Исследование взаимодействия строительных сооружений с сухими и водонасыщенными грунтами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 4

Физико-математические пауки

2006

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ СООРУЖЕНИЙ С СУХИМИ И ВОДОНАСЫЩЕННЫМИ ГРУНТАМИ

Д. В. Бережной, Ю.Г. Копоплев, Л. Р. Секаева

Аннотация

Представлена методика и результаты расчета строительных конструкций, взаимодействующих с сухими и водопасыщеппыми грунтами. Приведены результаты расчета коллектора, расположенного в непосредственной близости от строящейся лилии метрополитена в г. Казани.

1. Разрешающие уравнения. Определяющие соотношения

Цолыо настоящей работы является моделирование процесса взаимодействия сухого и водонасыщенного грунта с подземными деформируемыми конструкциями.

Рассмотрим квазидвухфазный грунт, в котором газ либо полностью растворен в жидкости, либо находится частично в пузырьках, движущихся со скоростью фильтрующейся жидкости. К первой фазе отнесем так называемый «скелет» грунта, под которым понимается совокупность минеральных частиц и среды, осуществляющей непосредственную связь структурных элементов. Второй фазой будем считать свободную так называемую поровую жидкость (не участвующую в образовании связей между частицами грунта). Каждая из фаз рассматривается как однородная среда. подчиняющаяся определенным законам деформирования. Рассмотрим случай квазистатического деформирования, когда инерционными слагаемыми можно пренебречь.

Первой частью работы является получение основной системы разрешающих уравнений. В первую очередь к такой системе относятся уравнения равновесия, записанные для всего грунта в целом [1]:

до^О

■ /•.•/'V., <>. (1)

причем согласно принципу напряжений Терцаги [2] тотальные напряжения в грунте принимаются равными

= — Р

где Р - давление в жидкой фазе, о^ _ эффективные напряжения в грунте, а р — осрсдненная плотность водонасыщенного грунта, определяемая как

р = тр! + (1 — ш)ря.

Индексы в и / соответствуют параметрам скелета грунта и воды, через т обозначается пористость. Здесь хг - глобальные декартовы координаты текущего (актуального) состояния, - орты глобальной декартовой системы координат, g -ускорение свободного падения

g = 013-

Уравнения баланса масс [3] запишем отдельно для каждой фазы грунта. В дифференциальной форме уравнение баланса масс для жидкости можно записать в виде

д(тр?)

д*

+ ё1у(шр^ V?) = 0.

(2)

Аналогично дифференциальная форма уравнения баланса масс для твердой фазы записывается в виде

д[{1 - т)р3]

т

+ &у[(1 - ш)ряу8] = 0.

(3)

Проведем несложные преобразования, сложив уравнения (2) и (3). предвари-

тельно разделив их на р? и ря соответственно:

д(1 - т) , . дря . „ ,

-—^—-р8 + (1 - т)-^- + gгad( 1 - т)р8 +

+ (1 - т)ря Vя + (1 - т) grad(рs) diу Vя

Рь

; +

+

+ + ёгас1(т) Р* с11у + т gl•ad(//) сЦу + тр* сЦу

р

/

--7Г- + (1 - — + ёга(1(1 - т) Vя + (1 - пг)^-^-^ Vя + (1 - т) (11УУ8 +

д£ ря от ря

др? л, ч f grad(рf) ? ?

Н—---1--т —~--Ькгаа(лг)у' + т--,-У-* шуу' =

дт т (1 - т

ря

др8

grad(рs) Vя

т

- grad(рf

+

+ div [(1 - + diу [mv^ = 0.

grad(рs) grad(рf)

Пренебрегая слагаемыми, содержащими отношения - и --.-. полу-

ря

р?

(1 - т) дря

др?

+ diу Vя + div [т (V? - Vя)] = 0.

(4)

ря р? дг

Считая, что объемные деформации минеральных частиц скелета грунта определяются давлением жидкой фазы, и учитывая слабую их сжимаемость, закон сжимаемости для минеральных частиц скелета грунта [4] можно записать в виде

1 д(р8

1 дР

где - модуль объемного сжатия минеральных частиц скелета грунта.

Принимая также во внимание слабую сжимаемость воды, справедливым будет соотношение

1 д{р*) _ 1 дР

т ~

где - модуль объемного сжатия воды.

Вводя обобщенный модуль всестороннего сжатия водонасыщенного грунта Ка{ в виде

т 1 - т т

К^ К, +

1

1

перепишем уравнение (4) в виде т дР

+ Vя + [т (V? — Vя)] = 0.

KBf дt

Закон фильтрации в форме Дарси Герсеванова определяется соотношением

(5)

т (лг? — Vя) = —- 1^гас1(Р) — р?, М

где к относительная проницаемость среды, и вязкость жидкости, ки = —gр?

М

коэффициент фильтрации.

Подставив соотношение закона фильтрации в преобразованное суммарное уравнение баланса масс (5). получим так называемое уравнение пьезопроводности

дР

К? дt

+ Vя — ёгу

М

(grad(P) — р? £

0.

(6)

Через егз- обозначим тензор малых деформаций скелета грунта

2 дх.1

где п\ - проекции вектора перемещений скелета грунта. Тогда вариационная форма уравнений (1) и (6) будет следующей [5. 6]:

аЗ6 ЗУ —

т5ц Р6 е^ ЗУ

а*6«я ЗБ + блдрбуя ЗУ,

(7)

V

где

ю * „с

а гз П = а г на Б а

т

дt

V

V

V

дt

-^гасЦР)

Ян

-Н* ) 5РЗБ+ М

div(6P) ЗУ — !(р?g) div(6P) ЗУ = 0, (8)

-^гаЛ(Р)-/ё)п=-Я,: на Бн.

ММ

2. Расчетная схема

Дискретизацию расчетной области проводим на основе трехмерного восьмиуз-лового конечного элемента, в качестве узловых неизвестных которого выбираются декартовы проекции вектора перемещений скелета грунта и поровое давление [7]. В рамках пзопараметрпческого подхода аппроксимация геометрии и неизвестных функций осуществляется по следующим соотношениям:

8

{Г} = £ ТгЩ^П^),

г=1

К} = £ ),

{р} = ^ ),

г=1

где п, ?) - линейные функции формы; п и ^ - локальные координаты.

Применяя конечно-элементную методику [8. 9]. систему вариационных уравнений (7). (8) можно свести к системе матричных уравнений вида

[К]{«}- [С]{р} = {/},

[М ]{р} + [С]Т {«7} + [Н ]{р} = {г},

где точка сверху обозначает частную производную по времени, {«} и {р} - вектора узловых перемещений скелета грунта и порового давления.

Для аппроксимации производной по времени от векторов {«} и {р} использовались соотношения

откуда

}={р1} -

Таким образом, на каждом шаге по времени приходится решать линейную систему уравнений вида

K C

Ст -M - Н— 2 J

qt+At

_pt+At

f t+At

[M] + + [C\T ^ + 4^} + {rt+At}

At_

Рассмотрена задача деформирования взаимодействующего с окружающим грунтом бетонного коллектора, проложенного под подземным переходом, при прокладке в непосредственной близости от него тоннеля строящейся линии метрополитена.

Проходка линии метрополитена схематично изображена на рис. 1. то есть расчетная область усложняется с появлением участка обделки метрополитена, причем его длина может меняться от нуля до длины расчетной области. При этом возможно действие распределенного по торцу тоннеля нормального давления на грунт. Величина нормального давления рассчитывалась из равенства суммарной нагрузки, создаваемой проходческим комплексом «LOVAT». 1200 т. Основной целыо расчета являлось определение положения и уровня напряженно-деформированного состояния в коллекторе. Для этого проводился трехмерный расчет грунтового массива зоны максимального взаимного сближения коллектора и обделки тоннеля метрополитена с учетом уровня грунтовых вод и расположенного выше подземного

Рис. 1. Схема расчетной области

перехода. В процессе численных экспериментов были определены оптимальные размеры расчетной области, которые обеспечивают «установление» напряженного состояния вблизи границ. Кинематические граничные условия формулируются на нижней и боковых границах объема грунта как отсутствие перемещений в направлениях. перпендикулярных к соответствующей грани.

В окрестности зоны сближения коллектора и строящейся линии метрополитена распределение грунтов таково, что их можно условно представить в трех видах. Схема распределения грунтов и размещение в них подземного перехода, коллектора н строящейся линии метрополитена приведены на рис. 2 и 3. Подземный переход представляется в виде толстостенного прямоугольного параллелепипеда, коллектор моделируется сплошной бетонной трубой без внешнего кожуха. Вся расчетная область находится под действием собственного веса.

Подземный переход, обделка тоннеля метрополитена и коллектор (рис. 1) сделаны из бетона, для которого принимались следующие характеристики: модуль упругости Е = 30000 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.2, плотность р = 2500 кг/м3.

Для насыпного грунта (грунт Л- 1) принимались следующие характеристики: модуль упругости Е = 1.4 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.19, коэффициент фильтрации = 1.4•Ю-1 см/с, плотность р = 990 кг/м3, располагается в верхней части грунтового объема (рис. 2 и 3).

Для суглинка мягкопластичного (грунт Л- 2) принимались следующие характеристики: модуль упругости Е = 12 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.325, коэффициент фильтрации = 2.6 • 10-5 см/с, плотность р = 1660 кг/м3, располагается в средней части грунтового объема (рис. 2 и 3).

Для доломита (грунт Л- 3), располагающегося в нижней части грунтового объема (рис. 2 и 3), принимались следующие характеристики: модуль упругости Е = 26 МПа, коэффициент Пуассона V = 0.46, плотность р = = 2130 кг/м3.

1 2

от 0 м до 62 м д

Рис. 2. Вид грунтового массива со стороны коллектора

20 м

12 м ф-

29 м

О

Рис. 3. Вид грунтового массива со стороны топпеля метрополитена

3. Результаты расчетов

В работе проводилось два типа расчетов: с учетом и без учета влияния грунтовых вод.

Перед началом расчета был проведен вычислительный эксперимент, который показал, что:

выбранные ранее размеры расчетной области дают возможность избежать влияния границ грунтового массива на положение и напряженное состояние коллектора в зоне его сближения со строящейся линией метрополитена:

для определения поля перемещений коллектора достаточно «грубой» сетки конечных элементов (порядка семидесяти тысяч конечных элементов):

для вычисления напряжений в коллекторе необходима сетка порядка миллиона конечных элементов.

В табл. 1 н 2 приведены максимальные нзгнбные напряжения в коллекторе в зависимости от длины построенной части обделки тоннеля метрополитена для сухого н водонасыщенного грунта соответственно. В табл. 3 приведены максимальные нзгнбные напряжения в коллекторе в зависимости от расстояния между коллектором и полностью построенной обделкой тоннеля для водонасыщенного грунта.

Заключение

Разработанная методика и созданное программное обеспечение позволяют рассчитывать широкий класс строительных сооружений с учетом их взаимодействия

Табл. 1

Относительные и абсолютные результаты первых главных напряжений и прогибов в коллекторе в зависимости от длины построенной части обделки топпеля метрополитена с учётом давления (водопасыщеппый грунт)

L, м 0 10 20 30 40 50 60

о"1, Мпа 2.91 2.93 2.80 3.25 3.66 3.58 3.63

Табл. 2

Относительные и абсолютные результаты первых главных напряжений в коллекторе в зависимости от длипы построенной части обделки топпеля метрополитена с учётом давления (сухой грунт)

L, м 0 10 20 30 40 50 60

о"1, Мпа 3.91 3.89 3.73 4.19 4.98 4.97 5.04

Табл. 3

Значения первых главных напряжений в коллекторе в зависимости от минимального расстояния между коллектором и обделкой топпеля при полностью построенном тоннеле (водопасыщеппый грунт)

м 0.5 1.0 1.5 2.0

(7i, Мпа 3.63 3.53 3.45 3.35

с сухими и водонасыщенными грунтами. Приведенный анализ коллектора свидетельствует о том. что:

при проходке метрополитена на расстояние, не превышающее 1 м от коллектора. напряжения в коллекторе возрастают не более чем на 20%:

водонасыщенне приводит к снижению напряжений в коллекторе.

Summary

D.V. Berezhnoi, Yu.G. Konoplev, L.R. Sekaeva. Investigation of interaction of building constructions with dry and water-saturated grounds.

The technique and results of calculation of the building constructions cooperating with dry and water-saturated grounds is presented. The calculations of the collector located near the lining of underground in Kazan are resulted.

Литература

1. Зарецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. Ростов п/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1989. 607 с.

2. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Госстройиздат. 1963. 636 с.

3. Николаевский В.Н. Геомехапика и флюидодипамика. М.: Недра, 1996. 448 с.

4. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

5. Бережной Д.В., Голованов А.И., Костерин А.В., Малкмп С.А. Разработка теоретических основ и реализация системы анализа и прогнозирования процесса извлечения

твердых нефтепродуктов // Нетрадиционные коллекторы нефти, газа и природных битумов. Проблемы их освоения. Материалы паучп. копф. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2005. С. 346 347.

6. Бережной Д.В., Голованов А,И,, Костерим A.B., Малкмн С.А. Процесс деформирования пористой матрицы сложной физической природы с учетом двухфазной фильтрации и температурного воздействия // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-мат. пауки. 2005. Т. 147, кп. 3. С. 49 56.

7. Фадеев A.B. Метод конечных элементов в геомехапике. М.: Недра, 1987. 221 с.

8. Секаева Л.Р., Бережной Д.В., Коноплев Ю.Г. Исследование взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водопасыщеппыми грунтами // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тр. XX Междупар. копф. СПб., 2003. Т. III. С. 156 159.

9. Бережной Д.В., Голованов А.И., Паймушии В.Н., Сидоров И.Н., Клементьев Г.А. Исследование напряженно-деформированного и предельного состояния сухих и водо-пасыщеппых грунтов // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тр. XIX Междупар. копф. СПб., 2001. Т. II. С. 82 86.

Поступила в редакцию 28.11.06

Бережной Дмитрий Валерьевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теоретической механики Казанского государственного университета.

Коноплев Юрий Геннадьевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Казанского государственного университета.

E-mail: Yori.KonoplevQksu.ru

Секаева Лилия Раилевна кандидат физико-математических паук, ассистент кафедры общей математики Казанского государственного университета.

E-mail: lsekaeva Qksu.ru