Исследование влияния плотности губчатой составляющей модельного образца кости на его напряженно-деформированное состояние Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Исследование влияния плотности губчатой составляющей модельного образца кости на его напряженно-деформированное состояние

Т.В. Колмакова

Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Представлены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния модельных образцов костной ткани при осевом сжатии. Образцы содержали компактный и губчатый слой в соотношении 1 : 1 и отличались плотностью губчатой ткани. Выявлено, что повышение плотности губчатой составляющей образца приводит к смене преобладающего вида деформации с деформации сжатия на деформацию изгиба. Смена преобладающего вида деформации для образца с плотностью компактного слоя 1.8 г/см3 осуществляется при плотности губчатой ткани >0.47 г/см3. В образце с плотностью губчатой составляющей 0.47 г/см3 распределение деформаций становится равномерным. Повышение плотности губчатой составляющей образца приводит к равномерному распределению и минимизации сжимающих напряжений и деформаций в образце.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, костная ткань, напряженно-деформированное состояние

Influence of spongy bone density on the stress-strain state of bone models

T.V. Kolmakova

National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

The paper presents calculation results for the stress-strain state of bone tissue models in axial compression. The bone models comprised an outer layer (compact bone) and an inner layer (spongy bone) in a ratio of 1 : 1 and differed in spongy bone density. It is found that increasing the spongy bone density in the models changes the prevailing type of deformation from compression to bending. For the models with a compact bone density of 1.8 g/cm3, the prevailing type of deformation changes at a spongy bone density of >0.47 g/cm3. At a spongy bone density of 0.47 g/cm3, the strain distribution in the models becomes uniform. Increasing the spongy bone density leads to uniform distribution and minimization of compressive stresses and strains in the bone models.

Keywords: computer simulation, bone tissue, stress-strain state

1. Введение

На сегодняшний день актуальным является исследо-

вание механического поведения костной ткани для разработки методики подбора индивидуальных механически совместимых с костной тканью имплантатов. Механические свойства костной ткани определяются ее строением и составом [1-4]. Костный аппарат человека сформирован двумя типами костной ткани — компактной (кортикальной) и губчатой (трабекулярной), отличающимися пространственным расположением структурных элементов, плотностью, минеральным содержанием [1-4]. В отличие от компактной, плотность губчатой костной ткани сильно варьируется в зависимости от ее анатомического положения [3, 4].

В работе исследуется влияние изменения плотности губчатой составляющей модельного образца кости на его напряженно-деформированное состояние.

2. Математическая постановка

Рассматривается модельный образец костной ткани, содержащий губчатую и компактную составляющие в соотношении 1 : 1 и промежуточный слой (рис. 1).

Нагружение образца моделировалось напряжением сжатия сто вдоль оси Z(оси кости). Плоскость нагруже-ния XY на рис. 1 представлена на переднем плане, плоскость закрепления — на заднем плане.

Задача решалась в рамках линейной теории упругости:

© Колмакова Т.В., 2013

а ц, = О,

Ч = + и 4)'

/

Ъц =

\

+-65,

и 1 - 2у и

V У

где а , — компоненты тензора напряжении; 8 , — компоненты тензора деформации; и — компоненты вектора перемещении; 6 — объемная деформация; V — коэффициент Пуассона; ц = Е/ (2(1 + V)) — модуль сдвига, Е — модуль упругости; 5, — символ Кронекера (5, = = 1 при i = j, 5ц = 0 при i Фу).

Граничные условия задаются следующим образом (рис. 2):

а ¿"¿к = -ао'

ч= и А = 0, и2 = 0'

к = ихз и и13 ' иу1 и : и13 = иу3 1,3' и1 к =

их 2 и = их3 и23' иу2 и23 = 2° и

°х1 к : = ° х3 к ' °у1 1 = °У3 1.3 ¿1 к = °*

° х 2? х 2 и23 = ° х3 1^23 ' и23 = °у3 1^23 ¿2 и23 ='

¿3 и •

23

Модули упругости Е (ГПа) на сжатие компактной (с) и губчатоИ составляющих образца задавались в зависимости от их плотности р и минерального содержания согласно модели Эрнандеса [5].

Выражения для определения модулеИ упругости при сжатии компактноИ и губчатоИ составляющих в зависимости от их плотности с учетом массовоИ доли минералов 60 и 53% соответственно представлены ниже:

Ес = 2.78р2'58, Е8 = 2.21р258.

Плотность компактноИ составляющеИ р с принималась равноИ 1.8 г/см3, а плотность губчатоИ р8 варьи-

Рис. 1. Геометрическая модель костного образца: 1 — компактная составляющая, 2 — губчатая составляющая, 3 — промежуточным слоИ

ровалась от 0.2 до 1.0 г/см3. При этом отношение моду-леИ упругости компактного слоя к губчатому слою Ес/Е8 изменялось от 6 до 365.

Нагружение модельного образца осуществлялось до момента разрушения губчатоИ составляющеИ.

3. Напряженно-деформированное состояние модельных образцов костной ткани, отличающихся плотностью губчатой составляющей

Расчеты напряженно-деформированного состояния модельных образцов костноИ ткани проводились в программном комплексе ANSYS с использованием метода конечных элементов.

Согласно полученным результатам в образцах наибольшее напряжение сжатия сконцентрировано в компактноИ составляющеИ вблизи промежуточного слоя, а наибольшее растягивающее напряжение со стороны ее свободноИ боковоИ поверхности. Наибольшие деформации сжатия локализуются в губчатоИ составляю-щеИ образцов вблизи плоскости нагружения. Подобное распределение напряжениИ и деформациИ в модельных образцах объясняется влиянием трех видов деформациИ, реализующихся в разных направлениях при осевом сжатии: деформации сжатия в направлении оси 2 (оси нагружения), деформации изгиба в направлении оси X и деформации растяжения в направлении оси У [6].

На рис. 3 представлена зависимость параметра шЩ показывающего степень проявления видов деформации образца в трех взаимно перпендикулярных направлениях (изгиба—ших, растяжения — шиу, сжатия — ш^) от плотности его губчатоИ составляющеИ. Параметр ши1 равен отношению значения максимального по абсолютноИ величине перемещения в одном из направлениИ системы координат к сумме максимальных по абсолютноИ величине перемещениИ в трех взаимно пер-

Рис. 2. Схема приложения граничных условиИ

Рис. 3. Зависимость степени влияния на напряженно-деформированное состояние образца кости вида деформации тЦ., реализующегося в одном из трех взаимно перпендикулярных направлений, от плотности губчатой составляющей образца

пендикулярных направлениях. Из рис. 3 видно, что для образцов различной плотности на распределение напряжений и деформаций в направлении оси нагружения в

меньшей степени влияет деформация растяжения в направлении оси У.

Для образцов с плотностью губчатой составляющей <0.47 г/см3 (Ес/Е8 > 40) преобладающее влияние на распределение напряжений и деформаций оказывает деформация сжатия (рис. 3) в направлении оси 2. Для образцов с плотностями губчатой составляющей >0.47 г/см3 (Ес/Е8 < 40) преобладающее влияние оказывает деформация изгиба в направлении осиX(рис. 3). Два вида деформации (сжатия и изгиба) в равной степени влияют на распределение напряжений и деформаций в образце с плотностью губчатой костной ткани равной 0.47 г/см3 (Ес/ Е8 = 40) (рис. 3, отмечено вертикальной линией серого цвета).

На рис. 4, 5 представлены гистограммы распределения напряжений и деформаций по объемам компактной, губчатой составляющих, промежуточного слоя образцов, отличающихся плотностью губчатого слоя, где Уд, Уу, Ур — объем компактной, губчатой составляющих, промежуточного слоя, занимаемый напряжениями или деформациями, находящимися в j интервале значений; Ус, У8, Ур — объем компактного, губчатого и промежуточного слоев соответственно.

р8 = 0.20 г/см3 р8 = 0.40 г/см3

---------р8 = ^ г/см3

__ р8 = 0.47 г/см3

-. р8 = 0.80 г/см3

> '////у// рв = 1.00 г/см3

0

2.4 о, МПа

-4.6

-2.76 -0.92 р . 10

-4.6

-2.76

-0.92 р . 102

Рис. 4. Гистограммы распределения напряжений (а) и деформаций (б) по объему компактной составляющей образцов с различной плотностью губчатого слоя

_ р8 = 0.20 г/см3

- р8 = 0.40 г/см3

77777777? р8 = 0.47 г/см3

Л

р8 = 0.47 г/см3 р8 = 0.80 г/см3

77777777? Ре = 1 00 г/см

гтттп

2.4 ст,, МПа

V -/V

V р1 у р

0.8 0.6 0.40.2 0.0

I I I I I I -7.2 -2.4

V -/V

0.8 0.6 0.40.2 0.0

I I I I I I

2.4 ст,, МПа

-4.6

-2.76 -0.92 е, . 102

I I I I I I I I I I

-4.6 -2.76 -0.92 е, • 102

VS1/VS

-2.76 -0.92 е, • 10

-2.76 -0.92 е, • 102

Рис. 5. Гистограммы распределения напряжений (а, в) и деформаций (б, г) по объему промежуточного слоя (а, б) и губчатой составляющей образцов (в, г) с различной плотностью губчатой составляющей (а, б) и губчатого слоя (в, г)

V • /V

* оу * о

р8 = 0.20 г/см3 р8 = 0.40 г/см3

;/////;// Ре = 0 47 г/см

V • /V —,

* П1' * п

'////////

р8 = 0.47 г/см3 р8 = 0.80 г/см3

р8 = 1.00 г/см3

0

- 0.92 ег• 10

0.92 е2 • 102

Рис. 6. Гистограммы распределения напряжений (а) и деформаций (б) по объему образцов с различной плотностью губчатой составляющей

Полученные результаты расчетов показывают неравномерное распределение напряжений в структурных составляющих модельных образцов, отличающихся плотностью губчатого слоя. Равномерное распределение деформаций наблюдается в компактном и промежуточном слое образцов с различной плотностью губчатой составляющей, при этом значения деформаций лежат в интервале минимальных по модулю значений.

Изменение плотности губчатой составляющей образцов с 0.20 до 0.47 г/см3 приводит к увеличению объема материала в компактном (рис. 4, а), губчатом (рис. 5, в), промежуточном (рис. 5, а) слоях, в которых реализуются сжимающие напряжения, находящиеся в интервале минимальных по модулю значений. При этом весь диапазон изменения напряжений не меняется.

Наблюдается сужение диапазона изменения деформаций в губчатом слое при повышении его плотности с 0.20 до 0.47 г/см3 и достижение равномерного распределения, реализующегося при плотности 0.47 г/см3 (рис. 5, г). При дальнейшем повышении плотности губчатой составляющей с 0.47 по 1.00 г/см3 наблюдается сужение диапазона изменения напряжений в компакт-

ном и губчатом слое (рис. 4, а, 5, в) и достижение равномерного распределения в губчатой составляющей при ее плотности 1.00 г/см3 (рис. 5, в).

В целом для всего образца увеличение плотности губчатого слоя с 0.20 до 0.47 г/см3 приводит к сужению диапазона изменения деформаций (рис. 6, б) и обеспечению их равномерного распределения при плотности 0.47 г/см3. При дальнейшем повышении плотности губчатой составляющей в образце сужается диапазон изменения напряжений (рис. 6, а), стремясь к их наиболее равномерному распределению.

4. Заключение

Для образца с плотностью компактного слоя 1.8 г/см3 и минеральным содержанием 60 и 53 % для губчатого слоя, нагруженного осевым сжатием, повышение плотности губчатой составляющей приводит к смене преобладающего вида деформации с деформации сжатия на деформацию изгиба. Смена преобладающего вида деформации сжатия на деформацию изгиба осуществляется при превышении плотности губчатого слоя 0.47 г/см3.

В образце с плотностью губчатой составляющей 0.47 г/см3 (Ес/Е8 = 40) реализуется равномерное распределение деформаций. Уменьшение плотности губчатого слоя образца (р8 < 0.47 г/см3, Ес/Е5 > 40) приводит к расширению диапазона изменения деформаций в образце за счет изменения деформаций в губчатой составляющей. Повышение плотности губчатого слоя (р8 > 0.47 г/см3, Ес/Е8 < 40) приводит к сужению диапазона изменения напряжений по образцу за счет изменения напряжений во всех структурных составляющих, к равномерному распределению и минимизации сжимающих напряжений и деформаций в образце.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта № 14.В37.21.0060 и ГК № 14.512.11.0004. Автор благодарит С.П. Буякову, С.Н. Кулькова, П.В. Макарова, И.Ю. Смолина за ценные советы.

Литература

1. Архипов-Балтийский С.В. Рассуждение о морфомеханике. - Кали-

нинград: Норма, 2004. - 820 с.

2. Аврунин А.С., Корнилов Н.В., Суханов А.В., Емельянов В.Г. Формирование остеопоротических сдвигов в структуре костной ткани (костные органы, структура костной ткани и ее ремоделирование, концепция патогенеза остеопороза, его диагностики и лечения). -СПб.: Ольга, 1998. - 67 с.

3. Goldstein S.A. The mechanical properties of trabecular bone: dependence on anatomic location and function // J. Biomech. - 1987. -V. 20. - No. 11-12. - P. 1055-1061.

4. Morgan E.F., Keaveny T.M. Dependence of yield strain of human trabecular bone on anatomic site // J. Biomech. - 2001. - V. 34(5). -P. 569-577.

5. Hernandez CJ. Simulation of Bone Remodeling during the Development and Treatment of Osteoporosis: PhD Thesis. - Stanford University, 2001. - 356 p.

6. Колмакова Т.В. Деформационное поведение костной ткани при осевом сжатии // Изв. вузов. Физика. - 2012. - Т. 55. - № 9/3. -С. 57-59.

Поступила в редакцию 03.04.2013 г.

Сведения об авторе

Колмакова Татьяна Витальевна, к.ф.-м.н., доц. ТГУ, kolmakova@flf.tsu.ru