Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 1. Основные соотношения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Овчинников Илья Игоревич

Ovchinnikov Ilya Igorevich

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

410054, Саратов, ул Политехническая, 77

Доцент/docent 05.23.17 Строительная механика

E-Mail: bridgeart@mail.ru

Овчинников Игорь Г еоргиевич

Ovchinnikov Igor Georgievich

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

614600, Пермь, ул. Королева 19.

Профессор/professor

05.23.17

E-Mail: bridgesar@mail.ru

Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 1. Основные соотношения

Investigation of influence of the liquid metal environment on the behavior of the

thick-walled pipe. 1. basic relations

Аннотация: Приведены уравнения модели деформирования и разрушения материала, взаимодействующего с жидкими металлами в условиях сложного напряженного состояния. Получены разрешающие уравнения толстостенной трубы, обезуглероживающейся в жидком натрии.

The Abstract: The equations of deformation and damage for the material that interacts with liquid metals in a complex stress state are given. Resolving equations of thick-walled tube under de-carburization of liquid sodium were obtained.

Ключевые слова: Моделирование, ползучесть, накопление повреждений, жидкие металлы, долговечность, толстостенная труба.

Keywords: Modeling, creep, damage accumulation, liquid metals, durability, thick-walled

pipe.

***

Введение. В статьях [1,2] описана модель деформирования и разрушения одномерных конструктивных элементов, подвергающихся обезуглероживанию в жидком натрии, определены значения коэффициентов модели и исследовано поведение стержневого элемента круглого поперечного сечения, взаимодействующего с жидкометаллической средой (натрием).

При описании поведения материала с учетом влияния обезуглероживания полагалось, что полная деформация 8 складывается из упругой деформации и деформации ползучести р:

£ = S E + р, (1)

где Е- модуль упругости. Уравнения ползучести принимались в виде, описывающем все три стадии ползучести:

врежденности.

Влияние обезуглероживания на кинетику деформирования и разрушения учитывалось зависимостью модуля упругости материала Е(С) и коэффициентов уравнений (2) и (3) от концентрации углерода С в виде:

Здесь х(С) отношение предела длительной прочности для образцов с некоторой концентрацией С к пределу длительной прочности образцов с исходной (базовой) концентрацией

Для определения концентрации углерода С в точке конструкции используется уравнение диффузии, которое для случая осесимметричной задачи имеет вид:

где г - текущий радиус, Б - коэффициент диффузии углерода, учитывающий влияние уровня поврежденности материала на кинетику перемещения углерода следующим образом:

где Во - коэффициент диффузии углерода в неповрежденном материале, а, в - коэффициенты, учитывающие влияние поврежденности П на процесс диффузии, С0 - С характеризует потери концентрации углерода в точке элемента конструкции.

К уравнению (4) следует присоединить соответствующие начальные и граничные условия.

В работе [2] было исследовано поведение стержневого конструктивного элемента, находящегося в одномерном напряженном состоянии и взаимодействующего с жидкометаллической средой и показаны эффекты, к которым приводит учет влияния обезуглероживания, вызванного действием жидкометаллической среды.

Однако реальные конструкции обычно работают в условиях сложного напряженного состояния, поэтому представляет интерес исследовать влияние жидких металлов на поведение сложнонапряженных конструкций в условиях контакта с жидкими металлами

(2)

сп в оп

, П (0) = 0, П Цр) = 1;

С (1 -П) п+8

(3)

Здесь ^р - время до разрушения; А, а, к, В, п, 8, л - коэффициенты, П - параметр по-

Е(С) = Ьо + Ь] С

А = А С(С)-к, В = Во С(С)-п.

Со,

С(С) = 1 -у(Со - С1).

(4)

Б (П) = Во (1 + аПв) ,

1. Учет обезуглероживания при расчете конструкций, находящихся в условиях сложного неоднородного напряженного состояния

Для расчета элементов конструкций, находящихся в условиях ползучести при сложном неоднородном напряженном состоянии нужно обобщить уравнения (2) и (3) на случай сложного напряженного состояния, а также ввести гипотезу о том, что механические свойства в точке элемента конструкции с концентрацией углерода С такие же, как и в образце с однородной концентрацией С.

В случае сложного напряженного состояния, уравнения (2) и (3) принимают вид:

Ф./й = А'РГ(1^ир)к.Р(0) = 0, (5)

ЛП/ Л = В - <„/(1 - П)"+5, П(0) = 0, П(Г„) = 1. (6)

Здесь ри - интенсивность деформаций ползучести; ои - интенсивность напряжений; оэкв

- эквивалентное напряжение. Для приращений компонент тензора деформаций ползучести справедливы следующие уравнения:

Лр, О - 0,5 • (оу + О). Лр._

Л о Л ’

и

Лру = о у - 0,5 •(Ох + ^ Лр^

Л ои Л ,

(р = О - 0,5 (Ох +°у ) • ЛРи_

Л ои Л ,

ЛРху =3у Лри Лру^ = з_г^ ^

Л о. Лг ’ Л о. Л ’ Лг о Лг ’

и и и

где Рх, Ру, Рг, Рху, Рх1, Руг - компоненты деформаций ползучести Ох, Оу, Ог, Тху, Тхг, Туг - компоненты тензора напряжений.

В качестве эквивалентных напряжений оэкв для длительного статического нагружения и в условиях сложного напряженного состояния обычно используют критерии эквивалентных напряжений И.А.Биргера [3], А.Джонсона [4], В.П.Сдобырева [5], И.И.Трунина [4] и других [6,7].

Такой подход позволяет свести действие сложного напряженного состояния к действию одноосного растягивающего напряжения. Выбор конкретного вида эквивалентного напряжения обычно опирается на оценку разрушения при сложном напряженном состоянии и учитывает характер разрушения - вязкое, хрупкое, смешанное. Для элементов конструкций подвергающихся обезуглероживанию под воздействием жидкого металла характерно увеличение пластичности, поэтому в дальнейшем для них в качестве эквивалентного напряжения разумно использовать интенсивность напряжений, которая обычно применяется как критерий прочности в случае вязкого разрушения.

Трубчатые элементы конструкций являются основными конструктивными элементами теплообменного оборудования с жидкометаллическими теплоносителями. Условия эксплуа-

тации таких конструкций предполагают длительное совместное воздействие механических нагрузок, высокой температуры и жидкометаллической среды.

2. Моделирование поведения толстостенной трубы в условиях осесимметричной деформации, взаимодействующей с жидкометаллической средой

Рассмотрим толстостенную трубу с внутренним радиусом Яа; наружным радиусом Яь, находящуюся под действием внутреннего давления да и наружного давления дь . Жидкометаллическая среда находится снаружи трубы. Полагая, что труба отнесена к цилиндрической системе координат г, в, 2 запишем физические соотношения в приращениях, при этом будем считать, что приращения полных деформаций складываются из приращений упругих и температурных деформаций и деформаций ползучести

Аег = Аруг + Ар; +Арг ;

Ар0 = А£ + Ар +Ар0 ; (7)

Ар2 = Ару2 + Арт2 +Ар2 ;

Кру А£у А£у - -

1ЛЬг ч1-*^0?^ь 2 - соответственно приращения радиальной, окружной и осевой упругих деформаций, которые определяются следующими выражениями:

Л у 1 А У Л п А Ог-V• (Ов+О2)

Аруг = — • Аог--------Ао0---------Ао2--------г--------г9----— • АЕ;

г Е Е Е Е

А у 1 А п . V О&-У^ (Ог +О2) _

Ар9 = у АО® - Е' г - Е АО>-------------------9-------Ег"----- •АЕ; (8)

А у 1 А V . V . О2-п^ (Ог +О&)

ар = — • Ао2----------Ао2---------Ао0--------2------1-2г----— • АЕ;

2 Е 2 Е 2 Е Е2

где Ог О ,О2 - соответствующие напряжения, V - коэффициент Пуассона, Е = Е(С,

Т) - модуль упругости, зависящий от концентрации углерода и температуры;

Артг , Ар, Ар - соответственно приращения температурных деформаций, причем:

Ар = Ар = Ар = Т • Аа + а • АТ (9)

Дрг, Др0, Др, - соответственно приращения радиальной, окружной и осевой деформаций ползучести, определяемые выражениями:

. Ог - 0,5 .(а0 + а,)

Др =_^---------^.О--------^ ,Дри .

а,

Ар -°в- 0,5'(^ ) Ар .

Др0 ---------------------------Дри ; (10)

. аг — 0,5 (аг + а0) .

Др -_^-^ . Дри ;

аи

Приращения интенсивности деформаций ползучести Ари — р(^) — р(^;-1) за шаг

времени определяются из кинетических уравнений ползучести (5) и накопле-

ния повреждений (6). Записывая физические соотношения (7) с учетом (8), (9), (10), имеем:

а 1 а V . V а °г _у. (^0+^г )Аг7

Де — ■ Даг----------Да0----Да, —г----Ч0------— ДЕ +

ГЕ Е Е

, аг — 0,5. (а0 + а,)

а

Е2 '

+Т Т Д а + а Д

—а0 — v•(аr + а2)

Е2

+Т Т Д а + а Д

а _V•(Or +О0 )

Е2

и

Де0 —.Да0 _—.Даг —— Да, ———' у\г 2!ДЕ +

0 Е Е Е

+ а0— 0,5.(аг + а,) ^

а 1

Де,!- Да, — — ■ До, — — Даа—-■— '-/■-»' ДЕ +

+ а, — 0,5-(аг + °в). Др^ + т. Да+а-ДТ. (11)

(°и

Полагая, что е, — 0 или Де2 — 0 получим из (11):

Да, - — ■ (Да, +Да0) +°г ~У(-°Г +°0)ДЕ—Е(а, — 0,5.(а, +а0))Дри —

Е аи

— Е. (Т. Да + аДТ). (12)

Подставляя теперь (12) в первые два выражения из (11), имеем:

1 V V2 V2

Дег - — ■ Даг-----Да0--------Да,-------Да0 —

г Е г Е Е г Е

V V

——^-(а, —v(аr +а0 ))•ДЕ+—(а,— 0,5 • (а +а0 ))Дри +

Е2 а.

и

+^ (Т. Да + аДТ) — а±а). ДЕ + а — 0,5'<ав + а--). Дри +

Е2 аи

+ Т. Да + аДТ (13)

1 V V2 V2 V

Де0 —ТТДа0 —-^ Даг —-^ Даг —-^.Да0 —-^ (а- — 0,5 (аг +а0 ))ДЕ +

Е Е Е Е Е

V

+ — (а, — 0,5. (а, +а0)). Дри +v• (Т. Да + аДТ) —

аи

-а0-V^(о г + а,). ДЕ +а0— 05(аг + а,). Др + Т. Да+а.ДТ (14)

Е аи Ги

Уравнения равновесия в приращениях в данном случае имеет вид:

йДаг Даг — Да0 п

+-----г------0 — 0 (15)

аг г

Откуда получим выражение для Да0 :

л л аДаг

Да0—Даг + Г ~ . (16)

аг

Подставляя выражения (13) в уравнения неразрывности деформаций, которое в приращениях записывается так:

аДе& Дег — Де0

а,

(17)

и принимая во внимание (16), после некоторых преобразований получим следующее дифференциальное уравнение:

а +р(г). +®(,).Да,—р (г), (18)

где обозначено

„м 3 1 аЕ

р(г)—(19>

^(r) — ^-----------------------------------------------1-Г •(*-V — 2 V2). ^ , (20)

е.,.(1—V ) а,

Е (г) — Е1(г). ДЕ + Е2(г ). ДРи + Е3(г). ДТ + Е4(г). Да + аДЕ аДРи аДТ аДе

+ Е5(г). -~Г + Е6(г). -Г- + Е7(г). ~Г + Г8(г).—^~, (21)

аг аг аг аг

г

Здесь

() — ( 1 2 V ёЕ) ( 1 2•(v — 1) ёЕ л

Е. (V — 1). г2 Е 2(1 — V2). г йг г Е. (1 —V). г2 Е 2(1 — V2). г йг )

Е. (у2 — 1). г а, Е .(1 + у ). г Ф

3 Е Е аи

РЛг)—(:гдУ07 у{аг ~а0)+<а^(v-1). г уаг+

+ ( Е(2 — V)2 ),ав + ( E^<2у-» ).а, +

2.(1 — V ) аи -г аг 2.(1 — V ). аи -г аг

. Е. (1 — 2 V) <аа,

+(^г~п—^^' ~г~, (22)

2.(1 —у) аи'Г аг

Е аа Е аТ

Е3(г) —------------, Р.(г) —--------------,

(V—1). г а, (V—1) а,

р (,) — v•аr + (V — 1).а0 р — (1 + у)а +(у — 2).°0+(1 — 2у) а, Е 5 Е. (V — 1)., ’ 6 (1—V2). аи■, ,

р7(,) — ^ , р8(,)— Т Е

(V — 1). , (V — 1). ,

Граничные условия для уравнения (18) имеют вид:

, — К, Да, — 0; , — Яь, Да — 0. (23)

Уравнение (18) с граничными условиями (23) является основным разрешающим уравнением, описывающим деформирование и разрушение толстостенной трубы, взаимодействующей с жидкометаллической средой на шаге по времени . Для получения полной системы разрешающих уравнений к уравнению (18) с граничными условиями (23) следует присоединить уравнения (5) и (6), описывающие кинетику процессов ползучести и накопления повреждений, уравнение диффузии углерода (4), закон распределения температуры по толщине трубы (или уравнение теплопроводности) и зависимости Е — Е(С, Т),

а — а(С, Т) и зависимости коэффициентов выражений (5) и (6) от С и Т. К каждой группе уравнений следует добавить соответствующие граничные и (или) начальные условия.

Вывод. Получена система разрешающих уравнений, описывающих кинетику ползучести и накопления повреждений материала в условиях сложного напряженного состояния. С использованием этих уравнений получены уравнения деформирования и разрушений толстостенной трубы, подвергающейся обезуглероживанию вследствие контакта с жидким металлом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Овчинников И.И. Построение и идентификация модели деформирования и разрушения металлов, взаимодействующих с жидкометаллической средой // Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 3, с. 1- 11.

2. Овчинников И.И. Моделирование поведения стержневого элемента, взаимодействующего с жидкометаллической средой// Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 3, с. 111.

3. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А.Биргера и Б.Ф.Шорра. - М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.

4. Писаренко Г.С, Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном

напряженном состоянии. - Киев: Наукова

думка, 1976. - 415 с.

5. Сдобырев В.П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоянии // Изв.

АН СССР. Механика и машиностроение. - 1959. - № 6. - с.93-99.

6. Кац Ш.Н. Исследование длительной прочности углеродистых труб// Теплоэнергетика. - 1955. - № 11. - с. 37-40. .

7. Стасенко И.В. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы // Изв. вузов: Машиностроение. - 1974. - № 2. - с. 14-17.

8. Овчинников И.И., Овчинников И.Г. Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 1 . Основные соотношения// Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 4.

9. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

10. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач: Пер. с англ.

- М.: Мир, 1982. - 296 с.

11. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. - М.: Наука, 1975. - 227 с.

12. Коренев В.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. - М.: Наука, 1980.

- 400 с.

13. Лыков Д.З. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 595 с.

14. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач

теплопереноса. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

15. Степанов Р.Д., Шленский О.Ф. Расчет на прочность конструкций из пластмасс, работающих в жидких средах. - М.: Машиностроение, 1981. - 136 с.

16. Овчинников И.Г., Салихов А.Ю. Нелинейный анализ толстостенного цилиндра методом последовательных возмущений параметров // Строительная механика и расчет сооружений, 1992, № 1

17. Овчинников И.Г., Хвалько Т. А. Работоспособность конструкций в условиях высокотемпературной водородной коррозии. Изд-во СГТУ. Саратов, 2003. 176 с.

Данная работа выполнена в рамках работы над грантом РФФИ № 12-01-31130 Мол а «Нелинейные модели деформирования и методы определения долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами и полями».