Научная статья на тему 'Исследование закономерностей поля экстремалей двумерных линейных задач механики полета'

Исследование закономерностей поля экстремалей двумерных линейных задач механики полета Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
127
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Федоров Л. П.

Исследованы особенности поля экстремалей простейшего класса вариационных задач механики полета, содержащих две дифференциальные связи с одной линейно входящей в них управляющей переменной. Исследование базируется на идеях работ [1-3]. Сопоставлены известные методы решения рассматриваемых задач: метод Миеле, метод Остославского-Лебедева и принцип максимума Понтрягина. Основное внимание уделено участкам особого управления экстремалей. Исследованы также закономерности движения фазовой точки с заданными значениями управляющей функции и движение с периодическим переключением ее между максимальным и минимальным значениями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Исследование закономерностей поля экстремалей двумерных линейных задач механики полета»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXI 1990

м /

УДК 629.7.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ПОЛЕТА

Л. П. Федоров

Исследованы особенности поля экстремалей простейшего класса вариационных задач механики полета, содержащих две дифференциальные связи с одной линейно входящей в них управляющей переменной. Исследование базируется на идеях работ [1—3].

Сопоставлены известные методы решения рассматриваемых задач: метод Миеле, метод Остославского—Лебедева и принцип максимума Понт-рягина. Основное внимание уделено участкам особого управления экстремалей. Исследованы также закономерности движения фазовой точки с заданными значениями управляющей функции и движение с периодическим переключением ее между максимальным и минимальным значениями.

Среди задач оптимизации режимов полета на различных участках траектории ЛА на основе упрощенной системы уравнений движения большое место занимают двумерные линейные задачи, в которых система уравнений движения состоит из двух дифференциальных уравнений с одной линейно входящей в них управляющей функцией. Для решения таких задач применяются достаточно простые и наглядные методы оптимизации: метод Остославского — Лебедева [4], метод Миеле [5—7] и различные графические методы. Все эти методы, как показано в [8, 9], связаны между собой.

Среди многих работ по исследованию упрощенных вариационных задач отметим работы [1—3], в которых проведен глубокий анализ семейства оптимальных траекторий в задаче о полете самолета с минимальным расходом топлива на заданную дальность. В этих работах выявлены практически важные свойства поля экстремалей в открытой области значений управляющих функций, в том числе проанализированы условия существования и возможные типы особых точек поля экстремалей.

В настоящей статье результаты этих работ распространены на весь рассматриваемый класс двумерных линейных задач и получены дополнительные результаты, развивающие теорию линейных задач [7]. Полученные общие результаты могут быть использованы при решении соответствующих конкретных задач.

Рассматриваемый класс вариационных задач. При исследовании режимов и траекторий полета ЛА широкое применение нашли простей-

шие вариационные задачи, которые заключаются в определении экстремума функционала

Ф

у

= /(*1, *2) Л (1)

при выполнении следующих двух дифференциальных уравнений движения связи

7ЙГ =/1 (-«1. *«) « + /2 (*|, ха), ]

Лс, (2)

ЛГ = /з (-«1, •*2) и + Л (ЛГ1. х2). )

В (1) и (2) £— время, Г — продолжительность полета. Характерной особенностью системы (2) является линейная зависимость правых частей уравнений от управляющей функции и. Фазовые координаты хи х2 и управляющая функция и являются ограниченными.

К уравнениям (2) может быть добавлена изопериметрическая связь

т

Х3 = |/5(^1, Х2)М=СОП${, о

которую можно записать также в виде дифференциального уравнения

*») (3)

при условии, что в конце траектории должно быть обеспечено заданное значение х3. В этом случае вместо (1) находится экстремум вспомогательного функционала

т _

Ф= | /(*„ хг, X) Л, (4)

О

где

/(*„ х2, X) =/(*„ х2) - X /5 (*„ х2).

Функционал (4) отличается от (1) лишь наличием постоянной X. Значение постоянной К находится из условия обеспечения конечного значения *3.

Экстремали рассматриваемых задач в общем случае могут состоять из участков особого управления и участков с граничными (максимальным и минимальным) значениями управляющей функции. Наиболее трудоемким является определение участка особого управления. Для синтеза экстремалей используются метод Миеле, графо-аналити-ческий метод Остославского — Лебедева (энергетический метод) и другие достаточно простые и наглядные методы расчета.

При использовании метода Миеле искомый функционал (1) или (4) с помощью уравнений связи (2) приводится к криволинейному интегралу

йхх, (5)

где

/Л /.

^1— 77 т~Г > ?2— т~

/1/4—/2/3 /з

*гН, ^К, г = 1, 2 — соответственно заданные начальные и конечные значения фазовых координат. Знаменатель в функции <р1 представляет собой определитель системы (2)

/г Л-/2/3. (6>

/г /2 /з А

Экстремаль в методе Миеле формируется с помощью функции

“0*1, х2) = ^ — р±. (7>

<МГ| ОХ2

На особых участках она равна нулю, т. е. эти участки определяются уравнением

■ ®(*1, *2) = о*.

Участки с предельными значениями управляющей функции (ытах, «тш) добавляются в экстремаль согласно правилу Миеле в зависимости от знака функции (7) и граничных условий задачи [5—7]. В некоторых случаях особого участка может не быть.

Для использования метода Остославского — Лебедева и других гра-фо-аналитических методов вместо х1 или х2 вводится новая переменная [8] у=у{х 1, х2), являющаяся общим интегралом уравнения

/3 йхх — /1 йх2 = 0.

Принимая XI—х1 (у, х2), функционал (4) и уравнения связи (2)

с учетом (6) приводим к виду

г

ф = 17(У, х2, Ц Ш, (8>

о

^ = _Я(у, х2), (9>

§-2 = /з (У» Ха) и +/4 (у, х2). (10)

Система (9), (10) отличается по структуре от (2) тем, что управляющая функция и входит только в одно уравнение (10).

Обычно за независимую переменную принимают у вместо / и функционал (8) приводят к виду

Ф = | Р{у, Х2, \)(1у, (11)

у«

где

-----= -т>+ХЪ ■ <12>

Интеграл (11) можно рассматривать также как криволинейный интеграл вида (5), в котором ф1 (у, х2, К) = Р(у, х2, к), а ф2=0, и для определения его экстремума применить метод Миеле. При этом

Уравнение (о = 0, определяющее участки особого управления, можно свести к виду

Ш, (у, Х)=-£ - £^-к = 0. (14)

Это уравнение описывает поле экстремалей в открытом множестве значений управляющей функции и, т. е. поле участков особого управления (сокращенно УОУ). Каждому значению к соответствует определенный УОУ. Наоборот, для любой точки (у, х2), через которую проходит УОУ, можно найти значение постоянной

х^^=-к-тЛ- <15>

Связь значений постоянной к и функции при О (у, х2)=0.

/5

Участки экстремали, удовлетворяющие уравнению (14), можно разделить на два типа: УОУ, пересекающие линию £>(</, х2)—0, и УОУ* не пересекающие ее.

Для первого типа УОУ значения постоянной к, как следует иа

(15), равны значению функции ~=Рх(у, х2) на линии Б(у, х2)=0

• 5

Х=Ш0„„- <16>

Заметим, что функция у- = Р1(у, х2) представляет собой подынтегральную функцию искомого функционала при независимой переменной д:3

*з к ,

Ф_1 т;Лх‘-

хзн

что следует из (1) и (3).

Таким образом, построение функции (-£-] в зависимости от

\/5 /0=0

у позволяет знать весь возможный диапазон значений X, при которых УОУ пересекают линию Р(у, х2) = 0. Для построения УОУ,

пересекающего линию О (у, дг2) = 0 в заданной точке, достаточна

значение постоянной X принять равным функции (■г-') в этой точке

у»/0=0

и воспользоваться уравнением (14) (рис. 1). Максимальные и минимальные значения функции совпадают с максимальными и ми-

уь /0=0

нимальными значениями постоянной X, при которых УОУ пересекаются с линией И (у, х2) = 0.

Заметим, что линия D(y, х2)=0 является линией установившихся

dv

режимов полета, так как в каждой ее точке =0 и, следовательно,

у = const и д:2=const.

Определение вида участков особого управления экстремалей в плоскости (ух2). Исходя из уравнения (14), найдем

i1-dx4

^cot дш1 ’

ду

где

da>i дх2'

D jL

/5 дх.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

здесь

да>1 — Г — ± И dj b а

D д { а \

7ъду\Ь)'

(17)

(18) (19)

В точке пересечения УОУ с линией И (у, х2) = 0, как следует из (17) и (18), имеем ^=0 и д£г = 0, т. е. эта точка является стационарной точкой функции у=у(х2) для УОУ (см. рис. 1). Характер изменения этой функции существенно зависит от знака второй производной в стационарной точке. В данном случае при £) = 0 и

ду „ д2 у

— = 0 производная —\ приводится к виду ах* дхт,

дг (

а2У

dxi

дш1

ду

(20)

где

(т). (21)

д<й[

дУ

= С

d.

(22)

Рис. 1

Знак производной (21) на линии 0 = 0 соответствует знаку функции

МУ, (23)

которая, как будет показано ниже, связана с условиями максимума и минимума искомого функционала (11).

Значение производной (22) на линии £> (у, х2)=0 равно производ-

ной функции

Л/0=0

— А (Ц

дУ *У /о=о'

(24)

Действительно,

— (£\ = А (£\ . А- (1\

аУ '/->/о=о ду [/-,) ^ дх2\/5) (1у

0-0

где производная равна

определяется из уравнения у = О и

0 = 0

А (£. ду (/б _а_/о дъ I/6

Ь •

В результате

=>С-?гй. Лу \/ъ /о=о 6

(25)

Из сравнения (22) и (25) приходим к равенству (24). Следовательно, производную (20) можно записать в виде

\ <Ру _ Фо

\ ах\ ~ А{1\ ’ (26)

\ Лу \/б/п_о

где гро — значение функции (23) на линии Б = 0.

Как видно, знак второй производной (26) зависит только от знаков функции \Ь и первой производной функции от у. В зави-

\Л /о=о

симости от этих знаков можно установить вид УОУ. Для иллюстрации на рис. 2 и 3 показаны возможные виды УОУ в зависимости от характера изменения функции при положительных и отрицатель-

на /0=0

ных значениях функции ф. Каждый УОУ соответствует определенному значению X. Для УОУ, пересекающихся с линией /)(г/, х2) =0, значения постоянной X, как было показано выше, равны функции [4-\

\-'5/О=0

в соответствующих точках пересечения.

Особые точки поля участков особого управления. Согласно [1-3] поле УОУ может иметь особые точки на линии О {у, х%) =0, координаты которых в плоскости (у, х2) совпадают с координатами стационарных

точек функции (^А

\/5/о=0

Действительно, координаты, рассматриваемых в {1—3], особых точек поля УОУ, определяемого уравнением (14), должны удовлетворять трем равенствам [10]:

•.(У,*.)-О, ^=0, *5 = 0.

Рис. 2

Функция (01 (у, хг) имеет вид (14), а производные ее по х2 и у— (18) и (19). Приравняв их к нулю, получим

Щу, х,) = 0, (27)

с_«й==0. (28)

Первое уравнение показывает, что особые точки лежат на линии Щу, х2)=0.

К этим же уравнениям сводятся условия стационарности функции (15). Поэтому координаты особых точек поля УОУ и стационарных точек функции К (у, Хя) совпадают и находятся на линии установившихся режимов полета. В силу равенства (16) на этой линии координаты

стационарных точек функций Х(у, х2) и (£\ совпадают и, следо-

\л о

вательно, особые точки соответствуют стационарным точкам функции

[~\ от у (см. рис. 2, 3).

у 5/.0=0

Тип особых точек зависит от знака определителя в этих точках [10]:

д2 о>1 д3 <ог

Д в

дх\ дх2 ду

Ы] д3

дудх2 ду%

д2 д2 и») / д2 \2

1^2 ду I ‘

дх\

(29>

При А>0 особая точка представляет собой изолированную точку («центр»), а при Д<0 — узловую точку («седло»), при Д = 0 — точку возврата или точку самоприкосновения.

Производные, входящие в (29), при условиях (27) и (28) имеют следующий вид:

д3<1> _ , д / а\

~д£~~

ду2

2

дс

ду

а дй Ь ду

д^_=_йд1а\ дхду дх2\Ь )

д2 и>д _ ^д_ /с^\ дс

дудх? дх2 \ Ь I ‘ дх2

а дй Ь дх2

Так как

д1 а>1

д2 <

дх ку = Ъудх2' т0 И3 П0следних двух выражении следует

дс а дЛ . д / а \

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дхц Ь дх2 ду[Ь I

0.

С учетом этого и, используя выражение (25) для определения второй производной

д2»! й2 д

ду2 Ъ дх2

(£)•

определитель (29) можно привести к виду

А=~'*°д?(л)о=0'

(30>

Знак определителя (30) зависит от знака функции ^>(у, х2) и вто-

рой производной функции

\/й/в=о

от у в стационарных точках. Тип

особых точек полностью согласуется с видом УОУ, устанавливаемого' с помощью (26) (см. рис. 2 и 3).

Направление движения вдоль участков особого управления. Условия максимума и минимума искомого функционала. Направление дви-

жения фазовой точки вдоль экстремалей устанавливается с помощью уравнения (9). Для этого достаточно определить знак функции Б (у, х2).

При £)<0 движение происходит в сторону увеличения переменной у, так как ^!>0, а при /)>0 — в сторону ее уменьшения. Линия

0 = 0 разделяет плоскость (у, х2) на две части, в одной из которых В>0, а в другой /)<0 (см. рис. 1). На этой линии функция у(х2) имеет

стационарные точки ^ = 0 ^ .

Тип экстремума (максимум или минимум) функционала (11) определяется знаком второй производной его подынтегральной функции по

хг на УОУ = 0^ при каждом значении у. Это следует из того, что

подынтегральная функция (12) равна функции Гамильтона, в которой х2 играет роль управления. Согласно принципу максимума Понтрягина переменная х2 должна обеспечивать соответственно максимум или минимум этой функции при каждом значении у. УОУ представляют собой

множество стационарных точек = о|, в которых реализуется максимум или минимум функции (12) в зависимости от знака второй про-д8 У7

изводной —в этих точках. Максимум функционала (11) при дви-дхт,

д3 У7

жении по УОУ в сторону увеличения получается при уу < 0, а мини-

с 2

мум — при —о->0. Ьсли движение происходит в сторону уменьше-дх£

,

ния у, то знаки производной —г- меняются на обратные.

С учетом изменения направления переменной у эти условия можно записать в виде

д2Р йу

дХ2 5г<°* 01)

«ели реализуется максимум функционала, и

щ%>°- <32>

если реализуется минимум.

др

Используя (12), (13), (14) и, учитывая, что на УОУ ^ = О» <01 (г/, х2) =0, получим

д2 Р_ ф

дх\

и

С учетом этого выражения и уравнения (9) неравенства (31) и (32) можно записать в виде

/5ф<0 (33)

в случае максимума функционала и

/6Ф>0 (34)

в случае минимума.

Обычно в рассматриваемых вариационных задачах механики полета ЛА функция /5>0 и поэтому при максимуме 1|з<0, а при минимуме "ф >0.

д2 Р

Знак производной —^ и> следовательно, знак г|) можно уста-

дх:

новить по характеру изменения функции (12), построив ее в зависимости от х2 при каком-либо постоянном значении у.

Если известны знаки функции <» по обе стороны УОУ (ш = 0),

то сразу же устанавливается знак производной и, следова-тельно, знак — — -р-. Например, если в плоскости {у, х2) снизу от

УОУ, как показано на рис. 1, ©<0, а сверху — <о>0, то > 0.

Иногда тип экстремума функционала известен заранее. Тогда знак функции гр принимается согласно (33) и (34) и используется в (26) и (30) для определения вида УОУ.

Применение полученных результатов к построению поля участков особого управления. На основании полученных результатов можно рекомендовать следующий порядок исследования и построения экстремалей конкретных вариационных задач, относящихся к рассмотренному классу.

1. В плоскости (у, х2) построить линию О (у, х2)=0 и по обе стороны ее установить знаки функции И (у, х2) (см. рис. 1).

2. Построить функцию (£-') в зависимости от у. При наличии

V 5 /х)= о

стационарных точек этой функции сразу же определяются особые точки поля УОУ, которые находятся на линии И (у, х2) =0 при том же значении у.

3. Установить знак функции г|)(г/, х2), имеющей вид (23). Знак этой функции согласно (33) и (34) определяет тип экстремума искомого функционала (максимум или минимум).

4. Используя характер изменения кривой 7-1 и знак функ-

V 5 /0=0

ции г|> на основании (26) установить вид УОУ, найти месторасположение особых точек и определить их тип в зависимости от знака определителя (30).

5. На основании уравнения (15) строятся УОУ для различных значений X. При выборе значений X удобно использовать построенный

график функции 1£\

\-'5/£>=0

6. В зависимости от знака функции Б (у, х2) устанавливается направление движения фазовой точки вдоль УОУ.

Движение фазовой точки с предельными значениями управляющей функции. Выше исследовалось поле участков особого управления экстремалей. Кроме этого, существуют поля участков движения с максимально и минимально допустимыми значениями управляющей функции («шах ИЛИ МтгПп). Рассмотрим свойства этих полей.

Траектория движения фазовой точки в плоскости (у, х2) при любом заданном значении и определяется уравнениями (9) и (10), из которых получим

йу____ £>

Лхг /Зм +Л ’

где и принимает граничные значения ытах или ыт1п.

(35)

Будем изучать типичный случай в рассматриваемых вариационных задачах механики полета, когда правые части уравнений (2) при umax и umln имеют различные знаки, и, следовательно, если при одном значении и переменная х2 растет |^ > oj, то при другом — уменьшается

таком случае, как следует из (35), производная ^ при Umax или ит1п может изменить знак только в момент пересечения линии D (у, х2) = 0. На этой линии ^ = 0 и

иХ2

rf2 У _______1 дР

dx 2 fa и + fi дх1

Следовательно, как и на участках особого управления в плоскости {у, х2), функция у(х2) при заданных значениях мтах и «т1п может иметь стационарные точки только на линии D(y, х2) =0. Знак второй производной (36), указывающий на максимум или минимум функции у(х2),

зависит от знаков производных и ^ = /3и+/4. Знак производной

г, „ * 1

на линии D = 0 можно определить в зависимости от знаков функ-

ОХ%

dx

ции D(y, х2) по обе стороны от этой линии. Знак ~ в соответствии

со сделанным предположением является различным ДЛЯ Ытах И итш. Поэтому из (36) следует, что соответствующие фазовые кривые для «шах и Mmm имеют разные экстремумы. При пересечении линии D = 0 в одной точке эти кривые касаются друг друга (рис. 4).

Направление движения фазовой точки вдоль рассматриваемых кривых можно определить по знаку правых частей уравнений (9) и

(10). В области D<0 точка движется в сторону увеличения у, а в об-

ласти £>>0 — в сторону уменьшения у независимо от значения управляющей функции. Направление движения координаты х2 фазовой точки зависит от значения управляющей функции и при изменении одного граничного значения ее на другое меняется на обратное (см. рис. 4).

В случае прерывистого управления, т. е. поочередного переключения управляющей функции со значения ытах на значение итт и обратно, движение сопровождается колебаниями переменной х2 и ростом или убыванием переменной у в зависимости от знака функции D (у, х2). На рис. 5 схематично изображено движение точки с прерывистым управлением в области D>0 и D<0. В пределе при стремлении интервала переключения управления к нулю получаем скользящий режим, который исследовался В. Ф. Кротовым [11].

С помощью прерывистого (скользящего) режима можно двигаться в окрестности практически любой линии в плоскости (у, х2), в том числе в окрестности участка особого управления, пересекая его то с одной, то с другой стороны (рис. 6). Такое движение исследовалось В. И. Ильиным в 1959 году в связи с рассмотрением оптимальных режимов горизонтального полета многоступенчатых JIA с ЖРД [12]. В частности, им было показано, что потери в искомом функционале (целевой функции) по сравнению с его оптимальным значением уменьшаются с увеличением частоты переключения управляющей функции, когда происходит уменьшение отклонения от участка особого управления экстремали <в = 0.

s

Q<

Таким образом, любая экстремаль, имеющая участок особого управления, может быть реализована при соответствующем непрерывном изменении управляющей функции и на УОУ или с любой заданной точностью с помощью прерывистого режима управления при соответствующем выборе частоты переключения управляющей функции. В обоих случаях значения функционала для рассматриваемого класса задач являются практически одинаковыми.

При непрерывном изменении управляющей функции ее значения могут быть определены после построения экстремали х2{у) из системы (9), (10):

и (У, х2) = -±(0^ +/4),

где соответствует участку особого управления.

Полученные выше результаты могут быть использованы при построении экстремалей и анализе решений двумерных линейных вырожденных задач механики полета ЛА.

Автор выражает признательность В. И. Ильину за обсуждение полученных результатов и полезные замечания.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. О свойствах поля экстремалей в одной задаче оптимального управления. — ДАН СССР, 1971, т. 200, № 6.

2. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Качественное исследование семейства экстремалей в одной задаче оптимального управления движением самолета. — Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 6.

3. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Качественный анализ семейства оптимальных траекторий в задаче полета самолета на максимальную дальность. — Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1591.

4. Остославский И. В., Лебедев А. А. О расчете подъема скоростного самолета. — ТВФ, 1946, № 8, 9.

5. Исследование оптимальных режимов движения ракет. Сб. переводов иностранных статей/Под ред. И. Н. Садовского. — М.: Оборонгиз, 1959.

6. И л ь и н В. А. Оптимальные режимы движения летательных аппаратов.— Обзор БНИ ЦАГИ, 1961, № 40.

7. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета/Под ред. Д. Лейтмана. — М.: Наука, 1965.

8. Ф е д о р о в Л. П. К графо аналитическому методу И. В. Осто-славского и А. А. Лебедева. — Изв. вузов СССР. Авиационная техника, 1968, № 4.

9. Ф е д о р о в Л. П. Приближенные методы оптимизации характеристик участка набора высоты самолета. — Труды ЦАГИ, 1987, вып. 2366.

10. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1945.

11. Кротов В. Ф., Букреев В. 3., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. — М.: Машиностроение, 1969.

12. И л ь и н В. А. Оптимальные режимы горизонтального полета крылатых ступенчатых ракет с ЖРД. — Труды ЦАГИ, 1959.

Рукопись поступила 27/УП 1983 г. Переработанный вариант поступил 24/у111 1989 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.