Условия устойчивости нулевого решения периодической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1

Н.М. Кудряшова

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Для систем дифференциальных уравнений с периодической правой частью исследован вопрос об устойчивости нулевого решения с помощью оценки нормы оператора монодромии.

система дифференциальных уравнений, устойчивость, оператор монодромии, норма матрицы.

Пусть дана система

х = / х), (1)

для которой функция f (t, х) - с -периодическая по t, Г(^ 0П ) = 0п, f (t, х), интегрируемая по t и достаточно гладкая по х в окрестности точки X = 0п. При этом для системы (1) обеспечено условие существования и единственности решения х0), х(0, х0) = х0 и его продолжительности при t е [0, с ], если х0 достаточно мало [1]. Задача. Для системы (1) найти условие устойчивости решения X = 0п. Для решения этой задачи используем свойство оператора монодромии (сдвига на период) Цх0 = х(с, х0 ). Для него можно определить степени (итера-

© Кудряшс®а КМ, 2014 войствам этих степе-

ней решим вопрос об устойчивости. Для этого используем аналог леммы 9.1 [3]. Лемма 1. Пусть в некоторой окрестности точки X = 0п определены все

степени икх0, к е N, и пусть для любого £ > 0 существует 8 > 0, для которо-

"0 '

тк.

го из условия х0 < 8 следует оценка и х0 < £ , к е N . Тогда решение х = 0п

устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Будем считать числа £ и 8 , определенные условием леммы такими, что решение х(^ х(кс, х0)) продолжаемо, по крайней мере, на

отрезок [0, с ] при всех к е N .

В силу непрерывности решений рассматриваемой системы от начальных значений, для любого £ > 0 число 5 > 0 можно считать таким, что 5 < £ и ||х(т, x01 < £ для любого re[ö, а), если ||x0|| < 5 [2]. Следовательно, с учетом группового свойства динамической системы для произвольного t = ka + т, т е [0, а), k = [t/а] и при всех x0, подчиненных неравенству ||x0|| < 5 , получим оценку ||x(t, x0 )|| = ||х(т, x(ka, x0))| < £ .

Таким образом, решение x = 0и устойчиво. Лемма доказана.

Лемма 2. Если в условиях леммы 1 lim Ukx0 = 0, то решение x = 0и

асимптотически устойчиво.

Доказательство очевидно.

Лемма 3. Если при достаточно малых x0 верна оценка ||x(a, x0 )|| < ||x0||, то решение x = 0и системы (1) устойчиво.

Доказательство. Выберем произвольно £ > 0 и 5 = £ . Исходя из непрерывности решений системы (1) от начальных значений, можем считать, что из

условия ||x0|| < 5 следует, что x(a, x0) определено. Тогда по условию ||x(a, x01 < ||x0|| < £ . Следовательно,

||х(2ю, х01 = ||х(ю, х(ю, х0 )) < ||х(ю, х01 < ||х0|| < е . Продолжая подобным образом, на произвольном шаге получим ||х(£ю, х0) < ||х((^ - 1)ю, х0) < ... < ||х^| < е .

Итак, по лемме 1 решение X = 0п устойчиво. Лемма доказана. В силу гладкости системы (1) предположим, что она имеет вид

х = А^)х + g(г, X), (2)

где X е Rn, g(, X) - достаточно гладкая функция от X в окрестности точки X = 0П, g(/, 0п) = 0П, то есть система (2) имеет нулевое решение, (/, 0П) = 0п.

Пусть X(/) - фундаментальная матрица системы х = A(t^, X(0) = Е . Обозначим как X = X (ю) матрицу монодромии.

Принимая во внимание свойства системы (2), можно подобрать такое число 80 > 0, что любое решение х (^ а) будет определяться и притом однозначно

для всех I е [0, ю], если ||а|| < 50 [1]. При этом свойства системы (2) позволяют

предположить, что с помощью формулы Тейлора в окрестности точки a = 0п для оператора монодромии получено представление вида

x (©, a )= X (a + d (a) + p(a)), (3)

в котором d (a) - известная вектор-форма, для любого ае R d (aa ) = akd (a), k е N, k > 1 (далее будем полагать, что k нечетно), а вектор-функция p(a) определена лишь условием lim a~k||p(aa )|| = 0 (в смысле равномерной сходимости).

Обсудим возможность построения представления вида (3).

Решение системы (1) в окрестности точки 0n можно представить в виде

x(t, a) = X(t)a + y (t, a), (4)

t

где y(t, a)= X(t)J X 1 (z)g(z, x(z, a))dz - решение системы y = A(t)y +

0

+ g(t, X(t)a + y) с начальным значением y(0, a) = 0n . При этом справедливо равенство y'a(t, 0п) = 0п.

Покажем, что (4) является решением системы (2). Найдем производную от правой и левой части выражения (4):

г

Г t Л

x(t, а) = X(t)a + X(t)JX 1 (z)g(z, x(z, a))dz t =

V 0 )

t

= A(t)X(t)a + A(t)X(t)j X 1 (z)g(z, x(z, a))dz + X(t)X 1 (t)g(t, x(t, a)) =

0

Г t л

= A(t) X(t)a + X(t)JX 1 (z)g(z, x(z, a))dz + g(t, x(t, a)) =

V 0 )

= A(t)x(t, a) + g(t, x(t, a)). Получили тождество, то есть (4), действительно, является решением для системы (2).

Ввиду дифференцируемости решения по начальным значениям, матрица x'a (t, a) непрерывна в точке 0п . Так как X = 0п - решение системы (2), то

x(t, 0п) = 0п в силу единственности решения с заданным начальным значением.

Так как g'а (t, 0п) = 0п, то из равенства

t

ya (t, a) = X(t)J X 1 (z)gX (z, x(z, a)X (z, a)dz

следует, что y'a(t, 0п) = 0п или, что то же самое, lim а 1 g'а (t, аа) = 0п. Подставим (4) само в себя и получим

U = X (с)

a + JX 1 (z)g(т, X{r)a + y(t, a)Ут

= X (сС

a +

JX4 (r)g(т, X(т)а)dz +1 JX4 (r)gX(т, X(т)а)у(т, a)dz +

+

-1X4 (т)о(у(т, а

0

В структуре иа выделим линейное слагаемое Ха = X(о)а, затем из известной функции | X 1 (т)g(т, X(т)а^, исходя из ее гладкости, по формуле

Тейлора - первое нелинейное однородное слагаемое d(а) порядка k . Оставшиеся слагаемые р(а) будут иметь порядок выше k .

В силу представления (3) по свойствам матрицы X выделим случаи, связанные с оценкой нормы оператора монодромии. Рассмотрим вопрос об устойчивости решений в случае, когда спектральный радиус матрицы монодромии р(X) < 1.

Пусть р(X) < 1. Так как р(X) - нижняя грань ||X|| на множестве всех

ш К £е(0;1- р (X)) 11X1

матричных норм [4], то для любого 4 г 4 " существует такая Ц^11|, что р(X) < |XI < р(X)+ з , то есть ||х|| < 1.

Теорема 1. Если существует нормировка, при которой ||х|| < 1, то решение X = 0 п системы (1) асимптотически устойчиво [3].

Пример 1. Пусть дана система вида (1):

\x1 = -Xj + 2x2 - 2x24 + xj2x2 coslnt - xjx2 + x2 sin 2nt, I x2 = -x2 + 3x4 - xj2x2 coslnt + x,x2 - x2 sin 2nt

(5)

Проверим характер устойчивости ее нулевого решения.

Для данной системы Т = 1, фундаментальная матрица линейной части

имеет вид

X (t ) =

U 2te

V 0 e,

С

С

Значит матрица монодромии - X =

U 1 2te

V 0 е-1 ,

. Взяв, например, евкли-

дову норму, получим IIXI =л/ 3e + 2yÍ2e < 1. Следовательно, по теореме 1

нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Итак, при условии, что ||X|| < 1, вывод об устойчивости нулевого решения

не зависит от свойств нелинейных членов правой части. В этом смысле подобные случаи принято называть «некритическими» и остается лишь вопрос об оценке области устойчивости. Очевидно, в качестве такой оценки по лемме 1

можно выбрать шар ||a|| < 8 , внутри которого < (1 - c) ||а||. Далее рассмотрим «критические» случаи.

Допустим, d(a) = D(a)a, где D(a) - n x n -матрица (очевидно, такое представление не единственное). При этом D(aa) = а kD(a).

Теорема 2. Если при некоторой нормировке и при каком-либо способе выбора подходящей матрицы D(a) оказывается, что ||х|| = 1 и

Ц^1 + D(a)|| < 1 - CHI для всех малых ||a||, где c > 0, то решение x — 0п системы (1) устойчиво.

Доказательство. С помощью (3) получим оценку

' ш\л

||x(©, а| = ||X(a + d(a) + p(a))|| < ||X|| ||E + D(a| +

a (6)

na y

Так как lim а k ||^(aa)|| = 0, где k > 1, то существует S > 0 такое, что

l|p(acu и*-1 х

< — а . Тогда из (6) следует, что

a 2

с(®, a)|| < |a||

,, . ......... ,, nk-1 С II nk- 1 I II II f 1 Cu nk- 1 I II ||

||х(®, a )|| < lall 11 -Cía + —lia I = lall I ~||a I< ||a||-

Следовательно, по лемме 3 решение x — 0п устойчиво. Теорема доказана. Аналогично может быть установлено утверждение.

Теорема 3. Если ||x(E + D(a))| < 1 - c||a|| при некотором c > 0 и всех

малых ПН], то решение x — 0п системы (1) устойчиво. Пример 2. Пусть дана система вида (1):

Íxx — 2X-^ l X-^ 5X-^ Х-2 i 3 X-^ X2 x2, ^^

X2 — X-^ 3X2 4X2 3XjX2 l x1.

Для линейной части системы (7) X(t) =

(cost - sin t|

v Sin t cos t

. Для проведения

вычислений удобно выбрать Т = 2ж . Тогда ||Х|| = 1. Далее вычисляется d(а).

Заметим, что наличие квадратичных членов в правой части системы (7) затрудняет использование второго метода Ляпунова. При данном подходе вопрос об устойчивости связан со свойствами вектор-функции d (а), которая не содержит квадратичные слагаемые. Это свойство характерно для автономной системы, у которой матрица линейного приближения имеет только соизмеримые, чисто мнимые собственные значения.

Допустим,

(

d (a ) = D(a )a =

- 5ла12 - 5яа2

3

3

—wa, +—m2

v 4 1 4 2

3 2 3 2

— wa, — wa2

4 1 4 2

- 5wa2 - 5wa\

\

a1

Va2 J

Произведем оценку при достаточно малой ||a|| : ||E + D(a )||, =

: max 1 - 5wa1 - 5wa2 +

V

3 2 3 2

— wa, +—wa2

4 1 4 2

3 2 3 2

— тл — wa2

4 1 4 2

+11 - 5wa1 - 5wa2

J

: 1 -5wa12 -5wa2 + 3waf + 3wa2 = 1 -(5w-3w^|(a12 + a^)= 1 -w(a12 + a^).

По свойству аналитической эквивалентности норм [4, c. 387] для любого вектора а имеет место ||а|| > V21|a|| , поэтому a^ + a^ > 2||a||^. Таким образом,

17 2

при c = — w и всех малых Ц^ имеем ||E + D(a< 1 - j . Тогда по теореме 2

решение x = 0n системы (7) устойчиво. Этот вывод иллюстрируется на рисунке 1 (построен в пакете Maple).

траектории

интегральные кривые

Рис. 1. Геометрическая интерпретация устойчивости нулевого решения системы (7)

Определим при X = Е коэффициентные условия устойчивости решения х = 0 п для системы вида (1) и, положим, п = 2, к = 3,

d (а) = (ра3 + р2 а12 а2 + р3аха\ + р4 а2 q1af + 42а2а2 + q3а1а2 + q4 а2) (8) в формуле (3). В этом случае d (а) = D(а )• а, где D ( а ) =

' Р1а' + «1^2а1а2 + «2Р3а22 (1 " «1 ) Р2а' + (1 " «2 ) Р3а1а2 + Р4^ Л

ад2 + (1 - А) q2а1а2 + (1 - &) qзa22 а2 + &qзаа + q4а22

Р2 = «1Р 2 +(1 -«1 )Р 2 , Р3 = «2 Р3 +(1 «2 )Pз, 42 = РМ 2 + (1 - А ^ 2 д3 = А2д3 + (1 - А2 4, «г, - параметры, г = 1, 2.

Тогда Е + D(а ) =

' 1 + р1а12 + «1 р2 а1а2 + «2 р3 а^ (1 -«1) р2 а12 + (1 -«2) р3 а1а2 + р4г2^

V^а12 + (1 - А 4а1а2 + (1 - А2 ^3а22 1 + А1Ч2а12 + А2q3а1а2 + 44а1 У

(9)

В условиях теоремы 2 фигурирует оценка ||E + D(a)|| < 1- c||a|| . Чтобы проверить ее справедливость, рассмотрим несколько вариантов матричной нормы. Пусть || • || = || • Ц^ . В этом случае

\\E + D (a)|| =

II ^ ''Над

= max |l + PjOfj2 + a1 p2 a1a2 + a2 p3a2 +1(1 - a1) p2 af + (1 - a2) p3a1a2 + p4 a21, qiai2 + (j - 01 ) 42 aia2 + (j - 02 ) ^3a22 I + 1 + Р1Ч2 ai2 + P2 q3aia2 + 44 a22 } •

Для выполнения условия ||E + D(a< 2 необходимо, чтобы имели место на единичной окружности следующие оценки:

p1a12 + a2p2a2a2 + a2p3a^ < 0, (20)

P1q2a12 + P2q3a1a2 + q4a^ < 0. (11)

По критерию Сильвестра для оценки (10) необходимо и достаточно, чтобы

Р1 < 0,

1 2 2 , а для оценки (11) a2Р1Р3 - 4 а1Р2 > 0

042 < 0,

р142 44 - ~ 022 43 > 0

Последние неравенства в этих системах всегда верны за счет выбора а1, а2 и Д, (52 соответственно. Обозначим

^ (а) = 1 + р1а^ + а1 р2а1а2 + а2р3а2, +1(1 - а1)р2а12 + (1 - а2)р3а1а2 + р4а2 .

Очевидно, что условие ^ (а)< 0, требующееся для оценки ||Е + D(a)||ад < 1, достаточно проверить на единичной сфере, например, при исходно выбранной

II II гг. II II (\ I I |) 2 II II2 2 II ||2 | || ||2

норме а = 1. Так как а = тах) а, , а2 а, < а , а2 < а , а,а^ < а ,

II Над II Над N ^ I 2 |у у 1 || Над у А II Над у I 1 II Над"'

= 1 или |а21 = 1 при ЦаЦ^ = 1, то можно усилить оценку: ^ (а) < (Р1 + |(1 - а1 )Р2 |)а12 + (а1.Р2а1а2 - |(1 - а2 )Рза1а2 |Н (а2Р3 + |Р4 <

< тах{р1 +|(1 -а1 ^ а2 Рз +| Р 4 |}+ \ар\ +|(1 -а2 )Рз|-

Для улучшения оценки ^ (а) < 0 учтем, что |1 - а2| целесообразно уменьшить, поэтому а2 = 1 .

Итак, для выполнения условия ^ (а) < 0 потребуем, чтобы были справедливы неравенства

Р1 < 0,

< Р1 Рз > 0, (12)

тах{р1 +|(1 )Р2^ Рз +| Р 4 |}+ \ар\ < 0.

В то же время по критерию Сильвестра для оценки ^ (а) < 0 требуется выполнение условий

Р1 +|(1 -а1 )Р2\ < 0

(Р1 +|(1 - а1 )Р2 |)'(а2 Рз +| Р 4 |)-4 (а1 Р2\ +|(1 - а2 )Рз |)2 > 0. Здесь также целесообразно взять а2 = 1 . Тогда условия примут вид: Р1 +|(1 -а1)Р-\ < 0,

(Р1 + |(1 - а1 )Р2 I)• (Рз + IР4 I)- 4 (а1Р2 )2 > 0.

(13)

Таким образом, ^ (а )< 0 при выполнении одного из условий (12) или (1з), где а1 - некоторое число.

Аналогично для выполнения оценки

(а) = А4а12 + АЧза1а2 + 44а1 + |^1а12 + (1 - А 4а1а2 + (1 - А )ч: = (А42 + 41 |)а12 + (р24за1а2 + |(1 - А 4а1а2 |)+ (44 + |(1 - А )4з |)а2 <

< тах{а142 + 4[ 44 + |(1 - А2)4з|}+ $24з| + |(1 - А)4^ < 0 можно потребовать выполнение одного из условий (при А1 = 1):

42 < 0, 4244 > 0

тах {42 + |41 ^ 44 + |(1 - А2 4 |}+ | А4з | < 0

з а22

(14)

или

42 +4 < 0,

(42 + |41 \У (44 + |(1 - А2 4 |)- ^ (А24з )2 > 0

(15)

где [32 - некоторое число.

Таким образом, в силу проведенных рассуждений и по теореме (3) справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Если для системы (2) выполняются условия:

1) п = 2, k = 3;

2) имеет место равенство (8);

3) существует а1, удовлетворяющее одной из оценок (12) или (13);

4) существует (32, удовлетворяющее одной из оценок (14) или (15), то решение x = 0п системы (2) устойчиво.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]. -М. : Высшая школа, 1991. - 303 с.

2. Зубов, В. И. Теория колебаний [Текст]. - М. : Высшая школа, 1979. - 400 с.

3. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений [Текст]. - М. : Наука, 1966. - 332 с.

4. Хорн, Р.А. Матричный анализ [Текст] / Р.А. Хорн, Ч.Р. Джонсон. - М. : Мир, 1989. - 655 с.

REFERENCES

1. Bibikov, Yu.N. Kurs obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Text] [Course of ordinary differential equations]. - Moscow : High School, 1991. - 303 p.

2. Zubov, V.I. Teoriya kolebaniy [Text] [Theory of vibrations] / V.I. Zubov. - Moscow : High School, 1979. - 400 p.

3. Krasnosel'skiy, M.A. Operator sdviga po traektoriyam differentsial'nykh uravneniy [Text] [Translation operator of the differential equations]. - Moscow : Science, 1966 - 332 p.

4. Horn, R.A. Matrichnyy analiz [Text] [Matrix analysis] / R.A. Horn, C.R. Johnson. -Moscow : Mir (Peace), 1989. - 655 p.

N.M. Kudryashova

CONDITIONS FOR STABILITY OF THE ZERO SOLUTION OF THE PERIODIC SYSTEM

For systems of differential equations with periodic right part investigated the question of the stability of the zero solution with estimates of the norm of the operator of monodromy.

the system of differential equations, stability, operator of monodromy, norm of matrix.