CC BY
35
УДК 691.791.5:532.78
А.А. Казинский, А.А. Игнатьев
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ФРОНТА ДЕНДРИТНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ СВАРОЧНО-НАПЛАВОЧНОГО ШВА
КАК ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрены вопросы устойчивости фронта дендритной кристаллизации в сплавах в переохлаждённой области локально расплавленного объёма, в условиях формирования концентрационного пересыщения примесью. Показана возможность реализации процесса кристаллизации в периодическом режиме и в режиме однократного экстремума для различных условий переохлаждения.
Сварочно-наплавочный шов, фронт кристаллизации, математическая модель.
A.A. Kazinskiy, A.A. Ignatyev
KINETIKS OF HOMOGENOUS NUCLEUS GROWTH IN THE ZONE OF CONCENTRATED OVERSATURATION BEFORE THE FRONT OF DENDRITIC CRYSTALLIZATION OF WELDING - SURFACING BATH
The article studies the problems of kinetics of dendrite growth in alloys in the overcooled area in conditions of formation of concentrated oversaturation by admixture. The possibility of existing processes as auto vibrations at dendritic crystallization and features of kinetics of dendrite growth depending on cluster structure of melt is shown.
Welding filling seam, crystallization front, mathematical model.
Существенное влияние на структуру и свойства сварочно-наплавочного шва оказывает периодичность кристаллизации расплава ванны. Ряд авторов указывали на возможность управления процессом дендритной кристаллизации расплава, в том числе периодическим изменением степени переохлаждения расплава ванны [1]. Для анализа кинетики кристаллизации расплава с учётом обогащения приграничного слоя расплава перед фронтом роста дендритов избытком примеси, извлекаемой из зоны формирующегося кристаллического строения сварочно-наплавочного шва, воспользуемся известным нестационарным уравнением пересыщения расплава за счёт диффузии примеси в активном районе двухфазной зоны [2]. Уравнение отражает наличие и взаимосвязи четырех видов физических явлений в системе зоны активного роста дендритных зародышей (АРДЗ) - пограничный слой расплава: теплопередачи, роста кристалла, диффузии примеси и движения расплава в пограничном слое с турбулизацией потока:
l0^АС + (km + kd)АС = ms(V :е) + (1 -k0)C0SN$(t)/So, (1)
dt
где kd = (1 - k0)P0C0S1N1^1 / S0 ; l0 - протяжённость АРДЗ; km - коэффициент массопередачи; С - концентрация примеси в расплаве в зоне АРДЗ; С0 - исходная концентрация примеси в расплаве ванны; плотность потока вещества (примеси) на границе твердой и жидкой фаз mS
зависит от скорости потока расплава V и степени шероховатости £, ш8 (V : £) = у(У )£; у(У) -
г
коэффициент вихревого взвешивания примеси в расплаве (1/с); £ = £(г) = |Я1(ЛТ(г))йг;
0
Я1 = ^(ЛТ (г)) - скорость движения фронта кристаллизации; ^1 - коэффициент роста скоро-
1 10 1 10
сти от переохлаждения; ЛТ (г) = — |ЛТ(г: г)йг = 0(г) -Р0 -ЛС (г); ЛС (г) = — |ЛС(г: г)йг;
10 0 10 0
ЛТ = Тп - Т ; ЛС = С - С0; Тп = Т0 - в0С ; Т0 - температура ликвидус чистого компонента растворителя сплава; во - коэффициент падения температуры ликвидус в сплаве (1/К); 0(г) - реально действующее переохлаждение относительно температуры ликвидус растворителя сплава; к' - коэффициент разделительной диффузии к' = С5/Си в своём пределе к' = к0, а к0 < 1 - равновесный коэффициент распределения примеси, к0 = 0,46 для углерода в стали; С - концентрация примеси в твердой фазе; С1 - концентрация примеси в жидкой фазе, в пределе С = С0; ^ - скорость роста объёма твёрдой фазы. дг
Первое слагаемое правой части (1) определяет плотность потока вещества, легкоплавкой примеси, размываемой из двухфазной зоны и её активного района под влиянием вихре-образования в пограничном слое от движения расплава. Второе слагаемое определяет прирост концентрации примеси в АРДЗ вследствие обогащения исследуемой фазы ликвирую-щими элементами в ходе кристаллизации. Обогащение исследуемой фазы ликвирующими элементами от растущих гомогенов может быть задано добавочным слагаемым, но с величиной N2, соответственно скоростью роста ^2 и коэффициентом распределения примеси к02, площадью поверхности и так далее.
¡0 аЛС + (кш + ка )ЛС = шя (V : £) + ((1 + к0) ОД^0(г) + (1 - к02) САN2^202 (г)) / ^; (2)
аг
¡0аЛС + (кш + ка )ЛС = (1 - к0) С0 ЗД^0(г) / ^ + (1 - к02) С0 ¿2 N 2^20(г) - 8 / ^ + аг
г
+ Ц1У|[0(г')-Р0ЛС(фг. (3)
0
Дифференцируя по г обе части уравнения и приводя к каноническому виду:
X = 0(г), У = ЛС (г); 2к = (кш + кл)/¡0; к2 =^7 / ¡0; А = ^у / ¡0; В = (1 - к^ОД^МШ,
С' = (1 - к02) С02512N2^28 /(¡0¿0), получаем систему, описываемую уравнением:
У + — У + —У = X + В+СХ . (4)
А А А
Рассмотрим характеристики системы с использованием методов теории автоматического управления, примем значения коэффициентов: с0 = 1; с1 = 2к; с2 = к ; Ь0 = В+С; Ь1 = А. Лапласово изображение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях:
(с0Р2 + с1 Р + С2 ) Хвых (Р) = (Ь0Р + Ь1) Хвх (Р) .
Передаточная функция:
к (Р) = Ь0р+Ь- . (5)
С0 Р + С1Р + С2
Для определения частотных характеристик звена на вход системы подаётся периодическое гармоническое воздействие Хвх = Хвх - в^‘ , где б7'™ = 008 юг + _/ 8Ш юг.
Выражение, позволяющее определить при данном периодическом возмущении на входе изменение амплитуды и фазы на выходе системы в зависимости от частоты ю имеет вид:
К (» = ,.Ь°2( ~/Ю) + Ь\-----. (6)
с0( Jю') + с1( Jю') + с2
Преобразуем выражение (6) с выделением действительной и мнимой частей:
• ч Ь0(ую) + Ь Ь0(ую) + Ь
к(у^) =------------------------------------2 , • 1-= 7- V 1- ч = Л(ю) +1 (ю), т.к. С0 = 1;
- с0ю + с1( ую) + с2 (с2 -ю ) + с1( ую)
к(» = Ь0(^+Ь1 = , Ьо(^ю)+). л = *(ю)+у(I(ю)); (7)
- ю + сД ую) + С2 (С2 - ю ) + С1( ую)
К( 7ю) = (Ь0(ІЮ) + Ь1)((с2 ~Ю ) ~ і(сіЮ))
и ; ((с2 -ю2) + Мю)) • ((с2 -ю2) - 7(сі©))
аю2 + у . в©-Ь0Ю
2 2 2 + 7--------^“2----------------------------------2 ’ (8)
(с2 -ю2)2 + (с1ю)2 (с2 -ю2)2 + (с1ю)2
где а = Ь0с1 - Ь1; в = Ь0с2 - с1Ь1; у = Ъ1с2. Тогда:
Я(т) = а©2 +Ї г (ю) = ю(в- Ьо©2)
(с2 -ю2)2 + (^ю)2 (с2 -ю2)2 + (с1ю)2 '
Теперь получим амплитудно-частотную характеристику системы:
К( /Р2(ю) , ,2(ю) д/“4(а2 - 2в Ьо) + ю2(2аУ + в2) -Ьо2Юб +У2 ;
К(7ю) = А(ю) = ^Л (ю) +1 (ю) = ^--------------- ------------^—-—-2-------------;
1 1 (с2 -ю2)2 + (с1ю)2
Л/ю2 (ю2 (є - Ь02ю2) + р) + X А(ю) = ^ К 20 1 , (9)
(с2 -ю2)2 + (с1ю)2
где є = а - 2в • Ь0; р = 2ау + в ; X = У , и фазочастотную характеристику системы:
I(ю) _ вю- Ь0ю
3
0(ю) = аг^--------------= arctg
Л(ю) ~ аю2 + у
Любая динамическая система характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении её равновесия каким-либо воздействием (изменением степени переохлаждения, наложением периодического воздействия источником тепла, например, периодической обработки токами высокой частоты). Переходный процесс у (г) зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда различают две составляющие:
1) свободные движения системы ус(г), определяемые начальными условиями и свойствами самой системы;
2) вынужденные движения ув(г), определяемые возмущающими воздействием и свойствами системы.
у(г) = Ус (г) + Ув (г). (10)
Одной из основных характеристик динамической системы регулирования является её устойчивость. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего указанное равновесие.
В нашем случае скачок переохлаждения должен сопровождаться стабилизацией степени пересыщения на новом уровне после скачкообразного изменения пересыщения.
Для устойчивой системы реакция на изменение нагрузки, возмущение - стремление свободной составляющей с течением времени к нулю
lim ус (t) ^ 0. (11)
Следовательно, характер свободного движения системы определяет её устойчивость. В отношении устойчивости линеаризованных систем А.М. Ляпуновым предложены теоремы, определяющие значение и сферу применения линеаризации нелинейных уравнений, т.е. правомерность отнесения к нелинейным системам большинства реальных систем.
Теоремы формулируются так:
1. Нелинейная система устойчива в «малом» (т.е. при малых начальных отклонениях), если отрицательны все вещественные корни характеристического уравнения системы, составленного для её линейного приближения.
2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы один корень характеристического уравнения линейного приближения имеет положительную вещественную часть.
При наличии чисто мнимых корней или равенстве нулю вещественного корня вопрос об устойчивости системы требует дополнительного исследования. Для нелинейных систем устойчивость в «малом» ещё не решает вопроса устойчивости в любых обстоятельствах. Устойчивость нелинейных систем зависит от величины возмущения.
Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением без правой части, тогда для определения устойчивости системы надо исследовать именно его. Решение такого дифференциального уравнения при всех вещественных корнях имеет вид:
n
yc (t) = £ , (12)
i=1
где Ai - постоянные интегрирования, определенные параметрами системы и начальными условиями; pi - корни характеристического уравнения свободного движения системы; t - время.
При наличии пары комплексных корней уравнения р i+1 = —Xi ± jpi в правую часть
формулы (12) будет входить слагаемое Aie~x,f sin(pit + фг.), где Ai - начальная амплитуда, ф/ -начальная фаза. Из (12) следует, что динамические свойства системы регулирования определяют значения pi и Ai.
Если все корни характеристического уравнения будут отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной вещественной частью, то каждое слагаемое в правой части (12) будет убывать при t ^ <^, а значит, и их сумма тоже будет стремиться к 0 и условие устойчивости будет удовлетворяться. Правда, характер стремления к 0 вещественных и комплексных корней будет различным. В первом случае уменьшение по экспоненте, во втором затухание колебаний также по экспоненте, что говорит о возможности существования колебательного переходного процесса.
Характеристическое уравнение имеет вид: с0 yc + с1 yc + с2 yc = 0. Разделим на c2, получим: (с0 / с2) yc + (с1 / с2) yc + yc = 0 , обозначив T12 = с0/с2; T2 = ejс2 , получим характеристическое уравнение в виде:
T? p2 + T2 p +1 = 0. (13)
Для колебательного звена должно выполняться условие: T22 — 4Г2 < 0.
Проведя расчёт для реальных значений коэффициента массопередачи, коэффициента разделительной диффузии и условий отвода примеси от границы раздела фаз, можно утверждать, что приведённое неравенство выполняется.
Корни характеристического уравнения (13) находят по известной формуле:
-Т ±, 1т2 -4Т2 А, = 2~1т} ' (14)
Так как параметры звена таковы, что соблюдается неравенство: Т22 + 4Т12 < 0, то корни характеристического уравнения будут комплексными с отрицательной вещественной частью
Т2 1 - Т
4Т1
2
Т2 1
и могут быть записаны в виде: р12 = -Я ± _/р, где - X = -^Т^’ Р = Т ^
Поскольку корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной вещественной частью, тогда каждое слагаемое правой части выражения (12) для решения линейного дифференциального уравнения при всех вещественных корнях будет с течением времени уменьшаться и при £ ^ ^ будет стремиться к 0. А значит, и сумма их будет стремиться к 0, и условие устойчивости (11) будет выполняться.
Итак, по результатам анализа, система роста дендритов с дополнительными источниками примеси в переохлаждённой зоне перед фронтом дендритной кристаллизации является устойчивой. При этом величина X - постоянная затухания звена, чем X больше, тем меньше затухают колебания. Затухание тем меньше, чем больше коэффициенты падения температуры ликвидус в сплаве, роста скорости кристаллизации от переохлаждения и взвешивания примеси в расплаве ванны из зоны АРДЗ. Затухание колебаний усиливается при увеличении коэффициента массопередачи в расплаве и потока примеси из твёрдой фазы в расплав за счёт разделительной диффузии.
Из предложенных зависимостей могут быть взяты условия:
1. У словие незатухающих колебаний.
2. Условие потери устойчивости фронта кристаллизации, которая приводит к неограниченному росту пресыщения перед фронтом кристаллизации.
Последнее условие может быть выведено из наличия среди корней характеристического уравнения хотя бы одного вещественного положительного корня или хотя бы одной пары сопряжённых комплексных корней с положительной вещественной частью. Для одного случая условие неограниченного роста пересыщения и перехода на гомогенную кристаллизацию можно определить уже сейчас. При Т22 - 4Г2 > 0 корни рхд характеристического уравнения (13) получаются вещественными и определяются из равенства (14). Если в этом равенстве хоть раз получится (+), то устойчивость будет потеряна. Корень будет всегда положителен, знаменатель - тоже, концентрация примеси перед дендритным фронтом будет неограниченно возрастать.
Следует отметить, что если выполнить условие Т22 - 4Т|2 > 0 и не выполнить условие
л/ТмТ2 > Т2 , то корни характеристического уравнения будут вещественными, но не положительными, и процесс будет устойчивым, но не колебательным. Он представится апериодической кривой, которая ни при каких начальных условиях не может иметь больше одного экстремума, а звено станет не колебательным, а апериодическим звеном второго порядка.
Неустойчивость системы может появиться и в случае, когда по определению колебательного звена корни характеристического уравнения Т12 р2 + Т22 р2 +1 = 0 должны быть комплексными и иметь отрицательную вещественную часть. Это возможно при положительных
коэффициентах и при выполнении условия Т22 - 4Т12 < 0 . Первое условие всегда соблюдается в соответствии с физической сущностью коэффициентов, а вот второе условие соблюдается не всегда и требует проверки. При положительном значении показателя степени в формуле корня характеристического уравнения система будет неустойчивой и отклонение параметра регулирования (пресыщения) от начального значения с течением времени будет неограниченно возрастать в колебательном процессе.
Т
Учитывая, что -X = - -^Тт, единственный вариант такой неустойчивости Т2 < 0, тогда
или с\ < 0 или с2 < 0, то есть или к < 0, или к < 0. к = Л/Р0Ц1У/ 10 - положительно, к = (кш + кй) / 2ф0, к < 0 может быть, если только кт - коэффициент массопередачи на границе АРДЗ имеет отрицательный знак, т.е. текущая плотность примеси в АРДЗ меньше начальной плотности Со, что возможно при условии связывания примеси в зоне АРДЗ в химическое соединение третьим компонентом.
Обеспечение торможения процесса роста дендритов возможно при условиях, обеспечивающих Т22 + 4Т12 < 0 и ^Т22 - 4Т12 > Т2 .Однако следует учесть и влияние числителя в передаточной функции на переходную функцию. Выводы, сделанные выше, останутся справедливыми при рассмотрении системы как линейной, однозвенной, незамкнутой. Этот подход может быть продуктивен при реализации элементарных возмущающих воздействий, которые часто используются на практике. Таким образом, приведённый анализ кристаллизующегося расплава сварочно-наплавочной ванны как динамической системы позволяет определить условия изменения характера дендритной кристаллизации и устранения неоднородности структуры шва, связанной с ней.
ЛИТЕРАТУРА
1. Раямяки П. Определение основных характеристик температурного поля для оценки типа затвердевания металла шва при сварке плавлением / П. Раямяки, В.А. Кархин, П.Н. Хомич // Сварочное производство. 2007. № 2. С. 42-48.
2. Самойлович Ю.А. Системный анализ кристаллизации слитка / Ю.А. Самойлович. Киев: Наукова думка, 1983. 248 с.
Казинский Алексей Алексеевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Материаловедение и высокоэффективные процессы обработки»
Саратовского государственного технического университета
Kazinskiy Aleksey Alekseyevich -
Candidate of Technical Sciences,
Assistant Professor of the Department of «Materials Science and High-efficiency Treatment Processes» of Saratov State Technical University
Игнатьев Александр Анатольевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета
Ignatyev Aleksandr Anatolyevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of «Automation and Technological Processes Management» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 11.11.09, принята к опубликованию 14.01.10
