Исследование устойчивости моделей биологической кинетики с помощью принципа максимума и метода гармоник Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия ТРТУ

Специальный выпуск

b(a)(x, t) = v(a)(x, t) ; b{a\x, t) = b+w(x, t) + b w(x, t) ; (x, t) e waX w

,(«)/

J.a)

(а)

b

-(a)

(x, t) = 1 [b(a) (x, t) +1 b(a) (x, t)| ] > 0 ;

2

b {a) (x, t) = 1 [b(a)(x, t) -|b(a) (x, t)]< 0 .

Тогда система ЛОС для каждой из компонент v(a) уравнения (1) в безын-дексной форме будет иметь вид

У - У +1 Т 2

У - У +1

Т 2

[b * a ^xa+ b+(a) y,a+ b-a У^ b~<a’ yxa]-

(^\)xa+ ] = 0, a = 1- > k k = 3

[b+(в) [ + b+(e) y, + b -^e) y в + b -<e) yV

(2)

VyxJ xe + (Vj x

= 0,

a = к +1,к + 2,...,2k, в = 2k +1 -a, к = 3.

(3)

Системы (2)-(3) запишем в виде трехточечных уравнений второго порядка. Для определения у}-1+а/2к получаем краевую задачу:

}-\+аИк }-\+аИк .1 }-\+аИк _ -г^}-1+(«-1)/2к .....

аа Уа-' - уа + Ьа уС‘ _ ~^а , (4)

1а_ 1,2,..., Ыа-1 по каждому из направлений ха, а_ 1,..., к, к _ 3.

Каждое из данных уравнений (4) решается методом факторизации трехточеч-.

УДК 519.63:532.55

А.В. Никитина

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА И МЕТОДА ГАРМОНИК

Рассмотрим модель биологической кинетики на примере пространственнонеоднородной модели динамики фитопланктонной популяции:

дХ ,. ^ . д ( дХ^ / л ^

+ (а0 + )Х ■ $ - 8Х, (1)

-------+ div(u ■ X) = цх AX +---------------

dt dz

dz

— + div( и ■ S) = nsAS + — \vs — | -( + ]M )X ■ S + В( - S)+ f, (2)

dt dz v dz )

Секция фундаментальной и прикладной математики (ТРТУ)

дЫ ,г , ,ч ., , д ( дЫ^ _

—— + dlv(u ■ Ы) _ циАЫ + — Уи—~ + в -£4, (3)

д д у д )

где X, 8, М, цх, |л,8, дм, ух, у8,ум - концентрация и диффузионные коэффициенты в горизонтальном и вертикальном направлении субстанций фитопланктона, биогенного вещества (^от, фосфор) и метаболита соответственно; и,У,Ш - компоненты вектора скорости; к2 _ к1 _ а0 + Ы коэффициент роста X; а0 - скорость

роста фитопланктона в отсутствии М; у - параметр воздействия; 5 - коэффициент убыли фитопланктона за счет отмирания; В - удельная скорость поступления загрязняющего вещества; Б' - предельно возможная концентрация загрязняющего вещества; f (1, х, у^) - мощность источника загрязнения; в - коэффициент экскреции; £ - коэффициент разложения метаболита; А - двумерный оператор Лапласа. К системе (1)-(3) необходимо добавить соответствующие начальные и граничные .

Задача о динамике фитопланктона (1)-(3) была реализована с помощью неявной разностной схемы, устойчивость которой исследовалась с помощью принципа максимума и признака Неймона. При исследовании получено, что принцип максимума дает более сильные ограничения на шаг по времени, гарантирующие сходи.