CC BY
54
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 2(22)
УДК 539.3
Т.В. Колмакова
ДЕФОРМАЦИОННОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ОБРАЗЦОВ КОМПАКТНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ РАСПОЛОЖЕНИЕМ КОЛЛАГЕНО-МИНЕРАЛЬНЫХ ВОЛОКОН
Представлены результаты расчета напряженно-деформированного состояния модельных образцов компактной костной ткани при осевом сжатии, отличающихся расположением коллагено-минеральных волокон. Результаты показали, что образцы разных типов имеют разную неравномерную деформацию в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия, что вызвано соответствующим расположением коллагено-минеральных волокон. Продольный модуль упругости образца с параллельным оси кости направлением коллагено-минеральных волокон в 1,5 раза больше модуля упругости образца с перпендикулярным направлением волокон. Близкие по значениям продольные модули упругости имеют образцы с переменным направлением волокон и с расположением волокон под углами ±45°.
Ключевые слова: компьютерное моделирование, компактная костная ткань, остеоны, коллагено-минеральные волокна, напряженно-деформированное состояние.
Необходимость восстановления или замены участка кости в результате удаления доброкачественных или злокачественных новообразований, воспалительных процессов, врожденных аномалий строения требует разработки биомеханически совместимых с костной тканью имплантатов [1-3]. Структура и состав костной ткани, определяющие ее механические свойства, варьируются в зависимости от ее анатомического расположения и отличны для разных индивидуумов. В связи с этим, для разработки и подбора индивидуальных механически совместимых с костной тканью имплантатов актуальным является исследование ее деформационного поведения с учетом индивидуальных особенностей строения.
В работе костная ткань рассматривается как композиционный материал, где в качестве армирующих элементов конструкции выступают остеоны, состоящие из концентрически вложенных друг в друга костных пластинок (ламелл), а в качестве матрицы - оставшиеся после ремоделирования кусочки цилиндрических ла-мелл [4], между остеонами и матрицей располагается слой материала, называемый цементной линией. Внутри каждого остеона находится Гаверсов канал (рис. 1).
Образец кортикальной кости моделируется согласно методике, представленной в работе [5].
На рис. 1 изображена конечно-элементная модель образца компактной костной ткани.
Материал матрицы и остеонов считается трансверсально изотропным, материал цементной линии - изотропным. Эффективные механические свойства материала остеонов, матрицы, цементной линии рассчитываются с учетом ориентации коллагено-минеральных волокон [6] согласно четырем типам [7]. I тип (поперечные волокна) - коллагено-минеральные волокна в ламеллах остеонов распо-
ложены перпендикулярно Гаверсову каналу (оси кости), волокна также могут располагаться под углом ± 45° к оси остеона. II тип (переменные волокна) - волокна меняют ориентацию с параллельной на перпендикулярную при переходе от одной ламелли к другой. III тип (продольные волокна) - волокна расположены параллельно оси кости.
Рис. 1. Конечно-элементная модель компактной костной ткани, отсеченная плоскостью Л
Считается, что массовая доля содержания минералов в кости, равна 60 %, пористость за счет Гаверсовых каналов равна 3 % (рис. 1), пористость за счет Фолькмановских каналов, располагающихся в кости перпендикулярно Гаверсовым, равна 2 % и учитывается при расчете эффективных механических характеристик структурных составляющих кости. Плотность образца кортикальной кости рк = 2,07 г/см3.
Проведен расчет напряженно-деформированного состояния модельных образцов компактной костной ткани при сжатии вдоль оси г. Расчет проводился в программном комплексе А№У8 с использованием метода конечных элементов.
На рис. 1 плоскость нагружения представлена на переднем плане, плоскость закрепления - на заднем.
На рис. 2 представлены распределения напряжений (а) и деформаций (Ь) при напряжении сжатия 98 МПа на участках модельных образцов различных типов, отсеченных плоскостями У2.
Как видно из рис. 2 образцы I и 1±45° типов имеют подобный характер распределения напряжений и деформаций по образцу, аналогичный вывод можно сделать для образцов II и III типов.
Для образцов костной ткани I и !±45° типов, наблюдается равномерное распределение напряжений в остеонах вдоль образца, по сравнению с образцами двух других типов (рис. 2, а). И наоборот, более равномерное распределение напряжений в матрице реализуется для образцов II и III типов (рис. 2, а). Равномерность распределения деформаций в остеонах и матрице наблюдается для образцов I и !±45° типов в отличие от образцов II и III типов (рис. 2, Ь).
АГОУв 13.0
__ш -285.244
I—И -258.083 -230.923 -203.763 -176.603 -149.443 -122.283 -95.1224 -67.9623 -40.8021
II тип
АЫЗУБ 13. 0
-243 .29
■■ -221 .995
■■ -200 .699
-179 .403
Н -158 .107
н -136 .812
-115 .516
ш -94. 2203
-72. 9246
-51. 6289
III тип
АЫвУБ 13.0
-.018927 ® -.017062
-.015198 -.013333
I--1 -.011468
ZZ^ -.009603 -.007738 -.005873
----.004008
^ -.002143
МКУЗ 13.0
-.01411
I—* -.012802
-.011494
-.010185
|-- -.008877
-.007569
-.006261
-.004953
--- -.003645
-.002337
ДЫБУЭ 13.0
-.013549 I—2 -•012267
5 -.010986
.009704 .008422 .007141 .005859 .004577 .003296 .002014
ш
н
ДЫБУЭ 13.0
-.010002 I—2 -•009136
2 -.008271
.007405 .00654 .005674 .004808 .003943 .003077 .002212
Рис. 2. Распределение напряжений о2, МПа (а), деформаций г2 (б) в модельных образцах компактной костной ткани различных типов
На рис. 3 представлены параметры mUi (mUx, mUy, mUz), показывающие степень проявления видов деформации, реализующихся в трех взаимно перпендикулярных направлениях при осевом сжатии образцов различных типов. Параметр mUi равен отношению значения максимального по абсолютной величине перемещения в одном из направлений системы координат к сумме максимальных по абсолютной величине перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях:
max |Ui|
mUi =------------------■—■------------ i — x y z
(max |Ux| + max |Uy| + max |Uz|)
mUi
1
0,8-
0,6-
0,4-
0,2'
Р=0,05 I
mUx
mUy
mUz
Р=0,05
0 ■
I I±45° II III
Тип образца кортикальной кости
0,04 -
0
mUx
mUy
I I±45° II III
Тип образца кортикальной кости
Рис. 3 Параметры степени проявления вида деформации, реализующегося в определенном направлении, для образцов с различным расположением коллагено-минеральных волокон, имеющих пористость Р=0,05
Из рис. 3 видно, что для всех типов образцов кортикальной (компактной) костной ткани в большей степени по сравнению с деформацией растяжения в других направлениях (рис. 3, а, шПх, тПу) реализуется деформация сжатия в направлении оси Ъ (рис. 3, а, шиг). Параметр шиг имеет примерно одинаковые значения для образцов разных типов (рис. 3, а), что означает одинаковое проявление деформации сжатия. Значения параметров тих и шиу, показывающие степень проявления неравномерной деформации растяжения в направлениях х и у, отличаются для разных образцов (рис. 3, б). Из всех образцов в большей степени реализуется неравномерная деформация растяжения в направлении оси у для образца с направлением коллагено-минеральных волокон перпендикулярно оси кости (I тип). И для него же в меньшей степени по сравнению с остальными видами образцов реализуется неравномерная деформация растяжения в направлении оси х (рис. 3, б). Для образца кортикальной кости !±45° типа примерно в равной степени проявляются деформации растяжения в направлениях осей х и у (рис. 3, б).
На рис. 4 представлены расчетные продольные модули упругости при сжатии образцов разных типов. Модуль упругости образца III типа, т.е образца с расположением коллагено-минеральных волокон параллельно оси кости, в 1,5 раза больше модуля упругости образца I типа с расположением коллагено-минеральных волокон перпендикулярно оси кости. Модули упругости образца с переменными волокнами и образца с расположением коллагено-минеральных волокон под углами ±45° имеют близкие значения.
Eo, ГПа В таблице представлены расчетные про-
дольные модули упругости образцов разных типов в сравнении с экспериментальными результатами, представленными в работах X.N. Dong, X.E. Guo [8] с указанием только пористости исследуемых образцов за счет Фолькмановских и Гаверсовых каналов 0,05, E. Novitskaya, Po-Yu Chen [9] с указанием плотности исследуемого образца кортикальной кости рк = 2,06 ± 0,01 г/см3, P. Zioupos, R.B. Cook [10] для образцов с объемной долей костной ткани BV/TV=0,95. Близость расчетных и экспериментальных значений продольного модуля упругости свидетельствует об адекватности полученных результатов.
Таким образом, в результате проведенных исследований можно заключить, что образцы кортикальной костной ткани I и I±45° типов и образцы II и III типов имеют подобный характер распределения напряжений сг и деформаций ег при осевом сжатии.
Тип образца кортикальной кости
Рис. 4. Расчетные продольные модули упругости образцов компактной костной ткани разных типов при осевом сжатии
Продольный модуль упругости образцов компактной костной ткани
рк г/см3 P BV/TV=1-P Тип Eo, ГПа Ссылки
2,07 0,05 0,95 I 13,8 Расчет
2,07 0,05 0,95 I±45° 16,8 Расчет
2,07 0,05 0,95 II 17,3 Расчет
2,07 0,05 0,95 III 20,7 Расчет
0,05 15,6-20,7 X.N. Dong, X.E. Guo [8]
2,06±0,01 22,6±1,2 Novitskaya, Po-Yu Chen [9]
0,95 17,1-20,7 P. Zioupos, R. B. Cook [10]
Образцы компактной костной ткани, отличающиеся направлением коллагеноминеральных волокон, имеют разное неравномерное деформационное поведение в направлениях, перпендикулярных направлению нагружения.
Продольный модуль упругости образца III типа в 1,5 раза больше модуля упругости образца I типа. Образцы 1±45° и II типов имеют близкие по значениям продольные модули упругости, однако отличаются распределением напряжений и деформаций по образцам в силу разного неравномерного деформационного поведения в направлениях, перпендикулярных направлению приложения нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баринов С.М. Керамические композиционные материалы на основе фосфатов кальция для медицины // Успехи химии. 2010. Т. 79. № 1. С. 15-32.
2. Буякова С.П., Хлусов И.А., Кульков С.Н. Пористая циркониевая керамика для эндопротезирования костной ткани // Физическая мезомеханика. 2004. № 7. Спец. выпуск. Ч. 2. С. 127-130.
3. Путляев В.И. Современные биокерамические материалы // Соросовский образовательный журнал. 2004. Т. 8. № 1. С. 44-50.
4. Утенькин А.А. Кость - многоэтажный композит // Химия и жизнь. 1981. № 4. С. 38-40.
5. Колмакова Т.В. Метод моделирования структуры компактной костной ткани // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3. № 4. С. 413-420.
6. Колмакова Т.В. Моделирование структуры и механических свойств компактной костной ткани // Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14. № 6. С. 79-В5.
7. Фигурска М. Структура компактной костной ткани // Российский журнал биомеханики. 2007. Т. 11. № 3. С. 2В-3В.
В. X.N. Dong,X.E. Guo Geometric determinants to cement line debonding and osteonal lamellae failure in osteon pushout tests // J. Biomech. Eng. 2004. V. 126. P. 3В7-390.
9. Novitskaya E., Chen Po-Yu, Lee S., et al. Anisotropy in the compressive mechanical properties of bovine cortical bone and the mineral and protein constituents // Acta Biomaterialia. 2011. No. 7. P. 3170-3177.
10. Zioupos P., Cook R.B., Hutchinson J.R. Some basic relationships between density values in cancellous and cortical bone // J. Biomechanics. 200В. V. 41. P. 1961-196В.
Статья поступила 13.03.2013 г.
Kolmakova T. V. DEFORMATION BEHAVIOR OF THE MODEL COMPACT BONE TISSUE SAMPLES DIFFERING IN ORIENTATION OF COLLAGEN-MINERAL FIBERS. The calculation results for the stress-strain state of model compact bone tissue samples differing in orientation of collagen-mineral fibers are presented for the case of axial compression. The results have shown that samples of different types have different non-uniform deformation in directions perpendicular to the compression direction, which is caused by the corresponding orientation of col-lagen-mineral fibers. The longitudinal modulus of elasticity of a sample with parallel orientation of collagen-mineral fibers is larger than the module of elasticity of a sample with the perpendicular direction of fibers by a factor of 1,5. The neighboring values of the longitudinal moduli of elasticity are typical for samples with variable direction of fibers and with the location of fibers at angles of ±45°.
Keywords: Computer simulation, compact bone tissue, osteons, collagen-mineral fibers, stress and strain state
KOLMAKOVA Tatyana Vitalievna (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
