Исследование уравнения для парциальных волн с потенциалом v(x)=x Sin(x ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Myer Y. Ondelettes et operateurs. I. Ondelettes. II. Operateurs de Calderon-Zygmund. III. Operateurs

multilineaires. Hermann. Editeurs des sciences et des arts, 1990/1991. 536 p.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // Москва-Ижевск 2001

3. Чуи. К. Введение в вейвлеты. // Изд. Мир Москва 2001

4. Daubechies I. and Grossmann A. Frames in the Bargmann space of entire functions. Comm. Pure Appl. Math. 41

(1988), no. 2, 151-164.

5. Lyubarsii Yu. I. Frames in the Bargman Space of Entire Functions // Advances in soviet mathematics vol. 11,

1992

6. Zalik R.A. Saad T. A. Some therems concerning holomorphic fourier transforms. // J.Math, Anal. and. Appl. 1987, 126, N2, 483-493.

7. S. Saitoh Generalization of Paley-Wiener’s theorem for entire function of exponential type, //Proc.Amer.Math.Soc. 99(1987), 465-467.

8. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэли - Винера на весовые пространства. // Математические заметки т.48, вып. 5, 1990. стр. 80-87.

9. Луценко В.И. Теорема Пэли - Винера на неограниченном интервале.// Исследования по теории приближений. Уфа, 1989, стр.79-85.

10. Youlmukhametov R.S. and Lutsenko V.I. Weighted Laplas transform. // Pitman Research Notes in Mathematics, Logman Scientific & Technical, 1991, pp.232-240.

11. Луценко В.И. Безусловные базисы в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание к.ф.-м.н. 1990

Поступила в редакцию 29.03.04 г.

УДК 517.9 ББК22. 161. 6

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН С ПОТЕНЦИАЛОМ V(X)=X aSIN(XР ).

Исламов а Р. Т.*

В данной работе выясняется характер поведения решений уравнения для парциальных волн:

к>(х)-Щ±^¥(х)-V(x)V(x) = 0, (1)

ах х

с определенными граничными условиями при х=0 и х= ж и устанавливаются области аналитичности полученных волновых функций.

Мы исследуем данное уравнение при V (х) = х а Sin (х р & при р > а + 2, а ^ 0.

В данной работе выясняется характер поведения решений уравнения для парциальных волн:

+ к>(х) - V(x) - V(x)V(x) = 0, (1)

dx х

с определенными граничными условиями при х = 0их = ж и устанавливаются области аналитичности полученных волновых функций. Уравнение (1) играет важную роль в теории рассеяния. Оно возникает при описании движения двух частиц в системе их центра тяжести при условии, что потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. В [1] исследуется уравнение с потенциалом, удовлетворяющим следующим условиям:

1) V(x) почти всюду непрерывна,

2) J|V(x)|dx = М(с) < ж , с>0

а

3) j x|V(x)|dx = N(a) < Ж, а>0.

о

Условие 2) является весьма жестким, оно означает, что функция V (х) не может быть осциллирующей. В нашей работе исследуется уравнение (1) с осциллирующим потенциалом V (х) = х а Sin (хр & при р > а + 2, а ^ 0.

Исламов а Рита Тагировна - ассистент кафедры дифференциальных уравнений математического факультета.

Вестник Башкирского университета. 2004. №1.

7

Для удобства дальнейшего исследования уравнения (1) введем число Я =1+1/2, после чего (2) перейдет в следующее уравнение:

к

X2 -1/4

х

V(x)

(2)

xäoiiä ioiineoäeüii X.

1. Решения уравнения (2) с граничными условиями при х = 0. При маленьких х будем рассматривать укороченное уравнение:

Я2 —1/4 <(х) + ¥(') = 0.

х2

Точка х = 0 для этого уравнения является регулярной. В этом случае анализ интегрального уравнения, соответствующего (2) и поведение получившегося решения несущественно отличается от приведенного в [1]. При этом функция Ф (Я , к, х), являющаяся решением уравнения (2) при х = 0, обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Функция Ф (Я , к, х) является целой функцией к2 в каждой ограниченной области комплексной к2 -плоскости и аналитической функцией Я в области Яе Я = ц = 0.

2. Решения уравнения (2) с граничными условиями при х=8.

При больших х будем исходить из укороченного уравнения:

У(х) + к2у(х) = 0

(3)

Это уравнение получается из (2) при пренебрежении потенциалом и центробежным барьером. Заметим, что в [1] уравнение (3) является главной частью уравнения (2) при х ^ да . Это вытекает из условия 2). В нашем случае функция V(x) ему не удовлетворяет. Однако более детальное изучение интегрального уравнения, соответствующего уравнению (2), показывает, что и в этом случае (3) есть главная часть уравнения (2).

Его решения имеют вид: У = Oe-lkx + ß elkx.

Будем искать решение f(e, к, х) полного уравнения (2) (решение Поста) со

следующим асимптотическим поведением: liffl e' f(X,k, х) = 1. (4)

х^да

При V(x) = 0 такое решение имеет вид:

/ 1 \ 1 / 2 к кх

[f(X ,k,x)L,=„ = f0( X ,к,х) = — e-|lK '2»*‘'2’Hl2>(kx),

*(х)=0 о V . . X -

V 2 у

где Нё(2) - функция Ганкеля II рода.

Используя метод вариации постоянных и интегрирование по частям, получим следующее интегральное уравнение:

1 ^ — В + 1

0(Я,к,х) = 00(Я,к,х) +— |у“—Р 'СовуР [----------------В(Я,к,х,у)0(Я,к,у) +

р ' У

<9В(Я,к,х, у) ^0 (Я, к, у) ...

+ ’ 0(Я,к,у) + В(Я,к,х,у) ’^у, (5)

где В(Я, к, х, у) = — [00 (Я, к, у)00 (Я,—к, х) — 00 (Я, к, х)00 (Я,—к, у)].

2к

Дифференцируя это уравнение по х, получим:

{'(Х,к,х) = 0/(Х,к,х)--“ха р+1Со5хр0(Х,к,х) +

+11 у-«Сову»[а - - +1 ^’^Ук.у) + ^’^У.к.у) +

- X у дх дудх

+ ^В(Х,к,х,у)

дх ду ’

Введем формальное итерационное разложение: Щ ,к,х) = Е 0П(Х ,к,х), где

(6)

-

у

^В(Х ,к,х,уК \ ъгл 1 ч^Оп-1(Х, к, у)

+ — Л Оп-‘ (X, к, у) + В(Х,к,х,у)—^------------------—]ёу.

^у ^у

Аналогично рассмотрим формальный итерационный ряд для уравнения (6). По индукции можно установить следующую оценку:

|Оп(Х,к,х)| < сп

|ОП(X, к, х)| < сп

/ \ 2 '(а--+2)п Г с|к|х |

ч - а - - + 2 у п! 11 + м* ]

Ьх

2

\ п /

4 (а - - + 2)п (

п!

И I А -|ц 2 к х 2

1 + к х

к еЬх.

Р|а - - + 2|

Очевидно, что члены итерационных рядов мажорируются соответствующими членами разложения экспоненты

и, следовательно, эти ряды сходятся при Ь = 1т к < 0, - > а + 2. Таким образом, мы доказали существование решения уравнения (2) с принятыми граничными условиями (3).

Можно, очевидно, вывести свойства О( X, к, х) как функции к или X, исходя из свойств ф (х, к, х) как функции х и к, не рассматривая еще одно интегральное уравнение [1]. Так как ф (X, к, х) является аналитической по X при Ц>0, следовательно О( X, к, х) является аналитической функцией к в области Ь < 0. Итак, справедлива следующая

Теорема 2. Функция Д X, к, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области Ь < 0.

ЛИТЕРАТУРА

п=0

X

1. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.,1966.

2. Ватсон Г. Теория бесселевых функций. ГИИП, 1949.

Поступила в редакцию 11.03.04 г.