Исследование течения в окрестности линии пересечения скачков уплотнения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 19 84 М1

УДК 533.6.011.55

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ

В. В. Келдыш

Рассматривается пространственное течение в окрестности пересечения двух скачков уплотнения. Показано существование области изменения определяющих задачу параметров, где она имеет два решения для исходящих от линии пересечения скачков возмущений с различными параметрами течения за ними. В области, где эта задача имеет одно решение, существует решение задачи пересечения трех приходящих скачков уплотнения.

Показано также, что А-образные скачки уплотнения являются частным случаем этой задачи, когда один из скачков в окрестности линии их пересечения вырождается в волну Маха. В области изменения определяющих параметров им соответствуют границы, разделяющие решения с различными исходящими возмущениями.

Найдены режимы пересечения двух скачков уплотнения различного семейства и разной интенсивности, когда за исходящими от линии их пересечения скачками течение однородно и вихревая поверхность отсутствует.

В поле течения около сверхзвуковых летательных аппаратов происходит сложное взаимодействие пространственных скачков уплотнения, идущих от корпуса и крыла, органов управления, мотогондол, возникающих в результате образования областей отрыва потока и других причин.

При пересечении скачков уплотнения меняются их конфигурация и интенсивность, возникают новые системы скачков, вихревые поверхности и области разрежения. В невязком газе линии пересечения скачков являются особыми в поле течения. Анализ возможных решений в их окрестности может значительно повысить точность исследования течения как в численных расчетах, так и в эксперименте.

Следует различать приходящие скачки уплотнения, возникающие в поле до их пересечения, и исходящие скачки, возникающие на линии пересечения и распространяющиеся вниз по потоку от нее [1]. У приходящих скачков составляющая скорости в их плоскости направлена к линии пересечения, у исходящих скачков — от нее (рис. 1, а).

Рассматривается пространственное течение невязкого идеального газа с показателем адиабаты ^ = 1,4 в непосредственной

■---— славый скачок

сильный, скачок -----ВахреНая поверхность •

Рис. 1

окрестности линии пересечения двух приходящих скачков уплот-ния. Пересечение вдоль одной линии более двух приходящих скачков — явление на практике исключительное. Параметры течения определяются численно из условия, что в смежных струйках тока, прошедших через приходящие скачки уплотнения и исходящие возмущения, статическое давление р одинаково и векторы скорости параллельны разделяющей их вихревой поверхности.

Поверхности скачков уплотнения и вихревые поверхности с конечной кривизной в малой окрестности линии их пересечения можно заменить касательными к ним плоскостями и поле между ними считать однородным. Расчет течения проводится в плоскости, перпендикулярной линии пересечения скачков, которую назовем расчетной. В этой плоскости векторы скорости меньше, чем в пространстве, на величину их составляющей вдоль линии пересечения скачков, которая в окрестности этой линии постоянна, а скалярные параметры течения такие же, как в пространстве. Векторы скорости за исходящими возмущениями в расчетной плоскости параллельны (рис. 1, б). В расчете используются точные соотношения для. скачка уплотнения и течения разрежения Прандтля— Майера. Предполагается, что составляющая скорости в расчетной плоскости за приходящими скачками сверхзвуковая.

Задача о пересечении двух скачков уплотнения может иметь два решения. Одно со „слабыми" исходящими скачками, скорость за которыми в расчетной плоскости сверхзвуковая, другое — хотя

бы с одним „сильным" исходящим скачком, скорость за которым в этой плоскости дозвуковая, аналогично тому, как на клине, обтекаемом с присоединенным скачком уплотнения, существуют два решения со слабым и сильным скачком. Выбор одного из этих решений для исходящих скачков уплотнения определяется граничными условиями в пространстве вниз по потоку от линии их пересечения, так как направление скорости за ними различно [2].

Когда направление вектора скорости перед скачками уплотнения составляет с линией их пересечения угол р, отличный от тс/2, и проекция его на эту линию не равна нулю, задача имеет существенно пространственный характер и дозвуковым скоростям в расчетной плоскости за исходящими скачками уплотнения могут соответствовать сверхзвуковые скорости в пространстве. Последнее условие накладывает определенные ограничения на величину угла 3 [2].

Реализация течений с дозвуковой составляющей скорости в расчетной плоскости за исходящими скачками и сверхзвуковой скоростью за ними в пространстве была экспериментально доказана на примере течения в угле [3]. Подобные решения в окрестности линии пересечения скачков уплотнения получены так же в численных расчетах [4].

В обширной литературе о регулярном пересечении и отражении от стенки скачков уплотнения рассматриваются обычно слабые исходящие (отраженные) скачки, скорость за которыми в расчетной плоскости сверхзвуковая. Сильные скачки рассматриваются только при исследовании Х-образных скачков уплотнения [1, 5—10].

В настоящей работе рассматриваются решения как со сверхзвуковой, так и с дозвуковой составляющей скорости в расчетной плоскости за исходящими скачками. Они содержат как регулярное пересечение скачков, так и Х-образные скачки, в том числе и „ма-ховское“ пересечение. Последние являются вырожденными случаями.

В качестве начальных условий зададим в расчетной плоскости два слабых скачка уплотнения в однородном потоке, соответствующем некоторому числу М

М = Моо Sin Р > 1,

Моо — число Маха потока в пространстве перед скачками.

Углы поворота скорости в скачках в этой плоскости обозначим §;. Положительным будем считать поворот против часовой стрелки и полагать, что §i>0.

Если приходящие скачки поворачивают скорость в разных направлениях 8j 82 < 0 (скачки разного семейства), они существуют независимо друг от друга. Если они поворачивают скорость в одном направлении S2 > 0 (скачки одного семейства), второй скачок находится в поле за первым. Здесь и дальше индексами 1 и 2 отмечены параметры потока за приходящими скачками, 3 и 4 —за исходящими возмущениями соответственно.

Из определения следует, что приходящий и исходящий скачки уплотнения, пересекающие одну и ту же струйку тока, принадлежат разным семействам:

Мз<0, 8Л<0. (1)

Угол между векторами скорости в расчетной плоскости перед приходящими скачками уплотнения и за исходящими возмущениями обозначим 8. Когда 8 = 0, направления их совпадают. Если $фк/2, направление скорости в пространстве всегда изменяется при прохождении пересекающихся скачков уплотнения [2].

В плоскости р, 8 искомое решение представляется точками пересечения ударных поляр и эпициклоид, рассчитанных с помощью зависимостей р3(8) и р4(Ь) для исходящих возмущений в поле за приходящими скачками, описываемыми соотношениями (8) и /?2(8).

На рис. 2 и 3 приведены примеры таких решений; /? = ~^2рма — безразмерное статическое давление, — статическое давление в поле перед приходящими скачками.

Там же показаны соответствующие схемы поверхностей разрыва в расчетной плоскости в окрестности линии пересечения скачков. Стрелками указано направление распространения скачков. Слабым скачкам соответствуют более тонкие стрелки, сильным — более толстые, вихревым поверхностям — штрихпунктирные линии, областям разрежения — штриховые линии.

При пересечении скачков уплотнения различного семейства 8Л<0 исходящие от линии их пересечения возмущения тоже скачки уплотнения [1]. Углы поворота скорости в приходящих и исходящих скачках уплотнения связаны зависимостью;

а статическое давление за исходящими скачками одинаково:

Из (1) и (2) следует, что поворот скорости в исходящем скачке не превосходит сумму абсолютных величин углов поворота скорости в приходящих скачках:

Численные исследования показывают, что существует область изменения определяющих задачу параметров, где она имеет два различных решения с двумя исходящими скачками уплотнения и вихревой поверхностью между ними. В первом решении исходящие скачки слабые, во втором — хотя бы один из них сильный с дозвуковой составляющей скорости за ним в расчетной плоскости. При этом полная' скорость в пространстве сверхзвуковая, если угол р между линией пересечения скачков и скоростью перед ними удовлетворяет условию:

(2)

Л “А-

(3)

I 83, 4 | | 81 | -{- ! 82 | .

(4)

(5)

где В.—угол следа скачка в расчетной плоскости с направлением скорости перед ним, Мг+2 — число Маха в этой плоскости за исходящим скачком.

М=10г818г*0

Величины 61; 02 — углы между плоскостями приходящих скачков и поверхностью тока, упирающейся в линию их пересечения; в3 — | 8з 1 > 64— I 84 I — углы между поверхностями исходящих скачков и вихревой поверхностью (см. рис. 1).

Когда исходящий скачок прямой в расчетной плоскости

где Мг —число Маха за соответствующим приходящим скачком.

За сильными исходящими скачками достигается значительно большее повышение давления и плотности, чем за слабыми для одной и той же пары заданных приходящих скачков.

Соответствующий пример приведен на рис. 2 для М = 6, =9°,

82 = —27° (точки а и б).

В другой части области существования решения при задача имеет только одно решение со слабыми исходящими скачками и вихревой поверхностью. В этой области существует еще решение задачи пересечения трех приходящих скачков уплотнения с одним исходящим скачком и вихревой поверхностью. Третий приходящий скачок сильный и определяется заданием двух первых. Это решение соответствует пересечению поляр р3 и р4, когда 81 83 > О или 82 84 >0 и скачок 3 или 4 приходящий.

Соответствующий пример дан на рис. 2 для М = 6, 81 = 9°, 82 —— 12° (точки в и г).

Участки поляр р3 и /?4, где скачок 3 или 4 приходящий, проведены штриховой линией.

На рис. 4 и 5 для М = 6 и 2 показаны области изменения определяющих задачу параметров с различным числом решений и разными исходящими возмущениями, и соответствующие им схемы поверхностей разрыва в расчетной плоскости. Границы этих областей — сплошные линии, в том числе и оси координат. В области 1 задача о пересечении двух скачков уплотнения различного семейства имеет два разных решения (схемы /(/) и 1(2)). В области 2 существует одно решение этой задачи (схема 2(1)) и решение задачи пересечения трех приходящих скачков уплотнения (схема 2(2)). На границе между областями 1 и 2 приходящий скачок 3 прямой (й3 = 0, 63 = п/2 или 84 = 0, 04 = те/2).

Внешняя граница области существования решения рассматриваемой задачи при определяется точками касания поляр

~Рг и /Г4.

Пунктирные кривые в области 1 соответствуют режимам, когда поток за исходящими скачками однородный и вихревая поверхность между ними отсутствует М3 = М4, р3 = р4. В симметричном случае 82 = — §! рассматриваемая задача эквивалентна отражению скачка уплотнения от твердой стенки, течение однородно в обоих решениях за слабыми и сильными исходящими скачками уплотнения и

При 82 Ф — 81 однородный поток на соответствующих режимах существует только в классе второго решения, когда хотя бы один

г=1 или 2, (6)

м-в

ії,#г2о; м=г

из исходящих скачков сильный. С уменьшением числа М этот режим смещается к границе области существования [решения и при М = 2 практически сливается с ней.

На рис. 6 для М = 6 приведены значения статического давления р3, числа М3 и направление скорости 8 в расчетной плоскости в однородном поле за исходящими скачками. Угол Ршах соответствует скорости звука в пространстве за ними во втором решении. Когда р < Ршах, скорость в пространстве всюду сверхзвуковая.

При пересечении двух скачков уплотнения одного семейства &і8г!>0 (двойной клин) углы поворота скорости в приходящих скачках и исходящих возмущениях связаны зависимостью:

+ ^2 + ^4= = 8 и Рг — Рі-

Когда давление за вторым приходящим скачком больше, чем за одним слабым скачком, и меньше, чем за одним сильным скачком, поворачивающим скорость на такой же угол §і + 82, что и два

приходящих последовательно скачка, в некоторой области изменения определяющих параметров задача имеет два различных решения. Первое — с исходящей областью разрежения за скачком 2, слабым исходящим скачком 3, распространяющимся в невозмущенном приходящими скачками поле, и вихревой поверхностью между ними. Это решение обычно рассматривается в литературе [1]. Второе решение — с двумя исходящими скачками уплотнения 3 и 4 и вихревой поверхностью между ними; при этом скачок 3, распространяющийся в невозмущенном поле, сильный.

В плоскости р(Ь) (см. рис. 3) скачки уплотнения 1 и 3 соответствуют разным точкам одной и той же поляры. Скачки 2 и 4— другим полярам в поле за скачками 1 и 2 соответственно. Участок кривой р4, соответствующий течению разрежения в первом решении, проведен на рис. 3 мелкими штрихами. Соответствующий пример дан для М = 10, 8! = 12°, 82=15° (точки а и б).

Эта область определяющих параметров отмечена на рис. 4 цифрой 3 (схемы 3(1) и 3(2)).

В области значений определяющих параметров, отмеченной на рис. 4 цифрой 4 задача имеет только одно первое из этих решений (схема 4(1)). Там еще существует решение задачи пересечения трех приходящих скачков уплотнения с одним исходящим скачком и вихревой поверхностью (схема 4{2), 8і83-<0, 8[84<0) приходящий скачок 3 — сильный. Интенсивность его определяется заданием первых двух скачков. Соответствующий пример на рис.З дан для М = 10, 81 = 12°, 32 = 3° (точки в и г).

На границе областей 3 и 4 третий скачок прямой в расчетной плоскости (83 = 0 = 8, 63 = тс/2).

При М > 4 существует область определяющих параметров, отмеченная на рис. 4 цифрой 5, где давление за вторым приходящим скачком уплотнения больше, чем за одним сильным скачком, поворачивающим скорость на такой же угол 8, + 82, и рассматриваемая задача имеет два различных решения с исходящей областью разрежения за вторым скачком, вихревой поверхностью и исходящим скачком 3, распространяющимся в невозмущенном поле. В первом решении скачок 3 слабый, во-втором — сильный (схемы 5(1) и 5(2)).

Соответствующий пример дан на рис. З для М = 10, 81 = 12°, 82 = 26° (точки д и е).

Область 5 примыкает к границе области существования решения, которая здесь определяется касанием эпициклоиды />4 (82шах) и ударной поляры рх. С ростом числа М размеры области 5 увеличиваются.

На границе областей 3 и 5 второе решение переходит в Х-об-разный скачок уплотнения, состоящий из трех скачков одного семейства: двух слабых приходящих, сильного исходящего и вихревой поверхности (точка „ж“ на рис. 3).

Когда давление за двумя последовательными скачками уплотнения меньше, чем за одним слабым скачком, поворачивающим скорость на такой же угол 81 + 82, существует область определяющих параметров, отмеченная на рис. 4 и 5 цифрой 6, где задача имеет два различных решения, каждое с парой исходящих скачков слабых в первом и хотя бы одним сильным во втором и вихревой поверхностью между ними (схемы 6(1) и 6(2)).

Соответствующий пример дан на рис. 5 для М = 2, 5, = 12°, 82= 11е (точки а и б).

Область 6 тоже примыкает к границе области существования решения, которая здесь определяется касанием поляр /74 и pt.

На границе между областями 6 и 3 (см. рис. 4) первое решение переходит в А-образный скачок, состоящий из трех слабых скачков одного семейства: двух приходящих и одного исходящего, и вихревой поверхности.

С уменьшением числа М область 6 увеличивается и постепенно вытесняет области 3 и 5, а А-образные скачки уплотнения, состоящие из скачков одного семейства и разделяющие области 3,6 и 3, 5, вырождаются в косой скачок (оси координат).

При М<2 давление за двумя последовательными скачками уплотнения всегда меньше, чем за одним слабым скачком, поворачивающим скорость на такой же угол, решений с иходящим разрежением (области 3, 4, 5) и Х-образными скачками уплотнения, состоящими из скачков одного семейства, в этом случае не существует. Область 6 распространяется от правой границы области существования решения до осей координат и границы области 7 (см. рис. 5), в которой рассматриваемая задача имеет только одно решение с двумя слабыми исходящими скачками и вихревой поверхностью между ними и решение задачи пересечения трех приходящих скачков уплотнения с одним исходящим скачком и вихревой поверхностью. Третий приходящий скачок сильный и определяется двумя первыми (схемы 7(1) и 7(2)). На границе областей 7 и 6 этот скачок прямой (83 = 0 = 8, 63 = тс/2).

Соответствующий области 7 пример дан на рис. 5 для М = 2 8j = 5°, §2 = 6° (точки в и г).

В областях 6 и 7, а также в областях 3 и 4 при небольших значениях §2 исходящее возмущение в поле за вторым приходящим скачком уплотнения в первом решении со слабыми скачками обычно очень слабое (|84|<1°) и его трудно обнаружить как в численных расчетах, так и в эксперименте. Практически оно близко к Х-образному скачку уплотнения, состоящему из трех скачков одного семейства.

При 8j82>0 условие сверхзвукового течения в пространстве за сильным скачком уплотнения 3 определяется неравенством (5), если в нем положить i— 1, 81 = 0. Для сильного скачка 4 это условие определяется неравенством:

tg р < cos (flt — 5,) cos (62 — 83) cos (64 — S4) М4 ^

cos 0j cos 62 cos fl41^1 —

На осях координат §1 = 0, 82 = 0, когда один из приходящих скачков уплотнения вырождается в волну Маха, в том числе и на границе между областями 1, 3 или 6 я 2, 4 или 7, первое решение со слабыми исходящими скачками переходит в слабый косой скачак уплотнения 82 или 8j соответственно. Второе решение, когда хотя бы один из исходящих скачков сильный, переходит непрерывно с обеих сторон (8,82<0 и §i 82 > 0) в Х-образный скачок, состоящий из скачков различного семейства и вихревой поверхности. На границе областей 2, 4 или 7—два приходящих скачка, сливающихся в один исходящий (точка з на рис. 3 и д на рис. 5). На границе областей /, 3 или 6—это один приходящий скачок, распадающийся на два исходящих (так называемое

„маховское“ пересечение скачков. Точка А на рис. 3 и е на рис. 5).

На стыке областей 1, 2, 3, 4 (рис. 4) или 1, 2, 6, 7 (рис. 5), а также 3, 4 или 6, 7 на оси §! = 0, скачок 3 прямой в расчетной плоскости. По аналогии с плоским случаем (Р *= -ге/2) назовем такие А-образные скачки уплотнения „стационарной маховской" конфигурацией. Исходящий скачок 4 слабый, когда М>2,15; при этом отношение давления в приходящем скачке Р\!РЖ >2,31. Когда М < 2,15, <2,31, скачок 4 сильный в соответствии с приня-

той выше терминологией. Очевидно, в пространстве оба эти случая возможны, и при ограниченных значениях угла р между направлением скорости перед скачками и линией их пересечения (—р<60°) скорость за исходящими скачками сверхзвуковая. При изменении интенсивности приходящего скачка от А/А» > ^,31 До />1//?со<С2,31 параметры поля течения за исходящими скачками в стационарной маховской конфигурации изменяются непрерывно без скачкообразных переходов как это предполагается в [10] при рассмотрении задачи отражения скачка уплотнения от твердой стенки, которая эквивалентна рассматриваемой в настоящей статье в случае §! = — §2» но где автор не допускает локальных решений с сильными скачками уплотнения.

Проведенное исследование показало, что задача о пересечении в пространстве двух слабых скачков уплотнения в некоторой области изменения определяющих ее параметров имеет два решения со сверхзвуковыми скоростями за исходящими скачками. Рассмотрение второго из них, когда хотя бы один из исходящих скачков употнения сильный и составляющая скорости за ним в расчетной плоскости, перпендикулярной линии пересечения скачков, дозвуковая, и которое обычно опускается в литературе, показало, что А-образные скачки уплотнения являются частным решением этой задачи, когда один из скачков в окрестности линии их пересечения вырождается в волну Маха. В области изменения определяющих параметров им соответствуют границы, разделяющие решения с различными возмущениями, исходящими от линии пересечения скачков. Они связывают непрерывно решение задачи пересечения двух скачков уплотнения одного и разных семейств.

В классе второго решения найдены режимы пересечения двух скачков уплотнения различного семейства и интенсивности, когда течение за исходящими скачками однородно и вихревая поверхность между ними отсутствует.

В области определяющих параметров, где задача о пересечении двух скачков уплотнения имеет одно решение, существует решение задачи пересечения вдоль одной линии трех приходящих скачков уплотнения с одним исходящим скачком, когда третий приходящий скачок определяется заданием двух первых.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутунян Г. М., Карчевский Л. В. Отраженные ударные волны. — М.: Машиностроение, 1973.

2. Келдыш В. В. Пересечение в пространстве двух плоских скачков уплотнения. ПММ, Т. 30, вып. 1, 1966.

3. Зайцев Ю. И., Келдыш В. В. Особые случаи течения вблизи сверхзвуковой кромки и линии пересечения скачков уплотнения.— Ученые записки ЦАГИ, 1970, Т. 1, № ).

4. Гонор А. Л., Остапенко Н. А., Лапыгин В. И.

Теория обтекания крыла гиперзвуковым потоком. Отчет института

механики МГУ, 1972, № 1303.

5. Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М., Изд. иностр. лит., 1950.

6. Е d п е у В. Е. Effect of shock Impingement of the heat transfer around blunt bodies. — 1 All J., 1968, N 6, N 1.

7. Wayne J., Keyes. Off-center line shock interference heating patterns of basic shapes in hypersonic flows. — NASA TM x—2866.

8. Weise A. Theorie des gegabelten verdich — tungsstossl. J. B. Deutsche Luftfahrforshung 1943, II, A011.

9. Henderson L. F. On the confluence of three shock wakes in

a perfect gas. — The Aeronautical Quart. T. VXV, May 1964, part 2.

10. Подлубный В. В. О нерегулярном взаимодействии ударных волн. — Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1912.

Рукопись поступила 101X1 1982