CC BY
9ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2015. № 4 (48)
УДК 536. 2 (075)
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ*
А.В. Еремин, И.В. Кудинов, Л. С. Абишева, В.В. Жуков
Самарский государственный технический университет Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
E-mail: totig@yandex.ru
С использованием интегрального метода теплового баланса разработан метод получения аналитического решения задачи теплообмена для движущейся в цилиндрическом канале жидкости при граничных условиях первого рода на стенках трубы. В основу метода положено использование дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий, определяемых так, чтобы искомое решение удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению в граничных точках. Дополнительная искомая функция представляет изменение температуры в центре трубы в зависимости от величины продольной переменной. Ввиду бесконечной скорости распространения теплоты, описываемой параболическим уравнением теплообмена, температура в центре канала будет изменяться тотчас же после приложения граничного условия первого рода на поверхности цилиндрического канала. Следовательно, область ее изменения включает весь диапазон изменения температуры 0 < Q < 1 и продольной пространственной переменной 0 < x < ¥ . Такой подход позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного уравнения относительно дополнительной искомой функции, зависящей лишь от продольной пространственной переменной. Показано, что благодаря использованию дополнительных граничных условий с увеличением числа приближений искомого решения исходное дифференциальное уравнение удовлетворяется не только на границах области, но и внутри нее.
Ключевые слова: задача теплообмена, ламинарное течение жидкости, бесконечная скорость распространения теплоты, интегральный метод теплового баланса, приближенное аналитическое решение, дополнительная искомая функция, дополнительные граничные условия, координатные функции.
Задача теплообмена при ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале (рис. 1) впервые была решена Гретцем и независимо от него Нуссельтом. Уточненное решение задачи Гретца - Нуссельта дано в [1, 2]. Отметим, что это решение представляет бесконечный функциональный ряд, плохо сходящийся при
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВПО «СамГТУ» (код проекта 1273).
Антон Владимирович Еремин (к.т.н.), доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика».
Игорь Васильевич Кудинов (к.т.н.), доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика».
Любовь Сергеевна Абишева, ассистент, доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика».
Виталий Владимирович Жуков, аспирант.
малых значениях продольной координаты (х < 0,01). Кроме того, решение содержит функции Бесселя различного (в том числе и дробного) порядка. Такое решение малопригодно для инженерных приложений.
Рис. 1. Схема стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе
Математическая постановка задачи Гретца - Нуссельта для цилиндрического канала имеет вид [1, 2] (см. рис. 1)
,х.дг(х,п) а дг(х,п) д2г(х,п) ( ^ ) т
Ю(Х) ^ =Т Ть + а ^2 ; (п^0; 0<^<г); (1)
X дХ 5Х2
г (X ,0)=^0; (2)
г (г, п)='с; (3)
дг (0, л)/дх = 0, (4)
где г - температура;
П, X — продольная и поперечная координаты; г - радиус трубы;
'0 - температура жидкости на входе в трубу (при п = 0); гй - температура стенки (при X = г); а — коэффициент температуропроводности;
ш(Х) — функция, описывающая распределение скорости по поперечной координате.
Введем следующие безразмерные переменные и параметры:
0 = y = x; X = 1-1-; Pe = , (5)
t& -t0 r 2 Per a
где 0 - относительная избыточная температура; y — безразмерная поперечная координата; о — безразмерная продольная координата; Pa — число Пекле. С учетом принятых обозначений задача (1) - (4) будет (рис. 2):
2ч 80(y, x) 80(y, x) 82 0(y, x) п / п п л
y(i—y ) 8 ; ——y . 2 = 0; (х^0; 0£y£1); (6)
8 х 8 y 8 y2
0(y ,0) = 0; (7)
0(1, х)= 1; (8)
80(0, x)/8y = 0. (9)
r
1,и А
е А
1 / ,/
о у/ /
У
о у 1,0
Рис. 2. Схема теплообмена при течении жидкости в цилиндрическом канале
Рассмотрим приближенный аналитический метод решения указанной задачи, основанный на использовании дополнительных граничных условий. С целью упрощения процесса получения решения введем дополнительную искомую функцию
q(х) = 0(0, х), (10)
описывающую изменение температуры в центре трубы. Стоит отметить, что ввиду бесконечной скорости распространения теплоты, заложенной в параболическом уравнении (6), температура жидкости в центре трубы будет изменяться тотчас же после начала действия граничного условия (8). Следовательно, диапазон изменения функции q(х) включает весь диапазон изменения пространственной переменной 0 < х < ¥.
Решение задачи (6) - (9) разыскивается в виде
п
0(У, х) = £ък(у), (11)
к=1
где Ък - неизвестные коэффициенты, зависящие от q( х);
Фк(У) = Ук-1 - координатные функции (к = 1, к , п). Для нахождения Ък (4) будем использовать основные (8), (9) и дополнительные граничные условия, определяемые в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением (1) было эквивалентно выполнению уравнения (6) в граничных точках у = 0 и у = 1 [3 - 6].
Для получения решения задачи (6) - (9) в первом приближении подставим (11), ограничиваясь тремя членами ряда, в (8), (9), (10). Относительно неизвестных коэффициентов Ък получим систему трех линейных алгебраических уравнений, из решения которой находим
Ъ = q(х), Ъ2 = 0, Ъ3 = 1 -q(х) . (12)
С учетом (12) соотношение (11) примет вид
0(У, х) = q(x) + (1 - q(x))у2. (13)
Потребуем, чтобы соотношение (13) удовлетворяло осредненному уравнению (6), то есть интегралу теплового баланса вида
0
у(1 _ у2) 8©(у, х) 8©(у, х) _ у 82®(У' х)
йу = 0. (14)
8х 8у " 8у2
Подставляя (13) в (14), после вычисления интегралов относительно д(х) будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
2 ЛфЪ + 24^(х) _ 24 = о. (15)
йх
Интегрируя уравнение (15), находим
ц(х) = 1 + С ехр(_12х), (16)
где С - постоянная интегрирования. Подставляя (16) в (13), получаем
©(у, х) = 1 + Се-12 х (1 _ у2). (17)
Для определения постоянной интегрирования С составим невязку граничного условия (7) и потребуем ортогональности невязки к первой координатной функции ф1 = 1:
1
I
1 + С (1 _ у 2) йу = 0.
о
Определяя интегралы, находим С = -1,5.
Соотношение (13) с учетом найденного значения постоянной интегрирования принимает вид
©(у, х) = 1 _ 1,5 е"12 х (1 _ у2). (18)
Результаты расчетов по формуле (18) в сравнении с точным решением приведены на рис. 3.
1.0
©
0.5
2 ¿У 1
1
4 5
и 0.5 4 1.0
Рис. 3. Распределение безразмерной температуры (х = 0,07):
1, 2, 3, 4 - первое, второе, третье и четвертое приближения соответственно; 5 - точное решение
Для повышения точности найдем решение задачи (6) - (9) во втором приближении. При этом используются шесть членов ряда (11). Неизвестные коэффициенты Ък (#) определяются из условий (8), (9), (10) и дополнительных гра-
1
ничных условий. Согласно методу [5] для получения решения задачи (6) - (9) во втором и последующих приближениях всякий раз необходимо добавлять три дополнительных граничных условия, причем два из них записываются применительно к точке у = 0 и одно - к точке у = 1.
Записывая уравнение (6) для точки у = 1, получаем первое дополнительное граничное условие
а^ео*) + =о. (19)
су2 су
Уравнение (6) в точке у = 0 совпадает с граничным условием (9), которое искомым решением удовлетворяется в любом приближении.
Для получения второго дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (6) по переменной у и запишем полученное соотношение применительно к точке у = 0:
ОВД, х) - 2с2в(0. х) = 0. (20)
дх ду2
Дифференцируя (10) по переменной х, получаем
дд(х) = д©(0, х)
(21)
х х
Сравнивая (20) и (21), получаем второе дополнительное граничное условие
МО -2д20(0> х) = 0. (22)
дх ду2
Для нахождения третьего дополнительного граничного условия дважды продифференцируем уравнение (6) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 0:
2д20(°, х) -3^. х) =0. (23)
дхду ду
Дифференцируя (9) по переменной х и сравнивая полученное соотношение с (23), получаем третье дополнительное граничное условие
^00^ = 0. (24)
дх3
Таким образом, многократно дифференцируя уравнение (6) по переменной у и сравнивая получаемые соотношения с основными и полученными ранее дополнительными граничными условиями, продифференцированными по переменной х, можно найти любое число дополнительных граничных условий. Четвертое, пятое и шестое условия соответственно имеют вид
д3®(1, х) + 2д20(1, х) = 0-
ду3 ду2
3 д2д(х) -6дд(х) - 4 д40(0, х) = 0- д50(0, х) = 0 2 дх2 дх ду4 ' ду5 '
Для получения решения во втором приближении, подставляя (11) (ограничиваясь шестью членами ряда) в (8), (9), (10), (19), (22), (24), относительно Ък (д) получим систему шести линейных алгебраических уравнений, из решения кото-
рой находим
Ъ1 = д( х), Ъ2 = 0, Ъз = 1 ^, Ъ4 = 0, 4 ах
Ъ = 25 + 25д(х) _ 7 йд(х) Ъ = 16 + 16д(х) + I йд(х) (25)
5 9 9 12 ах ' 6 9 9 3 йх ' Соотношение (11) с учетом (25) будет
©(у, х) = д(х) + Г1 ^ 1 у2 + Г25 + 252(х) _ ^ 1у4 + ^ У ^ 4 йх у \ 9 9 12 йх У
+ Г_ I6 +1 у5 (26)
^ 9 9 3 йх У Подставляя (26) в (14), после вычисления интегралов относительно д( х) будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: 2
129^^^ + 64840х + 40320?(х) _ 40320= 0. (27)
йх йх
Интегрируя уравнение (27), находим
д(х) = 1 + С1 ехр(_7,2699х) + С2 ехр(_42,9937х), (28)
где С1, С2 - постоянные интегрирования. Для их определения составляется невязка граничного условия (7) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям ф1 = 1 и ф2 (у) = у :
1
,0) йу = 0,
1©( y,
1 (29)
1©( У,
,0) уйу = 0.
0
Подставляя (26) (с учетом (28)) в (29), относительно С1 и С2 будем иметь систему двух алгебраических линейных уравнений, из решения которой находим
С1 = 0,83755, С2 = _1,4161. (30)
После определения постоянных интегрирования С1 и С2 решение задачи (6) - (9) во втором приближении находится из (26). Соотношение (26) точно удовлетворяет основным (8), (9) и дополнительным (10), (19), (22), (24) граничным условиям, а также интегралу теплового баланса (14) и приближенно (во втором приближении) - уравнению (6) и граничному условию (7).
Результаты расчетов безразмерной температуры во втором приближении в сравнении с точным решением представлены на рис. 3. Из их анализа следует, что расхождение результатов не превышает 6 %.
На рис. 3 приведены графики изменения температуры в первом, втором, третьем и четвертом приближениях при х = 0,07 в сравнении с точным решением. Из их анализа следует, что расхождение результатов в четвертом приближении не превышает 1 %. Таким образом, с увеличением числа приближений получаемое решение существенно уточняется, что свидетельствует о сходимости предлагаемого метода решения задачи (6) - (9).
Выводы
1. С использованием дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено приближенное аналитическое решение задачи теплообмена в жидкости, движущейся в цилиндрическом канале (задача Гретца - Нуссельта). Введение дополнительной искомой функции обосновывается бесконечной скоростью распространения теплоты, описываемой параболическим уравнением теплообмена. Область ее изменения, так же как и область изменения основной искомой функции 0(y, x), включает весь диапазон изменения температуры 0 < 0(0, x) < 1 и весь диапазон продольной пространственной переменной 0 < x < ¥ .
2. Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках y = 0 и y = 1. Показано, что выполнение дифференциального уравнения на границах области с увеличением числа приближений приводит к его выполнению и внутри нее с точностью, зависящей от числа приближений.
3. Метод получения решения, основанный на использовании дополнительной искомой функции в интегральном методе теплового баланса, позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения, что оказывается возможным благодаря использованию интеграла теплового баланса. То есть в данном случае требуется выполнение не исходного дифференциального уравнения, а этого же уравнения, осредненного по поперечной пространственной переменной. Такой метод позволяет находить решения краевых задач со сложными дифференциальными операторами в уравнениях (нелинейных, с переменными коэффициентами и др.), получение решений которых с помощью классических аналитических методов либо затруднительно, либо вообще не представляется возможным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. -М.: Энергия, 1967. - 412 с.
2. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. - М.: Изд-во МЭИ, 2005. - 568 с.
3. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах на основе определения фронта температурного возмущения // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т. 80. - № 5. - С. 176-186.
4. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Построение приближенных аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования дополнительных граничных условий // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки.- 2009. - № 1 (18). - С. 122-132.
5. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности // Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47. - № 2. - С. 269-282.
6. Еремин А.В., Стефанюк Е.В., Рассыпнов А.Ю., Кузнецова А.Э. Нестационарный теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. - 2013. - № 4. -С. 122-130.
Статья поступила в редакцию 5 октября 2015 г.
THE RESEARCH OF THE HEAT-TRANSFER DURING THE FLOWING OF LIQUID IN A CYLINDRICAL CHANNEL
A. V. Eremin, I. V. Kudinov, L.S. Abisheva, V. V. Zhukov
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
Using the integral method of heatbalance, was developed a method of analytically solving the problem of heat-transfer for liquid flowing in a cylindrical channel under first-type boundary conditions on the pipe walls. This method is based on the use of an additional sought-for function and additional boundary conditionsdetermined in such a way that the sought-for function would satisfy the original differential equation in the boundary points. The additional sought-for function shows the temperature changing in the centre of the pipe as depending on the longitudinal variable. Because of the heat-propagation infinite speed described by a parabolic equation of heat-conduction, the temperature in the channel centrewould change immediately after the application of first-type boundary conditions onthe cylindrical channel surfaces. Therefore, the region of the additional sought-for function change includes the entire temperature and longitudinal spatial-variable change range. This approach allows the solution of partial-derivatives differential equation to be reduced to the integration of an ordinary differential equation with respect to the additional sought-for function only depending on the longitudinal variable. The paper shows that, through the use of the additional sought-for function and additional boundary conditions, and with the increasing number of the sought-for solution approximations, the original equation would be satisfied not only at the region boundaries (via the implementation of the additional boundary conditions), but also inside that region.
Keywords: heat-transfer problem, laminar flow of a liquid, infinite speed of heat propagation, integral method of thermal balance, approximate analytical solution, additional required function, additional boundary conditions, coordinate functions.
Anton V. Eremin (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor. Igor V. Kudinov (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor. Lyubov S. Abisheva, Assistant. Vitaly V. Zhukov, Assistant.
