Исследование устойчивости ветроэлектростанции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф. Ф. Родюков, К. К. Тверев

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕТРОЭЛЕКТРОСТАНЦИИ

Ветроэлектростанции (ВЭС)—экологически самые чистые источники электрической энергии. Они строились в 30-е гг., но не получили широкого распространения из-за неконкурентноспособности по сравнению с гидроэлектростанциями. В связи с изменением экологической обстановки взгляды на ВЭС за рубежом уже пересмотрены, и они там в настоящее время снова строятся.

За время, протекшее с 30-х гг. многое изменилось как в плане новых технологий, так и в плане новых математических возможностей для нахождения оптимальных параметров ВЭС и тем самым улучшения всех их показателей.

На ВЭС в качестве генераторов электрической энергии используются асинхронные генераторы (АГ) и синхронные генераторы (СГ). При теоретическом исследовании режимов работы ВЭС вместо уравнений, описывающих динамику АГ и СГ, используются лишь их хорошо известные механические характеристики. Более полное и правильное представление о динамике ВЭС могло бы дать привлечение к их исследованию полных уравнений генераторов переменного тока. Но в 30-е гг. не было разработано математических методов решения этих уравнений. Не было и ЭВМ для их численного интегрирования.

В настоящее время имеются уравнения электрических машин переменого тока, обладающие существенными преимуществами по сравнению с аналогичными уравнениями, известными в те годы. Кроме того, сейчас известны методы асимптотического решения уравнений, содержащих малые параметры в правых частях и перед старшими производными.

Именно поэтому в настоящем исследовании составлены полные математические модели ВЭС с СГ при работе параллельно с сетью бесконечной мощности и при работе на симметричную активно-индуктивную нагрузку. Такие модели могут дать дополнительную информацию о возможных режимах работы ВЭС, позволяют найти оптимальные параметры всей установки, а также оптимальное регулирование напряжения возбуждения СГ и тем самым улучшить все показатели ВЭС.

Уравнения для СГ ВЭС возьмем из статьи [1], где доказана необходимость исследовать не полные корректные уравнения для неявнополюсных синхронных машин [2], а их упрощенный (расщепленный и симметризированный) вариант. В случае работы ВЭС на сеть неограниченной мощности, когда параметр а8 ~ 10~2, соответствующие уравнения лучше исследовать в ортогональной синхронной системе координат в гибридных переменных, т. е. в квазипотокосцеплениях и квазитоках статора:

фх = фу - а8 фх,

Фу = -фх - а8 фу - 1,

/Л'1х = фх - в (фу - Ц1у) +£Г{ (фх - %х - СОЗ в), (1)

¡ЛЪу ф у + в(фх ¡-Ъ Ъх) + (фу Ъу + в) ,

в = в, в = -3 (фх Ъу - фу Ъх + е(у - г>о(1 - в))2).

© Ф. Ф. Родюков, К. К. Тверев, 2005

Здесь сохранены обозначения, принятые в [1], действие ветровой нагрузки [3] характеризуется членом

с(у — г>о(1 - в))2,

где V — скорость ветра, Уо — синхронная скорость ветра, причем мы рассматриваем только чисто генераторные режимы, когда V > Уо(1 — в), а

с-ю

с

2pu2m£sg

где F — площадь лопаты репеллера, l — плечо лопаты репеллера, cw — коэффициент аэродинамического сопротивления, y — удельный вес воздуха, g — ускорение свободного падения.

Систему (1) проще исследовать, если ввести новые переменные Xx, Xy по формулам = — Фх — barfXx — U f cos 0, iy = —фу — barfXy + U f sin 0,

b = (1 - i)/i, arf = £rf /i-

В новых переменных при условии v > Vo уравнения (1) примут вид

фх = фу - as фх, Фу = -фх - as фу - 1,

Xх --- s Xy arf Xx + фх, Xу --- s Xx arf Xy + фу, в - s, (2)

s = -S{barf (фуXx - фхХу) +Uf (фу cos в + фх sin в) + c(v - vo(1 - s))2}.

Рассмотрим устойчивость в малом решения системы (2):

1a

2 «О-

s

у * 0, (3)

c(v - vo)2

_ arcsm---------.

uf uf

Линейная система дифференциальных уравнений в вариациях имеет вид

Xx ----------------------------------- arf Xx, Xy - s/arf arf Xy,

в = s, S = -S (barf Xy - Uf в cos во + 2cvvos). (4)

В системе (4) за вариациями переменных сохранены обозначения самих переменных. Рассмотрим характеристическое уравнение системы (4):

А3 + arf X2 + S(b - Uf cos в0)А - Suf arf cos в0 = 0.

Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости решения (3) будет иметь вид

cos в0 < 0, (5)

где во определяется из формул (3).

1 + «2 *-1, - у 1 + a]

1 1

1 ф ~ ' ? Xy = Ф\

arf arf arf

c( v ¿ arcsm - Vo)2 (во)2 ' * п -

Анализ неравенства (5) показывает, что для (#0)1 имеет место неустойчивость, а для (во)2 —асимптотическая устойчивость при условии выполнения неравенства

е(у — Уо)2 <иі.

(6)

Последнее неравенство позволяет получить критическое значение скорости воздушного потока:

Часто ВЭС работает автономно, обслуживая какое-либо небольшое хозяйство (полярная станция, метеостанция). Пусть при этом она обслуживает только активноиндуктивную нагрузку, причем симметричную по всем фазам. В этом случае сопротивления и индуктивности нагрузки можно просуммировать с сопротивлениями и индуктивностями фаз статора синхронного генератора.

Такой режим работы ВЭС, по существу, есть режим установившегося короткого замыкания генератора. Его математическую модель получим из уравнений (1), заменяя во втором уравнении — 1 на ноль. Но так как теперь а8 ~ 1, необходимо брать нерасщеп-ленные уравнения, заменяя в первых двух уравнениях системы (1) члены а8фх,а8фу соответственно выражениями єаіх, єаіу. После перехода к переменным ф, X уравнения, описывающие работу ВЭС на симметричную активно-индуктивную нагрузку, примут вид

Физически такой режим работы имеет асинхронный характер. Действительно, коротко замкнутый статор можно рассматривать как фазную обмотку ротора обратной асинхронной машины, а магнитное поле, создаваемое вращающейся обмоткой возбуждения, как вращающееся магнитное поле статора такой машины. Математически это становится очевидным, если перейти к проекциям на оси, жестко связанные с ротором генератора, по формулам

фх фу ав фх + Ь£ват/ Хх + СОв 0,

фу фх ав фу + Ь^зат^ Ху ^виf бІП ^

Хх — в Ху ат/ Хх + фх-,

Ху в Хх ат ^ Ху + фу, 0 в,

в — —S{baтf (фуХх — фхХу) + (фу сов 0 + фх эт 0) + е(у — г>о(1 — в))2}.

Уа — Ух сов 0 — Уу віп 0,Уд — Ух віп 0 + Уу сов 0, (У — ф,Х).

(7)

Осуществив преобразование (7), придем к следующей системе уравнений:

фа — (1 — в) фq — а фа + bєsa.тf Ха + є8 uf, фд — —(1 — в) фа — аф + bєsa.тf Xq,

Ха — Ха + фа, Хд — Хд + фд,

в — —S{baтf (фд Ха — фаХд) + uf фд + е(у — «о(1 — в))2}.

(8)

Рассмотрим устойчивость в малом решения системы (8):

Х(1 -- Фй-1 Хд ------

агр агр

ир £1 ир (1 — в)£,

^ ^ + (1 - 5)2 ’ Фч~ £2 + (1_8)2> (9)

, . , / (1 — в)£ , ф)=щ(1-.<) + и^-ишг—Гу

где у(в) > Уо(1 — в).

Упрощая исследование на статическую устойчивость положений равновесия, воспользуемся тем обстоятельством, что механическая переменная является медленной по отношению к электрическим переменным, т.к. 6 ~ 10~3. Поэтому, считая в в электрических уравнениях константой, получим для них следующее характеристическое уравнение:

[А2 + (а, + агр) + £sarf ]2 + (1 — в)2(А + агр )2 = 0.

Учитывая, что а, ~ 1,агр ~ 10~2, приближенные корни для этого уравнеия получим в виде

£ а -р

М,2 ~ -а« ± Л1 - «), Аз_4 «--------2 Л/ -.2 [а« ± Л* “ в)]-

а, + (1 в)

Так как вещественные части всех корней отрицательны, электрическая часть системы для любых значений в асимптотически устойчива.

Экспоненциально затухающие слагаемые электрических переменных не вносят вклада при исследовании статической устойчивости механической части системы, поэтому в механическое уравнение системы можно подставлять только установившиеся значения электрических переменных из (8):

-6

+ с(г; ~щ{1 ~5))2

Соответствующее уравнение в вариациях имеет высокий порядок относительно в, однако без дополнительного исследования можно сказать, что существует по крайней мере одно устойчивое решение в промежутке во(у) < в < 1, где во (у) = 1 — у/уо отвечает синхронной скорости вращения ротора (без нагрузки).

Для дополнительной информации проанализируем выражение для скорости ветра как функции в:

• (*)= »0(1 -‘)+'“^с{Е21+{1)1\)2у ('О

Введем новую переменную г = (1 — в)/£,. Рассмотрим скорость вращения ротора, нормированную к нагрузке:

ир I г у(г) = у0£вг + —=1

/с V 1 + -г2

Введем коэффициент

1 1 — г2 11 + г2

к = — тт -------------------т^7т\ —----------, к « —0.09575184, ^« 1.85216.

2 [1...2] (1 + г2)2 V г ’ ’

При voEsa/c > —kv,f (возбуждение невелико) существует одно, причем устойчивое, решение при любой силе ветра.

При vo£ял/с < —kuf (возбуждение велико) проявляется триггерный эффект вокруг Zk : при v_ < v < v+, где v_ = min v(z),v+ = max v(z), существуют три решения.

[0...zk] [zk...x]

Два устойчивых решения si,s3 — это возможность существования двух скоростей ротора при одной скорости ветра, а промежуточное неустойчивое решение S2 можно при необходимости сделать устойчивым за счет управления.

Конечно, выражение c(v — vo(1 — s))2 (вентиляторное) для ветрового момента не является точным, но такое предположение не меняет качественной картины. Например, анализ уравнений с насосным c(v — vo(l — s)) дает аналогичное поведение решений (к = —0.125 при Zk = %/3).

Если расщепить систему (8), получим

Xd

— фа, arf

Фd

If £s

a2 + (1 — s)2 ’ v(s) = vo(1 — s)+Uf

Xq

фа

-----Ф9,

arf

Uf{ 1 - s)es a2 + (1 — s)2 ’

(1 — s)es

c(al + (1 — s)2)’

и нормировка г = (1 — з)/ае приводит к условию для единственности решения Уо£в а/с >

a

Summary

F. F. Rodyukov, K. K. Tverev. Stability of the wind-power station.

Mathematical model of the wind-power station consisting of synchronous generator which happens to in rotation by the airscrew are obtaned. The rotating moment on the part of the airscrew is proportional square to velocities running up airstream. The load of the synchronous generator is expected network of alternating current to unlimited power and symmetrical actively-inductive load. The conditions of stability in two cases are founded.

Литература

1. Родюков Ф. Ф. Расщепление и симметризация корректных уравнений для неявнополюсных синхронных машин // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 2 (№8). С. 103-109.

2. Родюков Ф. Ф. Корректные уравнения синхронных машин с демпферными контурами // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1991. Вып. 4 (№22). С. 58-61.

3. Перли С. Б. Ветронасосные и ветроэлектрические агрегаты. Харьков: ОНТИ, 1938. 266 с.

Статья поступила в редакцию 23 декабря 2004 г.