Исследование гидродинамики и теплообмена при течении жидкости в трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ Хвостов А.С.

Хвостов Артем Сергеевич - студент магистратуры, кафедра теоретических основ теплотехники и гидромеханики, Самарский государственный технический университет, г. Самара

Аннотация: в статье рассмотрено аналитическое решение задачи теплообмена при течении жидкости в трубе (цилиндрическом канале) при параболическом законе изменения вязкости от температуры. Дополнительно принималась функция, характеризующая изменение температуры по продольной координате в центре канала. Ее использование основано на свойстве параболического уравнения, связанном с бесконечной скоростью распространения теплоты, согласно которому температура в центре канала изменяется сразу после приложения граничного условия на его поверхности. Применение дополнительной искомой функции позволяет сводить решение уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

В результате анализа выяснилось, что выполнение уравнения на границах приводит к его выполнению и внутри рассматриваемой области. Исследования полученных результатов показали существенное различие профилей скорости при нагреве жидкости и при охлаждении. При нагреве профиль скорости приближается к профилю стержневого течения, характеризующегося практически постоянной скоростью по сечению канала, а при охлаждении он оказывается вытянутым в продольном направлении. Выполненные исследования показали существенное различие в распределении температуры, полученной с учетом температурной зависимости вязкости и без ее учета.

Ключевые слова: теплообмен в движущейся жидкости, зависимость вязкости от температуры, дополнительная искомая функция, дополнительные граничные условия, бесконечная скорость распространения теплоты, интегральный метод теплового баланса.

Классические математические постановки краевых задач теплообмена для движущихся жидкостей включают допущение о независимости профиля скорости течения от температуры. Формула для профиля скорости в данном случае определяется из решения уравнения Навье-Стокса, которое для гидродинамически стабилизированного течения приводится к уравнению Пуассона [1, 2]. Из решений этого уравнения следует, что профиль скорости для канала конкретной формы поперечного сечения определяется вязкостью жидкости и перепадом давления по его длине. Учитывая, что вязкость многих жидкостей существенно зависит от температуры, то исключение этой зависимости в математических постановках краевых задач может приводить к существенному отличию распределения скорости и температуры от результатов, наблюдающихся в реальных физических процессах теплообмена в движущихся жидкостях.

Теоретические положения, связанные с учетом зависимости вязкости от температуры при расчетах распределения скоростей и температур в движущихся жидкостях, приводятся в работах [3-6]. В них принимается линейная или экспоненциальная зависимость вязкости от температуры:

KT) = ц о (1 - ß(T - To)) (1) ц (T) = цое -ß (T- То) (2)

где ц 0 - вязкость при температуре T = To;

ß - коэффициент, характеризующий интенсивность изменения вязкости от температуры;

^ - начальная температура.

Из формул (1) и (2) следует, что при нагреве (Г > ^) вязкость уменьшается, а при охлаждении - возрастает. При использовании этих формул температура оказывается включенной в уравнение движения (Навье - Стокса). В связи с этим, для определения профилей скорости и температурного состояния движущихся жидкостей необходимо совместное решение сильно нелинейных уравнений движения и энергии.

Математическая постановка задачи в этом случае настолько усложняется, что получение ее не только аналитических, но и численных решений, крайне затруднительно. В работах [3-6] подобная система уравнений упрощается за счет отказа от учета нестационарности процесса и конвективного переноса теплоты по пространственным переменным. Однако подобное упрощение можно принять лишь в отдельных частных случаях (например, когда число Рейнольдса мало, Re < 1), что существенно снижает число задач, к которым можно применить данный метод. К тому же при нагреве жидкости вязкость уменьшается и, следовательно, число Рейнольдса возрастает. Это возрастание может быть столь существенным, что неучет нестационарности процесса и конвективного переноса теплоты по продольной переменной могут привести к существенному отклонению математической модели от реального физического процесса.

В работе П.В. Цоя [2] рассматривается метод учета зависимости вязкости от температуры, в котором уравнения движения и энергии решаются раздельно. В данном случае формула для вязкости принимается в виде линейной, параболической или экспоненциальной зависимости от поперечной пространственной переменной, считая, что температура по этой переменной также изменяется по какой-либо из этих зависимостей. В данном случае формула для вязкости не содержит непосредственно температуру и, в связи с чем появляется возможность раздельного решения уравнений движения и энергии с учетом в уравнении энергии профиля скорости, полученного из решения уравнения движения.

При этом уравнения энергии на нагрев и на охлаждение жидкости решаются раздельно. Разумеется, такой метод решения является приближенным, так как закон изменения вязкости от поперечной пространственной переменной задается в предположении, что температура качественно изменяется по аналогичному закону. Исходя из начальных и граничных условий теплообмена, подобную оценку приближенно всегда можно выполнить. Преимущества такого метода в том, что не требуется вводить все указанные выше допущения.

В данной статье при определении профиля скорости с учетом зависимости вязкости от температуры применена математическая теория, разработанная в [8]. Найденные профили используются затем при решении задач теплообмена методом, основанном на определении дополнительных искомых функций и дополнительных граничных условий.

Л

\

Рис. 1. Схема стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе

В математической постановке задачи приняты следующие допущения: течение жидкости стабилизированное (профиль скорости по длине канала не изменен); жидкость несжимаема, ее физические свойства постоянны; внутренние источники теплоты отсутствуют; изменением температуры в результате трения (диссипацией энергии) пренебрегается [1, 2].

Квазистационарная нелинейная задача известна как задача Гретца - Нуссельта. Впервые она была решена Гретцем и, независимо от него - Нуссельтом. Уточнение полученного ими решения дано в [1].

Приведенное в [1] решение представляет бесконечный функциональный ряд, плохо сходящийся при малых значениях продольной переменной. И к тому же в зависимости от величины поперечной координаты решение включает функции Бесселя различного (в том числе и дробного) порядка. Особую трудность представляет также нахождение собственных чисел, определяемых из степенных уравнений, решение которых при большом числе членов ряда решения возможно лишь численными методами.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, основанные на определении фронта температурного возмущения - глубины прогретого (термического) слоя [8]. При их использовании процесс теплопроводности разделяется на две стадии по времени, первая из которых характеризуется постепенным продвижением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая - изменением температуры в пределах всей области изменения пространственной переменной.

Отметим, что применительно к задачам теплообмена для движущихся жидкостей процесс теплообмена разделяется на две стадии по продольной пространственной переменной. Общим недостатком интегральных методов является низкая точность получаемых решений. Для ее повышения в работах [7, 8] применены дополнительные граничные условия.

На их основе показано, что с увеличением числа приближений п происходит уменьшение времени перемещения фронта температурного возмущения от поверхности тела до его центра, т. е. происходит возрастание скорости его движения. И в пределе при п скорость перемещения фронта также устремляется к бесконечному значению, что подтверждает факт бесконечной скорости распространения теплоты.

Отсюда следует, что с увеличением числа приближений диапазон времени (для движущихся жидкостей - диапазон продольной переменной), в котором определена первая стадия процесса, уменьшается, а второй стадии - увеличивается. В связи с чем решения, полученные для первой стадии, могут быть использованы лишь при малых и сверхмалых значениях времени (для жидкостей - продольной переменной). Учитывая этот факт, в настоящей работе рассматривается метод аналитического решения, позволяющий избежать рассмотрения первой стадии процесса.

Основная идея метода связана с использованием дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий. Целью введения дополнительной функции является сведение решения исходного уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного уравнения в граничных точках.

Отметим, что метод решения, связанный с выполнением уравнения в граничных точках, использовался в работах [7-8].

Результаты расчетов в сравнении с решением численным методом приведены на рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне 0,1 < х < 0,4 расхождение результатов не превышает 6%.

Рис. 2. Распределение температуры

При х = 3 жидкость прогревается до температуры 0 = 1,0, заданной граничным условием, т. е. практически наступает режим стационарного теплообмена. Результаты приведены на рис. 3.

1.0 @

0.8

0.6

2.5

2

1,6

1Д___

1,2

0,2 0,4 0,6 0.8 V 1.0

Рис. 3. Распределение температуры

Отметим, что применительно к нестационарным задачам теплопроводности для бесконечной пластины с переменными начальными и граничными условиями, с неоднородными граничными условиями, а также с источниками теплоты в работах [4, 5, 8], используя рассмотренный выше метод, получены точные аналитические решения в форме бесконечных рядов.

Используя дополнительную искомую функцию и дополнительные граничные условия в интегральном методе теплового баланса, получено приближенное аналитическое решение задачи теплообмена для движущейся жидкости, при переменной от температуры вязкости.

Применение дополнительной искомой функции основано на свойстве параболического уравнения теплообмена, связанном с бесконечной скоростью распространения теплоты. Ее использование позволяет свести решение уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения.

Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного

дифференциального уравнения в граничных точках. Ввиду отсутствия необходимости интегрирования уравнения в частных производных по радиальной пространственной переменной, можно ограничиться интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения относительно дополнительной искомой функции. Данный метод может быть применен для решения краевых задач со сложными дифференциальными операторами в уравнениях, не допускающими разделения переменных (нелинейных, с переменными физическими свойствами среды, с учетом диссипации энергии и др.).

Следует отметить, что с увеличением числа приближений трудности получения решения возрастают. И, в частности, возрастает порядок обыкновенного дифференциального уравнения относительно дополнительной искомой функции. Однако эти трудности не являются принципиальными - они приводят лишь к возрастанию объема вычислительной работы, выполняемой на компьютерах. При этом получаемое решение сохраняется в аналитическом виде.

Список литературы

1. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 412 с.

2. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. М.: Изд-во МЭИ, 2005. 568 с.

3. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения // Известия Российской академии наук. Энергетика, 2008. № 5. С. 141-157.

4. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

5. Кудинов В.А., Кудинов И.В., Котова Е.В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности // Теплофизика высоких температур, 2017. Т. 55. № 4. С. 556-563.

6. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // Доклады АН СССР, 1934. Т. 2. № 9. С. 532-534.

7. Кудинов И.В. Получение точных аналитических решений задач теплопроводности с переменными во времени граничными условиями // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки, 2016. №4 (52). С. 108-117.

8. Ткачев В.К., Еремин А.В., Тарабрина Т.Б., Кудинов И.В. Гидродинамика и теплообмен в жидкости при зависимости вязкости от температуры // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации, 2019. № 3 (44). С. 70-86.