ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621. 452 : 532.162 : 69. 094.4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПЕРФОРИРОВАННЫХ

ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ А.А.Афанасьев, Кьи Со

В работе на основе гипотезы спектрального суммирования повреждений исследуется влияние конструктивных параметров на усталостную долговечность перфорированных панелей, находящихся под действием равномерно распределенного стационарного случайного давления. При этом используются результаты по расчету макромодулей и коэффициентов концентрации силовых факторов изгибаемых и растягиваемых перфорированных пластин.

В работе описана процедура расчета напряженного состояния густо перфорированных цилиндрических панелей при действии стационарного случайного нормального давления. В работах Болотина В. В. [1] показано влияние случайных нагрузок действующих на пластинки и оболочки вращения. Процесс низкочастотных колебаний густо перфорированных оболочек предполагается изучить исследуя колебания сплошной, в общем случае анизотропной оболочки, жёсткостные характеристики которой равны соответствующим характеристикам перфорированной оболочки. 1. Исследование напряженного состояния перфорированных цилиндрических панелей

Рассматриваются соотношения кинематическими и силовыми факторами в технической теории анизотропных цилиндрических оболочек. Пусть и,ш — компоненты вектора перемещения точек срединной поверхности оболочки в системе координат х,у,г (рис.1)

-^У

у,

->Т,

—тщ '

N У

Q

2

2

Рис.1. Силовые факторы в срединной поверхности оболочки в системе координат Х,у,г

Тогда деформации в1,в2,ш12 и к1з к 2,т вычисляются по формулам

си сУ ш Эй сУ

=—, в2 =--1--,ш12 =--1--,

сХ су R су сХ

Э ш Э ш „ Э ш

т = -2

^ (1)

сХ Эу ЭхЭу

Связь усилий Т15Т2,Б в срединной поверхности и моментов М1,М2,Н12 с деформациями и кривизнами устанавливается интегрированием законов Гука по толщине оболочки с использованием гипотез Кирхгофа-Лява

Т = h(Bl 181 + в1282

+ В16 ю12>;

Т2 = И(В1281 + В22 8 2 + В26 Ю12); б = h(Bl6Sl + в2бб2 + В66Ю12);

М1 = DllKl + Dl2 к 2 + Dl6т;

М2 = Dl2 К1 + ^^22 к 2 + D26т; (2)

Н12 = ^6 К1 + ^^26К 2 + где И — толщина оболочки;

— упругие постоянные анизотропии.

Энергия упругой деформации П и кинетическая энегия Т (без учета инерции вращения) имеют вид

П = — Ц [Т1е1 + Т2е2 + Бю12 + М1к1 + М2 к 2 + H12т]dxdy;

2 'f ph

T - p2h JJ

cU у ( Sv J2 ( Sw

"ST J +l sT J

(3)

dxdy.

где P — плотность материала оболочки;

F — площадь срединной поверхности. 2. Уравнения колебаний оболочки

Согласно принципу Остроградского-Гамильтона [1,5], из различных движений, переводящих систему из начального состояния в момент времени t0 в конечное в момент времени 11 ,реализуется движение, удовлетворяющее уравнению

5 р(Т -П + Ap)dt + р 5Add1 = 0. (4)

где Ap — работа консервативных внешних сил;

Ad — работа консервативных сил на вариациях и перемещений системы. Рассмотрим движение панели под действием нормального давления р(1) = р cos rat (5)

Демпфирующие силы считаем направленными по нормали к срединной поверхности

Sw

и линейно зависящими от

2

Тогда

Ар =Ц pwdxdy, 5Ла Swdxdy.

а

(6)

Имея в виду исследование колебаний, разыскиваем перемещения в виде и(х, у, Ь) = и:(х, y)cos ю Ь + и2(х, у^т ю Ь;

v(x,y, Ь) = v1(x,y)cos ю Ь + v2(x,y)sin ю Ь; (7)

w(x, у,Ь) = w1(x,y)cos ю Ь + w2(x,y)sin ю Ь;

Подставляя (7) в (4) и интегрируя в пределах периода 2 л: / ю , получаем

¡в [Цу^+- ЦЦу^+П(u2,v2,w2)]+

+Р

wldxdy}-к wl5w2)dxdy=0

р

р

(8)

Пусть = 1,2,......,п)— обобщенные координаты дискретных систем,

аппроксимирующих поля перемещений и1^1^1 и и2^2^2 соответственно. Тогда 1 п

T(uk,vk,wk) = 2 £ М^Г

2 4=1

1 п

П(Uk,Vk,Wk) =- X с//к^(к) (к = 1,2)

2 и=1

Р|| Wldxdy = £^(1);

Б j=1

, ,

(9)

Подставляя (9) в (8) и учитывая произвольность вариаций обобщенных координат, получаем уравнения вынужденных колебаний пластины (С - ю2Л)р + юВр = Q,

- юВр + (С - ю2А)Р2 = 0,

с = С

А = а;;

В = В1;

'Л11 ' II 'Л11 ' II Ч||1 '

F1 = (^)Ц, F2 = (^(2))Ц, Q = (р,)Ц

где С,А,В — матрицы жесткости, масс и демпфирования соответственно; F1 и F2 — векторы обобщенных координат и сил. Элементы матрицы В вычисляются по формуле

В

Если оба индекса ь j соответствуют перемещению ш и полагаются

В = 0

(11)

(12)

Полагая в (10) в противном случае В — — 0. Получаем систему уравнений для нахождения частот Ю и форм р собственных колебаний пластины

(С -ю2А)Р = 0

(13)

Вычисление матриц жесткости, масс демпфирования и вектора узловых сил для элемента осуществляется по известной схеме метода конечных элементов [3] на ЭВМ. Нумерация элементов и узлов приведена на рис.2.

и

II

и

X

Ри*

Вычисление всей панели осущ элементов.

и

Таким образ анизотропной цилин

матриц

4-

значений и к реше

3

ом

реализация которых ^г

нель ра

10

естк

ости,

ляется

3

ени

ческой па

нию

ВМ осу

7

тем

та 12 эле

15

с д

емп

м

слож

7

14

13

задач о

6

нели своди

1ы л

5

12 йны

вл

я п1

тов и узло

20

12

овани

я существ 11

бст 10 ых

к алгебраи

х ал

аич

етодам . 16 ->

я и вектора узловых сил для

19

(их компонентов матриц

18

и вынужденных колебаниях 17 ;ой проблеме собственных ских уравнений, численная б5 "аусса.

3. Определение спектральных плотностей напряжний в панели [6,7,8]

5

8

9

Пусть перфорированная панель подвержена действию равномерно распределенного стационарного случайного давления р(^ со спектрального плотностью Зр(та).

Плотность f (р) распределения амплитуд Р давления подчиняется закону Рэлея

р2

Р - — г

ДР) = — е 2—, — = | БДта^та, (15)

^ та

где — — дисперсия.

Требуется определить спектральные плотности Зох (та),Зоу (та)

напряжений 0 X Э 0 у' ^ ху в панели (в дальнейшем будем их обозначать символом о (та) . 4. Расчет усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей

Предполагается разработать алгоритм расчета усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрическоих панелей, находящихся под действием стационарного случайного давления, основанный на допущении о том, что перфорированная оболочка исчерпывает свой ресурс, если в какой-либо ее точке начинается процесс разрушения.

Гипотеза спектрального суммирования, предложенная В.Л. Райхером в работе [4], позволяет сформулировать феноменологическую инженерную теорию расчета долговечности, использущую связь между статистическими характеристиками нагрузок и характеристиками выносливости образца в виде кривых Велера.

Примем ,что образец подвержен действию стационарного нормального случайного процесса нагружения со спектральной плотностью амплитуд напряжений (та), представленной на рис.3.

Плотность ¿Хо) распределения амплитуд напряжений о в образце подчиняется закону Рэлея

ад = 0 е2—, — = | Зо (та)ёта (16)

та

где — — дисперсия.

Примем для образца единую, не зависящую от частоты приложения нагрузки, кривую зависимости числа циклов до разрушения N от амплитуды а гармонического напряжения в виде

Ыот = А (17)

где т и А — параметры, опреляемые экспериментально.

В качестве примера на рис.4. приведена кривая Велера для нормализованной при 900 С стали.

Согласно гипотезе спектрального суммирования, усталостная долговечность определяется по формуле

2лА

Т =

L(m)[f 8а (ю)Ю2/1МЮ]—/2

Ю (18)

L(m) = 2т/ Г( 2 )

где Г(——) — гамма-функция. График функции приведен на рис. 5.

Рис.3. Спектральная плотность амплитуд напряжений

Программу перфорированных метода конечных напряженных сос действием равн изменяющегося во под действием ста Рассмотрим двоякопериодическ

10 L(m)

10 т 12

I А ХЛ.ХЛ. у.

й долговечности использованием ший, прогибов, аходящихся под гармонически ей, находящихся

бленную

Вп = 11,828х1010Н/м2; В12 = 2,8333х 1010Н/м2; В16 = 0,0Н/м2; В22 = 11,719 х1010Н/м2; В26 = 0,0Н/м2;В66 = 2,7392 х1010Н/м2;

А = 0,9 м ; В = 1,2 м ; р = 0,7850 х104кг/м3;

Для пластинки R = 0.1000Е+12 м и цилиндрической оболочки R = 0.2347 м .

В таблице.(1,2) данны расчетные долговечности в узлах равномерной сетки 7*9, полученные с учетом концентрации напряжений на отверстиях. При этом используются результаты по расчету коэффициентов концентрации силовых факторов изгибаемых и растягиваемых перфорированных пластин.

Таблица.1.

Расчетные долговечности в узлах равномерной сетки пластинки

час час час час час час час

1,53Е+04 8,32Е+06 1,05Е+04 1,28Е+08 1,27Е+06 1,99Е+08 6,81 Е+04

4,07Е+08 6,98Е+06 3,97Е+05 5,12Е+05 2,23Е+05 4,64Е+07 5,64Е+07

1,53Е+07 4,82Е+04 1, 12Е+09 1,11 Е+04 1,51 Е+04 2,52Е+05 3,00Е+07

1,67Е+09 2,04Е+04 3,73Е+03 9,36Е+03 3,23Е+05 1,20Е+07 1,29Е+08

2,58Е+07 1,05Е+03 2,03Е+04 2,40Е+02 1,05Е+06 2,17Е+08 1,16Е+06

1,92Е+08 2,81 Е+04 4,65Е+02 2,72Е+03 1, 16Е+05 6,89Е+06 9,07Е+07

4,25Е+05 3,97Е+04 9,11 Е+06 1,85Е+02 2,91 Е+00 4,29Е+03 8,61 Е+04

1,89Е+09 9,06Е+05 8,36Е+03 1, 13Е+05 2,35Е+05 5,68Е+07 1,04Е+08

2,00Е+08 1,41Е+10 1,63Е+05 6,36Е+09 8,72Е+08 7,16Е+11 4,18Е+08

Таблица.2.

Расчетные долговечности в узлах равномерной сетки оболочки

час час час час час час час

7,58Е+09 1,59Е+13 5,23Е+08 2,08Е+12 1,51 Е+09 2,84Е+11 5,11 Е+07

7,10Е+11 1,53Е+12 3,11Е+10 4,99Е+07 1,15Е+08 4,82Е+08 1,06Е+11

1,33Е+09 3,73Е+10 6,78Е+09 5,80Е+05 1,60Е+09 5,34Е+06 2,35Е+09

1,24Е+12 1,72Е+10 2,35Е+08 2,01 Е+07 1,01 Е+06 5,63Е+07 2,41 Е+11

4,71 Е+09 1,62Е+09 1,17Е+09 1,84Е+08 4,41 Е+08 8,63Е+09 8,56Е+08

4,86Е+12 5,50Е+09 1,27Е+07 9,44Е+07 3,25Е+07 1,33Е+10 7,39Е+12

1,92Е+09 1,40Е+09 9,24Е+07 3,58Е+08 3,08Е+06 1,52Е+08 1,87Е+09

2,73Е+13 1,85Е+11 3,11 Е+09 4,00Е+10 9,62Е+09 4,74Е+11 2,75Е+12

1,52Е+10 1,25Е+14 7,81 Е+11 5,82Е+11 7,75Е+08 3,81 Е+11 2,14Е+09

Литература

1. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,-1979.-335с.

2.Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука , 1970 .- 556 с.

3.3енкевич О. Метод конечных элементов в технике . М.: Мир , 1975.- 541с.

4.Райхер В. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для усталостной долговечности при действии случайных нагрузок. //Труды ЦАГИ. 1969.-с. 3 - 39.

5.Светлисский В. А. Случайные колебания механических систем М.: Машиностроение , 1976.- 215с.

6.Исследование динамических характеристик густо перфорированных систем./Фильштинский Л.А.и др.//Труды Сумского филиала ХПИ.- Сумы,1979.- 57 с.

7.Исследование напряженного состояния густо перфорированных систем при динамических нагрузках./.Фильштинский Л.А. и др.//Труды Сумского филиала ХПИ-Сумы, 1980.- 52 с.

8.Исследование динамических характеристик густо перфорированных цилиндрических панелей при стационарных случайных нагрузках./Фильштинский Л.А. и др.//Труды Сумского филиала ХПИ.-Сумы, 1981.- 90 с.

9.Фильштинский Л. А. Напряжения и смещения в упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий .// Прикл. матем. и механика.- 1964, т. 28, №3, с. 430-441.

10.Фильштинский Л. А. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий.// Прикл. матем. и механика. 1972, т.36, №4, с. 682-690.