called "anomalous" regimes. Two new methods of asymptotic solution of problem with large parameter are represented: the geometric tangent method, based on approximation of solution by the system of broken lines with known geometric parameters.

Key words: rigid integro-differential problem, tangent method.

Paper received 5/77/2013. Paper accepted 5/77/2013.

2Sakharova Lyudmila Viktorovna (L_Sakharova@mail.ru), the Dept of General Scientific Disciplines, Rostov-on-Don branch of Admiral Ushakov Maritime State University, Rostov-on-Don, 344006, Russian Federation