Научная статья на тему 'Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях'

Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
134
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГЦК / ОЦК / СТРУКТУРНЫЙ ПЕРЕХОД / УСТОЙЧИВОСТЬ / ПАРНОЕ СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ / КОНЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ / УПРУГИЕ ВОЛНЫ / FCC / BCC / STRUCTURAL TRANSITION / STABILITY / PAIR FORCE INTERACTION / FINITE STRAIN / ELASTIC WAVES

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю.

В работе исследуется устойчивость идеальной (без дефектов) ГЦК-решетки. Моделирование проводится на основе метода динамики частиц. Взаимодействие частиц, составляющих решетку, описывается при помощи парного центрального силового взаимодействия. В качестве критерия устойчивости используется условие вещественности частот упругих волн. Работа является продолжением исследования устойчивости треугольной решетки (одного атомного слоя ГЦК-решетки) при больших деформациях. Для ГЦК-решетки построены области устойчивости при растяжении/сжатии вдоль осей кубической симметрии. Проведено молекулярно-динамическое моделирование, не противоречащее результатам расчетов. Описан структурный переход ГЦК ОЦК. Показано, что при использовании потенциала Леннард-Джонса материал не теряет устойчивость при сколь угодно большом гидростатическом сжатии. Применение в тех же условиях потенциала Морзе позволяет описать потерю устойчивости. В шестимерном пространстве деформаций обнаружен структурный переход, в результате которого одна из осей кубической симметрии в отсчетной конфигурации становится осью [1,1,1] в актуальной конфигурации

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Подольская Е. А., Кривцов А. М., Панченко А. Ю.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Investigation of stability and struc- tural transition in FCC lattice under finite strain

In this work, the stability of an ideal (defect-free) FCC lattice is investigated. An analysis and modeling based on discrete atomistic methods is proposed. The medium is represented by a set of particles which interact by a pair forces of a central potential. A dynamic is used: the frequency of elastic waves is required to be real for any real wave vector. This work is a continuation of the investigation of the stability of a triangular lattice (one atomic layer of the FCC lattice) under finite strain. The stability regions are drawn in the case of strain along the axis of cubic symmetry. The results of direct MD simulation do not contradict the results of the calculations. The structural transition from FCC to BCC is described.When using Lennard-Jones potential, the material does not lose stability under arbitrarily large hydrostatic compression. The application of Morse potential in the same conditions allows us to describe the stability loss. In the six-dimensional space of deformations another structural transition is detected: one of the axes of cubic symmetry in the reference configuration becomes the [1,1,1] axis in the actual configuration.

Текст научной работы на тему «Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И СТРУКТУРНОГО ПЕРЕХОДА В ГЦК-РЕШЕТКЕ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ*

Е. А. Подольская1, А. М. Кривцов2, А. Ю. Панченко3

1. Институт проблем машиноведения РАН (ИПМаш РАН), магистр механики, мл. научн. сотр., katepodolskaya@gmail.com

2. Институт проблем машиноведения РАН (ИПМаш РАН), д-р физ.-мат. наук, профессор, akrivtsov@bk.ru

3. С.-Петербургский государственный политехнический университет, магистр физики, аспирант, ArtemQT@yandex.ru

Введение. В настоящее время актуальность приобретают задачи, связанные с оценкой прочностных свойств объектов, в силу своей малости обладающих бездефектной кристаллической структурой. Прочность материала тесно связана с его устойчивостью при конечных деформациях [1].

Целью данной работы является исследование устойчивости при больших деформациях идеальной (без дефектов) гранецентрированной кубической (ГЦК) кристаллической решетки. ГЦК-решеткой обладают многие металлы, например, медь, железо (при определенных условиях), серебро, золото, платина. Вопрос устойчивости ГЦК-решетки рассматривался, например, в [2, 3]. В работе [2] показано, что плотноупа-кованные ГЦК- и гексагональная плотноупакованная (ГПУ) структуры устойчивы в малом при любом парном центральном силовом взаимодействии частиц. В работе [3] рассмотрена устойчивость ГЦК- и объемно-центрированных кубических (ОЦК) кристаллов с применением псевдопотенциалов; показано, что потеря устойчивости при сжатии и фазовые переходы связаны с обращением в ноль модуля сдвига. В настоящей работе применяется динамический критерий (вещественность частот упругих волн); с его помощью, например, в работе [4] исследовалась устойчивость нового на-номатериала графена (один слой графита) с использованием парного моментного потенциала [5].

Настоящая работа является продолжением [6], где была исследована устойчивость двумерной треугольной кристаллической решетки — атомного слоя в ГЦК- и ГПУ-структурах — и было показано, что существуют дополнительные области устойчивости, связанные со структурным переходом в материале.

Взаимодействие частиц, составляющих решетку, описывается при помощи парного центрального силового взаимодействия. Это удобная и простая модель для построения теории, проведения аналитических расчетов и вычислительных экспериментов.

В ходе исследования обнаружена возможность структурного перехода ГЦК-решетки в ОЦК-решетку при диагональном тензоре деформации, главные оси которого совпадают с осями кубической симметрии. Кроме того, при наличии сдвиговых деформаций наблюдаются дополнительные области устойчивости, имеющие ту же природу, что и описанные в [6].

*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© Е. А. Подольская, А. М. Кривцов, А. Ю. Панченко, 2012

Критерий устойчивости. В работе применяется прямое тензорное исчисление [1]. В качестве закона взаимодействия используются потенциалы Морзе и Леннард-Джонса:

Пм (г) = В

,-2в(т/а-1) _ 2е-в(т/а-1)

Пы (г) = В

12

- 2

(1)

Здесь В — глубина потенциальной ямы, величина параметра в обратно пропорциональна ширине ямы. Вблизи положения равновесия при в = 6 потенциал Морзе эквивалентен потенциалу Леннард-Джонса с теми же значениями глубины потенциальной ямы и равновесного расстояния а [7]. Одно из отличий Пм (г) от П^/(г) состоит в том, что при сжатии материала в точку (г = 0) возникает конечная сила отталкивания, при в = 6 порядка 106В/а. Это позволяет проводить молекулярно-динамическое моделирование при сильном сжатии. Кроме того, быстрое затухание экспонент дает возможность ограничиться меньшим числом частиц. С помощью именно потенциала Морзе можно описать фазовый переход ОЦК^ГЦК, при этом значения параметра в лежат в пределах от 3 до 5 для ряда металлов, у которых наблюдается данный переход [8].

Для описания материала в отсчетной конфигурации введена система координат и положение каждой частицы связано с началом отсчета. Так как ГЦК-решетка простая, любую частицу можно выбрать в качестве нулевой. Частицам присваиваются номера к = ±1... ± N; частицы, расположенные симметрично относительно нулевой, имеют противоположные по знаку номера. Обозначим радиус-векторы, определяющие положения частиц относительно нулевой, через а^, причем а_к = —ак.

Далее будем рассматривать однородную деформацию, описываемую деформаци-

о о

онным градиентом И.У, где V — оператор Гамильтона в отсчетной конфигурации.

Для получения макроскопических уравнений используется длинноволновое приближение [9]. Это означает, что рассматриваются лишь функции, слабо изменяющиеся на расстояниях, сравнимых с длинами основных векторов решетки, то есть волны, длины которых много больше межатомных расстояний.

Связь между векторами Ак (радиус-векторы частицы в актуальной конфигурации) и а к с использованием длинноволнового приближения имеет вид

А к = И (г — а к) — И (г) « а к • VR = ^ • а к.

Запишем уравнение движения сплошной среды в форме Пиолы [1]:

о

рои = V- Р,

(2)

(3)

где ро — плотность материала в отсчетной конфигурации, и — вектор перемещений, Р —тензор напряжений Пиолы, определяющийся формулой (см. [7])

Р

1

— Ф к

П'(Ак) Ак '

(4)

Уо — объем элементарной ячейки

Далее исследуется первая вариация уравнения (3) вблизи деформированного состояния кристаллической решетки. В результате преобразований, более подробно описанных в [10], получаем волновое уравнение

V = 4д • • • vvv, (5)

6

где V = ¿и — первая вариация вектора перемещений, V — оператор Гамильтона в актуальной конфигурации, 4Р — тензор четвертого ранга, зависящий от первой и второй производных потенциала взаимодействия (усилий в связях и жесткостей связей), а также от геометрии окружения частицы [1, 7].

Решением уравнения (5) является V = voeгшíeгKR, К —волновой вектор, ш — частота. Если акустический тензор О = 4Р • •КК положительно определенный, то актуальная конфигурация устойчива [1]. Поскольку ш2 —собственные числа тензора О, то для любого вещественного К должно выполняться условие

ш2 > 0.

Для трехмерной задачи характеристическое уравнение ёе^Б — ш2Е) (Е — единичный тензор) имеет вид

аш6 + Ьш4 + сш2 + й = 0,

а = 1, Ь = — ^Б = —/ь с = 1/2^г2Б — ^Б2) = /2, й = — det Б = —/3,

где /1, /2, /3 —инварианты тензора Б.

Положительность корней кубического уравнения (7) равносильна:

/1 > 0, /2 > 0, /3 > 0, Д > 0,

Д = —4Ь3й + Ь2с2 — 4ас3 + 18аЬсй — 27а2 й2.

(6) 0

(7)

(8)

/ 1+ £х Ч<Рух 0 \

О 0 1+ £у

\ tg^xz 0 1 + ez /

Аффинная деформация ГЦК-решетки. Рассмотрим аффинную деформацию

(9)

Часть внедиагональных элементов полагаются нулевыми, чтобы исключить из рассмотрения эквивалентные деформированные состояния. Пусть оси ж, у, г совпадают с осями кубической симметрии. Предположим также, что tg^>yx = tg^>xz = tg^>zy = 0. Тогда левые части неравенств (8) будут однородными многочленами различных степеней от квадратов компонент волнового вектора К, коэффициенты — функции деформаций ех, £у, е2. Инвариант /1 есть диагональная квадратичная форма, поэтому необходимым условием устойчивости будет положительность коэффициентов этой формы.

Напишем достаточные условия, разбив левые части оставшихся неравенств на квадратичные формы в первых квадрантах. Будем применять метод Монте-Карло там, где, с одной стороны, достаточные условия показывают неустойчивость, с другой, необходимое условие показывает устойчивость. Метод Монте-Карло заключается в том, что для каждой точки из трехмерного пространства начальных деформаций £х, £у, £z составляются неравенства (8) и проверяется их смысл при различных К.

Утверждение. Имеем однородное неравенство Р(ж, у, г) > 0 на положительном октанте. Сделаем замену г = 1 — ж — у и получим неоднородный многочлен ^(ж, у) > 0 при ж> 0, у > 0, х + у< 1.

Рис. 1. Область устойчивости ГЦК-решетки в пространстве £ж, £у, при диагональном тензоре деформации (потенциал Морзе, 0 = 6).

Это утверждение используется для ускорения расчетов методом Монте-Карло с целью обеспечения минимального перебора лучей параметров.

На рис. 1 приведена область устойчивости ГЦК-решетки, частицы которой взаимодействуют посредством потенциала Морзе (1) с параметром в = 6. Рассматриваются три координационные сферы. Видим, что область устойчивости невыпуклая: имеется основная часть, вытянутая вдоль оси £х = £у = ^, и три небольшие области, примыкающие к ней в зоне сильного сжатия. Установлено, что при деформации, реализующейся в этих дополнительных областях, возникает структурный переход из сжатой ГЦК-решетки в ОЦК, сжатой вдоль осей кубической симметрии и повернутой вокруг одной из осей. Это происходит вследствие «выдавливания» некоторых частиц с «п»-й координационной сферы на «п + 1»-ю (рис. 2).

На рис.2 показан пример перехода ГЦК —> ОЦК при ех = еу = \/2/3 — 1, ег = 2/\/3 — 1; частица, принадлежавшая грани ГЦК-решетки, оказывается в центре ОЦК-решетки. На рисунке увеличены частицы, которые присутствуют и на рис. 2, а, и на рис. 2, б. На рис. 1 квадратами показаны три точки неустойчивого равновесия ОЦК-решетки. Неустойчивость связана с выбором потенциала взаимодействия, полученный результат согласуется с [8]. При уменьшении параметра в дополнительные области увеличиваются.

Рис. 2. Переход ГЦК (а) ^ ОЦК (б).

Отдельное исследование показало, что, как и в двумерном случае [6], использование потенциала Леннард-Джонса обеспечивает устойчивость материала при его гидростатическом сжатии, т. е. при его деформировании по линии £х = £у = £г, вплоть до деформаций, сколь угодно близких к точке £х = £у = £г = —1. При этом допо-нительные области, соответствующие ОЦК-решетке, не возникают, что согласуется с[8].

Также решена аналогичная задача деформирования ГЦК-решетки с учетом сдвиговых деформаций. Рассмотрим аффинную деформацию (9). Пусть теперь tg^>yx = 0, tg^xz = 0, tg^>zy = 0. Определитель аффинного преобразования (9) имеет вид

Det = (1 + еж)(1 + £у )(1 + ez) + tg^yxtg^xz tg^zy. (10)

Необходимо ввести ограничения на допустимые значения параметров деформации для того, чтобы аффинное преобразование было собственным (Det > 0), то есть каждая актуальная конфигурация была связана с отсчетной посредством непрерывной деформации. По аналогии с [6] положим все три тангенса положительными.

В ходе исследования областей устойчивости, построенных в шестимерном пространстве деформаций, обнаружены структурные переходы, в результате которых одна из осей кубической симметрии в отсчетной конфигурации становится осью [1,1,1] в актуальной конфигурации.

Молекулярно-динамическое (МД) моделирование. Для проверки полученных результатов использовался метод динамики частиц. Техника моделирования описана в [7]. Для ряда деформированных конфигураций проводился следующий вычислительный эксперимент. В качестве начального условия строилась ГЦК-решетка в деформированном состоянии с периодическими граничными условиями. Взаимодействие частиц осуществлялось посредством потенциала Морзе (1). Начальная кинетическая энергия частиц не превышала 0.0002Д. Эволюция системы описывалась при помощи численного интегрирования уравнений Ньютона методом Верле. Если в процессе эволюции системы наблюдались ограниченные по амплитуде колебания кинетической энергии вокруг некоторого значения, не превышающего 0.0002Д, то делался

Рис. 3. Область устойчивости ГЦК -решетки в пространстве вх, ву, в г при диагональном тензоре деформации, (потенциал Морзе, 0 = 6). Серым цветом показаны точки, полученные при помощи МД-моделирования. Максимальное гидростатическое сжатие составляет 60% при теоретическом подходе и 75% при МД-моделиро-вании.

вывод об устойчивости данной конфигурации. Если наблюдался резкий рост кинетической энергии, то деформированная конфигурация считалась неустойчивой. Области, полученные в результате молекулярно-динамического моделирования (рис.3), совпали с приведенными на рис. 1 в пределах точности компьютерных вычислений. Наблюдающееся расхождение при сильном сжатии связано с тем, что при аналитических расчетах использовалось фиксированное количество координационных сфер, тогда как при МД-моделировании с увеличением сжатия в рассмотрение включалось все больше координационных сфер. Временные затраты на построение зон устойчивости оказались несоизмеримо больше, чем при теоретическом подходе.

Выводы. В ходе исследования устойчивости ГЦК-решетки при больших деформациях выявлено два типа структурных переходов: ГЦК ^ ОЦК при сжатии вдоль осей кубической симметрии, ГЦК ^ ГЦК при добавлении сдвиговых деформаций. При использовании потенциала Леннард-Джонса не наблюдается переход ГЦК ^ ОЦК, материал не теряет устойчивость при сколь угодно большом гидростатическом сжатии. Молекулярно-динамическое моделирование дополняет результаты проведенного исследования в области сильного (60-75%) сжатия.

Литература

1. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

2. Wallace D. C., Patrick J. L. Stability of crystal lattices // Phys. Rev. 1965. Vol. 137. N 1A. P. 152-160.

3. Milstein F., Rasky D. Theoretical study of shear-modulus instabilities in the alkali metals under hydrostatic pressure // Phys. Rev. B. 1996. Vol.54. N10. P. 7016-7025.

4. Товстик П. Е., Товстик Т.П. Модель двумерного графитового слоя // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Вып. 3. C. 1-11.

5. Беринский И. Е., Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Применение момент-ного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графена // Изв. РАН. МТТ. 2007. №5. С. 6-16.

6. Подольская Е.А., Кривцов А.М., Панченко А.Ю., Ткачев П. В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки // Докл. РАН. 2012. Т. 442, №6. С. 755-758.

7. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. 304 с.

8. Теоретическая механика. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учеб. пособие / И. Е. Беринский и др.; под ред. А.М.Кривцова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. 144 с.

9. Born M., Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices. Oxford: Clarendon Press, 1954. 420 p.

10. Podolskaya E. A., Panchenko A. Yu., Krivtsov A. M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2011, 2 (2). P. 8490.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.