CC BY
17
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
_2023 г. Выпуск 1 (68). С. 60-66_
УДК 536.2
DOI: 10.18822/byusu20230160-66
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОРИСТОМ МАТЕРИАЛЕ НА ОСНОВЕ ТРИЖДЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Еремин Антон Владимирович
доктор технических наук, доцент заведующий кафедры «Промышленная теплоэнергетика»
Теплоэнергетического факультета, ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»
Самара, Россия E-mail: [email protected]
Зинина Софья Алексеевна
аспирант,
ассистент кафедры «Промышленная теплоэнергетика» Теплоэнергетического факультета, ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»
Самара, Россия E-mail: [email protected]
Олатуйи Олувапелуми Джонсон
аспирант кафедры «Промышленная теплоэнергетика» ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»
Самара, Россия E-mail: olatuyi. oluwapelumi@gmail. com
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-79-00047,
https://rscf.ru/project/21 -79-00047.
Предмет исследования: математическая модель теплопроводности в пористой плоской стенке, структура которой основана на трижды периодической минимальной поверхности Шона I-WP(TPMS).
Цель исследования: изучение протекания процесса теплопроводности в пористой пластине при заданной пористости. При этом материал, из которого изготовлена пористая пластина, представляет собой пластик PETG.
Методы исследования: в данной работе решение осуществлялось методом конечных разностей в ПО Mathcad.
Основные результаты исследования: получены распределения температуры по пространственной координате и во времени, а также распределение теплового потока во времени в зависимости от изменения коэффициента пористости пластины.
Ключевые слова: метод конечных разностей, пористая пластина, пористость, теплопроводность, трижды периодические минимальные поверхности.
INVESTIGATION OF HEAT TRANSFER IN A POROUS MATERIAL BASED ON TRIPLY PERIODIC SURFACES OF MINIMAL ENERGY
Anton V. Eremin
Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department "Industrial Heat Power Engineering", Faculty of Heat and Power Engineering, Samara State Technical University Samara, Russia E-mail: [email protected]
Sofya A. Zinina
Postgraduate Student,
Assistant of the Department of "Industrial Heat Power Engineering",
Faculty of Heat and Power Engineering, Samara State Technical University Samara, Russia E-mail: [email protected]
Olatui Oluvapelumi Johnson
Postgraduate Student, Department of "Industrial Heat Power Engineering", Samara State Technical University Samara, Russia E-mail: [email protected]
The research was supported by the Russian Science Foundation grant No. 21-79-00047,
https://rscf.ru/project/21 -79-00047.
The subject of research: is a mathematical model of thermal conductivity in a porous flat wall, the structure of which is based on the three times periodic minimal Sean surface I-WP(TPMS).
The purpose of research: to study the course of the heat conduction process in a porous plate at a given porosity. At the same time, the materialfrom which the porous plate is made is PETG plastic.
Methods of research: in this work, the solution was carried out by the finite difference method in the Mathcad software.
Results of the research: temperature distributions were obtained along the spatial coordinate and in time, as well as the distribution of heat flow in time depending on the change in the plate porosity coefficient.
Key words: finite difference method, porous plate, porosity, thermal conductivity, tri-periodic minimal surfaces.
Введение
В настоящее время широкое применение во всех областях промышленности находят пористые композиционные материалы. Так, например, в работе [1] авторами используется класс материалов, представляющих собой металлоорганические каркасы (MOF). Благодаря своей сверхбольшой площади поверхности и регулируемой химической структуре эти пористые материалы находят применение в проведении таких процессов, как катализ и адсорбция. На сегодняшний день MOF не были широко представлены в промышленности из-за трудности изготовления формы. Однако развитие 3D-печати позволяет создать универсальный подход к фор-
мированию структуры MOF с последующим применением их в промышленности, например, в хранении и распределении газа. Особое внимание авторами уделяется 3D-ro4ara MOFs, что позволит использовать данные наработки в области энергетики и защиты окружающей среды.
Под пористым материалом понимают тело, имеющее в своем объеме свободное пространство, представленное в виде пор или каналов. Притом геометрические размеры поры меньше размеров тела. Если рассматривать область применения таких материалов, то они наиболее распространены в качестве теплоизоляционного и строительного материала. Связано это, в первую очередь, со значением коэффициента эффективной теплопроводности,
при этом ^ сильно зависит от плотности материала и размера пор. Так, авторами работы [2] введено понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности условного сплошного шарового включения, заменяющего пору, а также проведен сравнительный анализ оценок истинного значения эффективного коэффициента в диапазоне изменения пористости.
Среди пористых материалов наибольший интерес представляют трижды периодические минимальные поверхности TPMS. Так, исследованию теплофизических и прочностных свойств таких поверхностей посвящены, например, работы [3-7].
Одним из возможных способов изучения свойств TPMS структур является математическое моделирование. При моделировании теплофизических процессов, протекающих в пористых структурах, возможно применение численных методов [8, 9], а также точных и приближенных аналитических методов. Например, в работах [10, 11] авторами предложено решение задачи теплопроводности аналитическими методами, основанными на введении дополнительных граничных условий и дополнительных граничных функций.
В данной статье приведено решение задачи теплопроводности для пористой пластины, изготовленной из пластика PETG (рис. 1). Решение осуществлялось методом конечных разностей в ПО Mathcad.
Формирование тпмп I-WP
На рис. 1 представлена пластина, структура которой основана на повторяющихся элементарных ячейках. Элементарные ячейки представляют собой трижды периодические минимальные поверхности 1^Р. Толщина данным ячейкам придается с помощью формирования твердотельного слоя, ограниченного исходной минимальной поверхностью. В дальнейшем, последовательно соединяя полученные ячейки, возможно получение материала с заданными характеристиками, такими как объем тела, пористость материала и т. д.
Рисунок 1 - Пористая пластина, имеющая упорядоченную структуру, основанную на TPMS I-WP
Постановка задачи
Общая запись уравнения теплового баланса имеет вид [12]:
дТ ( х,1) _ ср——- = , (1)
дг
где с - теплоемкость; р - плотность; Т - температура; ? - время; х - пространственная координата.
Согласно закону Фурье тепловой поток примет вид:
д = -ЛgradT. (2)
При постоянных теплофизических свойствах справедливо:
ср дТ (х> 0 = gradT) (3)
дг
Принимая во внимание, что div(gradT) = АТ = V2Т, то уравнение (3) примет следующий вид:
дТ (х,г)
— = аАТ' (4)
где а - температуропроводность. Коэффициент температуропроводности пористого материала определяется следующим выражением:
Я(ф) 0,1759 - 0,1776ф
а = у 7 = —---(5)
сР(ф) сРм (1 - Ф)
где Л(ф) = 0,1759 - 0,1776 ф - коэффициент теплопроводности, изменяющийся по линейному закону согласно [15]; ф - пористость материала, изменятся в пределах от 0 до 1; р(ф) = рм (1 - ф) - плотность пористой пластины, рм - плотность материала. Свойства материала, из которого изготавливается пористая пластина, приняты в соответствии с работой [16].
Таблица 1 - Свойства материала пористой пластины
Материал Теплоемкость, Дж/кг°С Плотность, кг/м3
PETG 1050 1300
Уравнение (4) в общем виде с учетом декартовой системы координат:
дТ(х,р_ 0,1759- 0,1776ф д2Т(х,г)
~~дГ ~ срм (1 - ф) дх^ ■ (6) Краевые условия для данной задачи имеют вид:
Т( х,0) = Т0; (7)
Т (I, г) = Тст; (8)
Т (0, г) = Тст. (9)
Результаты и обсуждение
Решение задачи (6)-(9) отыскивается путем осуществления метода конечных разностей [13, 14]. Метод конечных разностей заключается в построении пространственно-временной сетки с шагами по координате Дх и по времени Дг . В данной задаче применялась сетка вида:
X = ¡Ах, ¡ = 0,1; ^ = к &, к = 0, К , (10)
где I, К - число шагов по пространственной координате X и по времени ? .
Согласно выбранному методу, на (10) вводятся сеточные функции Тк = Т(х, ^ ). Приняв явную разностную схему решения для задачи (6)-(9), математическая постановка примет вид:
Тк+1 - Тк 0,1759 - 0,1776ф Т* - 2Тк + Т£
срм (1 - ф) Ах2
(11)
Тк = т ; (12)
Тк = Т ; (13)
I ст
Т0 = Т . (14)
¡ ст
Заключение и выводы
Согласно уравнению (5), коэффициент температуропроводности зависит от пористости,
теплоемкости и плотности материала. При постоянном теплоемкости с изменение пористо-т „ Л(ф)
сти ф не приводит к изменению температуропроводности а, так как отношение - со-
Р(ф)
храняет постоянное значение (см. рис. 2), в связи с чем коэффициент пористости ф приводит не к изменению температурных кривых в теле, а лишь к изменению количества энергии, протекающего через тело. В настоящей работе исследовано температурное состояние пористой пластины для значений пористости ф в диапазоне 0,4.. .0,8.
Л(ф)
Рисунок 2 - Зависимость отношения-от пористости материала ф
Р(ф)
На рис. 3 представлено численное решение задачи теплопроводности в пористой пластине при значении пористости ф = 0.9, а также при значениях температуры в начальный
момент времени Т = 20°С и значении температуры на поверхности стенки Тт = 100°С.
Процесс нагрева пористой пластины можно условно разделить на две стадии. На первой стадии происходит прогревание пластины от поверхности к центру, при этом температура при
х = 0,005 (т. е. в центре пластины) остается неизменной. Во второй стадии происходит нагрев пластины во всем исследуемом объеме.
100
50^--
\ \10 IV1 ^
V V J У
/=0,1
0,0025
0,0075 0,01
Рисунок 3 - Распределение температуры по координате X
На рис. 4 представлена зависимость распределения плотности теплового потока д в пористой пластине во времени от значений пористости ф . Пунктирной линией представлена плотность теплового потока для сплошного тела, то есть при пористости ф = 0. Из анализа данного рисунка следует, что при варьировании коэффициента пористости возможно регулирование значения плотности теплового потока. Следовательно, на основании полученных зависимостей возможно создание пористого материала с заданными теплофизическими свойствами. Полученные результаты могут иметь практическое значение в изучении теплоизоляционных материалов, что связано с возможностью изменения толщины материала и регулирования проходящего теплового потока.
Рисунок 4 - Зависимость распределения теплового потока в пористой пластине от пористости материала
Литература
1. Kearns, E. R. 3D Printing of Metal-Organic Frameworks for Clean Energy and Environmental Applications / E. R. Kearns, R. Gillespie, D. M. D'Alessandro //Journal of Materials Chemistry A. - 2021.
2. Зарубин, В. С. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности каркаса пористого твердого тела / В. С. Зарубин, С. В. Зарубин, Е. С. Сергеева. - Текст : непосредственный // Машиностроение и компьютерные технологии. - 2017. - №. 7. - С. 15-30.
65
3. Yu, S. Investigation of functionally graded TPMS structures fabricated by additive manufacturing / S. Yu, J. Sun, J. Bai // Materials & Design. - 2019. - Т. 182. - P. 108021.
4. Asbai-Ghoudan, R. Analytical model for the prediction of permeability of triply periodic minimal surfaces / R. Asbai-Ghoudan, S. R. de Galarreta, N. Rodriguez-Florez // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2021. - Т. 124. - P. 104804.
5. Eremin, A. V. Numerical Study of Hydrodynamic Characteristics of Porous Material Based on Schwarz P Surface / A. V. Eremin at al. // 2021 3rd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA). -IEEE, 2021. - Pp. 1030-1032.
6. Дьяченко, С. В. Физико-механические свойства модельного материала с топологией трижды периодических поверхностей минимальной энергии типа гироид в форме куба / С. В. Дьяченко и др. - Текст : непосредственный // Журнал технической физики. - 2018. -Т. 88, № 7. - С. 1014.
7. Брагин, Д. М. Исследование теплоизоляционных свойств композиционного материала с структурой ТПМП / Д. М. Брагин, С. А. Зинина, А. В. Еремин. - Наукосфера, 2021. -№ 11(2). - С. 120-124. - Текст : непосредственный.
8. Karmakar S. Numerical investigation of sensing and energy harvesting performance of 0-3 and triply periodic minimal surface-based K 0. 475 N a 0. 475 L i 0. 05 (N b 0. 92 T a 0. 05 S b 0. 03) O 3 and polyethylene piezocomposite: A comparative study / S. Karmakar //Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2022. - С. 1045389X211063951.
9. Никитин, М. О. Оценка направленных свойств элементарного излучателя методом конечных разностей во временной области / М. О. Никитин // Современные проблемы радиофизики и радиотехники. - 2021. - С. 92. - Текст : непосредственный.
10. Eremin, A. Investigation of the temperature state of fuel elements with a given spatial distribution of heat sources / A. Eremin, K. Gubareva, A. Popov // AIP Conference Proceedings. - AIP Publishing LLC, 2022. - Т. 2456, №. 1. - Р. 020015.
11. Kudinov, I. V. A method for obtaining analytical solutions to boundary value problems by defining additional boundary conditions / I. V. Kudinov, E. V. Kotova, V. A. Kudinov.
12. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. - М. : Высш. Школа, 1967. -Текст : непосредственный.
13. Еремин, А. В. Исследование процесса охлаждения многослойной пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода / А. В. Еремин. - Текст : непосредственный // Молодежный научный вестник. - 2016. - № 10. - С. 68-73.
14. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособие / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. - М. : Высш. шк., 1994. - 544 с. - Текст : непосредственный.
15. Попов А. И. Определение эффективного коэффициента теплопроводности пористого материала с упорядоченной структурой, основанной на ТПМП I-WP / А. И. Попов, Д. М. Брагин, С. А. Зинина, А. В. Еремин, О. Д. Олатуйи. - Текст : непосредственный // Международный журнал информационных технологий и энергоэффективности. - Т. 7, № 3(25). - Ч. 1. - 2022. - С. 61-67.
16. Брагин, Д. М. Тепловой поток в пористой упорядоченной структуре на основе топологии SCHOEN'S I-WP(R) / Д. М. Брагин, С. А. Зинина, А. И. Попов, А. С. Шульга, А. В. Еремин. - Текст : непосредственный // International Scientific Journal.Theoretical & Applied Science. - 2022. - Volume 14. - Р. 145-150.
