CC BY
20
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК СИСТЕМ С КАСАТЕЛЬНЫМ ОДНОСТОРОННИМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
LINEAR APPROXIMATION FIXED POINTS STABILITY INVESTIGATION OF SYSTEMS WITH TANGENT ONE-SIDED
RESTRICTIONS
Е.И. Отставное
E.I. Otstavnov
ГОУ ВПО МГСУ
Вводится понятие системы ОДУ с касательным односторонним ограничением, обобщающее понятие механической системы с неудерживающей голономной связью. Указываютсянеподвижныеточкиидоказываютсятеоремыобихустойчивости.
ODE system with tangent one-sided restriction is introduced as a generalization of mechanical system with one sided restriction. Conditionsforfixedpointsexistenceandstabilitya-reprovided.
Co второй половины XX века проявляется большой интерес к динамическим системам с соударениями (биллиардам), многие из которых могут рассматриваться как механические системы с односторонними голономными связями. В книге [4] рассмотрен вопрос о реализации связей подобного рода, и конструкции, применяемые для их построения, эффективно используются для изучения модельных систем, например, биллиарда Биркгофа. В книге [3] системы с сингулярными (ударными) силами рассматриваются с физической точки зрения, и приводятся авторские обобщения метода функций Ляпунова для исследования устойчивости положений равновесия и периодических движений в таких ситуациях. В книгах [3],[4] в основном применяются два подхода: метод функций Ляпунова, обобщающий классические результаты, и метод отображения последования. Прямой метод Ляпунова также используется для исследования систем с импульсивными воздействиями [8]-[10].
1. Определение системы ОДУ с касательным односторонним ограничением.
Системой ОДУ с касательным односторонним ограничением (или просто системой) будем называть четвёрку (X,r,S,R), состоящую из:
1) Системы обыкновенных дифференциальных уравнений х — Х(х),х £ Rn, называемой свободной системой.
2) Скалярного неравенства г(х) > 0 называемого связью,
3) отображения S: Rn ^ Rn, называемого отображением удара,
4) вектор-функции й(х), называемой реакцией связи.
Отметим разницу между данным определением и введёнными в других работах ранее. Момент скачка не предполагается связанным заранее заданными условиями в
4/2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ
фазовом пространстве вида t — т(х) либо фиксированным (см. [5]-[7]). Реакция й(х) используется для изменения векторного поля системы при г(х) = 0, что отличает предлагаемый подход от применяемого в [1],[2]. Это позволяет единообразно описать более широкий спектр ситуаций с разными моделями движения вдоль границы связи.
Будем считать Х(х), г = г(х) и R(x) аналитическими в окрестности точки х — 0. Тогда справедливы разложения:
х = f + Ах + -(Вх,х) + ••• ,r - г(х) - (с,х) + -(Ux,x) Н— (1.1)
где г(0) = 0,/ = Х(0) Ф 0, (Вх,х) := (bljkxixk),c = ^(0) Ф 0. Круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов (кроме условного обозначения (Вх, х) для квадратичных слагаемых в правой части ОДУ). Норма вектора полагается евклидовой, а норма линейного оператора ей подчинена. Также нам потребуется изменение функции г на решении свободной системы в окрестности нуля: f(x) = (с,/) + ••• Если (с,/) > 0, то г(х) будет возрастать вдоль решений ОДУ, начавшихся достаточно близко к точке х — 0 при г(х) > 0. Этот случай не рассматривается, так как приводит к уходу решения от связи и исключает возникновение там неподвижной точки. Остаются случаи: (с,/) < 0 и (с,/) = 0. Остановимся на втором из них, когда векторное поле свободной системы касается связи в нуле.
2. Определение решения системы при (с, /) = 0.
Конструкция решения системы x(x0,t), отвечающее начальным условиям х0, следующая:
a) Если (пока) r(x(x0,t)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы, пока не выполнены b) или с)
b) Если r(x(x0,t*)) = 0, f — 0 и существует е >0, что для всех t £ (t*,t* + е) вдоль решения свободной системы справедливо г < 0, то происходит переход от а) к d), либо решение строится с помощью d) в случае, если t* — 0. Этот переход называется выходом на связь.
c) Если r(x(x0,t*)) = 0,f< 0, то происходит удар: х~ — x(x0,t*) ^ х+ — S(x~), причём r(x+) = 0,f(x+) > 0. Если г(х+) — 0 и для решения свободной системы с начальными условиями х+ справедливо b), то происходит переход к d), иначе решение продолжается с помощью а).
d) Если (пока) г(х) = 0, то решение строится с помощью системы на связи х — Х(х) + й(х) пока не выполнено e)
e) Если r(x(x0,i")) = 0,f> 0и существует £ > 0, что для всех t £ (t**,t** + £) вдоль решения свободной системы справедливо г > 0, то происходит переход от d) к а), называемый сходом со связи.
Функция 5(х) определена на многообразии {х £ Rn |г(х) = 0} в окрестности нуля и непрерывно дифференцируемой в точке х — 0. В силу предположений решение задаётся начальными данными единственным образом (и считается продолжимым в будущее).
3. Дополнительные ограничения.
Рассмотрим производную г(х) в силу свободной системы f(x) = (с,/) + (АТс + Uf,x) (Вх,х)) + {Ах, Ux) + — Естественно назвать (с,/) = 0 условием
касания. Условие общности: векторы с и + Uf линейно независимы (случай общего положения). Условие г = (АТс + Uf>f) < 0 назовём условием возвра-щаемости. Группу из трёх указанных условий будем обозначать (Cond).
4. Отображение последования.
Положим ñ(0) = —/,5(0) = 0. Пусть выполнены (Cond), тогда х(0, t) = 0 является решением системы по определению (случай d). Построим отображение последования. Рассмотрим при t — 0 начальное условие х0 близкое к 0 и такое, что г(х0) = 0,f(xo) > 0. По определению тут решение строится с помощью свободной системы. Представим его в виде ряда по степеням времени:
t2 t3
x(x0,t) = х0 + x±t + x2j +x3j+ ••• (4.1)
Этот ряд сходится на малом промежутке времени. Подставим (4.1) в (1.1) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях t. Тогда
х1 = / + Ах0 + i (Вх0,х0), х2 = Ах± + (Вх0,х1), х3 = iАх2 + i (Вх2,х0) + + 1-{Вх1,х1) (4.2)
Будем искать момент времени t* > 0 такой, что
r(x(x0,t*)) = 0 (4.3)
Эту величину будем искать в виде ряда по степеням компонент малого вектора
(4.4)
В последней формуле слагаемое обозначает члены разложения сте-
пени т. по компонентам х0 — ее0. Этот ряд сходится. В силу предположений выше решение х(х0,£) является аналитической функцией времени и начальных условий (в малом), как и функция г(х(х0,£)). Тогда г(х(х0,£)) также аналитическая функция х0 и времени. Она знакоопределена при выполнении условия возвращаемости. По теореме об обратной функции получим, что локально существует функция £(г,х0), аналитическая по совокупности своих аргументов. Её разложение по х0 и представлено в (4.4).
Подставим (4.4) в (4.3) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях £. Главные
¡-2
члены дадут -^(АТс + У/,/) = — (с,/) = 0 (в силу условия касания). Условие возвращаемости приводит к ¿о = 0. Далее имеем:
. _ п (Атс+иГ,х0) 2. _ (с,(_Вх0,х0))+2(.Ах0,Цх0) (с,Л2х0 + (Вх0,/))+(Л/,Цх0) ^
^ - ^ (АТс+ии) ' £ 12 - (АТс+ии) (АТс+ии)2 И С +
+ иг^ (4.5)
Вторая производная функции г(х) в силу свободной системы имеет вид:
4/2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ
f(x(x0,t)) = (Лтс + Uf, /) + 0_(x0,t~) (4.6)
Предложение 1. Если выполнены (Cond), то решение системы на связи, начавшееся в достаточно малой окрестности точки х — 0, останется на связи до тех пор, пока не покинет некоторую конечную окрестность начала координат.
Лемма 2. Пусть выполнены (Cond). Существуют положительные числа &,а,Ъ, такие, что решение свободной системы, начавшееся в е - окрестности нуля (не обязательно на связи), вернётся на связь в момент времени t*(x0) > 0 и справедливы оценки
t*(x0)<aVi, ||x(x0,t*(x0))n < Ьл/ё
Доказательство основывается на рассмотрении знака разложения г = r(x(x0,t)) по времени с учётом условия возвращаемости.
Построим отображение последования. Пусть выполнены (Cond). Рассмотрим точку х0, r(x0) = 0,f(x(xo,0)) > 0. Используя (4.1), (4.2), (4.4) и (4.5) получим значения фазовых переменных в момент возвращения на связь:
х = x(t*(x0),x0) = х0 - 2^^J-^f + OixD (4.7)
Можно вычислить, что f(x) = —(Атс + Uf,x0) + O(xq) = —f(x0) + O(xq) < 0 в малой окрестности х — 0, то есть справедливо
Предложение 2. Если знак скорости изменения функции связи г(х) вдоль решения системы в случае с) после удара определяется линейным по х слагаемым, то при следующем (существующим в силу леммы 2) выполнении условия г — 0 также произойдёт удар.
Далее, после удара х ^ х+ — 5(х) = Sx + ö(||x0||), r(x+) = 0,f(x+) > 0,S = dS\x-0 Определим отображение последования как Р: х0 ^ х+, где х+ — S(x), независимо от того, произошёл удар или переход к системе на связи. Из (4.7) получим:
Р(х) = Рх + 0(ЦхЮ, Р - dP\x=0 = s(g-2/ (4.8)
где G - матрица Грама скалярного произведения в фазовом пространстве.
Рассмотрим Р — Р |(С;Х)-0. По построению он действует в полупространстве {х £ Rn\(c,x) — 0, (Атс + Uf,x) > 0}. Доопределим на всю гиперплоскость Р(—х) = -Рх.
Лемма 3 (о собственных значениях). При выполнении (Cond) оператор Р не может иметь комплексных собственных значений с ненулевым аргументом (mod п), чьи собственные подпространства (при овеществлении) не содержатся целиком в {х £ Rn\(c,x) = 0, (АТс + Uf,x) = 0}.
Идея доказательства от противного состоит в том, что ненулевой аргумент вызывает поворот вектора в собственном подпространстве, и начальную точку можно выбрать так, чтобы отображение удара снова переместило её в область выхода на связь вопреки определению.
5. Исследование устойчивости стационарного решения при (с, /) = 0 по первому приближению.
Теорема 2. Пусть выполнены (Cond). Если все с.з. Р строго меньше единицы по модулю и 0 - устойчивая по Ляпунову неподвижная точка системы на связи, то решение х(0, t) = 0 системы устойчиво по Ляпунову. Если существует хотя бы одно с.з. Р, большее единицы по модулю, и соответствующее собственное подпространство не содержится в {х £ Rn\(c,x) — 0, (АТс + Uf,x) = 0}, либо 0 - неустойчивая по Ляпунову особая точка системы на связи, то решение х(0, t) = 0 системы неустойчиво по Ляпунову.
Идея доказательства. Необходимость устойчивости, либо достаточность неустойчивости точки х — 0 системы на связи следует из определения и предложения 1. Остаётся рассмотреть поведение решений системы, получаемых с помощью свободной системы. В силу леммы 2 достаточно ограничиться рассмотрением случаев, когда решение, во первых, покидает связь, что позволяет использовать отображение Р, во-вторых не приводит к переходу к системе на связи (иначе через конечное число ударов рассмотрение сведётся к уже рассмотренной ситуации системы на связи по предложению 1). При этом в первой части условия отображение последования окажется сжимающим, а во второй можно конструктивно получить начальные условия, удовлетворяющие определению неустойчивости.
Автор выражает благодарность В.В. Белецкому за обсуждение результатов этой статьи. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00406.
Литература
1. Горбиков С.П. Локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями. // Мат. Заметки т.64 вып.4. 1998, стр. 531-542.
2. Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями.// Изв. АН СССР МТТ 1987, №3, стр. 23-26.
3. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.
4. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Генетическое введение в теорию биллиардов. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с.
5. Мышкис А.Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщённых импульсных возмущениях.//Автоматика и телемеханика 2007, №10, стр. 125-133.
6. Мышкис АД., Самойленко A.M. Система с толчками в заданные моменты времени.// Мат. Сборник. Т.74 вып 2., 1967, стр. 202-208.
7. Перестюк H.A. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев, 1987.
8. Bainov D. Kulev G. Application of Lyapunov's direct method to the investigation of the global stability of the solutions of systems with impulse effect.// Applicable Anal. 1988 vol. 26, №4, p.255-270.
9. Bainov D. Kulev G.On the asymptotic stability os systems with impulses by the direct method of Lyapunov.// J.Math.Anal and Appl. 1989 vol. 140, №2, p.324-340.
4./2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
10. Bainov D.D., Simeonov P.S. Stability with respect to part of the variables in systems with impulse effect.// J.Math. Anal.AndAppl.1987, vol.124 №2 p.547-560.
Literature
1. Gorbikov S.P. Lokalnieosobennostidinamicheskihsistem s udarnimyvzaimodeistviyami. // Mat. Zametki t.64 vip.4. 1998. pp. 531-542.
2. Gorbikov S.P. Osobennostistroeniyafazovogoprostranstvadinamicheskihsistem s udarnimyvzaimodeistviyami.// Izv. AN SSSR MTT 1987.№3, pp. 23-26.
3. Ivanov A.P. Dinamika system s mekhanicheskimisoudareniyami. M.: Mezdunarodnayapro-grammaobrazovaniya, 1997. 336 p.
4. KozlovV.V., TreschevD.V. Geneticheskoevvedenievteoriyubilliardov.V.: Izd-vo MGU, 1991. 168 p.
5. Mishkis A.D. Ustoichivostresheniidifferentsialnihuravneniipriobobschennihim-pulsnihvozmuscheniyah.//Avtomatika I telemekhanikja 2007. №10, pp. 125-133.
6. Mishkis A.D., Samoilenko A.M. Sistema s tolchkami v zadanniemomentivremeni.//Mat. Sbor-nik. T.74 vip2., 1967. pp. 202-208.
7. Perestyuk N.A. Samoilenko A.M. Differentsialnieuravneniya s impulsnimvozdeistviem.Kiev,
1987.
8. Bainov D. Kulev G. Application of Lyapunov's direct method to the investigation of the global stability of the solutions of systems with impulse effect.// ApplicableAnal. 1988 vol. 26, №4, p.255-270.
Ключевые слова: неудерживающая связь, удар, реакция связи, устойчивость по Ляпунову, отображение последования,негладкаямеханика, неподвижная точка, линейное приближение
Key words: one sided restriction, reaction, impact, Lyapunov stability, first recurrence map, non-smooth mechanics, fixed point, linear approximation
e-mail: eotstavnov@ya.ru
Рецензент:Родников Александр Владимирович, к.ф.-м.н., доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУим. Баумана
