CC BY
23
УДК 622.02:539.2
© В.Л. Шкуратник, А.Р. Мартынюк, 2014
В.Л. Шкуратник, А.Р. Мартынюк
исследование упруго-нелинейных параметров образцов горных пород на основе анализа сдвига резонансной частоты ультразвукового сигнала под влиянием механического нагружения*
Обсуждается вопрос о возможности оценки нелинейных свойств горных пород на основе экспериментальных данных о сдвиге А/ максимума резонансной частоты {0 ультразвукового сигнала при прозвучивании механически нагружаемых образцов.. Получена аналитическая зависимость, позволяющая описать функцию у в зависимости от величины деформации образца. Обоснован алгоритм определения вклада линейной и нелинейной составляющих деформации в формирование отношения А/ к /0, а также величины параметра, характеризующего гистерезисные свойства геоматериала. Показано, что эта величина зависит от нелинейных составляющих деформаций второго и более высоких порядков и определяется наличием «мягких» неоднородностей в микроструктуре горных пород.
Ключевые слова: горные породы, структурная неоднородность, нелинейные свойства, ультразвуковой метод.
Введение
Структура горных пород содержит макро- и микронеоднородности, распределенные по всему объему образца и отличающиеся вязкоупругими параметрами. С этими неоднородностями связан механизм возрастания нелинейности, которая, в большинстве случаев, обусловливает гистерезисность геосреды. В работах [1-3] была предпринята попытка количественно оценить параметры нелинейности путем численного расчета плотности гистерезисных частиц в материале с последующим сопоставлением расчетного и экспериментального модулей упругости. Соответствующий подход является трудоемким, приближенным и для горных пород до настоящего времени практически не использовался.
Структурные элементы в породах по параметрам деформации условно можно разделить на твердые и «мягкие». К первым относятся зерна породы с их внутренними нарушениями (микротрещины, включения, дислокации), а ко вторым - так называемые «мягкие» дефекты, включающие области между зернами, заполненные более пластичным веществом, а также каналы, пустотные или шероховатые контакты между зернами. Обусловленная этими элементами нелинейность геосреды, хорактеризуется коэффициентами нелинейности 8 и в в соотношениях: М -Я 2
т = 5в'
(1)
?-е,
Т° (2) где /0 - резонансная частота, а А - сдвиг ее максимума, наблюдаемый при механическом нагружении образца, уровень деформации которого равен е.
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 14-05-00362 а.
количественные соотношения между линейной и нелинейной деформацией образцов песчаника различного типа
к 1,00 1,07 1,24 1,47 1,50 1,55 1,60 1,80 2,0
т 1,00 0,93 0,76 0,53 0,50 0,45 0,4 0,2 0,0
Р 0 0,07 0,24 0,47 0,50 0,55 0,6 0,8 1,0
Суть метода заключается в том, что на один торец исследуемого образца горной породы подается, а с другого снимается импульсный акустический сигнал. При этом образец вдоль своей оси подвергается механическому нагружению,
под влиянием которого происходит изменение величины Д/ . Оценка парамет-
- - /
ров, характеризующих вклад линейных и нелинейных составляющих в указанную величину, составляет задачу настоящей работы.
Д
Решение поставленной задачи
На рисунке представлены полученные в [1] экспериментальные зависимости
— = Р(е), для песчаников четырех различных месторождений, построенные в ло гарифмических координатах: = к |1д е|.
(3)
б>
В)
7-10 10 5 С ■1*10 I г)
1 имчпи 1.1)2 У"
0 У / ?
г «У г 1 ■ а -I 10
ТО
.........I—''■"?"•
1..„Ь
. Д
1д Т
Указанные зависимости имеют вид прямых с угловым коэффициентом к, изменяющимся в пределах от 1,01 до 1,47. С другой стороны, величина к является показателем степени в зависимости:
Д = к
г -а/е , (4)
0
Согласно (1) и (2) значение к должно быть целой величиной, равной либо 1, либо 2. Поэтому можно предположить, что величина Д
/ состоит из частично входящих зависимостей (1) и (2). Физически это обусловлено наличием в структуре образца «твердых» и «мягких» зон, отличающихся упругопластичными для четырех типов песчаников: а) Мол; б) Лаву; в) Сен-свойствами. Пантелеон; г) Фонтенбло [1]
Экспериментальные зависимости г = Р (е)
1г>
количественные соотношения между линейной и нелинейной деформацией песчаников различного типа
№ k m p n
1. 1,02 0,95 0,03 0,02
0,89 0,05 0,06
0,74 0,10 0,16
2. 1,24 0,76 0,24 0,0
0,58 0,30 0,12
3. 1,45 0,40 0,50 0,10
4. 1,47 0,44 0,50 0,06
Представим выражение (4) в виде:
— -а (S -?2р)
f f (S S (5)
где m и p - количественные параметры, показывающие долевое участие в деформационном процессе, соответственно, твердых и мягких зон. Значения m и p могут быть определены из системы:
m + 2 p - k
m + p - 1 . (6)
Используя экспериментальные значения k, получим m и p, приведенные в табл. 1.
Из табл. 1 видно, что в интервале k = 1-1,5, преимущественной является именно линейная деформация (m > p). В интервале изменения k = 1,5-2,0 преимущественной является нелинейная деформация. В эксперименте [1] нелинейная деформация (k = 2) вообще не была зафиксирована ни разу, что скорее
Af
всего, было обусловлено малостью величины —. Действительно, из работ
f0
[2-4] следует, что значения в и 8 соответственно равны: в = 103 и 8 = 106-108.
Тогда, учитывая, что s = 10-6 , получим, что — - Ps, = 10-2 и — - 8s2 = 10-5.
f0 Af f0
В то время как, в эксперименте, измеренная величина — составляет 10-1-10-4.
f0
На рисунке и из табл. 1 видим, что с увеличением k нелинейность увеличивается. Как показано в работе [5] помимо линейной и квадратичной зависимости
— - F(s), в горных породах наблюдается еще зависимость вида: f0
Af 0,5
f-YS • (7)
В этом случае, предполагается, что деформируемая среда описывается контактной моделью Герца. Здесь у«1-10 и k = 0,5. С учетом того, что одновременно идут все три процесса, система (6) примет вид:
m + p + n = 1
m + 2 p + 0,5 n = k. (g)
Используя те же самые экспериментальные значения к, рассчитаем из этой системы несколько возможных вариантов значений (m, p, n) - параметров долевого участия каждого из процессов, перечисленных выше. Эти данные приведены в табл. 2.
Видимо, с увеличением к число возможных вариантов долевых параметров уменьшается, при этом, коэффициент линейной деформации уменьшается, а квадратичной возрастает.
Таким образом, с учетом одновременности всех происходящих деформационных процессов, можно записать:
A- = Ps + Ss2 + ys1/2 +... (9)
Af
В работе [2] зависимость — = F(s) представлена в виде:
A- e -0
— = Ре + а,
-о (10)
где а - гистерезисный нелинейный параметр. Из сопоставления (9) и (10) следует, что а = 8s2 + ys1/2 +... . Таким образом, а может быть определено методом максимального сдвига резонансной частоты.
Уравнение (10) получим также из уравнения состояния, учитывая выражение для скорости звука:
2 1 do
c =---
р ds (11) o = K0s(1 + as + bs2 + ...) (12)
В результате,
c2 = + as + bs2 + ...) + as + 2bs + ...)
p p (13)
Путем несложных преобразований получим:
Ac 3, 2 . .
— = as +— bs +9(s),
Со 2 (14)
где ф(е) - функция, содержащая s в степени 3-го порядка и выше.
., Ac а f Af . 2
Учитывая, что — = —■—, и вводя новые обозначения постоянных при s и s2
c0 f0
и функции ф окончательно получим:
A- 2
— = ps + 8s + фг (15) Отсюда можно записать:
A— = Ps + а,
-0 (16) 224
где величина а включает все слагаемые, содержащие е в степени второго и более высокого порядка.
Как видим, выражение (16) совпадает с уравнением (10) для гистерезисной модели Прейсаха-Майергойца, в котором все нелинейные члены ряда с порядком выше второго, объединены и обозначены величиной а, являющейся характеристикой гистерезисности материала. Этот параметр экспериментально может быть определен, если известна величина Д/ для двух значений е1 и е2.
Используя формулу (16), получим: (Д/ ^ (Д/ ^
4
V 4 у
V 4 у
Де (17)
Л/ в
а = —— ре.
4 (18)
Таким образом очевидно, что теоретическая зависимость ~т~ = ^(е) в виде
Гс
степенного ряда не подтверждается экспериментальными данными [1], показатель степени к является дробным числом и находится в интервале от 1,0 до 2,0, а не целым числом, точно равным 1 или 2.
Заключение
Анализ экспериментальных данных [1] позволил предложить аналитическую
зависимость — = а,ек для описания функции — = р(е) и определить параметры, / I /
сс показывающие вклад линейной и нелинейной деформации при формировании Л/
величины--
/с
Было установлено, что при изменении к от 1,0 до 1,5 основной вклад привносит линейная деформация, а при к >1,5 возрастает долевое участие нелинейной деформации (квадратичной и герцевской).
Эксперимент показал, что к = 2,0 не было зафиксировано ни разу. Однако, численным расчетом найдено, что к = 2,0 может существовать, но в данном эксперименте это не выявлено в силу малости абсолютной величины А/, которая на порядок ниже выявленной в измерениях.
Исходя из уравнения состояния упруго-нелинейной деформации и скорости звука, была установлена зависимость (16), совпадающая с уравнением, полученным на базе теории Прейсаха.
Установлено, что в уравнении (16) слагаемое а объединяет нелинейные составляющие деформации второго и более порядков. Физически это обусловлено наличием «мягких» зон в микроструктуре горных пород. Величина а является параметром, характеризующим гистерезисность материала. Предложена формула расчета для определения по экспериментальным данным Д/ .
/с
_ список литературы
1. Johnson P.A., Zinszner B., Rasolofosaon P.N.J. Resonance and elastic nonlinear phenomena in rock, JGR, Vol. 101, No. B5, p. 11553-11564, May 10,1996.
2. Guyer R.A., McCall K.R., Boitnott G.N. Hysteresis, discrete memory and nonlinear wave propagation in rock, Phys. Rev., Let., 74, 3491-3494, 1995a.
3. Ostrovsky L.A., Johnson P.A. Dynamic nonlinear elasticity in geomaterials, Riv. Nuovo Cimento,24, 1-46, 2001.
4. Pasqualini D. et al. Nonequilibrium and nonlinear dynamics in Berea and Fontainebleau sandstones: Low-strain regime. JGR, Vol. 112, B01204, 2007.
5. Johnson P.A., Rasolofosaon P.N.J. Manifestation of nonlinear elasticity in rock: Convincing evidence over large frequency and strain intervals from laboratory studies, Nonlinear Processes Geophys. 3, 77-88, 1996.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10-ти т. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1988.
7. Коробов А.И., Бражкин Ю.А., Ширгина Н.В. Нелинейные упругие свойства модели одномерной гранулированной неконсолидированной структуры // Акустический журнал. -2012. - Том 58. - C. 103-111. ЕШ
коротко об авторах_
Шкуратник Владимир Лазаревич - доктор технических наук, заведующий кафедрой, Мартынюк Александр Рафаэльевич - кандидат технических наук, доцент, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: ud@msmu.ru.
UDC 622.02:539.2
the research of rock samples elastic-nonlinear parameters by analyzing the shift of the resonance frequency of the ultrasound under the influence of mechanical loading
Shkuratnik V.L., Doctor of Technical Sciences, Head of Chair, Martynuk A.R., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor,
Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», e-mail: ud@msmu.ru.
In this paper discussed the question of the possibility of estimating the nonlinear properties of rocks on the basis of experimental data about the shift Af of the resonance frequency f0 of the ultrasound during mechanically stressed samples sounding. Also was obtained the analytical dependence, allowing us to describe
At
the function of f in depending on the strain degree of the sample. Justified algorithm for determining the contribution o0f the linear and nonlinear components of the deformation into the formation of proportion between Af and f as well as the formation of parameter value characterizing the hysteresis properties geomaterial. It has been shown that this value depends on the nonlinear components of second and higherorder deformations and in particular determined by the presence of «acoustically soft» inhomogeneities in the microstructure of rocks.
Key words: rocks, structural heterogeneity, nonlinear properties, ultrasonic method.
references
1. Johnson P.A., Zinszner B., Rasolofosaon P.N.J. Resonance and elastic nonlinear phenomena in rock. JGR, Vol. 101, No. B5, p. 11553-11564, May 10,1996.
2. Guyer R.A., McCall K.R., Boitnott G.N. Hysteresis, discrete memory and nonlinear wave propagation in rock, Phys. Rev., Let., 74, 3491-3494, 1995a.
3. Ostrovsky L.A., Johnson P.A. Dynamic nonlinear elasticity in geomaterials, Riv. Nuovo Cimento, 24, 1-46, 2001.
4. Pasqualini D. et al. Nonequilibrium and nonlinear dynamics in Berea and Fontainebleau sandstones: Low-strain regime. JGR, Vol. 112, B01204, 2007.
5. Johnson P.A., Rasolofosaon P.N.J. Manifestation of nonlinear elasticity in rock: Convincing evidence over large frequency and strain intervals from laboratory studies, Nonlinear Processes Geophys. 3, 77-88, 1996.
6. Landau L.D., Lifshic E.M. Teoreticheskaja fizika: Ucheb. posobie. V 10-ti t. T.1. Mehanika (Theoretical physics: Educational aid. 10 volumes. Volume I: Mechanics), Moscow, Nauka, 1988.
7. Korobov A.I., Brazhkin Ju.A., Shirgina N.V. Akusticheskij zhurnal, 2012, vol. 58, pp. 103-111.
