Информационные всплески в весовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ

раздел МАТЕМАТИКА и МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

ББК 22.162

УДК 517.982.3, 517.982.22, 519.712.3

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ВСПЛЕСКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

Луценко В.И.*

В статье обсуждается вопрос о существовании фрейма из экспонент в весовом гильбертовом пространстве.

(Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант " 02-0101058)

Одним из новых интенсивно развивающихся разделов анализа применимых в информатике является теория всплесков (wavelet, ondelettes). Всплески применяются в теории разложения функций, в теории анализа информации и в д.р. (см [1-3] и упомянутую в них литературу). Чтобы последовательность являлась всплесками необходимо чтобы она образовывала фрейм.

Определение ([3]). Семейство функций {(pk }kGj из гильбертовою пространства Н называется фреймом, если

существуют А > 0, В < да , такие что для всех f из Н верны оценки А || f ||2< Ll<f.<Pk >i2<в\|f I| 2.

keJ

(Далее подобные соотношения будем выписывать следующим образом т(х) « п(х), при условии, что существуют А > 0 и В < да для которых Ат(х) < п(х) < Вт(х) , для всех хg R .)

В работах Daubechies I., Grossmann А.[4], Любарского Ю.И. [5], Zalik R.A., Saad Т. А. [6] построены фреймы из экспонент для весового пространства с весом exp(—А | z | 2) .

В данной статье обсуждается вопрос существования фреймов из экспонент в более широких весовых пространствах.

Для изучения этого вопроса применяется описание пространства функционалов к весовым гильбертовым пространствам. В работах [6-7] описание приведено для специальных весов. В общем виде окончательный результат получен в работах [8-11]. Нам понадобится следующая теорема.

Теорема А. Пусть дано гильбертово пространство функций

х) — (х) /1Є2х1 2/(і)&. Причем К(х) = |Є2х1 2Ы'1 ~ е2к,х7 /р(х), а р(х) определяется из следую-

щего тождества h (X + р) + h (X — р) — 2h (х) = 1.

Если существует описание функционалов с эквивалентностью норм, то можно применить его к описанию фреймов.

Р. С. Юлмухаметовым получен следующий результат

Теорема В Если система ЄХ>:2 является безусловнъм базисом в гильбертовом пространстве Н, то существует целая функция Ь с простыми нулями Хк, к — 1, 2,... для которой выполняется соотношение

полняются

Луценко Владимир Иванович - к.ф.-м.н.. доцент кафедры программирования и экономической информатики математического факультета БашГУ

1 к я) *е,1Ь(Л)£ к <як ).2 * рк (я),

р к—11 Ь(Як )|2 |я—Як |

где К (!) = | е2Ке(! ^7 Ж .

Фактически здесь сформулирована теорема о необходимом условии существования фрейма из экспонент, которая поможет доказать отсутствие фрейма из экспонент в нижеприведенных пространствах.

Рассмотрим случай выпуклой функции И(^) = А?* , при а > 2. Сопряженная по Юнгу легко определяется и

равна / (х) — зир(хі — /(і)) — А(а — 1)

Аа

а—1

Определим р(х) из соотношения И(X + р) + И(X — р) — 2И (х) = 1. В нашем случае имеем следующее уравнение

А(а — 1)

Приведем уравнение к виду

X + р

Аа

а —1

+ А(а — 1)

х — р Аа

а —1

— 2 А(а — 1)

Аа

а —1

— 1.

(х + р + (* — р — 2(х —

(А

а )а —1

А(а — 1)

или

1+р

— 2(х —-------1-----

А(а — 1)

Аа

у Л- у у л- у ¿¿.уел- \ у

Разлагая в ряд Тейлора функции в правой части, учитывая при этом, что р(х) < X получим

а

а —1

1

2

а —1

или

р

а

1 + О

р

V X у у

1

А(а — 1)

Аа

а —1

с абсолютными константами и, следовательно,

1

~А

Аа

^ а—2

а—1

р(х)« (а — 1)(Аа) 1 х2(а

Так как К(х) « Є2/(х) /р(х) , то верны неравенства

опр

т( х) — 1п К (х) — А(а — 1)

-і а — 2

2(а — 1)

1п х — 1п((а — 1)(Аа ) + О(1).

По определению г (х) в круге В(X, г (х)) существует гармоническая функция /(г) такая, что 11п К(г) — /(г) | < С , где С -фиксированная константа. Эквивалентное определение основано на равенстве константе массы ассоциированной меры для функции 1п К(г) по квадрату со стороной г(х) , т.е. из тождества

Л -ГГ Л^-Г

| |йт'(х)ф — 1 или т'(х + г) — т'(х — г) — 1/г, из

которого получаем

х— г х—г

(х + г )а 1 — (х — г )а 1

а — 2

2(а — 1)

1

1

х — г х + г

2г

(Аа)а 1

Для применения разложения Тейлора преобразуем предыдущее выражение к виду

v Аа

1

а-1

/ \ [1 - г ] 1 X У 1 а -1 а - 2 ' 2г ' 1

2(а -1) 2 2 . х - г 2г

Учитывая, что г (х) / X < 1 / 2 , получаем

2(а - 2) > а - 2

и далее

а -1

v Аа

а-1 г а - 2

-----1-------------

х (а -1)

2 2 х - г

+ о

\3

Vv х у

О 7 у

2-а

1 8 ха-1

.2 —

г2 а -1

(Аа)

1

а -1

а - 2 а

- г2/X 2)

1 г2 2

а -

( ( а ^

1 + о X а-1

V V У

2-а а -1

(Аа)а 1

— + °(х 2)

И, наконец, получаем

1 а-2

г(х) ^л/^-Г(Аа)2(а-1)х2(а-

Воспользуемся теоремой P.C. Юлмухаметова

Теорема С. Пусть Хк, к — 1, 2,... - нули целой функции L(X), удовлетворяющей соотношению

|L(!)|2 К(Хк )

к—)|2|! -

< РК(!)

Через Г (Я) обозначим наибольший радиус круга В (Я, Г (х)) в котором существует гармоническая функция V с оценкой |1п К(г) — V,г) |< С . Тогда для любой последовательности комплексных чисел 2п и для любой неограниченной последовательности вещественных неотрицательных чисел ап выполняется соотношение

Нт8Цр{Г(2), и-гп < .пГ(2п)! =+м.

lnf{г (|г-гп С< .п Г (?п )}

Применим теорему С к нашему случаю. Функция Г (Я) зависит от вещественной части и является возрастающей, поэтому наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка.

Оценим далее

г ( Хп ± апГ ( Хп )) Wа - 1 (Аа)2(а-

х„ ± а^а -1Хп

а-2

2 (а -1)

1 а-2

2(а-1)

л/а -1 (Аа)2(а :) х(

1 ± aJа -1Хп

а-2

2(а-1)

1 1 27—

Если мы выберем неограниченную последовательность ап — — (хп)2(а ^ . =(Аа)2(1 а),

2 д/а -1

то

г (*п ± апг (хп )) Wа - 1 (Аа)2(а-1) X,

1 а-2

2(а-1)

Их отношение ограниченно, и, следовательно, по теореме С в весовом пространстве не существует фрейма последовательности из экспонент.

ЛИТЕРАТУРА

1. Myer Y. Ondelettes et operateurs. I. Ondelettes. II. Operateurs de Calderon-Zygmund. III. Operateurs

multilineaires. Hermann. Editeurs des sciences et des arts, 1990/1991. 536 p.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // Москва-Ижевск 2001

3. Чуи. К. Введение в вейвлеты. // Изд. Мир Москва 2001

4. Daubechies I. and Grossmann A. Frames in the Bargmann space of entire functions. Comm. Pure Appl. Math. 41

(1988), no. 2, 151-164.

5. Lyubarsii Yu. I. Frames in the Bargman Space of Entire Functions // Advances in soviet mathematics vol. 11,

1992

6. Zalik R.A. Saad T. A. Some therems concerning holomorphic fourier transforms. // J.Math, Anal. and. Appl. 1987, 126, N2, 483-493.

7. S. Saitoh Generalization of Paley-Wiener’s theorem for entire function of exponential type, //Proc.Amer.Math.Soc. 99(1987), 465-467.

8. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли - Винера на весовые пространства. // Математические заметки т.48, вып. 5, 1990. стр. 80-87.

9. Луценко В.И. Теорема Пэли - Винера на неограниченном интервале.// Исследования по теории приближений. Уфа, 1989, стр.79-85.

10. Youlmukhametov R.S. and Lutsenko V.I. Weighted Laplas transform. // Pitman Research Notes in Mathematics, Logman Scientific & Technical, 1991, pp.232-240.

11. Луценко В.И. Безусловные базисы в пространствах Смирнова. // Диссертация на соискание к.ф.-м.н. 1990

Поступила в редакцию 29.03.04 г.

УДК 517.9 ББК22. 161. 6

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН С ПОТЕНЦИАЛОМ V(X)=X aSIN(XР ).

Исламова Р. Т.*

В данной работе выясняется характер поведения решений уравнения для парциальных волн:

^ + k’W(x)-i^V(x)-V(x)V(x) = 0, (1)

dx x

с определенными граничными условиями при х=0 и х= ж и устанавливаются области аналитичности полученных волновых функций.

Мы исследуем данное уравнение при V (х) = х a Sin (хР ) при Р > a + 2, a ^ 0.

В данной работе выясняется характер поведения решений уравнения для парциальных волн:

+ к>(х) - V(X) - V(x)v(x) = 0, (1)

dx x

с определенными граничными условиями при х = 0их = да и устанавливаются области аналитичности полученных волновых функций. Уравнение (1) играет важную роль в теории рассеяния. Оно возникает при описании движения двух частиц в системе их центра тяжести при условии, что потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. В [1] исследуется уравнение с потенциалом, удовлетворяющим следующим условиям:

1) V(x) почти всюду непрерывна,

2) ] |V(x)|dx = М(с) < да , с>°.

с

3) } x|V(x)|dx = N(a) < да, а>0.

0

Условие 2) является весьма жестким, оно означает, что функция V (x) не может быть осциллирующей. В нашей работе исследуется уравнение (1) с осциллирующим потенциалом V (х) = х а Sin (х р) при р > а + 2, а ^ 0.

Для удобства дальнейшего исследования уравнения (1) введем число Я =1+1/2, после чего (2) перейдет в следующее уравнение:

Исламова Рита Тагировна - ассистент кафедры дифференциальных уравнений математического факультета.