CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м // 197 1
№ 5
УДК 532.526.2.011
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА СО СКОЛЬЖЕНИЕМ В КАНАЛЕ
С. В. Мусанов
Численно решается обратная задача для уравнений пограничного слоя, учитывающих влияние поперечной кривизны, эффектов скольжения и температурного скачка на границе потока с телом. На основании этого для заданных невязких течений находятся внутренние образующие каналов, обеспечивающих их запуск.
1. В экспериментальных установках, моделирующих движение в верхних слоях атмосферы, используются скиммеры [1]. Это устройства типа воздухозаборников, вырезающие нужную для исследования часть струи. Геометрия их должна обеспечить безударное втекание в канал, т. е. скиммер должен „запускаться". Однако диапазон чисел М и Яе, в котором приходится пользоваться скиммером, явления вязкости и разреженности становятся весьма существенными. Пограничный слой, образующийся на стенках ским-мера, может „запереть" его.
В статье для заданных невязких течений от источников рассчитываются внутренние образующие скиммеров, обеспечивающие их запуск.
В результате численного решения обратной задачи для уравнений пограничного слоя с учетом влияния поперечной кривизны, скольжения и температурного скачка на границе потока с телом находится толщина вытеснения, которая идентифицируется с физическими размерами вязкой зоны течения.
2. Исходные уравнения пограничного слоя в физических координатах имеют вид
д{риг‘) , д(рюґ) А дх ^ ду
^ = 0 соответствует плоскому, г = 1 — осесимметричному случаю. Координата х отсчитывается вдоль линии тока заданного невязкого
Л
течения, у — по нормали к ней (фиг. 1). г = ге ± у соэ (гу) — расстояние от оси симметрии; знак „ + “ ставится, если оси г, у направлены в одну сторону, „ — в противоположные.
Газ полагается совершенным:
х — 1
рЛ.
В силу постоянства давления поперек пограничного слоя рД, = р/г.
ц / Л \
Принимается степенная зависимость от энтальпии:
Условия на границе с невязким потоком: и — ие, И. = ке при у = 0.
Условия на границе с телом [2]:
„ 1 ди
v = 0, и — -г—-—з— , р а ду
и и 1 1 р <?Й
"Р“ У-У’-
Здесь
«а = (х— 1) А; 6/=]/ —?г—\ кг=л/ 5
' |/ их 2 — <з е у тех 2x2 — а
о — коэффициент аккомодации касательной составляющей импульса; а — коэффициент аккомодации энергии.
Величина ут выбирается достаточно большой, чтобы обеспечить условие малости производных ди/ду и дН/ду на границе с невязким течением:
ди \ _ / дИ
Образующая канала строится при помощи вычисления толщины вытеснения пограничного слоя, определяемой следующим образом:
cos (
У 13!
/-* +1 /-*+1
где
(i + 1) cos 6
о
Эта величина откладывается от заданной линии тока невязкого течения по нормали к ней.
При расчете полного потока энергии к поверхности, кроме теплопроводности, необходимо учитывать работу сил трения [3]:
(j- dh , у-ди
?=Р7аг + “" где ’--гг-
Используя граничные условия на поверхности, эти выражения можно переписать в другой форме:
t = kfpau, q — kgpa(h — hw) + kfpau2.
3. Предполагаем, что передние кромки искомых тел являются острыми.
Как известно, в этом случае при использовании граничных условий прилипания наблюдается особенность в начале пограничного слоя, выражающаяся в бесконечностных значениях напряжения трения и теплового потока. Наличие граничных условий скольжения ослабляет эту особенность. Они позволяют задать однозначные начальные условия, непрерывно сопрягающиеся с невязким течением, удовлетворяющие уравнениям и граничным условиям:
v = О, и = ие, h = he при х = 0.
При этом вязкая зона как бы отсутствует в начальной точке 8* = 0. В то же время имеются конечные значения трения и теплового потока:
х0 = kf ?е ае ue\ q0 = kg ре ае (he - hw) + kfpe ае.
Эти выражения отличаются от свободномолекулярных значений только коэффициентами, зависящими от термодинамических свойств газа и поверхности. Так, например, полученное напряжение трения на острой кромке тела относится к свободномолеку-
л то 2
лярному следующим образом: ~ ^и при полной аккомода-
ции тангенциальной составляющей импульса (о=1) превышает его в два раза. Полученные выражения справедливы только в рамках применимости теории пограничного слоя и поэтому не могут претендовать на точность с точки зрения физического описания течения вблизи передней кромки, так как это уже область исследования кинетической теории.
4. Произведем традиционную замену независимых переменных и искомых функций:
В этом случае уравнения примут вид
_рг,гг= (_/=+УТ1К)^. + у2
\ "|/2 £ & )(1х д-ц дх ’
ду\ { д-п
д-ц д-цдЧ д\ д~г\2 у
к (тг&) +# - <* - ')«■■'** ($)’=»(&&-&&) =
\7 ( дё V-1 О о 2 I
здесь р — параметр градиента давления г =
л
п ( г \2‘ 1 ! л л 2 соэ (гу) 1/2 £ / с .
й"(т;) =1 ±■л& А = —?Хг1 У щ,;л-параметр попе-
речной кривизны.
Все газодинамические функции на границе с невязким потоком отнесены к соответствующим их значениям на входе в канал;
Ке0 = Ро М° Г° . Знак в выражении для функции Я выбирается в за-Н'о
висимости от направленности осей г и у.
Граничные условия на поверхности:
/=0;
$-*.р, !«-»■(*)”"(£_*.) „р„ *=о.
о 1 /Ж У21 о г
где В— у —Р- ’ —параметр скольжения. Граничные
условия на границе с невязким потоком:
ч-ч,; г-о; -^ = 1; -^-=1;
-% выбирается из условия
— (3)-* (»)-*
Начальные условия (£ = 0):
дч, д2К-г\. 3£=,. ^1_1-
дц' ’ дт? ’ дц <?г, ' ’
/=■»!; г = |,ч — ^1-
Таким образом, видно, что в данной постановке для плоского случая (г = 0) прямая и обратная задачи идентичны, а в осесимметричном случае они различаются из-за противоположного влияния поперечной кривизны.
5. Течение в свободно расширяющейся струе на достаточном расстоянии от среза сопла можно моделировать течением от источ-
ника [4]. Рассматриваемые невязкие течения в этом случае опре-
и?
деляются заданием полной энтальпии Н = ке -(- , энтропийной
функции 5 = — и расхода массы С}.
Ре
В этот поток помещается скиммер со входом радиусом г0, забирающий заданный расход массы, который определяет его полу-угол раствора 0 (см. фиг. 1).
26
В плоском случае 0} = ре ие ге ; в осесимметричном случае _ , 2гс(1 — соэ 6)
—ет—-
Если все функции отнести к соответствующим значениям на входе, а линейные размеры — к его радиусу г0, то получаем три соотношения, полностью определяющие невязкое течение:
Рви.^+1 = 1; Л* = РГ‘;
х ~~ 1 <|2/< .2ч
х — ^ М2____________
где ------------^v*o —------------
Ае 2 2 V
Зависимость между поперечным радиусом невязкого течения и координатой х вдоль линии тока линейна re = 1 -f- a: sin 6. Безразмерный градиент давления вдоль линии тока
е
где
dp 2 du,
7-=-*М„
due _ (г + 1) sin в ие
Лх ге м2 — 1 '
Частным случаем рассматриваемых течений является однородный поток: 6 = 0, — 0.
dx
6. Для численного решения выписанных уравнений пограничного слоя используется программа для ЭЦВМ типа БЭСМ [5]. В ней система уравнений аппроксимируется неявной четырехточечной расчетной схемой повышенной точности е = О (ДА4) + О (Д$2), разработанной в работе [6]. Так как в данном случае дифференцирование по продольной координате происходит в комбинации 2Е-^- =
~ Ш~ ’ 70 замена ^ = 1п]/2$ не только упрощает вид уравнений, но
и сохраняет большую точность аппроксимации в очень широком диапазоне изменения физической координаты. Константа в законе вязкости не является существенной для задачи, так как она входит в уравнения и граничные условия только в комбинации УКе0/с. Решения для плоского безградиентного пограничного слоя,
{^0
построенные в координатах —- — —2 —, являются универсальными
С С Го
для всех Яво/с. При линейной зависимости вязкости от температуры (> = 1) для достаточно больших значениях Ие^/с решение для поля скоростей совпадает с решением Блазиуса.
, На фиг. 2 показаны процесс исчезновения влияния скольжения и нарастание влияния поперечной кривизны. Прямая линия соответствует классическому значению коэффициента трения:
0,332
V
Слева к ней подходит кривая, рассчитанная для плоского течения со скольжением. Справа от прямой отходит кривая, рассчитанная для осесимметричного течения с граничными условиями прилипания. Эта кривая тоже универсальна относительно параметра УИе0/с.
10 ‘
10
ю-
10'
10'
10
Ъг
а е
о\
\
/ \ о 1-/Пёо=10
X 100
2 Скольжений 1 д [7]
и с / ч ч N
3 I* N
Ч 1
4 N
Лластана>\ Ч Цилиндр
5 N 14
ИРкг иРю2 ириР
с
Фиг. 2
Здесь же нанесено значение трения, рассчитанного по формуле из работы [7], справедливой только для малого влияния поперечной кривизны на течение вдоль цилиндра с граничными условиями прилипания,
’ 0 X
V
Ие,
с
■■ 0,684 4- 1,407
/г,,
4- 0,173
Совместное влияние поперечной кривизны и скольжения дает различные переходные решения, тем больше отличающиеся от универсальных кривых, чем меньше параметр УНе0/е. Если Рг=1, то профиль энтальпии должен определяться для больших значений Яех/с интегралом Крокко [8], который в принятых обозначениях имеет вид
' г + Ал а К к,
Соответствующая толщина вытеснения определяется по формуле [9]
8*
х
Л
На фиг. 3 показано исчезновение влияния скольжения на толщину плоского пограничного слоя для холодной (кш = ке) и горячей фт — Не) поверхности. Как и следовало ожидать, подогрев увеличивает влияние .скольжения в глубь канала. Влияние скольжения на трение прекращается существенно раньше по координате УЯех/с,
чем на толщину вытеснения. Это согласуется с выводами работ [31 и [10] о независимости трения по отношению к явлению сколь-
/Яех\~1/2
жения в первом приближении разложения решения ПО ( -у 1
На фиг. 4 приведены расчеты теплопередачи в плоском случае для безградиентного течения:
1 с
Со=------7—? С
ре иеНе Ь }
где £—длина канала.
Интеграл Крокко дает следующее выражение для этой величины:
Со-
0,664 (Не Аю'
V
Яе* \К К)'
с
Ме= гО-,ЯГ~/V»/;
М=10) Рг-1 • * = У = /
В случае горячей стенки (Лш=Не) поверхность оказывается теплоизолированной. Однако при наличии скольжения и температурного скачка тепловой поток оказывается конечным.
На фиг. 5 построены образующие каналов для однородных невязких течений при различных значениях чисел Ие0/с и температуры поверхности. Для сравнения приведены расчеты с прилипанием. Таким образом, скольжение, поперечная кривизна и охлаждение способствует уменьшению толщины пограничного слоя.
в =30 \M~W-, *=/>;
На фиг. 6 представлены результаты расчетов внутренних образующих скиммеров для невязких течений от источников.
3—Ученые записки № 5
33
Наличие отрицательных градиентов давления способствует нарастанию пограничного слоя столь существенно, что в его профиле появляется отрицательная кривизна относительно оси потока.
В приведенных расчетах толщина пограничного слоя в осесимметричном случае больше, чем в плоском, из-за того, что больший градиент давления оказывает большее влияние, чем растекание потока за счет поперечной кривизны. Сравнительные расчеты с прилипанием и скольжением показывают, что если при достаточно больших начальных значениях чисел Йе0/с достигаем совпадения решений, то по мере передвижения в глубь канала за счет разрежения эти решения начинают расходиться и скольжение существенным образом уменьшает крутизну образующей. Сильное влияние скольжения на толщину вытеснения пограничного слоя при наличии отрицательного градиента давления согласуется с выводами работы [11], где решалась обратная задача для течений в соплах с учетом скольжения.
ЛИТЕРАТУРА
1. KantrowitzA., GreyJ. A high intensivy souvce of molecular beam. Rev. Sci. Inst., v. 22, p. 328,1951.
2. ШидловскийВ. П. Введение в динамику разреженного газа. М., „Наука* 1965.
3. Галкин В. С., Ладыженский М. Д. О расчете пограничного слоя сжимаемой жидкости с граничными условиями скольжения. ДАН СССР, т. 154, № 6, 1941.
4. Ладыженский М. Д. О течениях газа с большой сверхзвуковой скоростью. ДАН СССР, т. 134, № 2, 1960.
5. Селиверстов С. Н. Программа для численного интегрирования уравнений двумерного пограничного слоя. Труды ЦАГИ, вып. 1002, 1966.
6. П е т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы'. М., .Наука', 1964.
7. Wei М. Н. Asymptotic boundary layer over a slender body of revolution in axial compressible flow. AIAA Paper No. 64—428, 1964.
8. Yasuhhara M. Axisyrametric viscons flow past very slender bodies of revolution. JASS, v. 29, No. 6, 1962.
9. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. ИЛ, стр. 438, 1962.
10. Шидловский В. П. Об учете скольжения при обтекании полубесконечной плоской пластины потоком вязкого газа. Изв. АН СССР, ОТН, № 9, 1958.
11. МихайловВ. В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости. МЖГ, № 1, 1969.
Рукопись поступила 27(X 1970 г.
