Изучение долговечности изотропных пластин при широкополосном акустическом нагружении с различными видами функции взаимной спектральной плотности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том ХЬV

2014

№ 2

УДК 539.3

ИЗУЧЕНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ШИРОКОПОЛОСНОМ АКУСТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ С РАЗЛИЧНЫМИ ВИДАМИ ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ

ПЛОТНОСТИ

В работе рассматривается влияние функции взаимной спектральной плотности внешнего широкополосного акустического поля на долговечность шарнирно закрепленной по периметру металлической изотропной пластины конечных размеров. Проведенные расчеты показывают зависимость долговечности пластины не только от частотного спектра акустического поля, но и от вида функции взаимной спектральной плотности.

Ключевые слова: пространственная корреляционная функция, взаимная корреляционная функция, изотропные пластины, акустическая прочность, долговечность.

Одними из основных конструктивных элементов самолета являются изготовленные из различных материалов панели обшивки. Во время полета они подвергаются как статическим, так и динамическим воздействиям. Одним из видов воздействий являются акустические нагрузки, которые приводят к появлению усталостных повреждений, снижающих долговечность конструкции планера самолета.

Общие методы расчета долговечности пластин и оболочек, подверженных внешнему широкополосному акустическому воздействию, были разработаны в [1 — 3]. Расчеты, выполненные на основе этих работ, показали удовлетворительное согласование с экспериментом, хотя в отдельных случаях потребовалось введение эмпирических коэффициентов.

С. Л. ДЕНИСОВ, А. Л. МЕДВЕДСКИИ, Г. В. ПАРАНИН

ВВЕДЕНИЕ

ДЕНИСОВ Станислав Леонидович

аспирант МАИ

МЕДВЕДСКИИ Александр Леонидович

доктор физико-математических наук, декан аэрокосмического факультета МАИ

ПАРАНИН Геннадий Васильевич

ведущий инженер, ОАО «Корпорация Иркут»

В более общем случае отклик пластин на внешнее случайное воздействие с широким спектром в предположении, что внешняя нагрузка случайна как по времени, так и по пространству, был изучен в [4]. Дальнейшее развитие данный подход получил в работах [5 — 7], где были получены выражения для спектральной плотности напряжений и корреляционной функции напряжений для пластины при различных условиях закрепления по периметру и при различных видах частотной спектральной плотности давления. Необходимо отметить, что в работах [6, 7] акустическое поле также предполагалось полностью коррелированным по поверхности пластины.

Большинство существующих ныне в авиации методик [8 — 10] оценки долговечности пластин и оболочек основывается на работах [1 — 3] с учетом экспериментально определенных в [11] коэффициентов для различных элементов конструкции планера. Отличительной особенностью этих методик является то, что внешнее акустическое поле предполагается либо полностью коррелированным по поверхности, либо описывается плоскими волнами.

Оригинальный подход к расчету долговечности авиационных конструкций, подвергающихся внешнему акустическому воздействию, как с широким, так и с узким спектром был предложен Блевинсом в [12]. Он отказался от идеи полностью коррелированного поля на поверхности, заменив его полем собственных функций краевой задачи для пластины или оболочки. Расчеты, выполненные по его методике, показали результаты, близкие к расчетам, выполненным в [11, 13].

Иной подход к проблеме отклика пластин был предложен в работе [14], где с использованием метода интегральных канонических разложений рассматривался отклик безграничной пластины при различных видах взаимной спектральной плотности внешнего акустического давления на поверхности пластины. Были рассчитаны спектральные плотности ускорений. Вид частотной зависимости для спектральной плотности не конкретизировался.

Таким образом, имеется несколько методик по расчету долговечности пластин и оболочек, в которых внешнее поле рассматривается либо полностью коррелированным по поверхности, либо имеет специальный модельный вид.

Следовательно, интересно рассмотреть долговечность пластин и оболочек, подвергающихся внешнему акустическому воздействию, при различных видах функции взаимной спектральной плотности.

В данной работе рассматривается отклик шарнирно-закрепленной по периметру прямоугольной изотропной пластины при четырех различных видах взаимной спектральной плотности и двух видах частотной спектральной плотности.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА СПЕКТРАЛЬНОГО ОТКЛИКА НА АКУСТИЧЕСКОЕ

ВОЗДЕЙСТВИЕ

В работе рассматривается поведение изотропной прямоугольной пластины конечных размеров а х Ь при различных видах внешней акустической нагрузки с широким частотным спектром (рис. 1).

I М 11111

а

У

Рис. 1. Геометрия рассматриваемой задачи

Общее рассмотрение линейного отклика пластины на внешнее широкополосное акустическое воздействие подробно рассмотрено в [4 — 7]. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение пластины при внешнем нестационарном воздействии, имеет вид:

рк

д 2и д 2

ди

2п--+ ОА и = д(х, у, t),

д1

(1)

где А2 — квадрат оператора Лапласа; д (х, у, t) — внешнее акустическое поле давления;

рк — постоянная, описывающая инерционные свойства материала механической системы (в данном случае произведение плотности материала пластины на ее толщину); п — постоянная, описывающая диссипацию энергии в системе; О — цилиндрическая жесткость; и = и(х, у, 0 — перемещение.

Пусть функция и (х, у, t) представима в виде и (х, у, t) = 2 /п ^)фп (х, у), где /п ^) —

п=1

играющая роль коэффициента разложения функция, зависящая от времени; фп (х, у) — собственная функция краевой задачи для бигармонического оператора ОА2фп (х, у) = А,пфп (х, у).

Также предположим, что собственные функции краевой задачи удовлетворяют условиям

ортогональности, т. е

, Т. е. |фп (x, у)фт (x, у

, где ф — постоянная величина, назы-

ваемая квадратом нормы собственной функции, — площадь поверхности недеформированной пластины.

Разлагая функции /п ^) в интеграл Фурье и проводя все необходимые преобразования (например, [5]), получим итоговые выражения для спектральной плотности напряжений (, г', ю):

36О2

(ш Р2 (т, п)

к4 т^пНт ин»

д2фт (^ у) + у д2фт (х, у)

дх 2

ду2

д 2Фп (х', у') + уд 2фп (х', у')

дх '2

ду'

(2)

где Нт (ю) = -ю2 + ^ + 2/8тю — частотная передаточная функция исследуемой пластины;

0.т — собственная частота колебаний пластины; 5т — величина, характеризующая демпфирование; Бд (ю) — спектральная плотность внешнего акустического поля.

7-2

Величина Р2 (т, п) = 2 \—-у ГГо(х, у, х', у')фт (х, у) (х',у')йхйуйх'йу'

Ы1 тп(Рк) 5 5

называется

акцептансом механической системы и характеризует взаимодействие акустического поля с собственными колебаниями пластины; О(х, у, х ', у') — взаимная спектральная плотность акустического давления на поверхности, подвергающейся внешнему акустическому воздействию.

Выражение для спектральной плотности напряжений (, Г , ю) имеет вид, анало-

гичный (2), с заменой дифференциального оператора

д2фт (х, у)+у_д2фт (^ у)

д2фт (х у) , у д2фт (х У)

дх2

ду2

на

ду2

дх 2

В соответствии с теоремой Винера — Хинчина для стационарного внешнего акустического поля, значения среднеквадратичных напряжений выражаются через спектральные плотности напряжений посредством соотношения:

1 +<

(с2 (, 0) = - | ¿С (, г', ш)ш.

(3)

Тогда выражения для среднеквадратичных значений напряжений ^с2 (г, г')) и (а2у (г, г')

имеют вид:

(с2 (г, ?')) = Е 1С [ (х, У)] [ (, У')]2 (т, п)К

(4)

(с2 (, 7)) = Е С [ (х, У)] [фп (, у)2 (т, п)Ктп,

(5)

где 1С [фт (х У)] =

д2фт (х У) , у д2фт (х У)

дх2

дУг

1С [фт (х У)] =

д2фт (X У) , у д2фт (X У)

дУ2

дх2

линейные дифференциальные операторы для напряжений вдоль оси х и У соответственно, а через

1+< £ (ш)

Ктп обозначены частотные интегралы вида — I ---ёш. Из полученных ш-соотно-

2 Нт (ш)НЛш)

шений следует, что среднеквадратичные напряжения зависят от вида частотной спектральной плотности и акцептанса акустического поля.

Также в дальнейшем нам понадобятся выражения для моментов спектральной плотности, посредством которых проводится вычисление долговечности конструкции. Эти моменты выражаются через спектральную плотность напряжений следующим образом:

1 +<

Ык = - |шк£С (, г', ш)ёш.

(6)

Из определения (6) следует, что нулевой момент спектральной плотности равен возникающим в пластине среднеквадратичным напряжениям.

МОДЕЛИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Частотная спектральная плотность внешнего поля имеет максимум и описывается соотношением

(ш) = фо ( ^ | ехР .ш

где ш — частота, на которой достигается максимум частотной спектральной плотности. Рассматриваются следующие виды функции взаимной спектральной плотности:

А. Взаимная спектральная плотность внешнего акустического поля постоянна по всей поверхности пластины: О (х, У, = 1;

Б. Взаимная спектральная плотность внешнего акустического поля дельта-коррелированна по всей поверхности пластины: О(х, У, ^) = А5(х У , где А — постоянная, имеющая размерность площади и характеризующая масштаб корреляции;

В. Взаимная спектральная плотность внешнего акустического поля имеет конечные масштабы корреляции по поверхности пластины: О(х, у, ^) = ехр(-а|х -фехр(—3|у где а

и р — постоянные величины, обратные масштабам корреляции в отдельно взятом направлении.

Тогда с учетом того, что для пластины с шарнирным закреплением по периметру собственные функции краевой задачи имеют вид:

получим следующие выражения для спектральной плотности напряжений Б* (г, Г, ю):

(, г', ю) =

36О2

I

5:(ю)Р2(т, п, г, я) . IптхЛ .

пгх

Х81ПI - 181П

т, п, г, я Нтп (ю)Нгя (ю)

пяу'

81П

81П

ппу

2 2 п т

2 2 п п

а

2 2 2 2 п г п я

—~--+ V——

(7)

где Р2 (т, п, г, я), как и прежде, выражение для акцептанса:

16 а а Ь Ь ,

Р2 (т, п, г, я)= 2^2( ?)2 ЦЦО(, у, х ', у')1п|-I х

„и р а (8)

Ь (Рк) 0000

. , ппу К I пгх \ . | пяу ,,,,,,, Х81п I-181п I-181п I-I ахауах ау .

Сделаем замечания относительно представленных выражений для взаимной спектральной плотности и частотной спектральной плотности акустического поля.

Рассмотрим полностью коррелированное поле по поверхности пластины. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы на длине и ширине пластины укладывалось не более одной полуволны внешнего звукового поля. Иными словами, для длин волн X > л/5, где Б — площадь поверхности пластины, выполняется условие полной корреляции поля по поверхности пластины.

Характерные размеры ячейки панели фюзеляжа самолета составляют ~500 х 100 мм, откуда следует, что в продольном направлении условие полной корреляции выполняется для частот до 330 Гц, а в поперечном — до 1500 Гц. И если учесть, что собственные частоты колебаний шарнирно-закрепленных пластин лежат в диапазоне от 200 — 400 Гц, условие (А) можно считать вполне приемлемым для расчетов.

Случай дельта-коррелированного поля является модельным, и ему сложно сопоставить встречающиеся в авиации случаи акустического воздействия, так как для этого размеры ячейки панели должны быть много больше длины волны падающего акустического излучения. Тем не менее, эта модель вполне применима для рассмотрения случая полностью некоррелированного поля.

Модель с конечными масштабами корреляции описывает структуру акустического поля, изменяющегося по поверхности пластины. Как правило, коэффициенты а и р, имеющие смысл величин, обратных масштабам корреляции, зависят от частоты внешнего поля. Но в данной работе они будут считаться постоянными.

Модель частотной спектральной плотности, имеющей пиковое значение, впервые использовалась в [5]. Данная модель вполне реалистично описывает частотную зависимость спектральной плотности, но характеризуется быстрым (экспоненциальным) убыванием вклада высоких частот.

Тем не менее, такая модель также иногда применяется при расчетах спектров, имеющих ярко выраженный максимум. Основным достоинством данной модели спектральной плотности является то, что она допускает получение точного аналитического решения.

ЗАМЕЧАНИЯ К РАСЧЕТУ ДОЛГОВЕЧНОСТИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ПО РАЗЛИЧНЫМ ТЕОРИЯМ

Теперь рассмотрим подробнее расчет долговечности механической системы при акустическом воздействии с широким спектром [15 — 17]. Для оценки срока службы конструкции необходимо знать, как накапливаются усталостные повреждения во время эксплуатации.

В большинстве теорий расчет накопленных усталостных повреждений от воздействия акустических нагрузок осуществляется в соответствии с гипотезой линейного суммирования [15]. Считается, что усталостные повреждения конструкции от разных уровней нагрузки независимы друг от друга и линейно суммируются, т. е. суммарное повреждение Ц^игаЬ можно определить из соотношения

АыаЪ =ЕтТ, (9)

г=1

где п — число циклов нагрузок данной величины, действующих на конструкцию в течение определенного промежутка времени; N — число циклов нагрузок этой же величины, необходимых для разрушения конструкции; К — число уровней нагрузок.

Такой метод применим в случае гармонического или полигармонического детерминированного акустического воздействия.

При строгом выполнении гипотезы линейного суммирования Ц}игаъ = Е-^ = 1. Однако

^ N

1=1 1

I для

случайных чередовании повторных нагрузок, что характерно для широкополосных акустических воздействий, отчетливо проявляется тенденция уменьшения величины Ddurab [15]. Поэтому для оценки усталостной долговечности элементов, находящихся под акустическим воздействием, вместо критерия Ddurab = 1 используется критерий Ddurab = 0.3 или Ddurab = 0.5.

В случае, когда механическая система откликается только на первой собственной частоте, долговечность такой системы можно рассматривать с привлечением узкополосных методов: метода пересечений или метода амплитуд. Если же система откликается одновременно на нескольких частотах, то необходимо применение более совершенных методик [16, 17].

В данной работе проводится расчет долговечности пластины с помощью узкополосного метода (метода пересечений), метода амплитуд для узкополосного процесса, метода амплитуд для широкополосного процесса [16] и метода спектрального суммирования (метод Райхера [17]).

Запишем основные расчетные соотношения для этих методик. Для расчета долговечности в узкополосном приближении используется следующее соотношение:

T =-2n4veler.--, (10)

N+(2Mо ) 2 Г^ 2 +

где N+ = у]M 2 Mo — среднее число пересечений (с положительной или отрицательной производной) нулевого уровня за единицу времени; M0), M2 — нулевой и второй моменты спектраль-

ной плотности; А^— + ^ — гамма-функция; АУе1ег и I — постоянные, определяемые усталостной кривой Велера.

Для расчета долговечности по методу амплитуд в узкополосном приближении используется следующее выражение:

Т =

2пА

¥е1ег

М +(2М0 ) 2а[| +1)'

(11)

где М+ = ^ М 4/М2 — среднее число максимумов (или минимумов) в единицу времени; М4 —

четвертый момент спектральной плотности. Данное выражение переходит в (20) при М+ « N+, что справедливо для узкополосных сигналов.

Для расчета долговечности по методу амплитуд для широкополосного процесса (метод Ковалевского) используется следующее соотношение:

Т = -

2п А

Уе1ег

М 2

\М0М 4

Мо (2М0)2 г(2 +1)

(12)

Данное соотношение получается из (10) путем умножения на фактор нерегулярности

I =

М 2

М0М 4

Для расчета долговечности с помощью метода спектрального суммирования (метода Райхера) используется следующее выражение:

Т = -

2п А

Уе1ег

ю

21

М0

-ё ю

¡/2

(13)

V/2 ГГ 1

(2М0 ) 2 Г|2 +1

Отметим, что в соотношениях (10) — (13) долговечность выражается в секундах.

Необходимо обратить внимание на то, что при построении усталостной кривой пользуются понятием цикла. В данной работе под циклом подразумевается одно колебание, совершаемое пластиной. Таким образом, выраженная в единицах времени (в секундах) долговечность равна произведению периода колебаний на число колебаний.

РАССМОТРЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧАСТОТНОЙ

СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Теперь, возвращаясь к модели пластины, шарнирно закрепленной по периметру, рассмотрим вычисление интеграла вида

К^п =

1 +< 21

5д (ю)

2 -< нт (ю) я: (ю)

-ё ю

содержащего выражение для частотной спектральной плотности. Вычисления данного интеграла будем проводить с помощью теории вычетов. Тогда выражение для частотного интеграла имеет вид:

Кт

пФ о

_82

|(1_252) ( (

' (ла + ВС)

(а2 + в2 )(с2 + в2)

О 8Ш

2ю2 ^лЯ_52

V V

(ю-)2

| ( _ Н С08

2ю2 8л/1 _82

(и*)2

/у

(14)

где

(лй_В2) „. / ,--ч

О =-)1_ 252) + (28л/1 _52 );

(ЛА + ВС )

(Лй _ В2 )/ ,--ч . „.

Н =-)28л/ 1 _52 )_(1 _252);

= 7-

1 Юг? 1+—-

\

V ютп /

; В = 811-

ю.

(ЛА + ВС )

ют

; С = V—

1

V ютп /

На рис. 2 представлена зависимость безразмерной функции

© (А, А, Й, ютп, ю*)

_[ю»*п| (1_282) ( (

и*Л (ЛА + ВС)

л/1-82 (Л2 +В 2 )(С 2 + В 2)

О 8Ш

2ю2 8>/1-82

тп

(ю*)2

| ( _ Н СО 8

2ю2 ^лЯ-82

тп

(ю*)2

//

V V

от отношения частот у = ютп при различных значениях параметра затухания 8.

Как было сказано выше, функция ©(А, А,Й, ютп, ю*) зависит от постоянной демпфирования 8, параметра ю* и отношения частот у. Видно, что при у = 1 она имеет ярко выраженный острый максимум, ширина и высота которого зависят только от постоянной демпфирования (рис. 2, 3). В случае 8 ^ 1, что обычно бывает в авиационных конструкциях, при рассмотрении

10

1 1 1..........

I .....................!.......... — 5 = 0.1 -5 = 0.017 — 5 = 0.01 ....

1

|

1

------- ■ ■У

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Рис. 2. График зависимости функции ©( Л, В, С, ютп, ю*) от параметра у при разных значениях 8 (отношение частот юп / ю* = 1)

Рис. 3. То же, что на рис. 2, но отношение частот юп/ ю* = 0.1

выражения (14) можно пренебречь вкладом слагаемых с у Ф 1. Тогда при у = 1 выражение для частотного интеграла примет вид:

ктп = ПФ0^ 4 Ю

(1-252)

4(ю*) <тп5

,/Г-

2ю2

С08

2ю2

(ю*)2

(15)

/у

Следует заметить, что с повышением собственной частоты колебаний пластины выражение для среднеквадратичных напряжений быстро убывает. Из этого можно сделать вывод, что для оценки среднеквадратичных напряжений, а следовательно, и долговечности пластины, в первом приближении можно ограничиться рассмотрением нескольких первых частот колебаний конструкции.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ РАСЧЕТА МОМЕНТОВ СПЕКТРАЛЬНОЙ

ПЛОТНОСТИ

Как было сказано выше, для расчета долговечности необходимо провести вычисления моментов спектральной плотности, которые выражаются интегралами вида

+<»

1 Г к

Мк =— I ю (г, г', ю. Так как от частоты зависят только частотные интегралы, то расчет

2 »

моментов спектральной плотности сводится к вычислению интегралов вида:

21

2 Нт (ю)Н»

-ё ю,

(16)

которые также находятся с помощью теории вычетов.

Для дальнейшего рассмотрения понадобятся нулевой МО™, второй М2"п и четвертый М4™

« « 7 тп 1

моменты спектральной плотности напряжений, а также момент 1 уI, где I — показатель кривой Велера.

Как было отмечено выше, максимальный отклик пластины имеет место при у = 1, тогда выражение для нулевого момента спектральной плотности примет вид:

^ тп = пф 0е

-М и2)

1(ю*) <тп5

(х) + гоз (х)

Выражение для второго момента спектральной плотности:

(17)

пФ 0<тпе

(1-262)

4 (ю*)2 5

5(3 - 452) , -81 лЯ-2

(х) + (1 - 452 )С08 (х)

(18)

Выражение для четвертого момента спектральной плотности:

1 тп = пФ0<тпе К Ю 1 4 -

-М (1-252)

4

(<*) 5

5(7 - 5652 +11254 - 6456) —--. -^1п

лЯ-2

(х) + (1 - 2452 + 8054 - 6456 )(х)

(19)

В выражениях (17) — (19) х =

2<

„5лЯ-

(ю*)2

Для расчета долговечности по гипотезе спектрального суммирования получаем следующее выражение:

21

-(<пЛ (1-252) (

пф0<тпеи] (

4(Ю*)2 Ютп5 ^^

2фЛ ( 2ф ^1ПI х--1 + С081 х--

г2 I ] I

(20)

где ф = агС^

5 Л

41-1

РАСЧЕТ АКЦЕПТАНСА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ

ПЛОТНОСТИ

Итак, вычисляя интегралы для различных видов взаимной спектральной плотности (случаи А, Б и В), получим следующие выражения для акцептанса:

16 [1 - (-1)т ]|~1 -(-1)п ¥1 -(-1)г ¥1 -(-1)"

А. 3 (т, п, г, я) = -

п4 (рк )2 тпгя

32 (т, п) = -

16

1 -(-1)т 1 -(-1)

п4 (рк )2

при т = г и п = я.

т п

Б. 32 (т, п, г, я)= 4А5тг52 , где 5тг и 5пя — дельта-символы Кронекера.

1Ъ(рк)

В. 3(т, т) = ■

2 2 п т

(рЛ)

аа

1 _(_1)те~аа

, , аа 1 + 1-

пт

аа пт

22

при т = г.

3(т, г) =

тг(рЛ)

1 _(_1)те

т _аа

аа пт

2\{ / ^ , ( аа 1 + 1 —

/

\

пг

/.

при т Ф г, |т ± Г — четное.

0, при т Ф г, \т ± г| — нечетное.

3(п,п) = 2 2 ( Л) п п (рЛ)

РЬ

1+|вь

п

2 [1 _ (_1)п е"рЬ ]

п

при п = 5.

3 (п, 5) =

п5( рЛ)

2 [1 _ (_1)п е"рЬ ]

(1+гг21 (

п

1+|в»

п5

2

, при п Ф 5, |п ± 5 — четное.

0, при п Ф 5, |п± — нечетное.

Проанализируем полученные соотношения. Выражение для поля, полностью коррелированного по поверхности, характеризуется быстрым спадом при возрастании индексов суммирования. Тогда, учитывая тот факт, что выражение (15) экспоненциально убывает с увеличением частоты, можно сделать вывод, что наибольший вклад в повреждаемость конструкции дадут колебания на первой собственной частоте.

Выражение для дельта-коррелированного акустического поля непосредственно не зависит от индексов суммирования, но зависит от размеров пластины и характерной площади корреляции Л. Но, что особенно важно, дельта-коррелированное поле исключает вклад в акцептанс членов с у Ф 1 (см. (14) и (15)).

Теперь обратимся к выражению для акцептанса в случае поля с конечными масштабами корреляции. При аа/пт ^ 1 и Ьр/пп <С 1 выражение для акцептанса принимает вид:

64

(1 _(_1)т е~аа )(1 _ (_1)п е~въ )]/((р Л )2 п4т2п2 ).

Отсюда следует, что при нечетных т и п мы имеем выражения для акцептанса в случае полностью коррелированного по поверхности пластины акустического поля. При четных значениях данное выражение стремится к нулю, уменьшая вклад антисимметричных форм колебаний.

Рассмотрим случай, когда безразмерные величины аа/пт ^ 1 и Ьр/пп ^ 1. Тогда получим следующее соотношение для акцептанса:

1б/ (рЛ)2 а а р Ь

Оно также не зависит от индексов суммирования, а определяется только размерами пластины и масштабами корреляции акустического поля.

4

Как было сказано выше, вклад частот, для которых m Ф n и r Ф s, пренебрежимо мал (см. (14) и (15)). Поэтому выражение для акцептанса имеет следующий вид:

3 2 (т, п ) = 3 (т, т (п, п ).

Итак, из вышесказанного следует, что, учитывая структуру исследуемых моделей акустических полей и убывание вклада высших гармоник в общий отклик пластины, можно рассматривать отклик пластины только на нескольких первых частотах, или если вклад первой собственной частоты доминирует, то только на первой собственной частоте. Данное обстоятельство значительно упрощает расчет долговечности конструкции.

РАСЧЕТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПЛАСТИНЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ АКУСТИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Используя полученные выше соотношения для акцептанса, частотных интегралов Kmn

sj * rmn

и интегралов для расчета моментов спектральной плотности Mk , получим следующие расчетные соотношения для компонент среднеквадратичных напряжений и моментов спектральной плотности напряжений соответственно для оси х:

Г 2 2 2 ?п2

■Ï (-0)=^ si

2 2 2 2 п m п n

—;;—+ V——

J2 (m,n)x

„mn ■ ï nmx ] . I nny ] . I nmx ] . I nny xK sin I-I sin I —-I sin I-I sin ^

(21)

MX f) = ^ S

2 2 2 2 п m п n —^—+ v——

J2(m, n)x

, rm„ . I пmх ] . I ппу ] . I пmх ] . I ППУ xMmn sin|-I sin| —— I sin|-I sin1 ^

(22)

Выражения среднеквадратичных напряжений (а2у (г, г') получаются аналогично выражениям (4) и (5) с последующим дифференцированием собственных функций краевой задачи.

При расчете долговечности проводятся вычисления эквивалентных напряжений и моментов спектральной плотности напряжений в центре пластины с помощью соотношений:

мГ MX 2

(23)

Механические и усталостные характеристики сплава 1163РДТВ

Тогда, применяя описанные выше методики оценки долговечности, рассмотрим расчет долговечности пластины при различных отношениях длины пластины к ширине (толщина пластины постоянна и равна Ь/100, где Ь — фиксированный размер пластины, равный 100 мм). Будем считать, что пластина подвергается внешнему акустическому воздействию с различными видами функции взаимной спектральной плотности. Пластина выполнена из алюминиевого сплава 1163РДТВ, механические и усталостные характеристики которого приведены в таблице (данные взяты из [18]).

Необходимо отметить, что в [18] представлены

Наименование Значение

Модуль Юнга, МПа 67 650

Коэффициент Пуассона 0.31

Плотность, кг/м3 2780

Показатель кривой Велера 4.68

Постоянный коэффициент кривой 10.89

Велера, lg ( Луе1ег )

маций растяжения, в то время как в данной работе рассматриваются изгибные деформации. Разумеется, существует различие в долговечности для разных типов деформаций. Так как авторы не располагают достоверными усталостными характеристиками сплава 1163РДТВ для случая изгибных деформаций, то для проведения расчетов используются усталостные характеристики, полученные для случая деформации растяжения. Таким образом, полученные в настоящей работе данные носят качественный характер, который, тем не менее, позволяет выявить влияние пространственного распределения поля на долговечность пластины.

Рассмотрим два случая: первая собственная частота колебаний пластины совпадает с максимумом функции частотного распределения (случай 1); первая собственная частота колебаний пластины в 10 раз ниже частоты максимума функции частотного распределения (случай 2).

Случай 1. ЙЦ =ю*.

Рассмотрим полностью коррелированное поле, поле с конечными масштабами корреляции и дельта-коррелированное поле по поверхности пластины. Для поля с конечными масштабами корреляции и дельта-коррелированного поля рассмотрим случаи с несколькими значениями управляющих параметров а, в и А. Значения параметров выбраны произвольно, чтобы отразить все возможные случаи отклика пластины и его влияние на ее долговечность.

На рис. 4 представлены рассчитанные с помощью различных методик зависимости долговечности панели от ее относительных размеров для полностью коррелированного поля и поля с конечными масштабами корреляции. Из представленных на рис. 4 зависимостей видно, что долговечности пластины, рассчитанные по четырем вышеописанным методам, находятся в хорошем согласии друг с другом. Как и ожидалось, при малых значениях параметров а, в случай поля с конечными масштабами корреляции (рис. 4, б) соответствует случаю поля, полностью коррелированного по поверхности пластины (рис. 4, а). В обоих случаях при увеличении продольного размера пластины долговечность уменьшается примерно на порядок.

При увеличении параметров а и в поведение долговечности пластины изменяется. В случае, когда а = в = 1, долговечность сначала уменьшается, но затем (при alb > 5) начинает увеличиваться (рис. 5, а). Такое поведение можно объяснить уменьшением масштаба корреляции внешнего поля по поверхности пластины, из-за чего нарушается эффективное возбуждение колебаний пластины и, как следствие, повышается ее долговечность.

Долговечности, рассчитанные по четырем методикам, также находятся в хорошем согласии друг с другом.

При дальнейшем увеличении параметров а и в можно ожидать смещения минимума долговечности в сторону меньшего отношения alb и плавного повышения долговечности (рис. 5, б). Как упоминалось выше, происходит переход к случаю дельта-коррелированного поля.

10"

Z и)13

С U Г7

с: —

И)1

Полностью коррелированное ПОЛО

—О- Метод пересечений — ► - Узкополосный метод амплитуд

■ Широкополосный метод амплитуд —Я— Метол спектрального суммирования

=5?

...L^L......■

~г............

±

........1"

. ............

''•¿•.л

............

.....

-г:

-f"

5 .. fi tub

ю1

Поле с конечными масштабами корреляции

Метод пересечений ■■ — Учкополосный метод амплитуд ■ ■ ф ■ Широкополосный метод амплитуд В Метод спектрального суммирования

, 10*

1(1

in1

5 а/И

Ю

а) б)

Рис. 4. Долговечность пластины в зависимости от ее относительных размеров (юп /ю* = 1). Полностью коррелированное по поверхности пластины акустическое поле (а) и поле с конечными масштабами корреляции при а = р = 0.001 (б)

I01,

о

5 ю"

Поле с конечными масштабами корреляции

101г

1

а)

Рис. 5

: Узкополосный метод амплитуд

........■!■....... ■ «ф ■ Широкополосный метод амплитуд 1— Метод спектрального суммирования

\

.........

Igf it. J А. ___j

: ;

i ' 5 i

Ю11

■ .....

10

Метод пересечений ™ ^ *■ Узкополосный метод амплитуд • ■ ф* • Широкополосный метод амплитуд ■^В"" Метод спектрального суммирования

5а/Ьв

10

I 2 3 4 5 6

10

б;

Долговечность пластины в зависимости от ее относительных размеров (юп/ ю* = 1). Случай поля с конечными масштабами корреляции при а = р = 1 (а), а = р = 150 (б)

10"

Дельта-коррелированное поле

-.[, I I I I

Метод пересечений Узконолосный метод амплитуд ■ Широкополосный метод амплитуд ■ Метол спектрального суммирования

10'

Дельта-коррелированное поле

Метол пересечений — Ужо поносный метод амплитуд ■ ■ Широкополосный метод амплитуд —Д ~ Метод спектрального суммирования

Рис. 6. Долговечность пластины в зависимости от ее относительных размеров (юп/ю* = l). Случай дельта-коррелированного поля при А = 0.0015 (а), А = 1.5 (б)

Сделаем два замечания относительно долговечности, представленной на рис. 5, б. Во-первых, долговечность, рассчитанная с помощью широкополосного метода амплитуд, несколько выше, чем долговечность, рассчитанная другими методами. Более того, при а/Ь = 3 она обладает ярко выраженным максимумом. Во-вторых, долговечность пластины при а = р = 150 на 4 порядка выше, чем для случая с а = р = 1.

Теперь рассмотрим случай дельта-коррелированного поля (рис. 6, 7). На всех рисунках кривые долговечности демонстрируют одинаковое поведение (см. рис. 5). Единственным основным отличием является уровень долговечности, который уменьшается при увеличении параметра А.

Этот факт также объясняется изменением масштаба корреляции возбуждающей силы

Дельта-коррелироваиное ноле

.......1. "О™ Метод пересечений " Узкополосный метод амплитуд

........f- • ■ ^ ■ Ш ирокопо л осп ый метод а мп литуд ■ Метод спектрального суммирования

■pf iV^Vi ■'■'■фк*'* ■ ■"■ф'а" а V» ¡ф| ■ >ф>' ■ Vi ¡V| ■ JL _____I

f ---*--г- ■1г--1

' ......7.......

.......г.......т....... ................г...............

• • . 1 1

: : : : :

; :

-i i 1 i i

1 2 3 4 5 6 7 К 9 10 alb

Рис. 7. Долговечность пластины в зависимости от ее относительных размеров (юп/ю* = l). Случай дельта-коррелированного поля при А = 180

по поверхности пластины. При увеличении параметра А увеличивается площадь корреляции возбуждений и происходит эффективное возбуждение колебаний пластины. Однако при увеличении относительных размеров пластины при постоянном значении А эффективность возбуждения колебаний уменьшается и долговечность возрастает.

Необходимо отметить наличие максимума при расчете долговечности широкополосным

методом амплитуд. Но сложно объяснить наличие этого максимума в случае, когда юп = ю*.

Случай 2. юп = ю*/10.

Как и ранее, прежде рассмотрим случаи полностью коррелированного поля и поля с конечными масштабами корреляции при а = в = 0.001 (рис. 8). Теперь между различными методиками расчета уже не наблюдается такого приемлемого согласия, как ранее, однако общая зависимость долговечности от относительного размера пластины сохраняется. Расчет, выполненный с использованием широкополосного метода амплитуд, для долговечности пластины дает результат примерно в 6 — 10 раз больше, чем расчет, выполненный по другим методикам. Такое поведение, очевидно, объясняется уменьшением величины фактора нерегулярности. Это подразумевает сильно непериодичный характер колебаний пластины, при котором возбуждается большое число высших гармоник колебаний, вносящих меньший вклад в повреждаемость конструкции.

Однако расчет, выполненный по гипотезе спектрального суммирования, показывает, что основной вклад в повреждаемость пластины по-прежнему вносят колебания на фундаментальной частоте и высшие гармоники возбуждаются в меньшей степени. Учитывая тот факт, что широкополосным акустическим воздействием довольно сложно возбудить большое число форм колебаний, особенно для полностью коррелированного по поверхности пластины поля, можно сделать вывод, что расчет, выполненный посредством широкополосного метода амплитуд, дает завышенное значение для долговечности пластины.

Так же, как и ранее, при а = в = 0.001 случай поля с конечными масштабами корреляции (рис. 8, б) соответствует случаю поля, полностью коррелированного по поверхности пластины (рис. 8, а). Необходимо отметить (сравните рис. 4 и рис. 8), что долговечность пластины в зависимости от применяемой методики расчета возросла более, чем на порядок.

Теперь рассмотрим поведение долговечности пластины в случае поля с конечными масштабами корреляции при а = в = 1 и а = в = 150 (рис. 9). На рис. 9, а (как и на рис. 5, а), независимо от методики расчета, присутствует минимум, который теперь располагается в области alb = 3. Такой характер поведения долговечности также объясняется уменьшением масштабов корреляции при увеличении размеров пластины.

При а = в = 150 (рис. 9, б) для случая расчета долговечности по всем методам наблюдается картина, качественно соответствующая той, что представлена на рис. 5, б: при увеличении относительного размера пластины наблюдается медленное увеличение долговечности. Общие уровни долговечности оказываются более чем на порядок выше, по сравнению с уровнями, представленными на рис. 8.

10'

Полностью коррелированное поле

О- Метод пересечений ^ ^ — Узкополосный метод амплитуд

■ Широкополосный метод амплитуд -И"- Метод спектрального суммирования

10'

Поле с конечными масштабами корреляции

Е-,

Метод пересечений Узкополосный метод амплитуд ■ф ■ Широкополосный метод амплитуд В Метод спектрального суммирования

' Ю ......Я

..............—►

10"

J_I_I_I_I_I_I_L

а)

5 ,, 6 7 8 9 10 alb

Рис. 8. То же, что на рис. 4, для случая юп/ ю* = 0.1

Поле с конечными масштабами корреляции

10'

л щ«

ftttttttt:

—О" Метод пересечений

Узкополосный метод амплитуд ■ ■ Широкополосный метод амплитуд Метод спектрального суммирования

' » т , 1 . •. -.1 • •. , N '.. л I ¡ M.. I; N' '. ' ' tJ П11 ■ ' 11; I -"-

: "*■*....X....Á.—4.....Т""1

тгтттттттз -t—

Ю10

■ilO1

1Ü"

а)

5а/Ь 6

10

Поло с конечными млс|:п;н";1ми корреляции

10"

4 |!>д«<дфщу i_____i¿Mmn|ttmw ' —.....*.!ч*.....

'"ф1 -ф.....ф» ■••■фша |>к0

10й

б)

i ¿iü^iií fcr "í^^S-Tiri-ir r&r. ~ t

"О* Метод пересечений

Узкополосный метод амплитуд ■ ■ ф ■ Ш иро ко полос н ы й метод амплитуд И 1 Метод спектрального суммирования

Ъа!Ь 6

10

Рис. 9. То же, что на рис. 5, для случая юп / ю* = 0.1

10"

ю1

I01,

Дельта-коррелированное поде

—Метод пересечений — Узкополосный метод амплитуд ■ 1 Широкополосный метод амплитуд

1 И 1 Метод спектрального суммирования

> _V......т ""

10'

10®

У

._ф- - — -ф■ ф• ■»"# — - -о — ■ —i

к--*"' к--1 К—*---9---9--- у--i

i i

1

а)

5 а!Ь 6

10

I07

б)

Дельта-коррелированное поле

Метод пересечений Узкополосный метод амплитуд

* «ф» • Широкополосный метод амплитуд Метод спектрального суммирования

J^a ш ш • а ф ■ ■ ■ ■ • * * 1 1 ^ ■ ■ ■ ■ а^^а ■ ■ ■ » ■ ■ ■

_.д......а......д......».....é......а......и

___.—е—-а—----»—i»

-JT...... .............г...............I.......А........:-.......

5а/Ь 6

К)

10"

10'

с

ч

долговечности пластины

при ю11

*

по сравнению со случаем юп = ю для полностью коррелированного поля и поля с конечными мас-

I о

Дельта-коррелированнос поле

Рис. 10. То же, что на рис. 6, для случая юп/ <в* = 0.1 Теперь обратимся к случаю дельта-коррелированного поля. Так же, как и на рис. 6 и 7, на рис. 10 и 11 видно увеличение долговечности при неизменности параметра А и увеличении относительного размера пластины. Эта зависимость также объясняется конечным масштабом корреляции поля по пластине. Увеличение параметра А приводит к снижению уровня общей долговечности пластины.

Как и ранее, расчет с использованием широкополосного метода амплитуд показывает наличие небольшого максимума при а/Ъ = 2. Природа этого максимума не совсем понятна, однако, как было отмечено ранее, применение широкополосного метода амплитуд для определения долговечности при акустическом воздействии заслуживает отдельного рассмотрения. В связи с этим при расчете долговечности в случае многомодового отклика при акустическом воздействии целесообразнее пользоваться гипотезой спектрального суммирования.

Наблюдаемое повышение общего уровня

= ю*/10,

— С^" Метод пересечений ^ р»— Узкополосный метод амплитуд Широкополосный метод амплитуд И Метод спектрального суммирования

■ ■ ■ t^ в ■ ■ • ^^ * >•• • ■ ■ a ^ a a * • i^t • ■ ■ " ^^ ■ ■ ■ ■ ^^ ■ ■ ■ • в^

O*' .......í.......£.......í........

..........t ' T--------- ■ -o---i . р&хф-f- - ■+■ ~"t flf + ......í.......i...... :_______i._______;_______: ......í........

i i i i i

5а/Ь6

10

Рис. 11. То же, что на рис. 7, для случая юп/ ю* = 0.1

штабами корреляции, объясняется уменьшением отклика пластины на первой частоте колебаний и эффективным возбуждением высших частот колебаний пластины, на которые приходится максимум функции частотной спектральной плотности.

В случае дельта-коррелированного поля для обоих отношений частот долговечность по порядку величины примерно одинакова и зависит только от методики расчета.

ВЫВОДЫ

Проведенный расчет показал существенную зависимость долговечности пластины от пространственной структуры действующего внешнего широкополосного акустического поля. Долговечность пластины оказалась значительно зависящей от параметров характеристик полей.

Наиболее полно пространственную структуру поля описывает модель с конечными масштабами корреляции. В зависимости от параметров можно получить отклик конструкции, соответствующий полностью коррелированному или дельта-коррелированному по поверхности пластины полям.

Для случая совпадения первой частоты колебаний пластины с характеристической частотой функции спектральной плотности расчеты долговечности, выполненные по разным методикам, демонстрируют хорошее согласие друг с другом. В случае, когда первая частота колебаний меньше характеристической частоты частотной спектральной плотности, наблюдается различие в расчетах долговечности.

Применение широкополосного метода амплитуд для расчета долговечности при акустическом воздействии заслуживает специального рассмотрения, так как в отдельных случаях результаты, полученные с его помощью, дают оценку долговечности значительно выше, чем при других методах расчета.

Поскольку случай дельта-коррелированного поля является модельным, а случай поля с конечными масштабами корреляции на практике встречается довольно редко, то представляет интерес рассмотреть влияние на долговечность пластины других типов акустических полей, например, диффузного поля, поля турбулентных пульсаций пограничного слоя, поля плоских волн. Можно ожидать, что пространственные характеристики этих полей окажут значительное воздействие на долговечность пластины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведен расчет долговечности шарнирно-закрепленной по периметру изотропной прямоугольной пластины конечных размеров. Данные вычислений показывают, что долговечность пластины определяется не только видом функции частотной спектральной плотности, но и функцией взаимной спектральной плотности. Долговечность пластины существенно зависит от параметров, входящих в выражения для функции взаимной спектральной плотности. В зависимости от значений этих параметров долговечность пластины может превышать долговечность пластины, подвергающейся воздействию поля, полностью коррелированного по поверхности пластины, а может быть и существенно ниже ее. Таким образом, для корректного описания долговечности пластины необходимо знать не только частотную спектральную плотность внешнего акустического поля, но и его функцию взаимной спектральной плотности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Miles J. W. On structural fatigue under random loading ll J. of the Aeronautical Sciences. 1954. V. 21, N 11, p. 753 — 7б2.

2. P o w e l l A. On the fatigue failure of structure due to the vibration excited by random pressure fields ll J. Acoustic Society of America. 195S. V. 3G, p. 113G — 1135.

3. Clarkson B. L. The design of Structures to Resist Jet Noise Fatigue ll J. Royal Aeronautic Society. 19б2. V. бб, N б22, p. 6G3 — б1б.

4. E r i n g e n A. C. Response of beams and plates to random loads ll Trans. ASME Journal Applied Mechanics. 1957. N 24, p. 4б — 52.

5. Thomas J. H. Random vibrations of thin elastic plates ll ZAMP. 196s. V. 19, p. 921 — 92б.

6. Wagner H., Bhat Rama B. Linear response of an elastic plate to actual random load ll Ingenieur-Archiv. 197G. V. 39, p. 149 — 15S.

7. Wagner H., Bhat Rama B., Rao B. V. A. Structural response to random acoustic excitation // Earthquake Engineering and Structural Dynamic. 1973. V. 2, p. 117 — 132.

8. Ballentine J. R. et al. Refinement of Sonic Fatigue Structural Design Criteria // Jan. 1968. AFFDL-TR-67-156, Air Force Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, p. 232.

9. Ballentine J. R. et al. Sonic fatigue in combined environment // May 1966. AFFDL-TR-66-7, Air Force Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, p. 149.

10. Rudder F. F., Plumblee H. E. Sonic Fatigue Design Guide for Military Aircraft // May 1975. AFFDL-TR-74-112, Air Force Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, p. 572.

11. Clarkson B. L. Stresses in skin panels subjected to random acoustic loads // J. Royal Aeronautic Society. 1968. V. 72, N 695, p. 1000 — 1010.

12. B l e v i n s R. D. An Approximate method for sonic fatigue analysis of plates and shells // J. of Sound and Vibration. 1989. 129, N 1, p. 51 — 57.

13. Thompson A. G. R. Acoustic fatigue design data. Part 1 // AGARDograph. 1972, N 162, p. 53.

14. Ефимцов Б. М. Колебания пластин при различных видах нагружения // Труды ЦАГИ. 1975, вып. 1655, c. 33 — 46.

15. Усталость самолётных конструкций / Сб. под ред. Эскина И. И. — М.: ГОНТИ, Оборонгиз, 1961, 500 с.

16. Lee Yung-Li, Pan Jwo, Hathaway R. B., Barkley M. E. Fatigue testing and analysis (Theory and Practice) // ELSEVIER. 2005, p. 402.

17. РайхерВ. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайных нагрузок // Труды ЦАГИ. 1969, вып. 1134, 40 c.

18. Коновалов В. В., Качанов Е. Б., Сеник В. Я., Хватан А. М. Расчетные характеристики металлических конструкционных авиационных материалов. Вып. 1. Справочник. — М.: Триада Принт, 2007, 353 с.

Рукопись поступила 15/ II2013 г.