Исследование телекоммуникационных сетей в условиях автомодельных потоков с сильным последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОРПОРАТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 519.711.3(06)

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ В УСЛОВИЯХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПОТОКОВ С СИЛЬНЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© 2006 г. М.А. Бутакова

В работе [1] было показано, что телекоммуникационный трафик и потоки обмена данными в информационных системах могут обладать некоторыми новыми свойствами. В таких условиях целесообразно либо адаптировать имеющиеся методы исследования информационных потоков с учетом новых появившихся свойств, либо выполнить разработку новых статистических методов анализа таких потоков данных.

Статистическая автомодельность потоков

Будем рассматривать только стационарные (в широком смысле) процессы.

Определение 1 [2]. Процесс X ( является стационарным (в широком смысле, стационарным второго порядка), тогда и только тогда, когда

1) математическое ожидание E [X i ] < ^;

2) ковариация сот(1, у )= E - E[X1 ])(( -EX ] зависит только от величины k = i - ], так что соу ^) = соу (1, у) = соу(у,1) .

Заметим, что в таком случае дисперсия а2 = соу(1,1) и автокорреляционная функция

г (k) =

cov(k) = Е[(( - Е[X ])((,- Е[Xt ]))

Современные исследования в области информационных потоков основываются на теории случайных процессов, принимающих во внимание свойства ав-

томодельности и сильного последействия (долгой памяти) у случайных процессов. Статистическая автомодельность (самоподобие) случайной последовательности проявляется в наличии следующих свойств.

Пусть X = {Xk,k = 1,2,3...} стационарная случайная последовательность и пусть X(т) ={XJ(m), k > 1}

соответствующая ей агрегированная последовательность (уровня т), получаемая из исходной путем деления её на k не перекрывающихся блоков размера т (обычно k и т - целые и k т = п - общему разме-

ру выборки) с выполнением усреднения значений внутри блока

X1-™-1 =

1

km

Е

X, , где k = 1,2,3....

т 1=(к -1)т+1

Определение 2. Стационарная случайная последовательность X является строго автомодельной с показателем Н (показателем Харста) [3], если для каждого т > 1 агрегированный процесс X(т) имеет такие же конечномерные распределения, как и последовательность т НХ.

{{т),k > 1}== {тHXk,k > 1}, Ут > 1. (1)

Известно [4], что при 0<Н<1 и k > 1 ковариационная функция имеет вид

cov(k) = p(k) = -2

(k + 1)2H -2k2H +(k-1)

. (2)

Такой вид ковариационной функции означает, что при k ^го и Н Ф1/2

p(k)~H(2H - 1)|k |2H-2 1o;

- I = -, при 1/2 < H < 1 2o;

Е P(k)j

k=1 [<-, при 0 < H < 1/2 3o.

(3)

При Н = 1/2 ковариация равна нулю и образуется гауссовская последовательность независимых случайных величин. В остальных случаях видно, что кова-риация убывает с ростом k достаточно медленно, что приводит к появлению свойства сильного последействия (долгой памяти) у стохастической последовательности. Заметим также, что случаи 2о и 3о из (3) принципиально различны, потому, что в 2о ковариация положительная, а в 3о ковариация отрицательная. Случай положительной ковариации означает, что за положительными (отрицательными) значениями можно ожидать появления таких же положительных (отрицательных) значений в рассматриваемой последовательности и прийти к модели кластерности и наличия тяжелых хвостов в распределении случайных величин. Случай отрицательной ковариации означает,

что за положительными (отрицательными) значениями в последовательности ожидаются отрицательные (положительные) последующие значения, что приводит к эффекту высокой скачкообразности и перемежаемости данных.

Перейдем теперь к рассмотрению стохастических процессов, построенных на основе случайных последовательностей со свойствами автомодельности.

Определение 3 [5]. Случайный процесс X = (Xt) со значениями в К называется автомодельным (самоподобным), или удовлетворяющим свойству (статистической) автомодельности, если У а > 0 можно найти такое Ь > 0, что

^, г > 0}=^, г > 0}. (4)

Это означает, что изменение временной шкалы (г ^ аг) приводит к тому же результату, что и изменение фазовой (х ^ Ьх). Если в (4) У а > 0 параметр Ь = а Н, то случайный процесс X = (Хг )г>0 будет

называться автомодельным процессом с показателем Харста Н, или процессом, удовлетворяющим свойству статистической автомодельности с показателем Харста Н. Величина Б = 1/Н называется статистической фрактальной размерностью случайного процесса X.

Представление автомодельного стохастического процесса, применительно к информационным потокам в изучаемых ИС может быть следующим.

Рассматривается стохастическая последовательность {X (,г > 0}, которая интерпретируется как некоторый измеряемый в ИС объем телетрафика (в пакетах, байтах, битах) в единицу времени г. Нас интересует задача, имеющая важное практическое значение: наблюдая и измеряя телетрафик в течение определенного промежутка времени требуется определить его объемы в некоторые другие моменты времени, не принадлежащие этому промежутку. При определении модели телетрафика часто подразумевается, что {X (},г > 0 проявляет свойство стационарности

в смысле сохранения структуры процесса инвариантно к различным временным сдвигам. Формальнее, последовательности {Х(гД X(t2),..., X(tn)} и

{X(г1 + к),X(г2 + к),...,X(гп + к)} имеют одинаковые совместные распределения, для Уп > 0, гь..., гп, к е Z. Обозначая Xk (г) к - сдвинутый процесс, относительно исходного X(г), говорят, что конечномерные распределения процессов эквивалентны (в

й

асимптотическом смысле), X(г) = Xk (г).

По определению 1, стационарность при моделировании телетрафика с использованием автомодельных процессов принимает более слабую форму, называемую автомодельной стационарностью второго порядка, которая требует инвариантности только от

ковариационной функции процесса, в смысле соу(г, 5) = соу(г + к, 5 + к). Более того, принимается, что два первых момента у последовательности существуют и конечные. Так, по определению 2 и по виду ковариационной функции (2) имеем Н-автомодельный информационный поток X (г) = У (г) - У (г -1) со стационарными приращениями, где й

У (г) = т "НУ (тг), Ут > 0, г > 0, 0 < Н < 1,

Е [У(г)] = 0, Е [у 2(г) ] = ст2 |г|2Н, (5)

2

/1 ч а /| 1|2Н к 12Н I |2Н\

соу(г, 5) = — (( - \г - 5 +).

Пользуясь этими соотношениями, можно получить два вида автомодельных информационных потоков в информационных системах:

1) фрактальное броуновское движение с показателем Н, если принимать приращения, распределенные по гауссовскому закону;

2) фрактальный гауссовский шум с показателем Н, если принимать приращения фрактальным броуновским движением.

Заметим, что Н=1/2, упомянутые процессы сокращаются до броуновского (винеровского) движения и гауссовского белого шума соответственно.

Свойства потоков с сильным последействием

Общепринятого определения свойства сильного последействия у автомодельного информационного потока (с ковариационной функцией 1° и 2° из (3) пока нет. Систематизируем известные способы определения указанного свойства.

Рассмотрим подход к определению свойства сильного последействия стохастического процесса, базируемый на свойствах автокорреляционной функции автомодельной стохастической последовательности {X к, к > 1} с конечным вторым моментом. Используем определение сильного последействия (памяти процесса) из работ [4, 6].

Определение 4. (По ковариационной функции процесса). Стационарный процесс Xг проявляет свойство сильного последействия, если

1° £ р(к ) = ~;

к

2° £ |р(к)| = ~;

к

3° р(к)~ срк"а, Уср > 0 и ае (0,1).

В этом случае параметр а относится к показателю Харста, как Н= 1 - а / 2.

Рассматриваемое свойство может быть определено в терминах спектральной плотности процесса.

Определение 5. (По спектральной плотности процесса) Стационарный процесс X г является случайным процессом с сильным последействием, если его спектральная плотность

f (*) = )e~гкХ ~f

2П к

i-ß

X ^ 0, Vс, > 0, Ре (0,1).

В этом случае параметр в относится к показателю Харста как Н= (1 +в) / 2 .

Применяя определение 4 - 3, выполняем следующее разложение:

/(X) ~ а, (Н) |Х|1-2Н, Х^ 0,

где с, = а2п-1арГ(2 Н-1^ш(п-пН); Г - Гамма-

функция Эйлера.

И, обратно, из определения 4 полезно следующее разложение:

р(к) ~ а р (Н),

где

а р=^ а , Г (2-2Н^ш( п Н- п/2). (6)

а

Указанные выше определения достаточно просты для понимания, но не полностью раскрывают сущность главного отличия рассматриваемых нами процессов от остальных - для исследования автомодельных информационных потоков с сильным последействием не выполняются условия предельных теорем.

Один из подходов, определяющий свойство сильного последействия с помощью предельных теорем другого вида, называемых функциональными предельными теоремами, и развиваемый начиная с работ [7, 8], становится де-факто для аналитических исследований в этой области. В современной формулировке [9, 10] функциональная предельная теорема выглядит следующим образом.

Теорема 1. Для стационарной в широком смысле последовательности с частичными суммами

п

£п = £Хк для п = 0,1,2..., математическим ожида-

к =1

нием Е[Х0], дисперсией а2 = Б[Х0] , ковариационной функцией £ | р(к) |< ^ выполняется условие

к =1

^[пг] -Е[£[пг]] й а 2 В(,)

-т=-->а* В(г^

п

где 0 < г < 1, а2 = а 2(1 + 2 £р(к)), В(г) - броунов-

к =1

ское движение.

Дальнейшее развитие идей для случая не суммируемой ковариационной функции и для бесконечной дисперсии позволило сформулировать следующее определение свойства сильного последействия у стохастической последовательности [10], восходящее к работе [11].

Свойство 1. Пусть {Хк, к > 1} случайная после-

п

довательность с частичными суммами £ п = £ X к

к=1

для п = 0,1,2..., также существуют Н > 0, последовательность {ап }, медленно-меняющаяся функция Ь(п) и предельный процесс {Я(г),г > 0} , так, что

S [ nt ] a [ nt ] __

n H L(n)

->R(t), при n ^тс .

Случайная последовательность {Хк, к > 1} имеет свойство сильного последействия, только когда процесс Я(г) имеет зависимые приращения.

Из указанного свойства следует, что предельный процесс Я(г) должен быть автомодельным в смысле

(1) и что последовательность {Хк, к > 1} будет стационарной, и даже если предельный процесс Я(г) не стационарный, то он всегда будет иметь стационарные приращения

й

{(г + к) - я (г), к > 0}~ {Я(к), к > 0}.

Действительно, свойство автомодельности для п > 1 означает, что

{п Н £ (((кг) - Х ((к - 1)г)), г > 0} =

к=1

й

= {п Н Х (пг), г > 0}~{ Х (г), г > 0},

поэтому можно сделать вывод о том, что если процесс со стационарными приращениями имеет свойство сильного последействия, то и последовательность его приращений также обладает свойством сильного последействия.

Известные соотношения для определения статистических характеристик выборки объема п не подходят для рассматриваемых случайных последовательностей из-за того, что в стохастической последовательности наблюдений Х1,Х2,...,Хп имеется свойство сильного последействия. Рассмотрим некоторые новые соотношения для определения статистических характеристик процесса с сильным последействием, у которого Х - выборочное среднее, £2 - выборочная дисперсия, а их аналитические аналоги соответственно - Е[Х] и а2. Ковариационная и автокорреляционная функции для 1-го и у-го наблюдений последовательности соответственно - р(/, у) и г(/, у).

Дисперсия выборочного среднего

В рассматриваемых условиях ковариационная функция р(/, у )ф 0 для I ф у , а выражение для дисперсии выборочного среднего можно разложить:

2

Dn (X )= E

n -1 £X,- - E [X]

i=1

= E

= n

n-2 IE X,

- E [X ]2 =

£ E [X,X; ]- E [X] = i, j =1

--n -2 £ E [(X, - E [X]) - E [X])] = n 2 £ p(i, j).

i, j=1

i, j=1

Тогда

D

(X)

= n 2 а 2 £ r (i, j].

i, j =1

Dn (X] = а2 [1 + §n (p)]n-1,

-1 n

где §n (p) = n- £р(-, j].

(7)

i* j

, n—1

§ n (p] = 2n -1 £(n - к ]p(k ].

к =1

(8)

Полагая j > i, к = j - i и а, e (-1,1), получаем

Р(к ) = -

E

X, (акХ, + af-1еi+1 +... + е,+к ]

E [Xi ]2

Для i > j E[X,ei ] = 0 , получим

fo [ X2 ]

Р(к ) = ■

E

[ X? ]

= а, .

При отсутствии последействия (как и некоррелированности наблюдений в последовательности)

п

р (г,г) = 1 и £р(г, ]) = 0 выполняется известное соот-

г * 1

ношение для дисперсии выборочного среднего _ ст 2

Бп (X )= —. В нашем случае необходимо ввести

п

коэффициент поправки 8 п (р), учитывающий сильное последействие в процессе так, чтобы

Подставляя данное выражение в (7), получаем соотношение для дисперсии выборочного среднего для процесса с сильным последействием:

Вп (X) = п-1а2 [1 +8п (а,)],

n—1

где

§ n (a1 ] = 2n £(n - к)a1

к

к =1

§ n (а 1 ) = -^

1 - а 1

1-

1 + а 1 г(1 - а1 ]

Обратим внимание, что рассматриваемый процесс стационарный в смысле определения 1 и тогда р(г, ] ) = р(г -1 ) = р (к), а выражение (7) упрощается и принимает вид

При условии, что выборки не являются строго независимыми, коэффициент поправки 8 п (р) зависит и

от размера выборки, и от вида корреляционной связи. Заметим, что выражение (7) можно вычислить тогда, когда автокорреляционная функция не является расходящейся, однако в нашем случае £ р(к ) = тс,

к

поэтому требуется получить её приближенное значение. Применим модель ЛЯ (1) авторегрессии первого порядка при к > 0:

Xt+к = «ZX- + a1 -1еi+1 + а1 -2ег+2 +... + ег+к ..

где е г - независимые, одинаково распределенные случайные величины ошибки приближения.

При n — го §(а1 ]= lim § n (а1 ] = 2а1 / (1 - а1 ].

n—^го

Величина 1 + §(а1) показывает, насколько отличается разброс выборочного значения дисперсии от аналитического. Если коэффициент а1 близок к нулю, то разброс меньше и, таким образом, влияние сильного последействия в изучаемой последовательности меньше. Если коэффициент а1 близок к единице, то выборочная дисперсии сводится к аналитической более медленно, так можно ожидать наличие в наблюдениях исследуемой последовательности свойства сильного последействия.

Для приближенного расчета выражения (8) можно использовать свойство 3o из определения 4. Тогда при n — го получаем р(к)~ c pк2H-2, где с определяется по формуле (6). Более простое выражение для ковариационной функции - это из 3-1o. Тогда

D

X)

(9)

а

Выборочная дисперсия

Известно, что выборочная дисперсия

S2 =

£1=i(x, - x )

n -1

является несмещенной оценкой

а , однако это выполняется в условиях нерасходимости автокорреляционной функции процесса.

2H-2

n

Рассмотрим разложение

Е

= E

Й ( -1 £(((- E [X ])-( - E [X ]))

2

1 n А г__-. 2

E[X,- - E[X]] -E[X - E[X]] =

а2 (n -1)

n

=1 £ а2 - D

n,=i

(X ) = а

2 -а_

n

Подставляя коэффициент поправки 8п (р) из (9), получаем:

[1 + 8 п (р)]_

E

1 n 2

1 £((- - x )

= а --

[n -1 -8n (р)]

Тогда скорректированное соотношение для выборочной дисперсии при наличии свойства сильного последействия в наблюдениях будет

s2 =

£n=i(( - x )2

n - 1 -8 n (р)

xS1 =

X,

i < n/2:

X, + A, i>n/2.

Тогда дисперсия последовательности с учетом ступенчатого сдвига принимает вид

Dn(XSA) = — £( -A/2) n -1 ,=1V '

n-1

n/2

£(X, -A/2)2 + £ (X, + A-A/2)

i =1 i=n/2+1

n - 1 i=1

£ x, +

n A2 A

n -1 4 n -1

2 A 2

: а2 + — 4

n n/2

i=n/2+1 i=1

(10)

Подставляя (10) в (9), получаем для последовательности с сильным последействием и учетом ступенчатого сдвига по уровню дисперсия выборочного среднего

Dn (X )

n

2H-2

а2 +

A2 /4 '

В связи с тем, что величина А /4 в нашем случае является постоянной и представляет собой горизонтальную линию с ординатой А2 /4, то можно сделать вывод о том, что ступенчатый сдвиг по уровню в наблюдаемых значениях не приводит к потере у последовательности свойства сильного последействия.

Предположим теперь, что в последовательности наблюдается постепенное линейное приращение наблюдаемых значений на величину А , т. е.

X^i = Xi + (^ n -1

Тогда

Проявление свойства сильного последействия информационного потока может повлечь за собой изменение условий стационарности в смысле выражения (5), что отмечено в работе [12]. При этом методы определения статистических характеристик информационного потока с сильным последействием могут оказаться неверными из-за наличия в потоке трендо-вой составляющей некоторого вида, вносящей отклонения в наблюдаемый процесс. Рассмотрим соотношения для уточнения статистических характеристик случайных последовательностей с сильным последействием в условиях ступенчатого и линейного изменения наблюдаемых значений.

В последовательности из п наблюдаемых значений {Х1,Х2,...,Хп}, начиная с элемента п/2, происходит одноступенчатое изменение значений на величину А , то есть

Dn(XSA) = J-£( - A/2) n - 1 i=1 v '

n - 1 i=1

' (i-1)A .

X i + -----A/2

г n -1

= а +

2 2A" A2 " 2

■£ -Х, +-

(n -1)2 ,=2 - 4(n -1)3 i=1

2 2A " A2 • а2 +--£ iX, +-.

(n-1)2 £=1 1 12

£ (2i-n-1)'

(11)

Рассмотрев выражение (11) и учитывая характер линейного приращения величины А , можно сделать вывод, что тренд такого сдвига представляет собой горизонтальную линию с ординатой А + А2 /12. Таким образом, линейные приращения в случайной последовательности не повлияют на наличие у нее свойства сильного последействия.

Результаты проведенного исследования позволяют сформулировать следующие выводы. Информационные потоки данных в телекоммуникационных сетях можно представлять в виде стохастических автомодельных процессов, учитывая проявление свойства памяти процесса, то есть наличия сильного последействия. Указанное свойство может быть формально определено различными способами, но его исследование должно выполняться так же, как для стационарных случайных процессов с зависимыми приращениями и с помощью функциональных предельных теорем. Статистические характеристики выборки,

n

рассматриваемой как имеющей свойства автомодель-ности и сильного последействия, отличаются от известных на величину вводимых поправочных коэффициентов. В условиях трендовых составляющих, вносимых в рассматриваемые процессы, свойства сильного последействия у случайных процессов не утрачиваются.

Литература

1. Бутакова М.А., Гуда А.Н. Методы сбора и обработки эмпирических данных в телекоммуникационных сетях на транспорте // Телекоммуникационные и информационные технологии на транспорте России: Анн. докл. IV Междунар. науч-прак. конф. «ТелекомТранс-2006». Ростов н/Д., 2006. С. 41-42.

2. Ширяев А.Н. Вероятность. Т. 1.М., 2004.

3. Hurst H.E. Long-term storage capacity of reservoirs // Trans. Amer. Soc. Of Civil Engineers. 1951. № 116. P. 770-799.

4. Cox D.R. Long-range dependence: A review. In Statistics: An Apprasial / Ed. H.A. David, H.T. David Iowa, 1984. P. 55-74.

5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М., 1998.

6. Beran J. Statistics For Long-Memory Processes. Chapman and Hall, 1994.

7. Taqqu M.S. Weak convergence to fractional Brownian motion and to the Rozenblatt process // Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. 1975. Gebiete. № 31. S. 287-302.

8. Dobrushin R.L., Major P. Non-central limit theorems for nonlinear functionals of Gaussian fields // Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. 1979. Gebiete. № 50, S. 27-52.

9. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable Non-Gaussian Random Processes: Stohastic Models with Infinite Variance. Chapman and Hall; New York, 1994.

10. Whitt W. Stochastic process limits. New York, 2002.

11. Lamperti J.W. Semi-stable stochastic processes // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. № 104. P. 62-78.

12. Duffield N. G., Massey W. A., Whitt W. A Nonstationary Offered-Load Model for Packet Networks // Sel. Proc. of the 4th INFORMS Telecomm. Conf., 1999.

Ростовский государственный университет путей сообщения 5 июля 2006 г.

УДК 004.45

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕПЛИКАЦИИ ДАННЫХ В КОРПОРАТИВНОМ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ

© 2006 г. В.Н. Кухарев

Введение

При моделировании и проектировании современных информационных систем представляется актуальной задача создания оптимальной репликационной схемы базы данных. Новейшими разработками в данной области являются работы М. Дидонета, Дж. Стен-тона, С. Туту, М. Весмана, А. Шипера, М. Франка, А. Червенак, М. Кай, И. Фостера, М. Рипеани и многих других [1-19], в которых рассматриваются различные модели репликаций - адаптивные, централизованные, асинхронные и реального времени, с общей и частичной передачей реплик данных.

В данных моделях также рассматриваются различные варианты архитектур репликационных сетей, и влияние числа связей между узлами с репликами данных и числа самих узлов на скорость обработки запросов, при постоянном времени распространения обновлений (рис. 1).

Однако общим недостатком данных подходов является расчет времени распространения обновлений как постоянной величины, хотя в реальности она зависит:

1) от точки, в которой произошло обновление данных;

2) от топологии информационной системы (ИС), соответственно от числа промежуточных коммутаторов на линии связи.

Клиент С

Клиент С6

Клиент С7

Клиент С8

Рис. 1. Модель репликации баз данных

Так, например, для представленной топологии (рис. 2, 3) время распространения обновлений для узла, находящегося в центре цепи, будет минимальным (поскольку информация об обновлениях пойдет одновременно в обе стороны), а для узла, находящегося на периферии, - максимальным.