Исследование временного ряда динамики ввода жилья в России на основе фазового анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.45.69

И.С. Петров

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА ДИНАМИКИ ВВОДА ЖИЛЬЯ В РОССИИ НА ОСНОВЕ ФАЗОВОГО АНАЛИЗА

Экономические системы характеризуются параметрами, определяющими их состояние в любой момент времени. А поскольку количество параметров для реальных систем очень велико, построить точную модель практически невозможно. В связи с этим необходим выбор отдельных показателей, которые отражают наиболее существенные процессы, происходящие в системе. Эти показатели в совокупности принято называть фазовым пространством, а сами показатели - фазовыми переменными [2, с. 17]. Первоначально эти понятия появились в естественных науках, а впоследствии стали применятся для исследования различных систем, в том числе экономических [7, 8]. В словарном определении «метод фазового пространства - метод исследования динамических систем, основанный на изучении возможных движений системы в фазовом пространстве» [6, с. 572]. Данный метод позволяет представить развитие экономической системы во времени как кривую в фазовом пространстве. При исследовании формы этой кривой выявляются устойчивые состояния (аттракторы) и переходы с одного аттрактора на другой (бифуркации). В монографии [1] говорится следующее об этом методе: «Фазовый анализ с построением фазовых портретов и параметрических картин взаимозависимостей стал новой частью экономического анализа. Энциклопедия фазовых образов с их однозначным соответствием временным эквивалентам расширила и углубила представление об экономических процессах, поскольку явно использовала при построениях их первые производные» [1, с. 27]. Необходимо отметить, что фазовые кривые строят в разных системах координат. Во-первых, можно по оси абсцисс откладывать значение параметра в каждый отдельный мо-

мент времени, а по оси ординат - его цепной абсолютный прирост. Это означает, что используется не производная в классическом понимании, а ее дискретный аналог. Во-вторых, по оси ординат можно откладывать значения переменной в следующий момент времени. В-третьих, по оси ординат можно откладывать производную в классическом ее понимании, найденную специальными методами. Кроме того, полезным инструментом фазового анализа является построение взаимных параметрических зависимостей нескольких экономических показателей.

Рассмотрим примеры типовых временных рядов и соответствующих им фазовых кривых. Проанализируем затухающий, нарастающий и устойчивый колебательные процессы, выпуклые вверх и вниз параболические кривые. Необходимо отметить, что идея о создании энциклопедии фазовых портретов присутствует в [1], но мы поставили задачу не просто построить фазовые портреты различных функций, а построить их в привязке к графикам этих функций.

Затухающие колебания описываются следующим уравнением:

y = a ■ exp (-bt) sin at.

Производная этой функции

y' = a ■ exp (-bt)(-b ■ sin at + a ■ cos at).

График затухающего колебательного процесса и его фазовый портрет при а = 1, b = 0,2, ю = 2 приведены на рис. 1.

Из рис. 1 видно, что фазовый портрет затухающего колебательного процесса представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат. При этом число оборотов спирали совпадает с числом максимумов (минимумов) колебательного процесса.

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2012. Экономические науки

a)

1,0

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

2,5 2<

1,5

1

0,5

0,8 -0,6 -0,4ч ' 0 Ж-0,5 0 ^,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1

-2

Рис. 1. Затухающий колебательный процесс (а) и его фазовый портрет (б)

15

10

5

' 0

-8 -6 1 -4 \ к -2*S+ , 3 2 4 6

-10

-15

Рис. 2. Нарастающий колебательный процесс (а) и его фазовый портрет (б)

Нарастающие колебания описываются следующим уравнением:

y = a ■ exp (bt) sin raí.

Производная этой функции

y' = a ■ exp (bt) (b ■ sin raí + ra ■ cos raí).

График нарастающего колебательного процесса и его фазовый портрет (а = 1, b = 0,2, ю = 2) приведены на рис. 2.

Из рис. 2 видно, что фазовый портрет нарастающего колебательного процесса пред-

ставляет собой спираль, исходящую из начала координат. При этом число оборотов спирали совпадает с числом максимумов (минимумов) колебательного процесса.

Квадратичная зависимость описывается уравнением: у = а/2 + Ы + с, при этом если а > 0, то кривая выпукла вниз, а если а < 0, то вверх. Ее производная равна 2а/ + Ы. График выпуклой вниз квадратичной функции и ее фазовый портрет при а = 1, Ы = -10, с = 25 приведены на рис. 3.

y

у

у

а)

У

y

y

30 25 20 15 10 5 0

Рис. 3. Выпуклая вниз квадратичная зависимость (а) и ее фазовый портрет (б)

а)

30 25 20 15 10 5 0

15 10 5 0 -5 -10

10 12 -15

t

Рис. 4. Выпуклая вверх квадратичная зависимость (а) и ее фазовый портрет (б)

График выпуклой вверх квадратичной функции и ее фазовый портрет (при а = -1, Ь = 10, с = 0) приведены на рис. 4.

Из рис. 3 следует, что фазовый портрет выпуклой вниз квадратичной зависимости (точка минимума) представляет собой параболу, повернутую по часовой стрелке на 90° (визуально представляет собой левую половину овала). Согласно рисунку фазовый портрет выпуклой вверх квадратичной зависимости (точка максимума) представляет собой параболу, повернутую на 90° против часовой стрелки (визуально представляет собой правую половину овала).

В экономике кроме возрастающих и убывающих трендов часто встречаются устойчивые колебательные процессы. Они описываются уравнениями вида

y = a ■ sin at или y = a ■ cos at.

Рассмотрим фазовый портрет синусоидальных колебаний. Производная этой функции: y' = a a ■ cos at.

График функции синусоидальных колебаний и ее фазовый портрет (при а = 1, ю = 2) представлены на рис. 5, откуда следует, что фазовый портрет устойчивого колебательного процесса представляет собой эллипс.

а)

у

у

y

0

2

4

6

8

y

а)

1,5

1,0

0,5

-0,5

-1,0

-1,5

Рис. 5. Устойчивый колебательный процесс (а) и его фазовый портрет (б)

Рис. 6. Фазовая кривая временного ряда темпов прироста реального ВВП СССР за период с 1950 по 1991 гг. [2, с. 111]

Необходимо отметить, что в реальной экономике фазовые траектории сложнее и задачей исследователя является их интерпретация на основе разобранных выше ситуаций.

Наглядным примером использования фазового анализа в экономике для нахождения аттракторов и бифуркаций является фазовая кривая временного ряда темпов прироста реального ВВП СССР, представленная на рис. 6 [2].

Из рис. 6 следует, что существует три временных интервала: первый с 1950 по 1959, второй с 1960 по 1978 и третий с 1980 по 1990 гг., в которых фазовая кривая находится вблизи аттрактора. При этом переходами с одного аттрактора на другой в результате бифуркаций можно условно считать 1960 и 1979 гг.

По нашему мнению, построение фазовых портретов дает полезные результаты при исследовании экономических показателей, которые

у

у

0

у

4

^кономико-математические^&тоды^^одел^^

Точки для построения фазовой кривой динамики ввода жилья в Российской Федерации [3-5]

Год Объем ввода жилья, млн м2 (хг ) Цепной абсолютный прирост, млн м2 (у = Хг - Хг - 1) Год Объем ввода жилья, млн м2 (хг ) Цепной абсолютный прирост, млн м2 (уг = хг - х, _ 1)

1991 49,4 -12,3 2001 31,7 1,4

1992 41,5 -7,9 2002 33,8 2,1

1993 41,8 0,3 2003 36,4 2,6

1994 39,2 -2,6 2004 41,04 4,64

1995 41,036 1,836 2005 43,56 2,52

1996 34,3 -6,736 2006 50,55 6,99

1997 32,7 -1,6 2007 61,22 10,67

1998 30,7 -2 2008 64,058 2,838

1999 32,0 1,3 2009 59,892 -4,166

2000 30,3 -1,7 2010 58,431 -1,461

выражены как в денежных единицах измерения, так и в физических. Построим фазовую кривую жилищного строительства в России за период с 1991 по 2010 гг. Будем использовать сглаженные фазовые кривые, поскольку рассматриваемые процессы можно считать непрерывными. По оси абсцисс будем откладывать объем ввода жилья за соответствующие годы (хг ), а по оси ординат - его абсолютный цепной прирост (у = хг - хг _ 1). Исходные данные для построения кривой возьмем из следующей таблицы (см. таблицу).

На основе данных таблицы построим фазовый портрет динамики ввода жилья в Российской Федерации за период с 1991 по 2010 гг. (рис. 7).

На рис. 7 можно выделить две области со сходными величинами объемов жилищного строительства и темпов их прироста и переходный период между ними. Эти области в рамках теории самоорганизации можно интерпретировать как притягивающие множества в фазовом пространстве, или аттракторы. Предполагаемые аттракторы на рисунке имеют форму эллипса, что свидетельствует о наличии

устойчивого колебательного процесса, типичный пример которого приведен на рис. 5. В первом аттракторе продолжительностью 14 лет система находилась в период с 1992 по 2005 гг. Среднее значение объема ввода жилья на этом аттракторе составляет 36,43 млн м2. Точку 2005 г. со значением объема ввода 43,56 млн м2 можно назвать точкой бифуркации. После этого в период с 2005 по 2007 гг. система переходила на другой аттрактор. Этот период характеризуется резким увеличением объема ввода жилья в эксплуатацию со значения 43,56 млн м2 в 2005 г. до 61,22 млн м2 в 2007 г. Затем в период продолжительностью четыре года (2007-2010) система находилась на другом аттракторе. Среднее значение объема ввода жилья на этом аттракторе составляет 60,9 млн м2.

В заключение необходимо отметить, что применение фазового анализа для исследования временных рядов в экономике является одним из способов выявления притягивающих множеств в фазовом пространстве, или аттракторов. Применение этого метода дает полезные результаты при исследовании

Научно-технические ведомости СПбГПУ 1' 2012. Экономические науки

15

Объем ввода жилья, млн мг

Рис. 7. Фазовый портрет динамики ввода жилья в Российской Федерации за период с 1991 по 2010 гг.

экономических показателей, которые выражены как в денежных единицах измерения, так и в физических. Исследование временного ряда жилищного строительства в России за

период с 1991 по 2010 гг. позволило выявить два периода со сходными объемами строительства жилья и переходный период между ними.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Винтизенко, И.Г. Экономическая цикломатика [Текст] / И.Г. Винтизенко. - Ставрополь: Агрус, 2008. -425 с.

2. Мясников, А.А. Синергетические эффекты в современной экономике: введение в проблематику [Текст] / А.А. Мясников. - М.: Ленанд, 2011. - 160 с.

3. Регионы России. Социально-экономические показатели. 2010 [Текст] : стат. сб. / Росстат. - М., 2010. - 996 с.

4. Регионы России. Социально-экономические показатели. 2008 [Текст] : стат. сб. / Росстат. - М., 2008. - 999 с.

5. Регионы России. Социально-экономические показатели. 2004 [Текст] : стат. сб. / Росстат. - М., 2004. - 966 с.

6. Словарь по кибернетике [Текст] / под ред. акад. В.М. Глушкова. - Киев: Полиграфкнига, 1979. - 624 с.

7. Хакен, Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам [Текст] / Г. Хакен. - М.: Мир, 1991. - 240 с.

8. Shone, R. Economic Dynamics. Phase Diagrams And Their Economic Application [Text] / R. Shone. -N. Y.: Cambridge University Press, 2002. - 708 p.