Исследование устойчивости динамических систем методами квантовой информатики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-77

Исследование устойчивости динамических систем методами квантовой информатики1

Ю. И. Богданов1,2 3, Н. А. Богданова2, Д. Ю. Кулько3

1 Физико-технологический институт Российской академии наук, Москва 2Национальный исследовательский университет «МИЭТ» 3Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Исследование динамических систем имеет фундаментальное значение для задач управления физическими, техническими и социально-экономическими системами. В настоящем исследовании на примере систем Лоренца и Рёсслера разработан метод дополнения произвольной классической динамической системы до квантовой системы. С использованием математического формализма Гамильтона — Якоби выполнено исследование уравнения Шрёдингера, описывающего соответствующий квантовый статистический ансамбль. Наряду с исходной динамикой системы, отвечающей координатному пространству, рассмотрена присоединенная динамика, отвечающая импульсному пространству. Одновременное рассмотрение взаимно-дополнительных координатной и импульсной картин обеспечивает более глубокое понимание природы хаотического поведения динамических систем. Показано, что новый формализм обеспечивает существенное упрощение процедуры вычисления показателей (экспонент) Ляпунова. С точки зрения квантовой оптики, системы Лоренца и Рёсслера соответствуют трехмодовому квантованному электромагнитному полю в среде с кубической нелинейностью по полю. С вычислительной точки зрения, развитый формализм дает основу для анализа сложных динамических систем при помощи квантовых компьютеров.

Ключевые слова: динамическая система; системы Лоренца и Рёсслера; квантовая система; формализм Гамильтона — Якоби; показатели Ляпунова; квантовая информатика; управление социально-экономическими системами.

Рене Декарт (1596—1650) рассматривал философию как науку, основанную на математических методах. Дедукция Декарта была своего рода «всеобщим исчислением», призванным, опираясь на метод Евклида, свести физику к геометрии, а геометрию к алгебре. Мечтой Декарта было «превратить познание из кустарного промысла в промышленное производство». Говоря современным языком, он мечтал об автоматизации логических умозаключений и в этом смысле стоял у истоков того, что сегодня называют информационными технологиями (включая квантовые методы обработки информации).

© Богданов Ю. И., Богданова Н. А., Кулько Д. Ю.

В наши дни, по прошествии более чем 350 лет со времени жизни Декарта, можно отметить преемственность его идей в работах многих выдающихся людей, в том числе Дж. Буля (1815—1864), И. И. Же-галкина (1869—1947) и Р. Фейнмана (1918—1988). Настоящая работа посвящена исследованию динамических систем методами квантовой информатики.

Представление классических динамических систем на языке квантовых статистических ансамблей. Классическая динамическая система описывается посредством стационарной системы дифференциальных уравнений следующего вида:

dxj / dt = Ку(х1,..., хп),у = 1, ..., п. (1)

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект 13-07-00711), а также программой Российской академии наук в области фундаментальных исследований.

Декартовский рационализм и современная наука: материалы научно-практической конференции

Здесь п — размерность динамической системы. Формально можно считать, что система (1) задает движение точки (некоторой частицы) в п-мерном фазовом пространстве. Величины К-(хР ..., хп) задают компоненты скорости частицы как функции координат. Стационарность системы означает, что время t не входит явным образом в функции К, задающие правую часть системы (1).

В качестве иллюстраций будем рассматривать две важные динамические системы: Лоренца [1] и Рёсслера [2]. В обоих случаях точка движется в трехмерном пространстве (х1, х2, х3). Компоненты скорости для системы Лоренца есть:

F1 = —ax1 + ax2, F2 = rx1 — x2 — x^3, F3 = — bx3 + XjX2.

(2)

F1 X2 X3' F2 X1 + aX2,

F3 = b + x1x3 — cx3.

(3)

В этом случае также будем использовать «стандартные» параметры модели, введенные в статье [2] и имеющие следующие значения: а = 0,2; Ь = 0,2; с = 5,7.

Описание динамической системы на языке статистических ансамблей предполагает введение соответствующей

плотности распределения р(х1, ..., хп, 0 в фазовом пространстве. При этом величина р йху..йхп задает вероятность нахождения частицы в элементарном объеме йх,...йх .

1 п

Описание на языке статистических ансамблей сводится к замене системы уравнений (1) уравнением непрерывности для плотности распределения, в традиционной записи имеющим вид:

др

dt

-+ div J = 0.

(4)

Очевидно, что в нашем случае компоненты вектора тока есть / = Кр.

Уравнение (4) нетрудно привести к виду, напоминающему уравнение Шрёдингера:

Будем считать, что параметры модели имеют следующие значения, чаще всего используемые в численных экспериментах: a = 10, b = 8 / 3, r = 28. Система Лоренца появилась изначально как первое нетривиальное приближение для задачи о сотовой конвекции жидкости в плоском слое (cellular convection). Оказалось, что система Лоренца может быть использована и в ряде других задач, таких как модель одномодового лазера и дис-сипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Модель Рёсслера полезна при моделировании состояний равновесия в некоторых химических реакциях с перемешиванием в рамках модели «трехмерного смесителя» (3-dimensional blender). Компоненты скорости для этой системы есть:

'' = -F ¿г ''I

j j

(5)

Здесь Ь — оператор Лиувилля. Далее предполагается суммирование по повторяющемуся индексу (в формуле (5) — по индексу у).

Уравнение типа (5) широко используется в работах по статистической механике, среди которых отметим работы И. Пригожина и его учеников [3].

Важно, что в случае, когда дивергенция скорости не равна нулю

. - щ

(ШуР — —-^0), оператор Лиувилля дх]

оказывается неэрмитовым (Ь+ ^ Ь).

Однако в случае несжимаемого потока в фазовом пространстве, когда дивергенция скорости оказывается равна нулю (дК / дху = 0), он становится эрмитовым (Ь+ = Ь). Пример такого несжимаемого потока дает гамильтонова динамика классической динамической системы.

Далее ограничимся рассмотрением динамических систем, для которых оператор Лиувилля (5) не является эрмитовым. Для таких систем движение в фазовом пространстве не сводится к движению несжимаемой жидкости

и не выполняется теорема Лиувилля для сохранения фазового объема. В частности, для системы Лоренца дБ.

^ = - (а + 1 + Ь) < 0.

]

Это означает, что фазовый объем экспоненциально быстро уменьшается с течением времени. Для системы Рёсслера дивергенция имеет следующее непостоянное значение, зависящее от координаты х1: дF.

—- = а — с + х,.

дх. 1

-

И здесь, для точек аттрактора, возникающего в условиях представленных выше параметров, отрицательные значения дивергенции превалируют, что приводит к уменьшению фазового объема системы с течением времени.

Путем явного вычисления можно показать, что уравнение непрерывности в фазовом пространстве (4) и (5) может рассматриваться как следствие уравнения Шрёдингера для пси-функции (в общем случае комплексной):

I ^ = Нф, Н = —¡К— д? 1 дх

I 1

ее классического аналога (5). В частности, наряду с координатным представлением можно рассматривать другие представления: например, импульсное.

С вычислительной точки зрения, решение уравнения (6) может строиться на совершенно новой элементной базе: на интенсивно разрабатываемых сегодня квантовых компьютерах и алгоритмах квантовой информатики, нацеленных на решение уравнения Шрёдингера. С точки зрения квантовой оптики, аттракторы Лоренца и Рёсслера соответствуют сильно сжатым состояниям электромагнитного поля.

Уравнение Шрёдингера (6) может рассматриваться одновременно и как уравнение Гамильтона — Якоби, если представить его в следующем виде:

д1 ' дх,

1дЛ

2 дх,

2 дх (6)

J 1

При этом р = |ф|2.

Важно отметить, что гамильтониан Н в уравнении Шрёдингера (6) оказывается эрмитовым, тогда как оператор Лиувилля в уравнении для плотности (5) таковым не является.

Уравнение (6), имеющее форму уравнения Шрёдингера, можно рассматривать как естественное расширение формализма динамических систем на квантовую область. Все свойства и характеристики динамической системы, содержащиеся в уравнении для эволюции плотности (5), можно получить из решения уравнения Шрёдингера (6). Вместе с тем к исследованию уравнения Шрёдингера (6) можно применять методы и подходы, разработанные в квантовой механике. Причем динамика квантовой системы (6) богаче динамики

я|>. (7)

V ---7

В случае комплексной пси-функции уравнение (7) распадается на два независимых уравнения для действительной и мнимой частей соответственно, поэтому ниже будем предполагать, что пси-функция действительна.

В соответствии с основами формализма Гамильтона — Якоби введем канонические импульсы:

_ дф

дх

(8)

Как видно из (7) и (8), волновая функция ф динамической системы играет такую же роль, что и действие £ в классической механике. Напомним, действие £ классической механики отвечает за фазу пси-функции в квазиклассическом приближении в нерелятивистской квантовой механике.

В духе описания Лагранжа рассмотрим полную производную от функции ф. Эта величина характеризует скорость изменения поля в системе координат, сопутствующей с рассматриваемой движущейся точкой.

Декартовский рационализм и современная наука: материалы научно-практической конференции С учетом (7) получаем:

= д^ + д^

ЧГ

+

д1 = _ 1

йх.

дх.

]

д¥.

(И

(9)

2 дх.

Рассмотрим логарифмический градиент поля:

п.

= 1 д^

Ж

= В

1 д

2дх]

Ж

(11)

Уравнения (11) мы представили посредством матрицы В, элементы которой есть:

Вк = -

дх.

(12)

50

40, 30, ' 20 10,

а)

^ дх. ^ " (10)

Введенная величина позволяет представить эволюцию градиента в чистом виде (избавившись от явной зависимости поля от времени).

Для динамики логарифмического градиента поля имеет место следующее уравнение:

На рисунке представлена совокупность взаимно-дополнительных картин для системы Лоренца: координатная (а) и импульсная (б). Направления импульсов задают направления максимального сжатия в фазовом пространстве.

б)

Аттрактор Лоренца в координатном (а) и в импульсном (б) представлении

Показатели Ляпунова для систем Лоренца и Рёсслера. Спектр показателей Ляпунова характеризует устойчивость статистического ансамбля в фазовом пространстве.

В силу диссипативности рассматриваемых систем сумма показателей Ляпунова должна быть отрицательной. Благодаря условию диссипативности аттрактор является притягивающим множеством нулевой меры в фазовом пространстве. Все точки, независимо от их начального положения, экспоненциально быстро приближаются к аттрактору и концентрируются на нем с течением времени.

Направление, задаваемое единичным вектором

^ п

п =

|п|

вдоль логарифмического градиента, задает направление максимального сжатия фазового объема. В этом случае показатель Ляпунова Х3 = Хп наименьший (максимален по модулю и отрицателен).

Направление максимального сжатия П ортогонально другому направлению, определяемому скоростью движения системы в фазовом пространстве: V = ¥2, ^3). Соответствующий единичный вектор есть:

V =-

IV

20

В этом направлении фазовый объем системы в среднем не сжимается и не расширяется, соответствующий показатель Ляпунова Х2 = \ равен нулю. Наличие нулевого показателя обязательно для любого аттрактора, кроме неподвижной точки, что связано с ограниченностью решений в координатном представлении. Можно показать, что возмущение, отвечающее сдвигу вдоль траектории, как раз характеризуется нулевым показателем Ляпунова [4; 5].

Наконец, введем единичный вектор т, ортогональный двум первым. В направлении т фазовый объем в среднем расширяется, что соответствует положительному показателю Ляпунова Х, = Х . Наличие положительного показа-

1 т

теля является характерной чертой странного аттрактора (который в противном случае не был бы таковым). Именно положительный показатель Ляпунова приводит к возникновению в динамической системе неустойчивости и, соответственно, хаоса.

Результаты численных расчетов показателей Ляпунова для аттрактора Лоренца есть:

Х1 = 0,90410 ± 0,00076, Х2 = -0,000082 ± ± 0,00017, Х3 = -14,57068 ± 0,00075.

Полученные нами значения близки к таковым, полученным Дж. К. Шпроттом (I. С. БргоИ) [4] и С. П. Кузнецовым [5]:

Х1 = 0,897, Х3 = -14,563 (С. П. Кузнецов); Х1 = 0,906, Х3 = -14,572 (I. С. БргоИ).

Результаты численных расчетов показателей Ляпунова для аттрактора Рёс-слера есть:

Х1 = 0,07062 ± 0,00066, Х2 = 0,000048 ± ± 0,00018, Х3 = -5,3937 ± 0,0018.

Полученные нами значения близки к полученным Шпроттом: Х1 = 0,0714, Х3 = -5,3943 (I. С. Брго«).

Аттракторы Лоренца и Рёссле-ра представляют собой фракталы.

Фрактальная размерность Каплана — Йорке (Kaplan — Yorke) задается следующей формулой:

d = 2 +

aKY 2 ^ .

В нашем случае получаем следующие приближенные значения:

dKY = 2,062 (аттрактор Лоренца),

dKY = 2,013 (аттрактор Рёсслера).

Итак, нами разработан метод дополнения произвольной классической динамической системы до квантовой. В качестве примеров взяты системы Лоренца и Рёсслера. Уравнение Шрёдингера для соответствующего квантового статистического ансамбля было описано в терминах формализма Гамильтона — Якоби. Показано, что совместное рассмотрение взаимно - дополнительных ко ординатно -го и импульсного описаний обеспечивает более глубокое понимание природы хаотического поведения в динамических системах. Новый формализм обеспечивает значительное упрощение расчетов показателей Ляпунова.

С точки зрения квантовой оптики, системы Лоренца и Рёсслера соответствуют трехмодовому квантованному электромагнитному полю в среде с кубической нелинейностью. С вычислительной точки зрения, новый формализм обеспечивает основу для анализа сложных динамических систем с использованием квантовых компьютеров. Генерация трех- и многофотонных состояний в нелинейной среде представляет собой базовую технологию для создания полномасштабных квантовых вычислительных устройств.

Литература

1. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20. P. 130—141.

2. Rössler O. E. An Equation for Continuous Chaos // Physics Letters. 1976. Vol. 57A. № 5. P. 397—398.

Декартовский рационализм и современная наука: материалы научно-практической конференции

3. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика / Пер. с англ.; ред. Д. Н. Зубарев. М.: Мир, 1964. 314 с.

4. Sprott J. C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford: Oxford University Press, 2003. 507 p.

5. Кузнецов С. П. Динамический хаос. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2006. 356 с. (Современная теория колебаний и волн).

Богданов Юрий Иванович — доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией Физико-технологического института РАН; профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники (КФН)

МИЭТ; профессор кафедры физики конденсированных сред Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ».

E-mail: bogdanov_yurii@inbox.ru

Богданова Надежда Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 (ВМ-2) МИЭТ. E-mail: hm2@miee.ru

Кулько Даниил Юрьевич — студент Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». E-mail: kulkodaniil@gmail.com