CC BY
18
#4(721) 2020
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
15
УДК 62.231 doi: 10.18698/0536-1044-2020-4-15-22
Исследование влияния податливости подшипника на работу планетарно-цевочной передачи
М.М. Ермолаев, Ю.В. Синицына
МГТУ им. Н.Э. Баумана
A Study of the Influence of the Bearing's Flexibility on the Operation of a Cycloidal Gear Drive
M.M. Ermolaev, Y.V. Sinitsyna
Bauman Moscow State Technical University
Выполнена оценка податливости подшипника, а также степени ее влияния на работу планетарно-цевочной передачи. Отмечена актуальность учета податливости подшипника в расчетах. Показано как она влияет на распределение сил по цевкам и на смещение положения самой нагруженной цевки от полюса зацепления к оси симметрии такой передачи. Рассмотрен метод расчета сил в цевках с учетом податливости подшипника для планетарно-цевочных передач типа KHV и 2KV. Приведены схемы распределения сил по цевкам без учета и с учетом податливости подшипника для двух типов передач. Проведен эксперимент, подтверждающий необходимость учета податливости подшипника. Проанализирована применимость указанных методов для расчета разных типов планетарно-цевочных передач.
Ключевые слова: планетарно-цевочная передача, многопарное зацепление, податливость подшипника
The paper presents a study of the influence of the bearing's flexibility on the operation of a cycloidal gear drive and highlights the importance of taking the bearing's flexibility into account when performing calculations. It shows how flexibility affects force distribution across the pins and the displacement of the most loaded pin from the pitch point towards the gear's axis of symmetry. A method of force calculation for the KHV and 2KV type gears taking into account the bearing's flexibility is considered. Schematic diagrams of force distribution across the pins with and without taking the bearing's flexibility into account are presented for two types of gearing. An experiment is performed that confirms the necessity of taking the bearing's flexibility into account. The applicability of the method for calculating various types of cycloidal gear drives is analyzed.
Keywords: cycloidal gear, multiple-tooth contact, bearing flexibility, machining tolerance
Современное машиностроение требует, чтобы передачи обладали такими свойствами, как компактность, жесткость и точность [1]. Этим характеристикам соответствует планетарно-цевочная передача (ПЦП), широко применяемая в качестве поворотных осей станков, манипуляторов и другого технологического оборудования. Для достижения указанных требований используют многопарное зацепление.
Однако это приводит к тому, что ПЦП образует статически неопределимую систему, вследствие чего к ее изготовлению предъявляются особые требования по точности и усложняется силовой расчет. Существенный вклад в точность ПЦП вносит жесткость подшипника [2, 3]. Таким образом, разработка новых моделей такой передачи, их оптимизация, производство и внедрение — достаточно дорогие процессы.
16
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#4(721) 2020
Традиционный метод расчета предполагает [4-6], что все детали ПЦП абсолютно жесткие, кроме мест контакта сателлита с цевками. Недостатки этого метода отмечали разные ученые. В.Н. Кудрявцев рекомендует учитывать погрешности изготовления передачи, повышая максимальную расчетную нагрузку на 35 % [4].
В.М. Шанников [5] обращает внимание на то, что неточности изготовления ПЦП приводят к тому, что в контакте с сателлитом оказывается только треть цевок, но не объясняет, как это обстоятельство учитывать в расчете. И.В. Сигов показывает, что самая нагруженная цевка в таком случае должна быть смещена в сторону действия крутящего момента относительно цевки, находящейся напротив полюса зацепления, но также не предлагает соотношений для оценки ее положения [6].
Цель работы — создание метода расчета ПЦП, учитывающего податливость мест контакта сателлита с цевками, а также сателлита и механизма параллельных кривошипов (МПК).
Рассмотрим наиболее перспективные ПЦП, выполненные по схемам KHV и 2KV (рис. 1) [4]. ПЦП типа KHV (рис. 1, а) компании Sumitomo состоит из ведущего вала с эксцентриком h, который сообщает сателлиту f вращательное движение, ограниченное механизмом параллельных кривошипов w относительно выходного вала s.
Передача типа 2KV фирмы Nabtesco (рис. 1, б) включает в себя солнечное колесо с эвольвент-ными зубьями a, зацепляющееся с несколькими сателлитами с эвольвентными зубьями g на эксцентриковых валах h, циклоидальные сателлиты f, связанные с цевочным колесом b, и водило s. Поскольку эксцентриковых валов несколько, они выполняют функцию МПК.
Расчетная модель ПЦП, построенная традиционным методом [5-7], приведена на рис. 2, а. Под действием внешнего крутящего момента T приложенного к обойме, она поворачивается на угол р. Трением в контакте пренебрегают, передача изготовлена без погрешностей.
С учетом этих допущений сила в i-й цевке [8, 9] определяется выражением
F = r 8, = r P(P х Ni), (1)
где r — жесткость контакта i-й цевки с сателлитом; 8, — сближение в контакте сателлита с г-й цевкой; P — радиус-вектор профиля трохоиды в месте контакта с г-й цевкой; N, — нормаль к трохоиде в месте контакта с г-й цевкой (рис. 3).
Тогда сумма моментов будет равна моменту, приложенному к обойме:
Z(Pi х N, )2 р = T. (2)
После подстановки выражения (1) в формулу (2) сила в цевке приобретает вид
T sin (zcti)
Fi =--, -,
4(ezc )2 ^/1+ X2 -2Xcos(zct{)
где e — эксцентриситет передачи; zc — число зубьев сателлита; tг — координата г-й цевки, ti = 2ni/zp (zp — число цевок); X — коэффициент укорочения троходиды.
В предлагаемом методе расчета все детали приняты жесткими [10], а подшипники податливыми (рис. 2, б). Таким образом, под действием внешней нагрузки сателлит перемещается на величину u в сторону оси x и на величину v в сторону оси у, а сателлит и обойма поворачиваются на угол а и р соответственно [11].
Рис. 1. Кинематические (слева) и конструктивные (справа) схемы ПЦП типа KHV компании Sumitomo (а) и типа 2KV фирмы Nabtesco (б)
#4(721) 2020
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
17
а б
Рис. 2. Расчетные модели ПЦП, построенные традиционным (а) и предлагаемым (б) методами
Запишем эти четыре неизвестных параметра в виде вектора х = {u v а р}т. Вектор х влияет на вектор локальных перемещений в связях Si (I = 1, ..., п, п — общее число связей) и определяется как
6; = Б;X,
где Б; — матрица преобразования вектора положения сателлита и обоймы в вектор локальных перемещений.
Нагрузки, действующие со стороны связей на сателлит в направлении вектора локальных перемещений, имеют вид
Д = Б;6;,
где — матрица преобразования вектора локальных перемещений 6; в вектор Д. Вектор внешних нагрузок
И
гц у
0
т
где Рцх и Рцу — проекции центробежной силы (действующей на сателлит) на оси координат х и у.
После некоторых преобразований, используя принцип возможных перемещений, получаем
£ Б? Б; Б; 1 X = И.
V; =1 У
Рассмотрим различные типы связей, а также матрицы преобразований Б; и для них. Для точек контакта сателлита с р-й цевкой матрица преобразования вектора положения сателлита и обоймы в вектор локальных перемещений имеет вид
Б =
рх
ру
РрхМру — РруМрх
е (Ыру соб ф - Ырх Бт ф) + РрхМ ру РруЫ рх
где Ырх и Ыру — координаты нормали к тро хоиде; Ррх и Рру — координаты радиуса-векто
Рис. 3. Графическое изображение векторов, характеризующих геометрию зацепления
18
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#4(721) 2020
ра в точке касания с р-й цевкой; ф — угол поворота эксцентрикового вала.
Матрица для преобразования вектора локальных перемещений бр в вектор Бр (при 8р > 0) содержит один компонент и может быть определена из соотношения
О Р =■
\р при бр > 0;
0,1 Н/мм при бр < 0,
где Гр — жесткость контакта сателлита с р-й цевкой.
Для точек контакта сателлита с /-м пальцем МПК матрица преобразования вектора положения сателлита и обоймы в вектор локальных перемещений имеет вид
в / = <!
Я/х
М/у
Р/хЫ/у - Р/уЯ/х 0
где Ы/х и Ы/у — координаты нормали к пальцу в точке касания; Р/х и Р/у — координаты точки касания с /-м пальцем.
Матрица О/ будет аналогична матрице Ор. Для учета положения подшипников использованы матрица
В, =■
|1 0 -РЪу 0 0 1 Ръх 0
Рис. 4. Кинематические схемы ПЦП типа 2КУ (а) и КНУ (б) для проведения экспериментов (М — электродвигатель)
Рис. 5. Конструктивная схема испытательной установки
и матрица преобразования перемещений в силы
Оъ =
0
где РЪу и РЪх — координаты центра подшипника; гъ — жесткость подшипника, которую можно найти по зависимостям, приведенным в диссертации [12].
Так как заранее неизвестно количество работающих цевок, задачу решали итеративно.
Для оценки достоверности предлагаемого метода спроектировали и изготовили установку, позволяющую испытывать ПЦП типа 2КУ (рис. 4, а) и КНУ (рис. 4, б) с одним сателлитом.
Испытательная установка, конструктивная схема которой приведена на рис. 5, состоит из двух кронштейнов 1, к которым прикреплена пластина 2 с корпусом редуктора, а также три блока 3 для отклонения троса 4. Цевки, вставленные в обойму 5, представляют собой опорные ролики 6. Для моделирования эксцентриковых валов на свободные валы ПЦП устанавливают эксцентрики с подшипниками 7, а для моделирования МПК вместо эксцентриков используют втулки 8, имитирующие пальцы.
Количество работающих цевок устанавливали при нагружении грузами 9 массой 5 кг. Общая нагрузка составила 30 кг.
Экспериментальные данные по распределению нагрузки в цевках ПЦП типа КНУ с неметаллическим сателлитом отражены на рис. 6, а.
а б
Рис. 6. Экспериментальные данные по распределению нагрузки в цевках передач типа КНУ (а) и 2КУ (б)
После проведения испытаний определено число цевок, находящихся в контакте. Нагруженные цевки помечены черным цветом.
Как видно из рис. 6, а, число нагруженных цевок ПЦП типа КНУ составило 11. Количественная оценка сил, действующих со стороны цевок на сателлит, является трудной задачей вследствие неизбежного влияния средств измерения на баланс податливостей системы, что приводит к существенному изменению измеряемых нагрузок. Однако если нагружение крутящим моментом проводить ступенчато, то можно оценить приращение числа входящих в контакт цевок и косвенно подтвердить результаты расчета, полученные с помощью предлагаемого метода.
Аналогичным образом исследовали ПЦП типа 2КУ. Результаты испытаний приведены на рис. 6, б. Для такой передачи нагружено всего 9 цевок.
Согласно экспериментальным данным, у ПЦП типа КНУ больше нагруженных цевок, чем у ПЦП типа 2КУ. Это обусловлено дополнительной реакцией, создаваемой МПК.
Расчетные данные по распределению нагрузки в цевках ПЦП типа КНУ и 2КУ с податливым и абсолютно жестким подшипниками
приведены на рис. 7, где видны силы действия связей на сателлит. Красным цветом обозначены силы цевок, зеленым цветом — пальцев, синим — подшипников.
Расчетные данные, как и экспериментальные, показывают, что у ПЦП типа КНУ число нагруженных цевок больше, чем у ПЦП типа 2КУ. Однако эти числа, полученные путем расчета и эксперимента, различаются. Это может свидетельствовать о погрешностях при механической обработке, которые также следует учитывать при расчете.
На рис. 7, а приведены расчетные данные ПЦП с податливым подшипником, а на рис. 7, б — с абсолютно жестким [13-15]. Этот случай дает те же результаты, что и традиционный метод с абсолютно жесткими деталями, т. е. не учитывает реакцию от МПК.
Как видно, результаты, полученные путем эксперимента и расчета по предлагаемому методу, хорошо сходятся, в то время как традиционный метод расчета обеспечивает хороший результат лишь для ПЦП типа 2КУ. Это объясняется податливостью подшипника на эксцентрике [16] и реакцией МПК. Самая нагруженная цевка оказывается смещенной в направлении внешнего момента.
20
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#4(721) 2020
Выводы
1. При расчете ПЦП с МПК необходимо учитывать реакцию пальцев, которая приводит к увеличению максимальной нагрузки на цевку в 3 раза, смещению максимально нагруженной
Литература
цевки в сторону внешнего момента и вводу в работу «лишних» цевок.
2. Разработанный метод расчета учитывает четыре степени свободы ПЦП. Данные, полученные с его помощью, хорошо согласуются с результатами эксперимента.
[1] Иванов А.С., Ермолаев М.М., Муркин С.В. К расчету и конструированию современных
мотор-редукторов. Современное машиностроение. Наука и образование, 2014, № 4, с. 377-388.
[2] Warda B., Duda H. A method for determining the distribution of loads in rolling pairs in cy-
cloidal planetary gear. Tribologia, 2017, № 1, с. 105-111.
[3] Фомин М.В., Иванов А.С., Ермолаев М.М. Расчет опор качения планетарно-цевочного
редуктора. Справочник. Инженерный журнал с приложением, 2014, № 1, с. 29-34, doi: 10.14489/hb.2014.01.pp.029-034
[4] Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи. Ленинград, Машиностроение, 1966. 308 с.
[5] Шанников В.М. Планетарные редукторы с внецентроидным зацеплением. Ленинград,
Машгиз, 1948. 173 с.
[6] Сигов И.В. Исследование планетарно-цевочного редуктора. Передачи в машинострое-
нии. Москва, Машгиз, 1951, с. 44-58.
[7] Киреев С.О., Ковалев В.Н. Структура, кинематика и геометрия планетарных передач
с внецентроидным цевочным зацеплением. Новочеркасск, НГТУ, 1995. 98 с.
[8] Иванов А.С., Ермолаев М.М., Чиркин А.В., Синицына Ю.В. Расчет планетарно-
цевочной передачи с учетом упругих деформаций сателлита. Современное машиностроение. Наука и образование, 2016, № 5, с. 464-475, doi: 10.1872/MMF-2016-45
[9] Иванов А.С., Ермолаев М.М., Чиркин А.В., Синицына Ю.В. Метод расчета планетар-
но-цевочной передачи. Машиностроение и техносфера XXI века. Сб. тр. XXII Меж-дунар. науч.-техн. конф., Севастополь, 14-19 сентября 2015, т. 1, Донецк, МСМ, 2015. 226 с.
[10] Синицына Ю.В., Ермолаев М.М. Модели оценки распределения нагрузки в планетар-но-цевочных передачах. Механики XXI веку. Матер. XVIIIВсерос. науч.-техн. конф. с международным участием, Братск, Изд-во БрГУ, 2019. 332 с.
[11] Заварзин Д. А., Зайцева О.Ю. Исследование распределения нагрузки по элементам планетарно-цевочной передачи. Политехнический молодежный журнал, 2017, № 8, doi: 10.18698/2541-8009-2017-8-155. URL: http://ptsj.ru/articles/155/155.pdf
[12] Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте. Дис. ... д-ра техн. наук. Москва, ИМАШ РАН, 2014. 213 с.
[13] Chmurawa M. Distribution of loads in cycloidal planetary gear. Proceedings of the International Conference Mechanics, Kaunas, Lithuania, 11-15 October 1999, vol. 99, pp. 92-100.
[14] Tsetserukou D.O., Basinuk, V.L., Mardosevich, E.I., Neviarouskaya, A.V. Contact force distribution among pins of trochoid transmissions. 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, 15-21 August 2004, Warsaw, Poland, 2004.
[15] Dong X., Deng J., Chen J. Force analysis of RV transmission mechanism. Journal-shanghai Jiao tong university, 1996, vol. 30, pp. 65-70.
[16] Huang C.-H., Tsai S.-J. A study on loaded tooth contact analysis of a cycloid planetary gear reducer considering friction and bearing roller stiffness. Journal of Advanced Mechanical Design, Systems, and Manufacturing, 2017, vol. 11, no. 6. JAMDSM0077, doi: 10.1299/jamdsm.2017jamdsm0077
References
[1] Ivanov A.S., Ermolayev M.M., Murkin S.V. To the calculation and design of modern gear
motors. Sovremennoye mashinostroyeniye. Nauka i obrazovaniye, 2014, no. 4, pp. 377-388 (in Russ.).
[2] Warda B., Duda H. A method for determining the distribution of loads in rolling pairs in cy-
cloidal planetary gear. Tribologia, 2017, no. 1, pp. 105-111.
[3] Fomin M.V., Ivanov A.S., Ermolayev M.M. The calculation of supports in the epicycloid
planetary speed reducer. Spravochnik. Inzhenernyy zhurnal s prilozheniyem, 2014, no. 1, pp. 29-34 (in Russ.), doi: 10.14489/hb.2014.01.pp.029-034
[4] Kudryavtsev V.N. Planetarnyye peredachi [Planetary gears]. Leningrad, Mashinostroyeniye
publ., 1966. 308 p.
[5] Shannikov V.M. Planetarnyye reduktory s vnetsentroidnym zatsepleniyem [Eccentric plane-
tary gear reducers]. Leningrad, Mashgiz publ., 1948. 173 p.
[6] Sigov I.V. Issledovaniye planetarno-tsevochnogo reduktora. Peredachi v mashinostroyenii [Re-
search planetary gear reducer. Transmission in Mechanical Engineering]. Moscow, Mashgiz publ., 1951, pp. 44-58.
[7] Kireyev S.O., Kovalev V.N. Struktura, kinematika i geometriya planetarnykh peredach s vnet-
sentroidnym tsevochnym zatsepleniyem [The structure, kinematics and geometry of planetary gears with eccentric pinion gear]. Novocherkassk, NSTU publ., 1995. 98 p.
[8] Ivanov A.S., Ermolayev M.M., Chirkin A.V., Sinitsyna Yu.V. Calculation of planetary gear
transmission taking into account elastic deformations of the satellite. Sovremennoye mashinostroyeniye. Nauka i obrazovaniye, 2016, no. 5, pp. 464-475 (in Russ.), doi: 10.1872/MMF-2016-45
22
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
#4(721) 2020
[9] Ivanov A.S., Ermolayev M.M., Chirkin A.V., Sinitsyna Yu.V. Method for calculating plane-
tary gear transmission. Mashinostroyeniye i tekhnosfera XXI veka. Sb. tr. XXII Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf. [Engineering and technosphere of the XXI century. Proceedings of the XXII International Scientific and Technical Conference]. Donetsk, 2015. 226 p.
[10] Sinitsyna Yu.V., Ermolayev M.M. Models for estimating load distribution in planetary gear drives. Mekhaniki XXI veku. Mater. XVIII Vseross. nauch.-tekhn. konf. s mezhdunarodnym uchastiyem [Mechanics of the 21st century. Materials of the XVIII All-Russian Scientific and Technical Conference with International Participation]. Bratsk, BrSU, 2019. 332 p.
[11] Zavarzin D.A., Zaytseva O.Yu. Research of load distribution over elements of epicyclic pin gear. Politechnical student journal of BMSTU, 2017, no. 8 (in Russ.), doi: 10.18698/25418009-2017-8-155. Available at: http://ptsj.ru/articles/155/155.pdf
[12] Nakhatakyan F.G. Napryazhenno-deformirovannoye sostoyaniye uprugikh elementov zub-chatykh mekhanizmov i sooruzheniy pri ikh lineynom i kromochnom kontakte. Dokt. Diss. [The stress-strain state of the elastic elements of gear mechanisms and structures with their linear and edge contact. Doct. Diss.]. Moscow, IMASH RAN publ., 2014. 213 p.
[13] Chmurawa M. Distribution of loads in cycloidal planetary gear. Proceedings of the International Conference Mechanics, Kaunas, Lithuania, 11-15 October 1999, vol. 99, pp. 92-100.
[14] Tsetserukou D.O., Basinuk, V.L., Mardosevich, E.I., Neviarouskaya, A.V. Contact force distribution among pins of trochoid transmissions. 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, 15-21 August 2004, Warsaw, Poland, 2004.
[15] Dong X., Deng J., Chen J. Force analysis of RV transmission mechanism. Journal-shanghai Jiao tong university, 1996, vol. 30, pp. 65-70.
[16] Huang C.-H., Tsai S.-J. A study on loaded tooth contact analysis of a cycloid planetary gear reducer considering friction and bearing roller stiffness. Journal of Advanced Mechanical Design, Systems, and Manufacturing, 2017, vol. 11, no. 6. JAMDSM0077, doi: 10.1299/jamdsm.2017jamdsm0077
Информация об авторах
ЕРМОЛАЕВ Михаил Михайлович — кандидат технических наук, доцент кафедры «Основы конструирования машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).
СИНИЦЫНА Юлия Владимировна — ассистент кафедры «Основы конструирования машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).
Статья поступила в редакцию 07.11.2019 Information about the authors
ERMOLAEV Mikhail Mikhailovich — Candidate of Science (Eng.), Associate Professor, Department of Fundamentals of Machine Design. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: [email protected]).
SINITSYNA Yulia Vladimirovna — Teaching Assistant, Department of Fundamentals of Machine Design. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: [email protected]).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Ермолаев М.М., Синицына Ю.В. Исследование влияния податливости подшипника на работу планетарно-цевочной передачи. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2020, № 4, с. 15-22, doi: 10.18698/0536-1044-2020-4-15-22
Please cite this article in English as: Ermolaev M.M., Sinitsyna Y.V. A Study of the Influence of the Bearing's Flexibility on the Operation of a Cycloidal Gear Drive. BMSTU Journal of Mechanical Engineering, 2020, no. 4, pp. 15-22, doi: 10.18698/0536-1044-2020-4-15-22
