CC BY
7
Численное исследование процесса теплопереноса в плоской стенке с внутренними источниками теплоты при граничных условиях первого
рода
С.А. Зинина, А.И. Попов, Д.М. Брагин ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет», Самара
Аннотация: В настоящей работе проводится исследование процесса теплопроводности в плоской стенке с внутренним источником теплоты при граничных условиях первого рода. Для решения задач теплообмена применяются различные численные и аналитические методы. Каждый метод обладает рядом преимуществ и недостатков. В работе предлагается использовать численный метод конечных разностей. Исходное дифференциальное уравнение, а также краевые условия аппроксимируются с использованием конечно-разностной схемы. Суть метода заключается в нанесении на расчётную область пространственно-временной сетки. Для каждого узла сетки записывается разностное соотношение (исходное дифференциальное уравнение с краевыми условиями заменяется соответствующими выражениями, полученными при использовании разностной схемы). Решая данную схему, получаем значения температуры в пластине для каждого шага по времени и координате. На основе полученного решения построены графические зависимости температуры от времени и координаты, а также проведен их анализ.
Ключевые слова: метод конечных разностей, теплопроводность, пластина, внутренний источник теплоты, граничные условия первого рода.
Введение. Исследование процесса теплопроводности в телах различной геометрической формы является важной задачей математической физики. При моделировании процессов теплообмена возможно применение точных аналитических, численных и приближенных аналитических методов. Так, например, в работе Тришевского О.И. и др. [1] установлено, что для численного решения теплофизических задач теплообмена, описываемых уравнениями нестационарной теплопроводности, наиболее эффективным является метод конечных разностей. Авторами для численного решения задачи нестационарной теплопроводности для полосы и валок при горячей прокатке было осуществлено разделение исследуемой области условной сеткой. В дальнейшем, для полученных узлов сетки были составлены уравнения баланса энергии с последующей конечно-разностной аппроксимацией Фурье.
В работе [2] авторами был изучен процесс теплопроводности для однослойных двумерных материалов при наличии теплового потока в материале и нагреве за счет электрического тока. Проведен сравнительный анализ полученного аналитического решения приближенных уравнений с численными результатами, полученными методом конечных элементов при решении двумерного уравнения. Кроме того, в работах [3-5] авторами для исследования процесса теплопроводности применен метод конечных разностей, реализованный в программе Mathcad. Результаты численного решения представлены на графиках, показывающих изменения температуры как по времени, так и по координате.
Harish S в своей работе [6] дал краткое описание исследования численных методологий, применяемых в задачах течения жидкости и тепломассопереноса в машиностроении. Данные методологии включают в себя метод конечных разностей, метод конечных элементов, методы решетки Больцмана, методы схемы Крэнка-Николсона, интегральный метод, метод Рунге-Кутты, метод рядов Тейлора и т.д. Автором представлены численные методы, применяемые к различным фундаментальным задачам математического моделирования теплопередачи. При этом, характеристика исследуемых режимов различается в зависимости от применяемых методов. Статья Harish S посвящена демонстрации преимуществ методов, применяемых для решения реальных задач теплообмена в инженерных приложениях. Полученные результаты исследования, такие, как теплопроводность, тепловой поток, энтропия, температура и т. д., сравнивались с результатами, полученными при помощи различных численных методов.
В настоящее время метод конечных разностей представляет интерес для многих исследователей, так, в работе [7] авторы впервые используют обобщенный метод конечных разностей (GFDM), представляющий собой
недавно разработанный бессеточный метод коллокаций, применяемый для численного решения трехмерных пьезоэлектрических задач. В настоящем методе вся вычислительная область делится на набор перекрывающихся подобластей, в которых для построения локальных систем линейных уравнений применяется локальное разложение в ряд Тейлора и аппроксимация методом наименьших квадратов. Следуя механическим и электрическим уравнениям, можно установить разреженную и полосчатую матрицу жесткости, что делает метод очень привлекательным для крупномасштабного инженерного моделирования. Авторами представлены предварительные численные эксперименты для демонстрации применимости и точности настоящего метода, где полученные результаты сравниваются с аналитическими решениями с наименьшей погрешностью.
Математическая постановка задачи. В настоящей работе рассматривается решение задачи нестационарной теплопроводности в неограниченной пластине (плоской стенке).
На рис.1 представлена схема теплообмена в плоской стенке с внутренними источниками теплоты при граничных условиях первого рода.
Рис. 1. - Схема теплообмена Согласно принятой схеме теплообмена, краевая задача будет иметь вид
[8]:
тю=ад^щи+^, >0;0<х< , 0)
дt дх ср
Т( х,0) = То; (2)
™ = 0; (3)
дх
Т(0, t) = Тт, (4)
где Т - температура; х - координата; t - время; Тст - температура стенки; Т0 - начальная температура; а - коэффициент температуропроводности; I - длина пластины; с - теплоемкость пластины; р - плотность материала пластины; qv - мощность внутреннего источника теплоты, ду = q0t.
Введем безразмерные параметры:
0 = ; £ = ^ ; р0 = ^ ; ро = - . (5)
т _ т Г Г х(т _ т)
ст 0 V ст 0 /
Тогда задача (1) - (4) примет вид
д^Ро) = + Р0Р0 (Ро> 0; 0 < £ < 1); (6)
дБо д£2
©(0,Бо) = 1; (7)
^ =0; (8)
д£
©(£,0) = 0. (9)
Численное решение задачи. Решение задачи (6) - (9) отыскивается с использованием метода конечных разностей [9,10]. Согласно этому методу вводится пространственно - временная сетка с шагами по пространственной координате Д£ и по времени ДFo. При этом:
£ = 1Д£, г = 0,I = к ДБо, к = 0, К , (10)
где I, К - число шагов по координатам £, Бо.
На сетке (10) вводится сеточные функции © к = ©(%, Бо^). С применением явной схемы аппроксимации дифференциальных операторов, задача (6) - (9) примет следующий вид: 0*+1 - ©к
AFo ©к = 1;
©*, - 2©к + ©к+.
-:-- + РоБа ;
- 2 к '
А%2
©к - ©к ©1 ©1 -1 = 0;
(11) (12) (13)
©0 = 0. (14)
Обсуждение результатов. На рис.2 представлены результаты решения (11) - (14). С ростом времени, мощность источника теплоты увеличивается по линейному закону. Показано, что при этом отмечается неограниченный рост температуры. Так, например, в точке % = 0,1 значение безразмерной температуры при Бо = 0,010(0,1;0,01) = 0,474 .
1,5
0
0,75
0,375
0
•
Ч 0,15 0^25^—-
Ро=0,01^
0,25
0,5
£
1
Рис. 2. - Распределение температуры по толщине пластины при Ро = 10 На рис.3 представлено изменение безразмерной температуры © во времени при значениях критерия Померанцева Ро = 10. В зависимости от удаления от поверхности пластины, характер нагрева существенно отличается. Так, рост температуры на поверхности сдерживается
граничными условиями первого рода. Например, при значениях £ = 0,1
наблюдается резкий рост температуры на начальном этапе нагрева, а далее температура увеличивается по линейному закону, причем интенсивность нагрева (угол наклона температурной кривой) возрастает при удалении от поверхности.
Рис. 3. - Распределение температуры во времени при Ро = 10 Численная верификация результатов. На рис.4 представлена зависимость погрешности вычисления от величины шага по времени ДБо. Из анализа рис.4 можно сделать выводы, что при значении временного шага ДБо < 0,01 погрешность вычисления безразмерной температуры © не превышает 1%. Последующее уменьшение шага ДБо при изучении нестационарной теплопроводности в плоской стенке при заданных значениях пространственно - временной области нецелесообразно.
и
Рис. 4. - Влияние time step на погрешность вычислений
Благодарность
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-79-00047, https://rscf.ru/project/21-79-00047/
Литература
1. Тришевский О. И., Салтавец Н. В. Использование метода явных конечных разностей для решения задач теплообмена при горячей прокатке // Сталь. - 2017. - №3. с.33-36.
2. Ward O.M.G., McCann E. The heat equation for nanoconstrictions in 2D materials with Joule self-heating // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2021. -Vol. 54, № 47, Article number 475303.
3. Попов А.И., Зинина С.А., Брагин Д.А., Еремин А.В. Локально-неравновесная модель теплопроводности в стержне // Theoretical & Applied Science. - 2021. - №. 8. - С. 301-304.
4. Еремин А. В. Исследование процесса охлаждения многослойной пластины при несимметричных граничных условиях третьего рода //Молодежный научный вестник. - 2016. - №. 10. - С. 68-73.
5. Зинина С.А., Попов А.И., Шульга А.С. Исследование процесса конвективного нагрева пластины с переменной температурой греющей среды // Проблемы научной мысли. - 2021. - Volume 3, №1. - С. 28-33
6. Harish S. et al. A Study on Numerical Methodologies in Solving Fluid Flow and Heat Transfer Problems //IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. - IOP Publishing, 2021. - Т. 850. - №. 1. - С. 012021.
7. Xia H., Gu Y. Generalized finite difference method for electroelastic analysis of three-dimensional piezoelectric structures //Applied Mathematics Letters. - 2021. -Т. 117. - С. 107084.
8. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. Школа, 1967. - 600 с.
9. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.
10. Гадиева С. С., Гахраманов П. Ф. Применение методов конечных разностей для решения модельных уравнений тепломассопереноса //Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. -2017. - Т. 32. - №. 4. - С. 38-46.
References
1. Trishevskij O. I., Saltavec N. V. Stal'. 2017. №3. P.33-36.
2. Ward O.M.G., McCann E. Journal of Physics D: Applied Physics. 2021. Vol. 54, № 47, Article number 475303.
3. Popov A.I., Zinina S.A., Bragin D.A., Eremin A.V. Theoretical & Applied Science. 2021. №. 8. pp. 301-304.
4. Eremin A. V. Molodezhnyj nauchnyj vestnik. 2016. №. 10. pp. 68-73.
5. Zinina S.A., Popov A.I., SHul'ga A.S. Problemy nauchnoj mysli. 2021. Volume 3, №1. pp. 28-33.
6. Harish S. et al. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. IOP Publishing, 2021. T. 850. №. 1. pp. 012021.
7. Xia H., Gu Y. Applied Mathematics Letters. 2021. T. 117. p. 107084.
8. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of thermal conductivity]. M.: Vyssh. SHkola, 1967. 600 p.
9. Amosov A.A., Dubinskij YU.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov: Ucheb. posobie. [Computational methods for engineers]. M.: Vyssh. shk, 1994. P. 544.
10. Gadieva S. S., Gahramanov P. F. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1: Estestvennye nauki. 2017. T. 32. №. 4. pp. 38-46.
