Исследование точности численного решения методом конечных элементов анализа напряженно-деформированного состояния образцов из материалов с неоднородной структурой на основе данных компьютерного томографа и натурного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article УДК 004.94: 621.01

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-4-47-56

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБРАЗЦОВ ИЗ МАТЕРИАЛОВ С НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙ НА ОСНОВЕ ДАННЫХ КОМПЬЮТЕРНОГО ТОМОГРАФА И НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

© А.А. Пыхалов1, В.П. Пашков2, Зыонг Ван Лам3

12 3

'' Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 1Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Построение конечно-элементных (КЭ) моделей образцов осуществляется с целью изучения вопросов точности и сходимости численного решения МКЭ при анализе их напряженно-деформированного состояния (НДС). МЕТОДЫ. В работе представлено математическое моделирование на основе метода конечных элементов (МКЭ) образцов правильной (прямоугольной) формы, материалом которых является костная ткань человека. Моделирование проводится с учетом реальных прототипов образцов [1], изготовленных из стенки бедренной кости человека, для которых в результате натурного эксперимента известны [1] осредненные механические характеристики по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Для определения механических характеристик и геометрии КЭ моделей образцов используется сканирование кости компьютерным томографом. Полученные таким образом растровые изображения сечений кости, а также усредненные данные натурных испытаний [1] используются в работе для получения реального (не осредненного) распределения механических характеристик материала и геометрии кости и, соответственно, изготовленных из нее образцов. РЕЗУЛЬТАТ И ЕГО ОБСУЖДЕНИЕ. В результате применения представленного подхода [2] каждому конечному элементу сетки КЭ модели образцов устанавливается свой модуль упругости. Соответственно, неоднородная структура материала костной ткани в целом моделируется совокупностью этих конечных элементов. Сопоставление результатов НДС образцов, полученных в натурном эксперименте и на их КЭ моделях, показывает устойчивый характер сходимости и достаточный уровень точности численного решения МКЭ [3].

Ключевые слова: костная ткань, метод конечных элементов, математическое моделирование, сходимость, точность.

Формат цитирования: Пыхалов А.А., Пашков В.П., Зыонг Ван Лам. Исследование точности численного решения методом конечных элементов анализа напряженно-деформированного состояния образцов из материалов с неоднородной структурой на основе данных компьютерного томографа и натурного эксперимента // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 4. С. 47-56. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-447-56

STUDYING ACCURACY OF FINITE ELEMENT METHOD-WISE NUMERICAL SOLUTION OF THE STRESS-STRAIN STATE ANALYSIS OF SAMPLES MADE OF INHOMOGENEOUS STRUCTURE MATERIALS BASED ON COMPUTERIZED TOMOGRAPHY SCANNING AND FIELD EXPERIMENT DATA A.A. Pykhalov, V.P. Pashkov, Duong Van Lam

Irkutsk National Research Technical University'

83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

ABSTRACT. PURPOSE. The finite element models (FEM) of samples are built in order to study the issues of accuracy and convergence of FEM numerical solution under analysis of FEM stress-strain state. METHODS. The paper presents finite element method-based mathematical modeling of rectangular samples, whose material is human bone tissue. Sim-

1

Пыхалов Анатолий Александрович, доктор технических наук, профессор, e-mail: pikhalov_aa@irgups.ru Anatoliy A. Pykhalov, Doctor of technical sciences, Professor, e-mail: pikhalov_aa@irgups.ru

2Пашков Виктор Павлович, старший преподаватель, аспирант, e-mail: vil_p@mail.ru

Viktor P. Pashkov, Senior Lecturer, Postgraduate student, e-mail: vil_p@mail.ru Зыонг Ван Лам, аспирант, e-mail: bright1388@mail.ru Duong Van Lam, Postgraduate student, e-mail: bright1388@mail.ru

©

ulation takes into account the real prototypes of samples [1] made of a human femur wall with the known [1] from the field experiment averaged mechanical characteristics in three mutually perpendicular directions. Computerized tomography scanning of bones is used to determine the mechanical properties and geometry of FE models of samples. Scan patterns of bone sections and averaged field test data [1] obtained this way are used to receive the real (not averaged) distribution of material mechanical characteristics and bone geometry, and respectively, the samples made from bone. RESULT AND ITS DISCUSSION. The application of the proposed approach [2] results in defining a specific elasticity modulus for every finite element of the FE model mesh. Therefore, the heterogeneous structure of bone tissue as a whole is modeled by a set of finite elements. Comparison of stress-strain state samples obtained in field experiments and their FE models shows sustainable convergence and a sufficient accuracy level of FEM numerical solution [3]. Keywords: bone tissue, finite element method, mathematical modeling, convergence, accuracy

For citation: Pykhalov A.A., Pashkov V.P., Duong Van Lam. Studying accuracy of finite element method-wise numerical solution of the stress-strain state analysis of samples made of inhomogeneous structure materials based on computerized tomography scanning and field experiment data. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 4, pp. 47-56. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-4-47-56

Введение

Расчетная оценка прочности, надежности и долговечности работы деформируемых систем зависит от точности задания в них упругих механических характеристик материала. В современной практике теоретических расчетов напряженно-деформированного состояния (НДС) изделий или объектов эти характеристики берутся осредненными. Например, для металлов они получены на основе стандартных испытаний одноосного растяжения (сжатия) тонких стержней круглого сечения (образцов правильной формы) (рис. 1 и 2). В реальности же, вследствие технологической обработки деталей машин, условий их эксплуатации и многих других факторов, в них, в определенных местах объема, механические (прочностные) характеристики материала могут отличаться от осреднен-ных в значительной степени (рис. 3). Таким

образом, расчеты НДС деталей машин, даже с применением такого высокоэффективного численного решения, как метод конечных элементов (МКЭ), могут приводить к недопустимой по величине погрешности.

Еще более сложным в этом плане является задание механических характеристик деталей, выполненных из неметаллов, имеющих по этим характеристикам явно выраженный не изотропный характер. К таким материалам, например, относятся композиты, дерево, кость [1, 4] и др. Определение реальной степени неравномерности распределения механических характеристик таких деталей по всему их объему, а также их реальных параметров геометрии является актуальной задачей в обеспечении точности расчетов и оценки НДС изделия.

Рис. 1. Образцы для испытания на растяжение Fig. 1. Samples for tensile testing

Рис. 2. Машина для испытания образцов на растяжение Fig. 2. Machine-tool for tensile testing of samples

Машиностроение и машиноведение

Mechanical Engineering and Machine Science

Рис. 3. Неоднородная структура сборной конструкции: а - чертеж; b - фото Fig. 3. Inhomogeneous structure of the assembly: a - blueprint; b - image

В работе [2] приведен подход, направленный на решение представленной задачи и состоящий из комплекса методик, позволяющих получать распределение упругих механических характеристик материала деформируемых систем их сканированием, например, компьютерным томографом. Эти данные в виде растровых изображений сечений детали вместе с усредненными механическими характеристиками натурных испытаний используются для получения реальной (не осредненной) структуры механических характеристик ма-

Материалы и м

Исследование проводилось на КЭ моделях образцов, имеющих реальные прототипы, выполненных из костной ткани стенки бедренной кости человека. Каждый из образцов имеет форму параллелепипеда, наибольшая высота которого направлена по одной из трех взаимно перпендикулярных осей цилиндрической системы координат (о, г, г, 0).

Математически работа построена на применении численного решения МКЭ задачи анализа НДС кости человека и выполненных из нее образцов. Метод исследования точности и сходимости численного решения построен с применением принципа вложенности количества КЭ в данном координатном направлении [3] КЭ модели образца, с последующим проведением для него анализа НДС. Механические характеристики материала образцов и их геомет-

териала и геометрии деталей с последующим построением и анализом их конечно-элементных (КЭ) моделей.

Цель исследования, представленного в настоящей работе, состоит в анализе точности и сходимости численного решения МКЭ при определении НДС деталей в виде образцов правильной прямоугольной формы, для которых с использованием специального комплекса методик [2] получена реальная (не осредненная) структура изменения в них механических характеристик материала и геометрии.

I исследования

рия получены с применением методик [2] сканирования кости компьютерным томографом (рис. 4). Полученные таким образом растровые изображения сечений кости математически представляются в виде матрицы структуры пикселей, т.е. номеров их цвета, которые вместе с осредненными данными натурных испытаний подобных образцов [1] и используются для построения геометрии кости, а также реальной (не осредненной) структуры распределения в ней механических характеристик. В результате использования комплекса методик, представленных в работе [2], каждый конечный элемент сетки КЭ модели образцов имеет свой модуль упругости деформируемого твердого тела. Совокупность таких КЭ моделирует неоднородную структуру костной ткани в целом.

Рис. 4. Компьютерный томограф медицинского назначения Fig. 4. Medical computerized tomography scanner

Рис. 5. Ориентация образцов из кости для испытаний в направлениях: продольном (Х1), окружном (Х2) и радиальном (Х3) Fig. 5. Bone samples positioning for testing in: longitudinal direction (1), circumferential direction (X2) and radial direction (X3)

На рис. 5 представлен принцип ориентации образцов в трубчатой кости человека с использованием системы координат о, x1, x2, x3. Эта система координат была принята в работах [1, 4] при изготовлении образцов для их натурного испытания.

В настоящей работе принята соответствующая ей цилиндрическая система

координат о, z, 0, г, используемая при построении КЭ моделей кости и образцов, соответствующих их натурным прототипам.

В табл. 1 представлены осреднен-ные значения механических характеристик костной ткани, полученные в работе [1] на основе натурного эксперимента сжатия образцов в соответствующих координатных

m

направлениях. Анализ этих результатов показывает явно выраженные ортотропные механические характеристики кости. Например, соотношение модулей упругости, полученное исследователями в работе [1], следующее: Е1 : Е2 : Е3 = 17100 : 8500 : 8700 = 1 : 0,4971 : 0,5088, где Еь Е2 и Ез -модули упругости, соответственно, в продольном, поперечном и окружном направлениях (рис. 5). В эксперименте, представленном в работе [4], при аналогичных ис-

пытаниях образцов неоднородность определена в виде пределов пропорциональности: а2 : а0 : аг = 1 : 0,73 : 0,66, где величины (а2), (а0) и (аг) - соответственно, пределы пропорциональности, Мпа, в осевом, окружном и радиальном направлениях. Представленные величины моделей упругости и пределов пропорциональности показывают качественно одинаковые соотношения в соответствующих координатных направлениях.

Таблица 1

Механические характеристики костной ткани бедра человека в направлении осей координат

Table 1

Mechanical characteristics of human femur bone tissue in the direction of coordinate axes

Направление действия нагрузки Load Direction Показатели механических свойств / Indicators o mechanical properties

Предел прочности, МПа Tensile strength, MPa Модуль упругости, МПа Elasticity modulus, MPa Предел пропорциональности, МПа Proportionality limit, MPa Относительная упругая деформация, % Relative elastic deformation, % Относительная деформация разрушения, % Relative fracture deformation, % Коэффициент Пуассона/ Poisson' s ratio

Продольное Longitudinal 291±7,4 E?=17100±430 135±4,2 0,8±0,035 2,8±0,09 0,5±0,02

Окружное Circumferential 157±7,9 E2=8500±320 72±5,5 0,84±0,044 4,3±0,43 0,25±0,01

Радиальное Radial 167±3,1 Е3=8700±380 68±2,4 0,82±0,036 5,0±0,61 0,05

Рис. 6. Пакет растровых изображений

поперечных сечений кости Fig. 6. Package bone cross section bitmaps

о I

3130mA 20mm/û\"< Tit 00 \ 00 s

W 1500 L 500

P DFOV 42 5* 42 5cm

Рис. 7. Выделение области исследования в сечении объекта Fig. 7. Selecting the region of interest in the object section

Рис. 8. Получение цифровой матрицы значений индексов цвета пикселей Fig. 8. Obtaining a digital matrix of pixel color index values

Рис. 10. Каркасная модель Fig. 10. Wire-frame model

Для создания КЭ модели образцов [2] с механическими характеристиками и геометрией, максимально отвечающими их реальным прототипам, используется следующая последовательность комплекса методик (рис. 6-12):

1. Сканирование кости человека компьютерным томографом (рис. 4) с получением для нее пакета изображений срезов (сечений), представленных на рис. 6.

2. Выделение (минимизация) области исследования растрового изображения сечения для его анализа (рис. 7).

3. Преобразование растрового изображения области исследования в матрицу индексов (номеров) цвета (рис. 8).

Рис. 9. Определение контура сечения кости Fig. 9. Determination of bone section contour

Рис. 11. Твердотельная модель Fig. 11. Solid model

4. Определение контура геометрии сечения объекта исследования (рис. 9).

5. Построение каркасной 3D геометрической модели объекта исследования (рис. 10).

6. Создание геометрической 3D твердотельной модели объекта исследования (рис. 11).

7. Построение сетки и конечно-элементной модели кости (рис. 12), где механические характеристики определены в зависимости от совпадения координат узлов КЭ сетки и пикселей растрового изображения соответствующего сечения.

b c

Рис. 12. Конечно-элементная модель кости Fig. 12. Finite element model of a bone

d

а

Более подробно представленные этапы и весь алгоритм создания геометрии и конечно-элементной модели деформируемого объекта в виде кости человека представлены в работе [2].

Значение модуля упругости для каждого отдельно взятого конечного элемента - Е^ (рис. 12, а) - определяется в

виде среднего значения Е входящих в него узлов. Механические характеристики КЭ модели в целом определяются структурой всех входящих в нее конечных элементов и, соответственно, имеет неоднородную структуру механических свойств исследуемого деформируемого тела.

Результаты исследования

На рис. 13 представлены результаты в виде поля эквивалентных напряжений во фрагменте конечно-элементной модели трубчатой кости с неоднородной (рис. 13, а), полученной на основе комплекса методик [2] и осредненной (рис. 13, Ь) структурой механических характеристик материала.

На основе построенной КЭ модели

а

кости проведено построение КЭ моделей исследуемых образцов (рис. 14, 15). С их использованием проведено исследование достоверности представленного подхода [2] относительно результатов натурных испытаний [1], а также точности и сходимости численного решения МКЭ, необходимого для определения оптимальной плотности сетки конечных элементов.

Рис. 13. Поле напряжений во фрагменте конечно-элементной модели трубчатой кости с неоднородной (а) и осредненной (b) структурой механических характеристик материала Fig. 13. Stress field in the fragment of the finite element model of a tubular bone with inhomogeneous (a) and averaged (b) structure of material mechanical characteristics

Рис. 14. Ориентация модели образца, соответственно, в направлениях: а - осевом;b - радиальном; c - окружном Fig. 14. Positioning of the sample model in a - axial direction; b - radial direction; c - circumferential direction

а b c

Рис. 15. Граничные условия и нагрузка на образцы, соответственно, в направлениях: а - осевом; b - радиальном; c - окружном Fig. 15. Boundary conditions and loads on samples in a - axial direction; b - radial direction; c - circumferential direction

Геометрия и сетка КЭ моделей образцов построены в форме параллелепипедов (рис. 14, 15), в полном соответствии с размерами 3,5*3,5*10 мм и ориентацией в системе координат, представленными в работе А.А. Утенькина [1].

Выборка данных о свойствах материала из КЭ модели кости (рис. 13), используемых для построения КЭ моделей образцов (рис. 14, 15), проводилась в соответствии с ориентацией вдоль соответствующих осей системы координат кости и позволяет моделировать изменение структуры механических свойств образцов в зависимости от набора конечных элементов с различными модулями упругости. Увеличение количества конечных элементов в образцах (рис. 15) для анализа точности и

сходимости численного решения МКЭ проводилось в соответствии с принципом вложенности, когда используется кратное количество КЭ на ребрах основания моделей и по их высоте: 2*2*5, 4*4*10, 8*8*20, 16*16*40, 32*32*80 - в осевом (продольном) и окружном направлении; 2*2*4, 4*4*8, 8*8*16, 16*16*32, 32*32*64 - в радиальном направлении.

Граничными условиями образцов является закрепление их КЭ модели в виде ограничения перемещений ее основания (рис. 15) в направлении действия соответствующей оси нагрузки. Нагрузка в виде давления (pressure) действует перпендикулярно плоскости сечения образца. Ее значение выбрано в полном соответствии с данными, приведенными в работе [1].

Число конечных элементов / Number of finite elements Рис. 16. График сходимости нормального напряжения в центре образца в направлениях:

1 - осевом; 2 - радиальном; 3 - окружном Fig. 16. Convergence graph of normal stress in the center of the sample in 1 - axial direction; 2 - radial

direction; 3 - circumferential direction

ш

Результаты анализа НДС образцов представлены в табл. 2, где приведены значения, определенные в центре среднего по высоте образца сечения.

Эти результаты представлены также в виде графиков 1; 2; 3 изменения величины нормальных напряжений от числа конечных элементов (см. рис. 16). Результаты показывают устойчивую сходимость уже

для значений количества КЭ для образцов 8^8^20, 16^16x40, 32x32x80 к пределам пропорциональности, полученным в эксперименте А.А. Утенькиным [1]. В частности, исследование показало достижение достаточной точности численного решения МКЭ при плотности сетки конечных элементов равной 3 и более элемента на 1 мм.

Результаты анализа НДС образцов Results of sample stress strain state analysis

Таблица 2 Table 2

Параметры / Options Варианты образцов / Variants of samples Число КЭ на стороне образца / Number of finite elements on the sample side

2 4 8 16 32

Давление, МПа [1] / Pressure, MPa [1] Вертикальный / Vertical 132,435

Окружной / Circumferential 69,98454

Радиальный / Radial 70,043

Нормальное напряжение в центре КЭ моделей образцов, Мпа / Normal stress in the center of FE models of samples, MPa Вертикальный / Vertical 130,24 132,54 133,22 134,83 133,63

Окружной / Circumferential 68,662 67,367 69,903 69,891 70,297

Радиальный / Radial 66,645 68,616 70,147 70,421 70,528

Нормальное напряжение в эксперименте, МПа [1] / Normal stress in the experiment, MPa [1] Вертикальный / Vertical 135±4,2

Окружной / Circumferential 72±5,5

Радиальный / Radial 68±2,4

Деформация в центре верхнего сечения КЭ модели образцов, мм / Deformation of the upper section in the center of the FE models of samples, mm Вертикальный / Vertical 0,0773 0,0789 0,0790 0,0810 0,0791

Ошибка, % / Error, % (3,375%) (1,375%) (1,25%) (1,25%) (1,125%)

Окружной / Circumferential 0,0621 0,0610 0,0636 0,0632 0,0644

Ошибка, % / Error, % (1,74%) (3,48%) (0,63%) (0%) (1,9%)

Радиальный / Radial 0,0823 0,0820 0,0835 0,0838 0,0840

Ошибка, % / Error, % (2,02%) (2,43%) (0,6%) (0,24%) (0%)

Деформация в эксперименте, мм [1] / Deformation in the experiment, mm [1] Вертикальный / Vertical 0,080±0,0035

Окружной / District 0,0632±0,0028

Радиальный / Radial 0,084±0,0044

Заключение

Подводя итог изложенному в статье, сформулируем выводы:

- Основным результатом исследования анализа НДС образцов является доказательство адекватности анализа построенных КЭ моделей относительно натурных испытаний реальных образцов.

- В результате применения, представленного в работе [2], комплекса методик каждому конечному элементу сетки КЭ

модели образцов устанавливаются свои значения механических характеристик, а их совокупность моделирует неоднородную структуру материала кости (детали) в целом.

- Результаты представленного анализа НДС показывают эффективность использования представленного подхода [2] при построении геометрии конечно-элементных моделей.

Библиографический список

1. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Биомеханические свойства компактного вещества кости // Архив анатомии, гистологии и эмбриологии. 1971. № 10. С. 45-50.

2. Пыхалов А.А., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. 192 с.

3. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига: Зинатне, 1980. 319 с.

4. Пат. № 2542918, Российская Федерация, МПК G06T 1/00 A61B 6/00. Способ определения значений модуля упругости и его распределения в конструктивных элементах, обладающих неопределёнными свойствами прочности / А.А. Пыхалов, В.П. Пашков, И.Н. Зотов, М.С. Кувин; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО «ИрГТУ»; заявл. 30.10.2013; опубл. 27.02.2015. Бюл. № 6.

References

1. Utenkin A.A., Sveshnikova A.A. Biomekhanicheskie svoistva kompaktnogo veshchestva kosti [Biomechani-cal properties of compact bone substance]. Arkhiv anatomii, gistologii i embriologii [Archives of anatomy, histology and embryology]. 1971, no. 10, pp. 45-50. (In Russian)

2. Pykhalov A.A. Milov A.E. Kontaktnaya zadacha staticheskogo i dinamicheskogo analiza sbornykh roto-rov turbomashin: monografiya [Contact problem of static and dynamic analysis of modular turbomachine rotors]. Irkutsk, ISTU Publ., 2007, 192 p. (In Russian)

Критерии авторства

Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила 20.02.2017 г.

3. Knets I.V. Pfaffroda G.O., Saulgozis Yu.Zh. De-formirovanie i razrushenie tverdykh biologicheskikh tkanei [Deformation and fracture of solid biological tissues]. Riga, Zinatne Pudl., 1980, 319 p. (In Russian)

4. Pykhalov A.A., Pashkov V.P., Zotov I.N., Couvin M.S. Sposob opredeleniya znachenii modulya uprugosti i ego raspredeleniya v konstruktivnykh ele-mentakh, obladayushchikh neopredelennymi svoistvami prochnosti [Method for determining the values of the elasticity modulus and its distribution in structural elements with uncertain strength properties]. Patent RF, no. 2542918, 2015. (In Russian)

Authorship criteria

The authors declare equal participation in obtaining and formalization of the scientific results and are equally responsible for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

The article was received 20 February 2017