CC BY
26
Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 1 (1), с. 122-128
УДК 517.9
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР
© 2012 г. С.Н. Алексеенко 1,г, С.Н. Нагорных 2, Е.А. Елькина 1
1 Нижегородский технический университет им. Р.Е. Алексеева 2 Нижегородский государственный педагогический университет
Поступива в редакцию 25.05.2011
На основе диффузионной дислокационной модели из уравнения второго порядка плотности дислокаций выведено нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, названное уравнением стационарных диссипативных структур. Определены условия, обеспечивающие существование гладкого нелокального решения этого уравнения в круговом кольце, ширина которого определяется внутренними характеристиками задачи.
Ключевые слова: плотность дислокаций, стационарные диссипативные структуры, нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, метод дополнительного аргумента, глобальные оценки.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для описания скалярной плотности дислокаций выведено в рамках общей теории динамики дислокаций при изучении диссипативных структур [1, 2]. Также уравнение скалярной плотности дислокаций может быть получено из уравнения второго порядка плотности дислокаций на основе диффузионной дислокационной модели [3, 4] с учётом крутильной жесткости упругих тонких стержней. Реализуем здесь этот подход. Пусть имеется стержень длины I радиуса R.
Диффузионная модель кинетики плотности скалярных скользящих V5 и переползающих V дислокаций имеет вид [3]:
у5 = G - а5у5- (1)
V = Ьу5у - ам (у)у + ^[(ук - у^у] (2)
где Vk, G, аз, Ь, 5* - постоянные величины, аМу) -сток переползающих дислокаций, V - трёхмерный градиент. Через V5, V определяются деформация, напряжение материала, а также в точке переключения V5 = амЬ- около однородного решения определяется зарождение продольных и поперечных трещин, как неустойчивый рост V до критического значения Vk при равенстве нулю потоков на внешней поверхности стержня.
Как один из возможных вариантов решения системы (1), (2) рассмотрим расщепление решения в стационарном случае вида
у(х, У,х) = ~(х, у) + у(X), (3)
где V (х) - плотность дислокаций вдоль оси образца, у(х, у) - плотность дислокаций в поперечном сечении.
Исключив в (2) V5 и подставив (3), получим
5(Vк - (~ + у))Д(~ + V) - 5^(~ + V))2 +
(4)
+ /(у + у )(у + у) = 0.
Вид функции Л содержится в работах [4, 2]. Здесь мы его не приводим, т.к. ниже выписаны все используемые функции в окончательном виде.
Неупругое кручение стержня происходит при V, близких к vk. Квазилинейная стимулированная диффузия, выражаемая в (4) лапласианом, зануляется по двум причинам: равенство нулю коэффициента диффузии и лапласиана. Чтобы раздельно оценить роль того и другого явления, допустим, что V ~ Vk. Когда плотность дислокаций имеет критическое значение, материал стержня течет подобно жидкости или разрушается при зарождении продольных или поперечных по отношению к оси стержня трещин [3]. Этим объясняется особый интерес к изучению решения уравнения (4) при V, достаточно близких к Vk.
Подставив ~(х, у) + у (х) «у к в (4), придём к нелинейному дифференциальному уравнению плотности дислокаций первого порядка
5 ^(~ + у))2 = У1(~ + у)(~ + у). (5)
Предполагая, кроме того, что ~ >> у, раскладывая правую часть (5) в ряд Тейлора по у вблизи ~ и ограничиваясь членами первого порядка малости по у, получим
(^)2 = / (~)~, (6)
ёу |
— I = фу,
где
f (~) = -5
bG
а5 + Ъу
- ам(~
, Ф = /'(V, К + /К),
/ '(е*) = -1
(а5 + Ъу)'
-- аМ(у)
Нелинейное уравнение в частных производных (6) и обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (7) описывают распределение дислокаций с диссипативной динамикой или стационарные диссипативные структуры. Обыкновенное дифференциальное уравнение (7) с начальным условием V |2=0 = у02 =
(
= const > 0 имеет решение V =
л/ф _
2
Основную роль в изучении распределения дислокаций играет уравнение (6). Величину
^~)2 определяли как диссипацию Я.Б. Зельдович [8], В.И. Таланов [4] и другие авторы. Так что мы можем с полным основанием называть уравнение (6) уравнением стационарных диссипативных структур.
Для уравнений с частными производными первого порядка разработано много разных методов исследования условий разрешимости и построения приближенных решений. Все они имеют свои достоинства и недостатки, и каждый из известных методов применим к своему классу задач. Так, в частности, метод характеристик в принципе позволяет доказать локальную разрешимость задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Однако определение границ интервала разрешимости и нахождение вида решения в исходных координатах для нелинейных уравнений является в методе характеристик трудноразрешимой задачей. При этом, как правило, используется теорема об обратной функции, которая в большинстве случаев не дает возможности явно определить интервал разрешимости. Задача определения условий разрешимости дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка без привлечения теоремы об обратной функции, как и задача построения численного решения в исходных координатах, эффективно решается в рамках метода дополнительного аргумента (МДА) [5-7].
Целью дальнейших исследований в данной работе является поиск условий нелокальной разрешимости уравнения (6) в некоторой полосе вблизи внешней границы круга, ширина которой определяется внутренними характеристиками задачи, а не границами локальной разрешимости дифференциальных уравнений.
Так как уравнение (6) рассматривается в
2 | 2 г>2
круге х + у < R с дополнительными условиями
на окружности, то вначале перейдём к полярным координатам. Обозначив и(г,ф) = ~(х, у),
получим уравнение
,1) ’ + Г2 (|ф )■ = / С')" о
с начальным условием
" I=я = ^(фХ (9)
причём функцию §1(ф) не будем предполагать периодической по ф, тем самым учитывая в плоской задаче изменение условий вдоль стержня.
Преобразуем уравнение (8) к системе квазилинейных уравнений. Чтобы не менять структуры МДА, сделаем в задаче (8), (9) замену независимой переменной р = R — г. В результате придем к задаче Коши:
-)2 +—— )2 = /(")". (10)
,|р^ (R-р)2
" |р=0 = §1(Ф). (11)
Умножив (10) на (Я -р)2, получим
(Я-р) |Р) + Цф) = / (и)и(Я-р)2. (12)
Введём функции
|и |"
р(р,ф) = -(Я -р), q(р,ф) . (13)
1р 1ф
С этими обозначениями уравнение (12) примет вид
р2 + q2 = У(и)и(Я -р)2. (14)
Зададим для функций р(р,ф), #(р,ф) начальные условия
q |р=0=qll(Ф), (15)
р |р=0=я2 (ф) = Vу(я (ф))^1 (ф)я2 - (я, (ф))2 . (16)
Констатируем первое условие разрешимости
у (я (ф))^1 (ф)я 2 - (я (ф))2 > °. (17)
Дифференцируя (14) по р и ф, учитывая ра-
венство
дд 1 др
Эр Я - р др
и деля на 2р, получим
уравнения
др 1 д др
др Я - р р дф
1 '(,ф +1 (и)(я р)- ЛФ (я-р),
(18)
2 р дд 1 д дд /' (и)и + /(и) д
др Я - р р дф
2
(Я -р). (19)
Сформируем уравнение для и. С учетом (13) запишем
ди
1 д ди
1
д
др Я - р р дф Я - р Я - р р
2
Из (14) следует равенство q2 = /(и)и х х (Я -р)2 -р2,с учётом которого предыдущее уравнение примет вид
ди
1 д ди /(и)и
др Я - р р дф
дш
1 д дш 1 ш2 1 д др
ш -
др Я - р р дф Я - р р Я - р рдф
1'(и)и +1 (и) ш (Я -р) + У'(и)и + У(и) д х (21)
2
2
^ д2 1
Т + ^““ р 2 р
Л
ш(Я - р) +
1
(23)
(/' (и)и + / (и))^-дТ
4 р3
х (Я - р)2 -1 —Ґ(и)и + У'(и) I—
„.............. х (Я-р).
.2 ) р.
В качестве начального условия для ш возьмём
ш |р=о=яГ (ф).
Введём обозначения Н(и) = /,(")и + /(и), А(и,р) =
(24)
(Я -р). (20)
2
Таким образом, пришли к задаче Коши, состоящей из замкнутой системы уравнений (18)-(20) и начальных условий (11), (15), (16). Применив к этой задаче МДА, как это изложено в цитированных выше работах, можно доказать существование локального дифференцируемого ограниченного решения, состоящего из трёх функций р, д, и. С помощью преобразований, в некотором смысле обратных к тем, которые были использованы при выводе уравнений (18)-(20), доказывается, что функции р и д удовлетворяют соотношению (14), и, кроме того, имеют место равенства (13). Таким образом, найденная из задачи Коши (18)-(20), (11), (15), (16) функция и(р,ф) после соответствующей замены переменной р = Я — г даст гладкое локальное решение задачи (8), (9).
Но чтобы иметь возможность продлевать локальное решение, нам потребуется глобальная оценка второй производной от функции и(р,ф) по ф. Так что добавим к системе из трёх уравнений ещё уравнение относительно ш = 1фд. С этой целью продифференцируем (19) по ф. Заменив ш = 1фд , будем иметь:
^, P, д) = (/'(и) + / + Т1-
I р 2 р
^р, и p, д) =(/'(и)и + /(и))2 -д-г (Я -р)2 -
4 р
-(1 / '' (и)и + /' (и) ^ д-.
Перепишем систему уравнений (18), (19), (23) в более компактном виде
1 ^ = -Н(и)(Я-р)- Я* (Я-р), (25)
др Я -р р дф р
дЛ _ дІ = -Н(„) д-(Я -р), (26)
др Я - р р дф р
дш 1 д дш 2
—-----“-----------г-= A(u, р)ш (Я -р) -
др Я - р р дф (27)
- В(и, р, д)ш(Я - р) + D(р,и, р, д)(Я - р). Запишем для задачи Коши (20), (25), (26), (27), (11), (15), (16), (24) расширенную характеристическую систему
dп(s, р, ф) ds
1
w1
Я - s w,
П(А P, ф) = ф, dwl(s, P, ф!)_ / (wl)wl
ds
w1
(Я - s),
wl(0, P, ф) = ^1(П(0, P, ф^
(28)
(29)
(30)
(31)
dw2(s, P, ф!>_ /(м;1)м;1
хЛ (Я-р) - /' (и)и + 2/’ (и) ?!(Я-р).
1ф 2 р
Продифференцировав (14) по ф и заменив
ш = 1ф д , получим выражение
ф = /■(и)и + /(и) д(я _р), - дш (22)
1ф 2 р р Заменив в правой части (21) дфр его выражением из (22), придём к уравнению
1ш 1 д 1ш 1р Я - р р 1ф = /( 2) ш2(Я-р)-(/’ (и)и + у("))х р
ds
w1
(Я - s) - Н(^)(Я - s), (32)
W2(0, P, ф) = Я2 (П(0, P, ф)),
(33)
dw3(s, р, ф)
w,
= -Н (^)^-(Я - s), (34)
ds w2
(35)
W3(0, P, ф) = я1(П(0, P, ф)),
dw4(s, р, ф)
= A(Wl, w2)w4(Я - s) -
ds ' 1^ 4' (36)
- В^Г , w2, w3 )w4 (Я - s) + D(s, w1, w2, w3)(Я - s),
^У0, P, ф) = ^ГСпС0^ ф)). (37)
Сформулируем в виде лемм те утверждения о взаимосвязи между решениями задач (10), (11); (20), (25)-(27), (11), (15), (16), (24); (28)-(37), а также о разрешимости задачи (28)-(37), которые составляют основу метода дополнительного аргумента и доказаны или вытекают из цитированных выше работ. Обозначим:
Q1 = {(5, р, ф) :0 < 5 < р < Яг, -<» < ф < да},
Сг = sup _„<ф<„ Яг(фХ Ог = {(р, ф):0 <р< Яг, -да<ф<да}.
X
X
Лемма 1. Пусть g1 е C 3(-го, го), g1 > 0, f (u) е C 3([0, Cj]), выполнено условие (17). Тогда существует такое число R1, 0 < R1 < R, что при 0 < Р < R1 задача Коши (28)-(37) имеет единственное решение ^eC111(Q1),wi еС 111(Q1), i = 1,2,3,4.
Замечание. Константа R1 определяется алгебраически через супремумы известных функций, входящих в задачу Коши. Как отмечено выше, возможность конкретного определения границ области разрешимости рассматриваемой задачи в исходных координатах является одним из преимуществ метода дополнительного аргумента.
Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 справедливо w1 е С 11’3(Q1).
Лемма 3. Функции м(р,ф) = w1(p,p,9), p(p^)=
=W2(p,p,9), д(р,ф) =wз(p,p,ф), ю(р,ф) = W4(p,p^) будут являться решением задачи (20), (25)-(27), (11), (15), (16), (24). _
Лемма 4. Функция u(p,ф) е С 1’3(Q1) удовлетворяет уравнению (10) и начальному условию (11).
Из этих лемм следует теорема о локальной разрешимости задачи Коши (10), (11).
Теорема 1. Пусть g1 е С3(-го,го), g1 > 0, f (u) е С 3([0, С1]), выполнено условие (17). Тогда существует такое число R1, 0 < R1 < R, что при 0 < p < R1 задача Коши (10), (11) имеет решение u(p,ф) е С 1’3(Q1).
Целью настоящей работы является определение условий, при выполнении которых задача (28)-(37), а следовательно, и задача (10), (11) будет иметь решение на заданном промежутке. В качестве такого промежутка возьмём [0, kR], где 0 < k < 1.
Первым и самым важным этапом является вывод для ("л, w1, w2, w3, w4) достаточного набора глобальных оценок. Отметим, что под глобальной оценкой мы понимаем оценку, справедливую на любом множестве, на котором определено решение рассматриваемой задачи, и не зависящую от размеров этого множества.
Уравнения (30), (32), (34) не зависят от w4, поэтому выведем вначале глобальные оценки для w1, w2, w3. При этом сразу отметим, что из физических предположений и вида уравнений вытекает необходимость выполнения (а значит, и обоснования) следующих неравенств:
0 < w1 < g1(-n(0, Р,ф)), (38)
0 < const = Р0 < W2 < g2 (Л(0, Р, ф)). (39)
Из (30), (31) следует
| /С<)( я-х) А
р, ф) = ^СлС0, P, ф))е 0 "2 . (40)
Констатируем условие:
/(и) > 0 при 0 < и < С1. (41)
При выполнении (41), (39) из (40) следует (38). Из (34), (35) вытекает
(Я-т)Л
р, ф) = я! Сп(0, р, ф))е 0 "2 . (42)
Констатируем следующее условие:
Н(и) > 0 при 0 < и < С1. (43)
При выполнении (43), (39) из (42) следует оценка:
| ^, P, ф) |<| яЧ'ПС0, P, ф)) |. (44)
Чтобы определить условия существования р0, оценить величину р0, а также доказать оценку (39), изучим зависимость ^3 и ^2 от w1. Разделив (34) на (30), придём к уравнению
dw3
dw
w.
(45)
2 / (^1) 2^1 Из (30), (35) получим начальное условие
^3 Ц = Я1 = &'. (46)
Из задачи Коши (45), (46) выводим зависимость ^3 от w1:
, -№ dx
g'1 rel2 У (х) .
(47)
При s
q = 4й
p равенство (47) примет вид
gi U2 f w n П/1Ч
1 e u . С его учетом из (14) полу-
fp\2 q
+1 = (R-p)
gl
У(u)gl "[ (gl)2
/w d
2 / (x)
Отсюда видно, что при
l = (R-p)
Sl
У(u)gl "[ (gl)2
/w d
2 / (X)
(48)
p q
будет — = 0, а значит, — = го . Вблизи p = 0 в q р
силу условия (17) будет
(R -P)
Sl
У(u)gl -J (gl)2
2 / (X)
> 1.
(49)
Поэтому ограниченное решение рассматриваемой задачи существует для такого k, при котором в диапазоне 0 < р < kЯ выполнено неравенство (49). А так как при р ^ Я найдется такое значение р, что равенство (48) окажется справедливым, то факт его существования можно рассматривать как признак того, что вблизи оси стержня гладкого решения задачи в рассматриваемом виде не существует.
Далее, из (30)-(33) вытекает:
dw2
dw1
= 1 +
1
f' w) +________
2f(w1) 2w1
w2, w2 1
= g 2.
Решение этой задачи имеет вид
w.
(50)
где
K (w1) = e
-J
™ d 2 f (x)
- rJ_
&- Ivx
№ d I 2 f (a)
Примем, что
Тогда
2 g 2 - g1
Из (50) вытекает w1 = -
w,
g2(л) > kR2CHe p0
w
w
< С23 = sup 1
2
2 g 2 -
следует
1 Л-ф |< С23 ln
1 - k
Обозначив c;=sup^1 gll(ф) |, С2 = supф g2 (фХ
запишем полученные оценки
0 < w1 < С1,
р0 < К2 < (60)
Ы < с;. (61)
Переходим к выводу глобальной оценки и определению условий её наличия для к4. Правая часть в (36) представляет собой квадратный трёхчлен относительно к4. Найдём его корни:
B W B2 - 4FD
B -VB2 - 4FD
2 A
2 A
. В
f i(u) < 0 при u е [0, С1]. (51)
(52)
2л[§1
Констатируем очередное условие:
2Я2 - Я > 0. (53)
~ 2 Я - Я
Обозначим р0 = шГф—2 — 1. Тогда с учё-
ф 2^
том (52) будем иметь
^(к,) > ~ > 0. (54)
,,2
качестве очередного условия нелокальной разрешимости примем, что
4F(к;, к2)-0^, к;, к2, к3) < В 2(к;, к2, к3) (62) при всех 0<s<р<kЯ, 0 < К; < С;, р0 < ^2 < С2,
| К31< С .
Перепишем уравнение (36) в виде
dw4
ds
= A(wJ, w2 )(R - s)(w4 - w01 )(w4 - w02). (63)
. Подставив
K K)
это выражение в (32), придём к уравнению
dw_ = -fiI(R - s) - H (w,)(R - s).
ds K 2К)
Решая последнее уравнение с начальным условием (33) и оценивая правую часть получившегося выражения, приходим к неравенству
- % R 2
g2 (Л)е Р° - CHkR < w2 < g2 , (55)
где Cf = max f (u), СН = max Н (u).
7 0<u<C Н 0<u<Q
Констатируем следующее условие:
с, ,
Построим для (63) мажорантные и мино-рантные уравнения, решения которых и обеспечат искомую глобальную оценку. Обозначим
К01 = mІn 5Е[0,р] К01 , К02 = таХ 5Е[0,р] К02 , К01 = = таХ,Е[0,р] К02 = 5Е[0,р] W02, ф0 = П(0, P, ф).
В качестве следующего условия нелокальной разрешимости примем, что при всех допустимых р, ф
К02 < К01. (64)
Мажорантные и минорантные уравнения будем строить по-разному в зависимости от взаимного расположения я, , к02, К02, К01, к01. Начнём с мажорантного уравнения вида
dw±
ds
= A(wJ, w2 )(R - s)(w4 - w01 )(w4 - w02).
(56)
Обозначим р0 = ттф{я2(ф)}е р° - CHkЯ2.
При выполнении (56) из (55) следует справедливость неравенств (39). С учётом (52) из (47), (50) выводим
(57)
Для к4 зададим то же самое начальное условие, что и для к4: К41^0 = я1'(ф0).
Лемма Max1. Если К02 < я1(ф0) < К01, то на всём интервале существования решения задачи (63), (37) справедлива оценка к4 < К4 < К01.
Теперь построим для (63) минорантное уравнение при к02 < я1(ф0) < к01. Чтобы включить в рассмотрение случай к02 = Я;"(ф0), определим величину (функцию от р и ф): к082 = к02 --е, е > 0. В качестве минорантного уравнения возьмём
Теперь с учётом оценки (57) из (28), (29)
dw±
ds
= A(w1, w2 )(R - s)(w4 - w01 )(w4 - w02 )
(59)
с тем же самым начальным условием:
К4 1=0 = Я1'(ф0).
Лемма Min1. При к02 < Я, (ф0) < к01 на всём интервале существования решения задачи (63), (37) справедлива оценка к02 < к4 < к4.
w01 =
w02 _
e
С
7 и Г>2
1
Выведем оценку сверху при gl^,)) < W02. Чтобы включить в рассмотрение случай, когда gl (ф0) = W02, определим W02 = W02 +s, и в качестве мажорантного уравнения возьмём
= A(w'. W2 )(R - s)(W4 - W01 )(W4 - W02 )
ds
c тем же самым начальным условием:
W4 U = g11(Фo).
Лемма Max2. Если g' (ф0) < W02, то на всём интервале существования решения задачи (63), (37) справедлива оценка w4 < W4 < W02.
На следующем этапе выведем оценку снизу при gl;(ф0) < W02. В качестве минорантного уравнения возьмём
= A(w;. W2 )(R - s)(W4 - woi )(W4 - W02 )
ds
с тем же самым начальным условием
W4 U = gl'fooX
Лемма Min2. При g;(ф0) < w02 на всём интервале существования решения задачи (63), (37) справедлива оценка g;(ф0) < W4 < w4. Для полноты картины осталось получить оценку сверху при g;(ф0) = W01. Оценка снизу при этом условии получена в лемме Mini. В качестве мажорантного уравнения возьмём
= A(w'. W2 )(R - s)(W4s - Wo; )(W4s - Wo2 ). (6З)
ds
Но в качестве начального условия как для уравнения (63), так и для уравнения (64) возьмём g;(ф0) - s. Для так определенных задач мы будем находиться в условиях леммы Maxi. Записав соответствующую оценку и переходя к пределу при s—>0, получим оценку w4 < W01. Суммируя оценки, установленные в леммах и последнюю оценку, получим искомую оценку для w4.
Введём множество Gk = {(p, ф, w;, w2, w3) : 0 <
< P < kR, -да < ф < да, 0 < w; < C;, p0 < w2 < C2,
| w3 |< Cl }. Обозначим w° = supG | W01 |, w^ =
= suPGt | W02 |. Cl' = SUPф | gft^ |. N4 = max{w;0 . W2 . Cl}. Тогда можем записать оценку для w4 в виде:
| W4 |< N4. (66)
Условия, при которых оценка (66) справедлива, запишем как очередные условия нелокальной разрешимости. А именно, при всех (p, ф, w;, w2, w3) є Gk должны выполняться неравенство (64) и неравенство
g'CnC0, p. Ф)) < wo;. (67)
Основываясь на выведенных глобальных оценках и тождествах
w1(s,p,ф) = w1(s,s,"q(s,p,ф)) = u(s,"q(s,p,ф)),
w2(s,Р,ф) = w2(s,sФ,Р,ф)) = P(s,"ПС^Р,ф)), wз(s,Р,ф) = wз(s,sФ,Р,ф)) = q(s,"ПС^Р,ф)) получим глобальные оценки: 159wi |< Сф = const,
i = 1,2,3; 1 9фл |< СЛФ = const.
Наконец, продифференцировав (36), (37) по ф, придём к задаче Коши относительно S9w4 из которой функция S9w4 выражается однозначно. Для всех функций, входящих в это выражение, уже получены глобальные оценки, что позволяет определить такое постоянное число С4ф, не зависящее от локального интервала разрешимости, что
1 5фw4 |< С4ф (68)
для всех s на любом интервале разрешимости, не превосходящем kR. Соответственно, оценка (68) сохраняется для s = p, т.е. | дфю(р,ф) |< С4ф, что влечет, в свою очередь, оценку
|Э3фЧр, ф)|< С4ф. (69)
Полученные глобальные оценки (57)—(61), (66), (68) и (69) дают возможность продлить решение на весь интервал [0, kR]. Сформулируем общий итог исследования разрешимости задачи Коши (10), (11) в виде теоремы.
Теорема 2. Пусть g1 е С3(-го,го), g1 > 0, f (u) е С 3([0, С1]), выполнены условия (17), (41), (43), (49), (51), (53), (56), (62), (64), (67). Тогда задача Коши (10), (11) имеет решение u(p,ф) е С 1,3([0,kR] х (-го, го)), которое совпадает с функцией w1(p, р, ф), определяемой из задачи (28)-(30).
Список литературы
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 245 с.
2. Алексеенко С.Н., Нагорных С.Н. Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка плотности дислокаций // Журн. СВМО. 2010. Т. 12. № 1. С. 41-45.
3. Крупкин П.Л., Куров И.Е., Нагорных С.Н. и др. Феноменологическая модель эволюции дислокационных структур при циклическом кручении // ФММ. 1988. Т. 66. Вып. 5. С. 978-984.
4. Таланов В.И. Стимулированная диффузия и кооперативные эффекты в распределённых кинетических системах // В сб.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1983. С. 47-56.
5. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К теории нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады Академии наук. 1992. Т. 323. № 3.
6. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Доклады РАН. 2001. Т. 379. № 1.
7. Иманалиев М.И., Панков П.С., Алексеенко С.Н. Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ. Серия «Математика, механика, информатика». Спец. выпуск. 2006. № 1. С. 60-64.
8. Зельдович Я.Б. Предельный закон теплопередачи во внутренней задаче при малых скоростях // ЖЭТФ. 1937. Т. 7. Вып. 12. С. 1466-1468.
A STUDY OF NONLOCAL SOLVABILITY CONDITIONS FOR THE EQUATION OF STATIONARY DISSIPATIVE STRUCTURES
S.N. Alekseenko, S.N. Nagornykh, EА Еl’kina
On the basis of a diffusion-dislocation model, a first-order nonlinear partial differential equation, called an equation of stationary dissipative structures, is derived from the second-order dislocation density equation. The conditions are found which provide the existence of a smooth nonlocal solution of this equation in an annulus with a width determined by internal characteristics of the problem.
Keywords: dislocation density, stationary dissipative structures, first-order nonlinear partial differential equation, method of an additional argument, global estimates.
