CC BY
80
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2181-2183
2181
УДК 538.911;539.32
ВЫВОД УПРУГОГО ЗАКОНА МОНОКРИСТАЛЛОВ МЕТАЛЛОВ ИЗ ПОТЕНЦИАЛА МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
© 2011 г. И.Ю. Зубко, О.В. Мелентьева, В.П. Морозова, В.И. Кочуров
Пермский государственный технический университет
Поступила в редакцию 24.08.2011
Исследуется вопрос об установлении связи между (двумя) параметрами потенциала Леннарда - Джонса, описывающего центральное взаимодействие атомов, и упругими модулями металлов с идеальной кристаллической ГЦК и ОЦК решеткой. Показано, что тензор линейно-упругих свойств С таких металлов является анизотропным и симметричным. Получено, что период решетки а* монокристалла макроскопических размеров связан с равновесным расстоянием для изолированной пары атомов а (первый параметр потенциала) для ГЦК материалов как а*СС = 1.3918а, для ОЦК материалов как а*!СС = 1.1251а. Получено представление второго параметра потенциала Леннарда-Джонса через период решетки а* и макроскопический модуль сдвига
О. Проведена верификация полученных соотношений: анизотропные модули Юнга и коэффициент Пуассона, вычисленные с помощью идентифицированных для меди значений параметров потенциала Леннарда-Джонса, отличаются на 2.0-3.5% от известных экспериментальных значений. Выведены зависимости упругих модулей, периода решетки и плотности от размера образца, показано, что с уменьшением его размеров модули уменьшаются, а равновесное межатомное расстояние растет. Рассчитаны значения модуля сдвига для образцов меди с характерными размерами от 10 нм до 1 см. Полученные результаты могут использоваться для уточненного расчета механических свойств наночастиц, упругий закон для которых, как показано в работе, является анизотропным, а упругие постоянные зависят от размеров частиц.
Ключевые слова: ГЦК и ОЦК монокристаллы, прямое вычисление упругих модулей, кубическая анизотропия, параметры потенциала Леннарда-Джонса, зависимость упругих модулей от размеров тела.
Развитие вычислительной техники расширило возможности дискретных подходов к описанию механического поведения твердых тел, включая их неупругое деформирование и разрушение. Так, метод молекулярной динамики/статики позволяет при задании потенциала межатомного взаимодействия описывать ряд физико-механических эффектов, сопровождающих деформирование монокристаллов. Полученные для них зависимости могут использоваться при построении многоуровневых упругопластических моделей поликристаллических металлов, мезоуровень ко -торых отождествляется с отдельным зерном (субзерном). Ядром дискретных подходов являются потенциалы взаимодействия, которые представляют собой приближенный способ описания взаимодействия частиц материала, качественно отражающий основные свойства атомов отталкиваться на малых и притягиваться на больших расстояниях. Получаемые количественные результаты определяются числовыми значениями параметров потенциалов. В настоящее время не су -ществует единых методик определения этих параметров для произвольных материалов.
В настоящем исследовании для анализа уп-
ругого отклика бездефектный монокристалл в форме куба подвергается заданной деформации. На его гранях в деформированной конфигурации в предположении наличия только центрального типа межатомного взаимодействия определяются силы, действующие на атомы из рассматриваемых граней со стороны всех остальных атомов тела. По ним без предположения о симметрии тензора напряжений Коши находятся его компоненты, которые раскладываются в степенные ряды по параметру деформации. Коэффициенты при первых степенях этих рядов принимаются за искомые упругие модули монокристалла. Материал, упругий по Коши с несимметричным тензором напряжений, описывается соотношением О = С:Уи, где О — тензор напряжений, Уи — тензор дИсТОрсИИ, СуЫ Ф С]Ш , СуЫ Ф С]Ш , СуЫ = СЩ .
то есть коэффициенты при первых степенях соответствующих параметров деформации (компонент У и) суть компоненты тензора линейно-упругих свойств С. Материал с кубической решеткой имеет 3 взаимно ортогональные оси симметрии 4-го порядка, совпадающие с кристаллографическими осями. С учетом всех свойств тензор С имеет четыре независимые компоненты, в ка-
честве которых выбираются компоненты с наименьшими значениями индексов в указанных осях: С1Ш, C1122, Cl2l2, C1221. Другие компоненты либо равны нулю, либо выражаются как:
^313 = ^121 = C2323 = ^131 = C3232 = C1212, C1133 = = Сэ311 = C2233 = C3322 = ^211 = C1122, C2222 = ^333 = = C1111, C1331 = C3113 = C2332 = ^223 = C2112 = C1221 •
Вводятся обозначения G12 = с1212, G21 = C1221,
Е11 = C1111, Е22 = ^^1122 •
Для ОЦК и ГЦК решеток для различных N получены коэффициенты разложения в ряд Тейлора при первых девяти степенях у при простом сдвиге. Для коэффициентов степенного ряда недиагональных компонент тензора напряжений вводятся обозначения: а*(у) =сг/(0) + Gijу +
ТТ 2 ТТТ 3 3 3 3
+ О у + О у + к Коэффициенты имеют строение
GlJ = а6(сО*а 6 + СО* а 6)Р / а15 и отличаются числовыми множителями С-1 * (N) и С2 * (N1, зависящими от числа атомов N. Оказалось, что коэффициенты при первых степенях у в разложениях С12(у) и С21(у) совпадают. Коэф -фициенты при четных степенях меньше коэффициентов при первых степенях на 15-18 порядков и ими можно пренебречь. Коэффициенты для 012(у) и 021(у) при нечетных степенях у, начиная с третьей, оказались различными. Эти члены дают вклад 1 -2-10-3% в значение компонент тензора напряжений, то есть тензор напряжений Коши симметричен. Вид зависимостей Сх * (N) и С2 * (N) найден методом наименьших квадратов в классе функций /(х) = а(х - х0)^ + Ь: С^сс (N) = = 1343.13^ + 0.47)-101 - 811.86 и С2°)СС (Щ = = -23608.90^ + 0.41)-1008 + 15367.82.
В пределе:
°п^сс = а6(-811.86а* +15367.82а6)р/а*15. (1)
„усе
= 1.3918а.
(4)
Для ОЦК решетки
е^іее (N) = 275.61^ + 0.63)
-1.009
121.33,
(5)
Для ОЦК решетки:
авсс /а = -0.0283(N -1.078)-102 + 1.1251,
а*всс = 1.1251а.
С использованием (1), (2), (4), (5) второй параметр потенциала Ленарда-Джонса в находится как:
в ^СС = 0.1500гсс (агсс )3 =
=0.0558Ю^сс (аГСС )3, (6)
ввсс = 0.1460всс (авсс )3 =
= 0.010230всс (аВСС )3.
Например, для меди (а°и = 0.3615-10-9 (м), ОСи = 4.55-1010 (Па)) получаем:
аСи = 2.5974 -10-10 (м), рСи = 1.1996,10-20 (н • м).
(7)
Вычисления показывают, что модуль сдвига для образца меди с размером 1 см равен О = = 4.54-1010 (Па), для образца с размером 1 мкм -О = 4.53-1010 (Па), с размером 100 нм - О = = 4.51-1010 (Па), с размером 10 нм - О = 4.28-1010 (Па). То есть с уменьшением размеров рассматриваемого объема монокристалла его модуль сдвига уменьшается. Аналогичные результаты получены в численном эксперименте.
Модули растяжения-сжатия определяются как (приведены для ГЦК решетки):
=а6(-2626.65а*6 + 37232.60а6)р/а*15
Е
^ее
22 С =а° (-2512.43а* + 27729.90а 0 )р/а*15.
(8)
е2ОВее (N) = -1356.20^ + 0.62)-1008 + 648.28,
ОС,вее = а6(-121.33а*6 + 648.28а6)Р/а*5. (2) Все касательные напряжения на гранях исходного недеформированного куба оказываются нулевыми, а нормальные напряжения совпадают между собой и выражаются через параметры а, в и а. При условии их равенства нулю получается однозначная связь параметра решетки а и параметра потенциала а, то есть в пределе при N ^ <» все упругие модули выражаются через параметры а и р. Так, для ГЦК решетки:
аЕее /а = 0.0104(N + 0.0834)-103 + 1.3918, (3) в пределе при N ^ «>:
С учетом соотношения (4) получено, что
Е[СС = 127.36вРСС /(арсс)3,
Е 22сс = 66.47в ^с /(а гсс )3,
т.е. коэффициент Пуассона V = С1122/(СШ1 + + С1122) = Е22/(Е11 + Е22) для ГЦК монокристаллов: ^сс = 0.343. В частности, для меди при полученных выше значениях параметров потенциала (7) следует, что
Е^ = 8.721010 (Па), Е£2и = 4.551010 (Па). (9)
Рассчитанное значение соответствует экспериментально определенной величине макроскопического модуля Юнга для сверхчистой литой меди: Е^11 = 8.40 -1010 (Па), отличие составляет 3.5%. Экспериментальное значение макроскопического коэффициента Пуассона меди равно Vой = 0.35, отличие - 2%.
Основные идеи, постановки и полученные при выполнении работы результаты обсуждались с проф. П.В. Трусовым (ПГТУ).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-08-00156-а).
DERIVING THE ELASTIC LAW OF METAL MONOCRYSTALS FROM THE INTERATOMIC INTERACTION POTENTIAL
I. Yu. Zubko, O. VMelentieva, V.P. Morozova, V.I. Kochurov
The ascertainment of connection between parameters of Lennard-Jones potential for central type of interatomic interaction and macroscopic elastic moduli of metals with ideal FCC and BCC lattice was studied. It is shown that the found linear tensor C of elastic properties for FCC and BCC materials is symmetric and anisotropic. The lattice period a, of macroscopic monocrystal was found to be equal to a*FCC = 1.3918a for FCC-lattice and to aF„CC = 1.1251a for BCC-lattice, where a is an equilibrium distance for the isolated pair of atoms (one of the parameters of Lennard-Jones potential). An expression for the second parameter of Lennard - Jones potential was represented using lattice period a, and macroscopic shear modulus G. The verification of the parameters showed that the difference between the experimental data and the values of the other elastic moduli calculated using these potential parameters is of the order of 2.0-3.5%. The dependences of lattice period, density and elastic moduli on the body size were found. It was shown that the smaller body sizes, the smaller the elastic moduli are. The values of the shear modulus for copper specimens of sizes from 10 nm up to 1 cm were calculated. The obtained results may be used in more precise estimations of mechanical properties of nanoparticles, for which the elastic law is shown to be anisotropic, and the elastic moduli depend on particle sizes.
Keywords: FCC and BCC monocrystals, direct calculation of elastic moduli, cubical anisotropy, Lennard-Jones potential's parameters, dependence of elastic moduli on body size.
