CC BY
13Исследование структуры классических решений релятивистской электродинамики Уилера-Фейнмана. Часть III.
Никитин И.Н. Институт Физико-Технической Информатики г.Протвино, Ц2284, Московской обл.
Вычислительные методы и алгоритмы в исследовании структуры классических решений модели Уилера-Фейнмана
1 Методы решения одномерной задачи о рассеянии двух тел
Задача 1-УФ описывается построенной в Части I системой (4Х—4) уравнений вида Г(р, X) = 0 на (4Х — 4) неизвестных X, зависящей от одного параметра р.
Для решения этой системы использовался метод Ньютона. В качестве стартовой точки выбиралось кулоновское (нерелятивистское) решение задачи при V = 0.5, которое в наших обозначениях имеет вид:
х\т) = ± ch2 2vt,
хП = xn(Tn), Tn = n - 1 - N/2 n = 1...N,
\ 1/2
x°(t) = ^ (2vt + ch 2vt sh 2vt),
1/2
x
r+
n
1...N,
x
ra+l
x
r+
n
1...N - 1,
= — ux — u
n - n - n
y n =1...^- 1,
rN - UNi rl - xu i
1
г =---
n x
u
У
un- 1
n = 2...N,
(1)
Далее, после нескольких итераций было найдено уточненное решение1. Затем параметр р увеличивался на Ар, и найденное решение использовалось как стартовая точка итераций при новом значении р. Шаг Ар выбирался адаптивно:
• уменьшался в 2 раза, если сходимость потеряна; Ар
Другие оптимизации:
1) При изменении р можно также смещать стартовую точку X, экстраполируя решение X(р) по найденным точкам X,;(р^), см.рис.1. Например, при линейной экстраполяции стартовая точка смещается от найденного решения по касательной к кривой X (р). Мы использовали экстраполяцию полиномом второго порядка, вычисленным по 10 последним точкам методом
наименьших квадратов. Данный метод значительно (в 102...103 раз) ускоряет движение по р
1Критерием остановки итераций служило условие |F| < 10 5; в то время как вдали от решений |F| ~ 102...103.
n
1
1
11) Экстраполяция стартовой точки наиболее эффективна, если зависимость X(р) близка к линейной (или квадратичной). Как показывает анализ решений, при переходе к новым переменным: Хг = 1п |Хг|, р = 1п р (Хг не меняют знак на решениях) зависимости X (р) асимптотически линеаризуются при больших у. Экстраполяция в новых переменных позволяет быстро продолжить решение в эту область.
С использованием данных методов получено решение до скорости у = 0.937. При этом значении скорости матрица Якоби рассматриваемой системы уравнений вырождается (см.рис.2), и метод Ньютона становится неприменимым. В действительности, экстраполяция решений
0
ние в нуль якобиана свидетельствует об изменении топологии множества решений, поэтому окрестность этой критической точки должна исследоваться другими методами.
Рис.2. Зависимость якобиана от скорости.
В матрице Якоби = 8Гг/дХ^ которая имеет размер К х К, К = 4^ — 4, выделим подматрицу ,] размера (К — 1) х (К — 1), детерминант которой не обращается в нуль при переходе через критическую точку. Производя перенумерацию переменных и уравнений, поместим этот невырожденный блок в правый нижний угол матрицы При этом, зафиксировав (р, X!), мы можем разрешить (К — 1) уравнений Ег(р,Х1,Х^) = 0, г, = 2...К, относительно (К — 1) неизвестных Х^-, используя метод Ньютона. Из невырожденности ,] следует изолированность найденных решений: при фиксированных (р, Х1) в окрестности решения Х^ нет других решений. Далее получаем зависимости Х^ (р, Х1), производя пошаговое изменение параметров (р, Х1 )
получаем функцию двух переменных f (р, X!) = Р1(р, Х15 Х^-(р, X!)), поведение которой показано на рис.3 (в переменных V, ДХ1 = Х1 — Х0, где Х0 - решение (0)).
Рис.3. Зависимость/ (ги, ДХ1).
При V < 0.937 уравнение f (ДХ1) = 0 имеет единственное решение. В критической точке касательная к этому графику в нуле направлена горизонтально (что эквивалентно det 3 = 0). При V > 0.937 наклон касательной меняет знак и появляются два дополнительных решения (±). Таким образом, в критической точке происходит бифуркация решений - одно решение расщепляется на три. Положение дополнительных решений определяется методом дихотомии. Уводя V достаточно далеко от критической точки, можно продолжить решение задачи методом Ньютона.
Замечание: в окрестности критической точки данная функция определяет поверхность г = у3 — ху, показанную на ЦВ-1. Имеющее Ф-образную форму сечение данной поверхности плоскостью г = 0 соответствует наблюдаемому в нашей задаче расщеплению одного решения на три. Эта поверхность известна в теории катастроф как поверхность К эли [40].
Сравнение с работой [39]: для решения 1-УФ задачи в данной работе использовался следующий алгоритм. При заданной траектории частицы х вычислялись силы, действующие на нее со стороны частицы у, в предположении, что траектория у является зеркальным отражением х
х
данный алгоритм существенно использует предположение о Р-симметрии траекторий, поэтому он позволяет получить только симметричные решения, соответствующие основной ветви (0)
рованном значении йт, которое уменьшалось при продвижении в область больших скоростей. Итерации сходились до значения ¿т = 0.9077 (что соответствует V = 0.9545) и расходились при меньших значениях ¿т. Эта расходимость связана с близостью минимума в зависимости (V) - при значениях ¿т < 0.9075 решений нет. Вплоть до этой точки решения [39] хорошо согласуются с нашими результатами, см. Часть I.
Сравнение с работой [17]: в данной работе была сделана попытка найти аналитическое решение 1-УФ задачи, но, как мы сейчас покажем, был получен ошибочный результат. Как мы уже отмечали выше, при сохранении в правой части уравнения движения одной частицы только опережающей силы Лоренца, а для другой частицы - только запаздывающей приводит к точно решаемой асимметричной задаче, аналитическое решение которой было найдено в [33]. Работа [17] основана на предположении, что арифметическое среднее решения асимметричной задачи с его зеркально отраженным является решением уравнений 1-УФ, в правой части которых стоит полусумма опережающей и запаздывающей сил Лоренца. В действительности, для
такого предположения нет никаких оснований, поскольку уравнения 1-УФ являются нелинейными по координатам частиц. Данное предположение так и не было доказано аналитически в [17], вместо этого производится численная проверка исходных уравнений движения на таком решении, которая, как утверждается в [17], выполняется с точностью 10-7. Ниже мы выполним такую проверку для решения, приведенного в [17] на рис.2,3, и обнаружим более чем стопроцентное нарушение уравнений движения. Тем самым будет показано, что преположение, на котором основана работа [17], является неверным.
Рассмотрим случай равных масс и зафиксируем систему единиц с = к = ^ = = т = т2 = 1, фактически совпадающую с той, которая принята в нашей работе. Здесь мы используем обозначения [17]. Рассмотрим решение при значении скорости ва = 0.888, приведенное на рис.2,3 в [17] (для удобства мы воспроизвели эти графики на рис.4). Из уравнений (2.30,3.4) в [17] мы получаем значения постоянных Ш = 4.3493 и Q = 0.2299. Максимальное значение графика ускорения на рис.3 в [17] равно = 3, чт0 соответствует ^в/^ = 3^ = 13.0.
1.2
Данный результат непосредственно виден при сравнении рис.2 в [17] и рис.1 в [39]: траектории [17] в точках поворота имеют гораздо большую кривизну, чем в [39].
30
с 1 /О
5 10
ар /с1(с /О) ■3
-3-2-10 1 2 3
с /о
Рис.4. Слева: жирные кривые — мировые линии для значения скорости ва = 0.888, приведенные на рис.2 в [17]. Здесь штриховая линия - световой луч, имевшийся на оригинальном рисунке; сплошные линии - световые лучи из точек поворота, добавленные нами. Справа: график ускорения для этого решения (рис.3 из [17]).
Уравнения 1-УФ, заданные формулами (2.3,2.4) в [17], можно переписать к виду
= 1(1 - А2)3/2 • (Я1 - х2)~2
+
t2-
1 + /?2
(XI - Х2)
-2
где ¿2± отмечает точки пересечения второй траектории со световыми лучами, выпущенными из точки ¿1 на первой траектории. В этом выражении множитель (1-в2)3/2 < 1. Пусть ¿1 отмечает точку поворота траектории (соответствующую максимуму ускорения). В силу неравенств 0 < в2(*2-) < 0.888, -0.888 < в2^2+) < 0 получаем оценку (1 + в2)/(1 - в2^2- < (1 + 0.888)/(1 -0.888) = 16.86, и аналогично (1 - в2)/(1 + в2)|^2+ < 16.86. В конечном итоге, мы имеем
^в1 /^ < 8.43 ((х1 - х2)-2
+ (х1 - х2) )
Чтобы получить ^в1 = 13.0, сумма двух членов в скобках должна быть больше 1.54. Чтобы вычислить эти члены, необходимо испустить световые лучи из точки поворота первой траектории на рис.2 в [17], и найти их пересечения со второй траекторией. Одно пересечение лежит снаружи графика. Рассматривая световой луч из симметрично расположенной точки поворота, мы получаем (х1 - х2> 26 и (х1 - х2) > 6. Таким образом, первый член дает малый вклад (х1 - х2)-2 < 0.03, и второй член должен превышать 1.51, чтобы объяснить эффект. Отсюда мы получаем оценку (х1 - х2< 3.54. Однако, на рис.2 [17] это пересечение в действительности находится вблизи (х1 -х2= 18. Более того, производя сечения рис.2 [17] световыми лучами, видно, что (х1 -х2везде > 10. Таким образом, траектории, показанные
2
на рнс.2 [17], не могут произвести силу Лоренца, достаточную для значения ускорения 13.0. Фактически, это ускорение должно быть везде < 3.2.
Такая же проверка для графиков [39] дает значения ^ — X2), согласующиеся с меньшей величиной ускорения, полученной в данной работе.
Отметим, что форма траекторий на рис.2 [17] при V = 0.888 качественно напоминает предельное решение Хилла [34] при V - 1, в связи с чем автор [17] отмечает: "как предполагается в работе Хилла, возьмем в качестве мировых линий арифметическое среднее..." В самом деле, в работе Хилла, также как в данной статье, основой для построения предельных решений 1-УФ служили траектории асимметричной задачи, но при этом не выбирались их арифметические средние, а использовались совершенно иные соображения (см. Часть I). Количественные расхождения [17] и [34,39] весьма велики, в частности, разным является предельное расстояние между траекториями при больших скоростях. В этом убеждает сравнение графика на
рис.4 в [17] и аналогичных графиков в [34,39], которые имеют качественно разное поведение. В то же время, результаты работ [34,391 хорошо согласуются с результатами, полученными в данной статье.
Краевые эффекты
1. При сшивании (Ч1-ур.43),(Ч1-ур.44) на граничных участках траекторий появляются изломы. Физическая причина их появления состоит в следующем.
Уравнения движения в Части I получены при минимизации действия для конечных траекто-
ух
и выключается мгновенно, потенциал поля частицы у в точках х2,хм имеет скачок. Этому скачку соответствует ^-образная сила Лоренца Р, приводящая к изломам траектории в точках х2, х^ Скачок скорости в х2, хм приводит к скачку вторых производных в у2, ум-1? и т.д. Коэффициент перед ^-функцией в Р, определяющий масштаб этих скачков, пропорционален П-1 и стремится к нулю при п — го (при N — го или V — 1). В исследуемой нами области скоростей эффекты, вызванные мгновенностью включения взаимодействия, оказываются малыми (см.далее).
2. Другие способы включения взаимодействия (например, продолжение траекторий бесконечными прямыми) могут совершенно устранить изломы на траекториях. Однако, эти способы являются менее последовательными, т.к. они не вытекают из принципа наименьшего действия для конечных траекторий. Рассмотрение бесконечных траекторий в лестничной параметризации сопряжено с дополнительными трудностями, см. Часть I.
Ук-
Хк(Т)
Рис.5. Краевые эффекты.
3. При N = 3 в (Ч1-ур.43.2) остаются только 2 последних уравнения; в (Ч1-ур.44) п = 1.
Траектории у15 у2 сшиваются непрерывно-дифференцируемо, изломы возникают при сшивании траекторий х1, х2, х3.
При N = 2 условия (Ч1-ур.43.2) отсутствуют, вместо (Ч1-ур.44) следует использовать условие
) «1(0) 1 .х 1
- траектории х1 и х2 сшиваются с изломом, вызванным действием ^-образных сил Лоренца с границ траектории у1.
Контроль точности решений
1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (Ч1-ур.41) производилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Шаг интегрирования выбирался адаптивно таким образом, чтобы изменение правых частей уравнений х = / (х) в одном шаге интегрирования не превышало е = 10% |Д/|/|/ < е. Для этого использовался алгоритм, аналогичный описанному выше. Использование этого алгоритма приводит к тому, что интегрирование проводится с более мелким шагом в области больших ускорений, см.рис.6. Полное число шагов интегрирования 1000
(0) v=0.99
0
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0.4 0.6 0.8 1 Рис.6. Шаг интегрирования на траекториях.
Для контроля точности интегрирования проверялось сохранение нетеровских интегралов движения: генераторов трансляций Р± = ^i Р± и генератора бустов М = ^i x+p+ — x-p-. Сохранение интегралов движения выполнялось с точностью ДР±/РДМ/М < 10-8 при v < 0.96 (< 10-6 при 0.96 < v < 0.98).
Замечание. Знание интегралов движения позволяет понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Например, пользуясь сохранением генераторов трансляций и переходя к трансляционно инвариантным переменным п± = x±+1 — x±, в системе (Ч1-ур.41) можно выделить замкнутую подсистему, порядок которой меньше на 4. Мы не производили понижение порядка по следующим причинам, (i) Данная процедура не позволяет понизить порядок исследуемой системы нелинейных уравнений (на начальные и конечные данные для дифференциальных уравнений, порядок которых можно понизить), (ii) Эта система, в частности, содержит уравнения x± (T) — x± (0) = —n±-1 (0), обе части которых являются трансляционно инвариантными, однако для вычисления левой части требуется производить дополнительное численное интегрирование. Фактически, число дифференциальных уравнений, которые необходимо интегрировать, уменьшается только на 2. (iii) При понижении порядка необходимо использовать схемы исключения переменных, отличные от описанных выше. Из этих схем лишь некоторые являются алгебраически простыми. Для всех изученных нами схем исключения переменных матрица Якоби асимптотически вырождается: det J(v) = O((1 — v)2), v ^ 1, вследствие этого решение удается довести только до v = 0.927.
2. Решение исследуемой системы нелинейных уравнений производилось методом Ньютона. Для вычисления матрицы Якоби использовалась разностная схема 2-го порядка:
Зц = (Я (X + ДХц) - я (X - ДХц)) /2ДХ-.
Шаг ДХц выбирался для каждого параметра индивидуально из анализа зависимостей Я (Хц) (которые должны быть близки к линейным в интервале Хц ±ДХц) и Зц (ДХц) (которые должны выходить на плато при правильно выбранных ДХц). При больших V скорость сходимости метода оказывается чрезвычайно чувствительной к выбору ДХц т.е. к точности, с которой вычисляется матрица Якоби (сами найденные решения не зависят от выбора ДХц).
3. В области скоростей 0.5 < V < 0.98 использовалось N = 3 шагов световой лестницы (система содержит К = 8 уравнений). В интересующей на с области V > 0.9 наблюдается большая пространственная иерархия решений (см.рис.7а-с): размеры центрального участка ж2 меньше размеров граничных участков ж1)3 более чем в 400 раз (при V = 0.98 - в 104 раз). Взаимодействие в основном сосредоточено в области £ = Е [-4, 4]: при |£| > 4 изменение скорости частиц не превышает 10-2, см.рис.7(1,е. Точки стыковки участков (отмечены на рис.7с,(1) располагаются вне области взаимодействия. В этих точках на траекториях имеются изломы, вызванные мгновенностью включения взаимодействия (см. выше). Скачок скорости в изломах составляет Дv < 5 ■ 10-4 при V > 0.9 (Дv < 5 ■ 10-5 при V > 0.95).
b) v=0.937
- ! / - 200 - \ 8 .V ' '
/ x3 " У2 \ / - 4 ; \ / x2
0 0 -4
\ x1 - у1 / \ : / \ :
-200 - / -8
d) v(t)
1 1 1 1 1 1 1 1—
f x3
Ix2
x1 _/. v=0 ( + ) v=0 (0) v=0 9 -95 -98 ----- "
"<—, , , ,
4 5 6 7 8 9 10
0
0
0
8
1
0
0
2
4
6
8
10
Рис.7. Структура высокоэнергетических решений.
4. Симметрии траекторий при Р,Т-отражениях не предполагаются в использованных алгоритмах явно, поэтому проверка этих симметрий является хорошим методом контроля точности. Р,Т-симметрии решения (0) а также РТ-симметрия и Р,Т-сопряженность решений (±) в диапазоне скоростей 0.9 < v < 0.98 выполнялась с точностью < 0.05%.
5. При v > 0.98 требуется увеличить точность интегрирования дифференциальных уравнений (контролируемую по сохранению интегралов движения). Для этого при адаптивном выборе шага интегрирования необходимо использовать значение параметра е = 1%. Это увеличивает время счета на порядок. В целях уменьшения числа уравнений в этой области скоростей использовалось N = 2 шага световой лестницы. Соответствующее число уравнений при этом равнялось 3.
Замечание. Одно уравнение, которое фиксирует репараметризационную степень свободы, было снято, и одна из переменных (X4 = п+(0)) была зафиксирована. Условие X4 = Const
v
соскальзывает вдоль траекторий (границы траекторий смещаются в область взаимодействия). Как уже отмечалось ранее, зависимости всех параметров от Д при больших v близки к линейным. Для того, чтобы избежать соскальзывания, при продвижении в область больших v значение X4 изменялось линей но по Д с коэффициентами, вычисленными с помощью метода N = 3.
В качестве стартовой конфигурации брались участки траекторий и ж2, полученные
методом N = 3 и переведенные с помощью Р-отражения соответственно в x1, x2 и y1. При использовании метода N = 2 стыковка участков x1;x2 происходит в области взаимодействия. При стыковке возникает излом, скачок скорости в котором составляет Av = 0.05 при v = 0.98. В области излома наблюдается 0.5% нарушение Р-симметрии траекторий. Траектории,
N = 3 N = 2
такую же величину отличаются графики dm(v) в точке сшивания методов. При дальнейшем v Av v = 0.99 v = 0.998
составляют соответственно (0.025,0.3%) и (0.008,0.05%).
6. При v > 0.999 вновь возникает необходимость в увеличении точности интегрирования дифференциальных уравнений. Это приводит к неприемлемому увеличению времени счета.
Прохождение области 0.5 < v < 0.98 с помощью метода N = 3 осуществляется за 9 часов на рабочей станции SGI/ONYX (MIPS R10000, 195 MHZ). Прохождение области 0.98 < v < 0.999 N=2
Сводка результатов
Разработан метод численного решения дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами в задаче об одномерном ультра-релятивистском рассеянии двух тождественных заряженных частиц в классической электродинамике с запаздывающим и опережающим взаимодействием (1-УФ), обеспечивающий устойчивую реконструкцию решений вплоть до значений скорости v = 0.999c.
2 Методы решения двух- и трехмерных задач о финитном движении двух тел
В данном разделе обсуждаются три численных метода для решения 2-УФ и 3-УФ. Первый, первоначально предложенный в [12], включает разрешение уравнений относительно наиболее опережающих скоростей и ускорений и преобразование уравнений движения к запаздывающему виду. В результате этого эволюция становится полностью и весьма естественно определенной прошлыми траекториями, допуская простое численное интегрирование. Однако, в подразделе 1 мы покажем, что эта численная схема в значительной степени неустойчива и практически не может использоваться. Мы обсуждаем причины этой неустойчивости, тесно связанные с существованием нестабильных решений характеристического уравнения [36]. В подразделе 2 описан разработанный автором метод, основанный на использовании специальной параметризации мировых линий (лестничная параметризация Части I), который осуществляет прямое интегрирование уравнений по экстраполяционной формуле Штюрмера, в том случае, когда шаг интегрирования равен одному шагу световой лестницы. Метод применим при малых скоростях v/c ~ 10-2 и устойчив по крайней мере в течение времен интегрирования до N ~ 106 оборотов частиц. В подразделе 3 рассматривается итеративный метод, первоначально предложенный в [39] для решения 1-УФ задачи тел, который после усовершенствований, направленных на повышение устойчивости, становится применимым к 2- и 3-мерным случаям. Этот метод использует более короткий шаг интегрирования, чем предыдущий, и способен разрешить структуру решений в меньших интервалах, чем один шаг световой лестницы, и также
сходится при высоких энергиях. В подразделе 4 приведено детальное описание постановки численных экспериментов.
2.1 Разрешение уравнений относительно опережающих переменных
Интуитивно привлекательный метод, основанный на разрешении уравнений движения относительно наиболее опережающих скоростей и ускорений, оказывается численно неустойчивым. Причину этой неустойчивости можно легко понять, рассматривая более простую 1-мерную версию задачи с отталкивающим потенциалом. Далее мы используем символ ж для обозначения декартовского вектора положения для частицы 1 и символ у для обозначения положения частицы 2. Скорость и ускорение, измеренные в настоящий момент времени частицы 1, записаны как vx и ах соответственно. Верхний знак плюс (или минус) для величин указывает, что величина измерена в будущей (или прошлой) точке светового конуса с вершиной в положении другой частицы в настоящий момент времени. Уравнения движения для 1-мерного рассеяния имеют простой вид
= О372 • (у~ - х)-2 + ^ ' (У+ ~ х)~А ,
\1 ^у 1 + ^у )
в единицах е = т = с = 1. Уравнения для другой частицы получаются при замене ж ^ у в вышеупомянутой формуле. Идея состоит в том, чтобы разрешить вышеупомянутое уравнение движения для частицы ж относительно наиболее опережающей скорости V,]- частицы у как
, 1 - С
V =-,
у 1 + С
G = (y+ - x)2
2a* 1 + v_ , _ .2'
-г ' (У ~x)
(1 - v*)3/2 1 - Vy
Уравнение на v+ снова получается за меной x ^ y. Заметим, что мы имеем функциональное дифференциальное уравнение с чисто запаздывающим аргументом, как было ранее указано в [12]. Согласно общей теории уравнений с запаздыванием [11], мы должны задать начальную
С2-гладкую функцию, описывающую положение частицы x в прошлом, а также информа-
y
y
Первая трудность в такой постановке задачи состоит в том, что выражение для v+ включает производную ax = dvxизмеренную в запаздывающий момент времени. При численном решении эта производная должна быть найдена из известных значений vx(t* ) на сетке интегрирования, используя подходящую конечно-разностную схему. Общая особенность этих схем состоит в том, что они содержат фактор h-1, где h - шаг интегрирования. Предположив, что данные vx(t*) на сетке имеют вычислительную ошибку порядка е, мы получим ошибку в производной dvx/dtx порядка eh-1. Из-за функциональных соотношений v+ = f (dvx/dtx) v+ будет иметь ошибку eh-1. Мы видим, что данная численная схема усиливает вычислительную ошибку множителем h-1 на каждый шаг световой лестницы. Поскольку шаг интегрирования для данного уравнения должен быть мал, типично h < 10_2, на практике схема работает только 2-3 шага световой лестницы и затем "взрывается".
Вторая трудность касается возможности продолжения траектории. Оказывается, что для скорости в опережающий момент времени, полученной с помощью вышеупомянутого выражения, не гарантируется ее ограниченность скоростью света. Даже в том случае, если бы численное интегрирование было возможно, для некоторых начальных данных, в некоторой точке, найденное с помощью вышеупомянутого выражения v+ может превысить скорость света, и решение не может быть продолжено на следующий шаг световой лестницы, где эта vy > 1 должна войти под квадратный корень в (1 — v2)1/2. По крайней мере для симметричных 1-мерных
решений теорема Драйвера [15] утверждает, что множество бесконечно продолжаемых решений является конечномерным, означая, что для большинства начальных функций решение не может быть продолжено на всю временную ось, и только узкое конечномерное подмножество начальных функций производит хорошие решения. Другими словами, требуется найти редкие специальные начальные данные, для которых решение в данном подходе может быть продолжено в течение неограниченно большого времени, что является невероятно сложной вычислительной задачей.
Те же самые трудности входят в 2-й 3-мерные случаи, с дополнительным осложнением, что уравнения движения включают опережающее ускорение вырожденным образом. При этом появляется алгебраическая связь, разрешение которой описано ниже. В результате этой связи, одна компонента опережающей скорости определяется предыдущим ускорением (и другими переменными) функциональным соотношением вида у+ = f (а,...). Это свойство снова делает численную схему неустойчивой, как и в 1-мерном случае.
Случаи 2-УФ, 3-УФ
1. Из уравнения (ЧИ-ур.1) мы видим, что опережающий вклад в ускорение ах линеен по электрическому полю Е+:
а(+) = А- Е+
"хг ^г-^х] 1
Ац{у+-, ж, ух) = — (1 - г$1/2((1 - пух)5ц + {щ - ух^ух^),
Шх
где п = г+ /|Е+|, г+ = у+ — х. Аналогичное выражение может записать для аХ-). Можно доказать, что матрица А невырождена, и что Е+ можно найти однозначно как Е+ = А-1аХ+). Записывая аХ+) = 2ах — аХ-), мы окончательно выражаем Е+ как функцию "будущей"переменной + — — —
у+; настоящих переменных х, ух, ах и прошлых переменных у ,уу ,ау.
2. Согласно (ЧИ-ур.1), электрическое поле Е+ зависит от положения источника у+, его скорости у+ и его ускорения а+, и имеет следующие декартовы компоненты:
Е+ Су
1 - «)2,
' х0
г+0(1 — пу+)3 + ((1 — пу+М- — (п — у+)г] а+-
Вц
Матрица В вырождена, т.к. пгВг- = В-(п — у+)- = 0.
Чтобы решить эту вырожденную линейную систему относительно а+, мы должны иметь в
г- г^ V ^ иу
ГИГФРМЛ? птнппнтр лп,нп с^у
виду следующее:
пг
г+02,^ 1 — К+)2
(1 -пу+У с
Ь) Если это условие выполнено, решение можно записать как
СЕ» = ТГ^Ш (2)
а,у = ——(1 — пь+)2Е+ + А (п - Уу) (3)
еу
где А - произвольный параметр. В 2-мерном случае уравнение (1 — (у+)2)/(1 — пу+)2 = С при С > 0 определяет эллипсы, лежащие внутри круга (у+)2 < 1; и при С < 0 - эллипсы
(—1 < С < 0), парабол у (С = — 1) и гиперболы (С < —1), лежащие вне этого круга. Физическая область соответствует С > 0, что означает |г7+1 < 1. Вследствие вышесказанного, уравнения движения невозможно разрешить однозначно относительно опережающего ускорения а+. Вместо этого мы находим однойараметрическое вырожденное решение и одну связь: условие (2), наложенное на скорость. Это условие можно разрешить относительно одной из компонент скорости, в результате чего система становится доступной для явного интегрирования, используя, например, адаптивный интегратор запаздывающих уравнений [41]. В результате интегрирования мы получаем неустойчивость, описанную выше.
Рис.8. Алгебраическая связь.
2D case vy plane
-1<C<0
C= -1
C < -1
2.2 Прямая схема интегрирования (низкие энергии)
В пределе малых скоростей шаг световой лестницы мал, и его можно взять в качестве шага интегрирования. Следующая численная схема работает в этом пределе:
УП+1
Уп
OXn
Уп+1
Уп
a)
n+1
УП+2
Уп+1
- Уп
п+1
Рис.9. Прямая схема интегрирования.
Предположим, что координаты и скорости известны в точках xk, k < n; yk, k < n + 1 (заполненные точки на рис.9 а), и ускорение известно (сохранено с прошлого интегрирования) в точках xk,k < n — 1; yk,k < n (показаны окружностями). Тогда мы используем следующий алгоритм:
51. Поскольку шаг световой лестницы мал, мы можем вычислить ускорение в точке yn+1 как производную слева, используя конечно-разностную схему, описанную далее. Эта вычисленная производная показана скобками на рис.9 Ь.
52. В результате, мы можем найти ускорение в точке xn, используя уравнения движения. Это ускорение показано на рис.9 b окружностью вокруг точки xn.
53. Далее мы можем выполнить один шаг интегрирования, применяя метод Штюрмера (описанный далее), и находим координаты и скорости в точке xn+1.
Затем мы применяем эти три шага с заменой x ^ у. В результате этого мы получаем рис.9с с тем же самым распределением данных, как на рис.9а, только со сдвинутым индексом n ^ n +1.
Примечание: в течение этого процесса мы фактически имеем два определения ускорения в каждой точке: вычисленное по настоящим и прошлым скоростям как левая производная (показанное скобками), и вычисленное из уравнений движения (показанное окружностями). Эти два ускорения должны совпадать, и их относительное различие |Да|/|а| можно использовать для контроля самосогласованности метода (см. ниже).
п
п
Метод интегрирования Штюрмера для уравнения X = f (t, x) описан в [11], стр.20. Эту формулу n-того порядка можно получить из следующих тейлоровских разложений:
Qk = hf (tk ,Xk),
qk-i =qk~ xkh2 + \xfti3 - ... + o(hn), (4)
Qk-2 = Qk - 2Xkh2 + 2xk3)h3 - ... + o(hn),
qk-n+i =qk~(n- l)xkh2 + 3)h3 - ... + o(hn),
решая эти (n — 1) линейных уравнений на (n — 1) неизвестных xkp) hp и подставляя их в ряд Тейлора для xk+i
хк+1 = хк + qk + \xkh2 + Ix^h3 + ... + o(hn). В частности, для n = 8 мы имеем
Xk+i =xk + qk + + ^A2qk-2 + |A3gfc_3 + ff±A4çfc_4
, 95 Д5 i 19087 д6 , 5257 д7 , /Р\
+ 288А + 60480 + + ), (5)
где ApQk определен рекуррентно как
AQk-1 = Qk — Qk-1, ApQk-i = Ap-1 Qk — Ap-1qk-i.
Вторая производная Xk, найденная из (4) при n = 8, дается следующей формулой дифференцирования:
7
** = Е ^ + (6)
р=1
Примечания:
1. Преимущество метода Штюрмера состоит в том, что в нем не требуется знание правых
Xk
дах Рунге-Кутта, таким образом, мы избегаем необходимости интерполяции данных между точками интегрирования.
2. Использование схемы более низкого порядка уменьшает точность интегрирования, но повышает устойчивость метода. В частности, уменьшение порядка n = 8 ^ n = 4 соответствующим образом уменьшает точность сохранения нётеровских интегралов (см. ниже), и увеличивает значение скорости, до которой метод является сходящимся: v = 0.006 ^ v = 0.02.
2.3 Итеративная схема (высокие энергии)
Следующая схема, ранее использованная в [39] для решения 1-УФ с отталкивающим взаимодействием, здесь улучшена и применена для интегрирования 3-УФ в ультра-релятивистском пределе. Метод работает следующим образом.
Зададим некоторые начальные траектории для двух частиц, которые далее будем называть нулевой итерацией. Затем используем уравнения движения для вычисления ускорения в настоящий момент времени по известным прошлым данным х-, у-, расположенным на текущих траекториях, и будущим данным х+,у+, взятым, с траекторий предыдущей итерации. Найденные ускорения используются для интегрирования траекторий, производя следующую итерацию. Повторяя такое интегрирование для траекторий, у которых начальные участки фиксированы, мы получаем (если итерации сходятся) решение УФ задачи для этих начальных данных. Как было упомянуто в [39], сходимость для этой схемы не гарантируется, и мы разработали специальные методы стабилизации (см. ниже), которые способны удерживать сходимость до очень высоких значений скорости.
Мы начинаем наши итерации с аналитически известных круговых решений [38], и устанавливаем начальные участки траекторий т € [0, 0.5] на дуги круговых орбит для всех итераций. Чтобы получить некруговые орбиты, мы применяем короткий импульс внешней силы к обеим частицам непосредственно после начального участка. Метод позволяет подразделить каждый шаг световой лестницы на большое количество шагов интегрирования достаточно малого размера, чтобы иметь правильное интегрирование при высоких энергиях. Для интегрирования может использоваться метод Штюрмера, описанный выше. Специальные граничные условия должны использоваться в конце интервала интегрирования, где нет данных об опережающей силе Лоренца. Эти и дальнейшие детали о методе приводятся в следующем подразделе.
Этот итеративный метод требует хранения полной проинтегрированной эволюции для текущей и предыдущей итераций. Из-за ограничений памяти, только короткая часть траекторий (до 10 оборотов) может быть определена этим методом. Тем не менее, метод дает полезную информацию о структуре решений при высокой энергии, для определения которой необходимо только кратковременное интегрирование.
Замечание: для определения СЦМ, а также для контроля точности решений необходимо вычисление нётеровких интегралов (ЧП-ур.1,ЧП-ур.2). В нашей численной схеме присутствующие в этих выражениях б-интегралы вычисляются параллельно с основным процессом интегрирования по схеме того же самого порядка. Данное выражение для интегралов Нётер графически показано на диаграмме рис.11, где окружности обозначают шЖ;У-члены, сплошные линии - участки интегрирования в б-членах, и стрелки обозначают потенциалы А± (направленные от источника к точке измерения).
2.4 Детальное описание постановки численных экспериментов
1. В схеме прямого интегрирования, начальные участки траекторий были установлены на круговые орбиты [38]. Данной установки, сделанной в половине одного шага световой лестницы т € [0, 0.5], достаточно, чтобы определить дальнейшее движение. Однако, используя метод интегрирования Штюрмера, мы должны также инициализировать конечные разности Поэтому мы устанавливаем начальные участки траекторий на круговые орбиты на более длинных интервалах (до 8 шагов интегрирования). После этой постановки интегратор восстанавливает правильное круговое движение. Чтобы рассмотреть некруговые орбиты, по истечении короткого промежутка времени после начального участка, мы прилагаем к одной частице локальную внешнюю силу В результате этого действия система приобретает отличный от
нуля полный импульс и начинает двигаться от начала координат. Мы преобразуем ее обратно в СЦМ и наблюдаем эволюцию в ней.
t+afp.
a) b) "Fext-"^--
Рис.12. Начальный участок траектории: а) в схеме прямого интегрирования; Ь) в итеративной схеме.
Используя формулу Штюрмера 8-ого порядка (5) и соответствующую формулу дифференцирования (6), мы получаем ускорение с точностью o(h6). Правая часть дифференциальных уравнений f (tk, xk,...) зависит от вычисленного ускорения, и также имеет точность o(h6). В результате этого, в формуле Штюрмера 8-го порядка: xk+1 = xk + hfk + ... + o(h8) последний член (A7qk-7 ~ h8) становится неэффективным, фактически метод имеет 7-ой порядок. Однако, член A7qk-7 в любом случае должен быть вычислен, чтобы найти ускорение и может быть сохранен в этой формуле. Обратите внимание также, что члены с ускорением в силе Лоренца подавлены дополнительным малым фактором e2/mr = r0/r (отношение классического радиуса к расстоянию между частицами), так что действительная точность метода находится между o(h8) и o((r0/r)h7).
Используя разбиение с помощью параметра световой лестницы т = n G Z, мы получаем сходящуюся схему, если разности высшего порядка Akqn-k являются малыми. Фактически роль параметра h здесь играет угол запаздывания в ~ v/c. Вблизи круговых орбит мы получаем оценку r0/r ~ (v/c)2, так что для v/c ~ 10-2 применение схемы 8-го порядка дает ошибку 10-16, на уровне машинной двойной точности.
Процесс интегрирования может быть значительно ускорен посредством кэширования предварительно вычисленных данных. Для этой цели мы храним короткий буфер прошлых данных (8 шагов интегрирования), включая все переменные, эволюция которых отслеживается, а также вычисленные правые части уравнений движения qk, их конечные разности Apqk и некоторые вспомогательные переменные (такие как r±yl которые в силу соотношений г±(т) = — г-(т±0.5) входят в вычисление несколько раз). Содержание буфера периодически записывается в файл, чтобы сделать возможным перезапуск программы с предыдущих состояний. Чтобы преобразовать систему в СЦМ, мы выполняем преобразование Лоренца всех переменных в буфере (некоторые из этих переменных, такие как ускорение, имеют нелинейные законы преобразования) .
Контроль точности проводился сравнением двух определений ускорения (переменная Aa в подразделе 2) и проверкой сохранения интегралов Нётер. Относительное различие |Aa|/|a| составило < 3 ■ 10-10 в области свободного движения (в той области, где применяется внешнее возмущение, это значение составляло около 0.07, то есть, согласно данному критерию, метод имеет худшую точность в области возмущения, но дальнейшее свободное движение интегрируется точно). Как уже было упомянуто, интегралы Нётер разделяются на две сохраняющихся величины Pß = P^) + . Их сохранение выполнялось в нашей численной схеме (для порядка
n = 8) с точностью |AP0(x'y)|/P0 < 10-11, |Ap(x'y)|/P0 < 10-13. Для полных величин в СЦМ мы получили |P|/P0 < 10-14. Для тензора углового момента мы нашли, что его компоненты имеют накапливающуюся численную ошибку, и для этих значений в СЦМ мы получили оценку |L0il/lL*|Ap|/|L| < 10-14*число оборотов частиц, справедливую вплоть до максимального числа оборотов = 10е, которое мы рассматривали.
Схема прямого интегрирования применима до v = 0.006 (n = 8). Для больших скоростей на решениях появляются колебания с временным размером, сопоставимым с шагом интегрирования, и быстро увеличивающейся амплитудой. Появление этих колебаний сопровождается нарушением законов сохранения. Этот эффект вызван увеличением шага световой лестницы до критического значения, когда он больше не может использоваться как шаг интегрирования. Верхняя граница для v создает та рис.Зс в 411 правую границу для E (высокая скорость,
почти круговые орбиты) и нижний предел для L (в этом пределе траектории имеют форму сплющенных эллипсов, для которых частицы подходят друг близко к другу, достигая верхнего предела v).
В рассмотренном диапазоне скоростей прецессия орбит является настолько медленной, что измерение ее угловой частоты up =(угол прецесии)/(время) требует специальных усилий. Для этой цели мы находим пересечения орбит с окружностями r = Const и измеряем различие углов Да^ для последовательных точек пересечения. Для достижения лучшей точности мы интерполируем решение между точками интегрирования, используя полином того же самого высокого порядка, что и в методе интегрирования, и находим пересечение, используя дихотомию. Затем мы используем большую статистику Да^, чтобы найти среднее значение Да, которое связано с частотами как Да = 2n(wp/w0). Его среднеквадратичная погрешность составляет типично 10-13 радиан, приводя к относительной погрешности измерения (wp/w0) около 10-9, достаточной для наших целей.
Рис.13. Измерение скорости прецессии.
Построение распределения рис.3 в 411: четыре основных исходных параметра программы -радиус начальной круговой орбиты и 3 компоненты силы внешнего возмущения - изменялись в некоторой 4-мерной области. Далее было случайно сгенерировано 10 ООО точек с однородным распределением в этой области. В 25% случаев система ионизировалась (все эти случаи соответствовали > 2т, то есть внешняя сила давала системе достаточно энергии для
ионизации). В 0.8% случаев частицы подходили слишком близко друг к другу, в результате алгоритм терял применимость и расходился. Эти случаи отвергались на ранних стадиях интегрирования и не требовали значительного времени вычисления. Оставшиеся случаи показаны на рис.3 в ЧП.
Чтобы доказать, что распределение образует 2-мерную поверхность в 4-мерном пространстве, мы рассматриваем его сечения гиперповерхностями EL2 = Const, см. Часть II. Также использовались два других подхода для определения размерности распределения: (1) вычисление матрицы Якоби для отображения пространства исходных параметров в пространство измеренных характеристик и оценка ее ранга; (2) прямая визуализация этого 4-мерного объекта с помощью проекции в 3-мерное пространство и кодирования 4-ой координаты цветом, с использованием системы виртуального окружения VEonPC [27]. Этот подход позволяет непосредственно убедиться в том, что рассматриваемое распределение формирует 2-мерную поверхность в 3-мерном пространстве: Г(и, v), причем цветовое отображение является гладкой функцией на этой поверхности: c(u, v). Это свидетельствует о том, что данное распределение образует 2-мерную поверхность также в 4-мерном координатно-цветовом пространстве (Г, с). Отметим, что обычные изображения (плоские проекции) не позволяют наблюдать этот эффект.
2. В итеративной схеме начальные участки траекторий т G [0, 0.5] устанавливались на круговые орбиты. Чтобы получить некруговые орбиты, мы применили к обеим частицам локальные внешние силы — Fexi и Fext + Д-РеХ;. Такая постановка удобна для того, чтобы отдельно управлять отклонением орбит от круговых и асимметрией начальных условий (первое управляется с помощью Fextl вторая - с помощью Д—еХ).
Примечание: Имеется также другой тип задания начальных условий, в котором данные на начальных участках траекторий непосредственно устанавливаются на некруговые орбиты. В принципе, эти два типа начальных условий эквивалентны: уравнения движения в общем случае не удовлетворяются на начальном отрезке, где траектории придана произвольная форма, и
отличная от нуля правая часть уравнений на этом участке играет роль эффективной внешней силы. Однако, конкретная реализация некруговых начальных условий создает некоторые проблемы в нашей схеме. Данные на начальном участке должны быть обязательно заданы в лестничной параметризации, для которой аналитическое представление известно только в случае круговых орбит. Кроме того, правильная параметризация на всей траектории обеспечивается дальнейшим процессом интегрирования из начального участка, и его С"-гладкость гарантируется, только если выполняются специальные условия (левые и правые производные вплоть до n-того порядка должны совпадать в точке т = 0.5). Для некруговых начальных орбит удовлетворение этого свойства проблематично, в то время как для круговых орбит может быть легко построена глобальная C^-гладкая параметризация, и бесконечно-дифференцируемые внешние силы, с помощью которых мы управляем формой решения, сохраняют эту гладкость.
Для сходимости метода общее число шагов световой лестницы N/s и число шагов интегрирования в одном шаге световой лестницы Nps должны быть установлены на Nps > 102, N/s < 10 при промежуточных энергиях E ~ 1 и Nps > 103, N/s < 5 при высоких энергиях E ~ 3. Нашим критерием остановки итераций было условие J2i((xn(ri) — xn-1(Tj))2 + (Уп(т») — yn-1 (т»))2)/(Nps * N/s) < e, где (xn, yn) представляют текущую итерацию, (xn-1,yn-1) - предыдущую итерацию, сумма берется по всем точкам интегрирования, и e = 10_12.
В описанной простейшей форме метод может быть применен до скоростей v = 0.8 (E ~ 1), затем необходима стабилизация, чтобы обеспечить его сходимость. Процедура стабилизации, предложенная в [36], предлагает комбинировать ускорение, вычисленное по уравнениям движения, с ускорением, взятым с предыдущей итерации: an(t) = 0.1aeq(t) + 0.9an-1(t), и интегрировать результат для получения траекторий текущей итерации. Мы нашли, что такой тип стабилизации, будучи примененным к нашей задаче при высоких энергиях, делает метод безразлично устойчивым: он не имеет расходимости, но также не может достигнуть решения. Мы использовали другой подход, основанный на адаптивном алгоритме, описанном в разделе 1. Мы рассматриваем решение как функцию одного контрольного параметра ß (в качестве которого можно выбрать, например, начальную скорость частиц). Решения, найденные для n предыдущих значений ß, сохраняются (n старых копий для массивов координат, скоростей и ускорений сохраняются; в то время как другие переменные, входящие в буфер кэширования, не требуют копирования). Зависимость решения от ß в каждой точке интегрирования приближается полиномом k-того порядка, используя метод наименьших квадратов (в нашей реализации n = 10, k = 2). Этот полином используется как стартовая точка для итерцаий при новом значении контрольного параметра ß + Aß. Если решение имеет гладкую зависимость от контрольного параметра, данный метод производит стартовую точку, расположенную намного ближе к искомому результату, нежели другие типы задания нулевой итерации. Этот факт зна-
Aß
сходимость потеряна и увеличивается в два раза, если решение было найдено, таким образом
это значение автоматически удерживается в оптимальной области. Данный подход ускоряет
ß
до значения скорости v = 0.98.
а)
Ь)
Рис.14. Два типа граничных эффектов в итеративной схеме.
Другие параметры, влияющие на форму решения, такие как амплитуды компонент внешней силы, в данном методе необходимо задать в виде гладких функций от которые изменяются от нуля до (например) некоторых постоянных значений. Начиная данную процедуру от круговых орбит при скорости v = 0.8, когда простейшая схема сходится, мы получаем одномерные семейства решений, соответствующие данным функциям, и в конечном итоге с необходимой плотностью покрываем все пространство исходных параметров в области сходимости метода. На рис.5 в 411 правый предел по E, нижний предел по Д^ ^ предел по п2 соот-
ветствуют пределам сходимости метода соответственно при высоких энергиях, большой силе внешнего возмущения Eexi и большой асимметрии ДЕ^. Верхний предел по ДL, близкий к круговой орбите, связан с проблемой другого вида: такие решения имеют очень хорошую сходимость, но не проявляют линейной зависимости на графиках п2(Е), так что мы не можем четко отделить симметричние и асимметричные фазы описанным выше методом.
Дополнительной особенностью итеративной схемы является существование искусственных граничных эффектов, появляющихся вблизи конца массивов данных. Поскольку в конце интервала интегрирования будущая эволюция не известна, опережающая сила Лоренца должна быть опущена в этой области. Для запаздывающей силы Лоренца, мы исследовали две возможности: (а) однократная запаздывающая сила Лоренца или (Ь) удвоенная запаздывающая сила Лоренца бралась на последнем шаге световой лестницы. Отсутствие опережающей силы и различные определения для запаздывающей силы приводят к граничным эффектам, распространяющимся вглубь внутренних областей интервала интегрирования. Амплитуда этих эффектов экспоненциально уменьшается с глубиной проникновения, так что решение в нескольких шагах световой лестницы до конца интегрирования более не является чувствительным к граничным эффектам. Мы также нашли, что граничные условия типа (а) ведут к более сильным граничным эффектам, но соответствуют лучшей сходимости при высоких энергиях, по сравнению с условием (Ь). Рис. 14 показывает решения, соответствующие граничным условиям обоих типов для значения скорости v = 0.86.
Описанная модификация силы Лоренца приводит к несохранению интегралов движения на последнем шаге световой лестницы. В начале траектории в тех областях, где применены внешние силы (и где зафиксированы начальные данные - как мы показали выше, такая фиксация приводит к появлению эффективных внешних сил), интегралы Нётер также не сохраняются. На остальных участках траекторий законы сохранения выполняются, и именно эти части показаны на рис.4 в 411. Законы сохранения на этих участках выполнены с точностью |P|/P0 < 10-10, ^L|/|L| < 10-8, |L0i|/1L| < 10-7 при промежуточных энергиях E ~ 1, медленно увеличивающейся до |P|/P0, ^L|/|L| < 10-6, |L0i|/|L| < 10-4 при высоких энергиях E ~ 3.
3. Вычислительное время: наиболее интенсивные вычисления требуются для построения распределения рис.3 в ЧП (24 часа) и 3-мерного графика рис.5 в 411 (120 часов). Вычисление было выполнено в течение одной ночи, параллельно на 12 процессорах (300MHz MIPS R12000) компьютера SCI Oiivx2.
Сводка результатов
Разработаны два численных метода для решения дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, описывающих движение двух зарядов в электродинамике Уилера-Фейнмана. Первый метод использует экстраполяционную формулу Штюрмера и выбирает шаг световой лестницы в качестве шага интегрирования, что ограничивает его использование на малые скорости v < 0.02с. Метод устойчив по крайней мере в течение времен интегрирования, соответствующих N ~ 106 оборотам частиц. Второй метод представляет собой усовершенствование ранее существовавших итеративных схем для более сильной сходимости и может использоваться в для нахождения отрезков решений длиной T = 5.. 10 шагов световой лестницы в области высоких скоростей, вплоть до v = 0.98с.
3 Заключение
В данной работе была сведена к алгоритмически разрешимой задача о взаимодействии двух тел в модели Уилера-Фейнмана. Найдены подходы к приведению уравнений движения в этой модели (дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами) к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Разработан численный метод для решения одномерной задачи о рассеянии двух тел в модели Уилера-Фейнмана. В результате проведенного численного эксперимента обнаружена бифуркация (расщепление) решений данной задачи: рассеяние однозначно определяется асимптотической скоростью зарядов при v < 0.937с; при v > 0.937c имеются три решения, соответствующие одной и той же асимптотической скорости. При расщеплении происходит нарушение зеркальной симметрии: одно из трёх решений Р-симметрично; два других не симметричны, но переходят друг в друга при Р-отражении. Для пределов решений при v ^ с получены аналитические выражения.
Разработаны два численных метода для решения трехмерной задачи о финитном движении двух тел в модели Уилера-Фейнмана. В результате проведенных численных экспериментов обнаружены следующие явления. В коротком временном диапазоне система обладает бесконечным числом степеней свободы, которые, в частности, включают моды, нарушающие зеркальную симметрию и планарность решений. На длительных временных интервалах проявления большей части степеней свободы экспоненциально затухают. Асимптотически система имеет конечное число степеней свободы и при низких энергиях обладает только плоскими и зеркально симметричными решениями. При энергии связи E ~ 1.4mc2 в пространстве решений наблюдаются бифуркации: некоторые из зеркально асимметричных степеней свободы начинают распространяться на длительные временные интервалы, приводя одновременно к потере зеркальной симметрии в решении и увеличении размерности фазового пространства. В основе этих явлений лежат перестройки в спектре линеаризованной задачи: конденсация первой пары комплексных собственных значений на вещественную ось.
Благодарности
Автор благодарит C.B. Клименко, Г.П. Пронько, С.Н. Соколова и Дж. Де Люку за полезные обсуждения и критические замечания. Данная работа была поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований 99-01-00451, 01-07-90327, 02-01-01139.
Список литературы
[1] J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. of Mod. Physics, 17, 157 (1945); Rev. of Mod. Phys. 21, 425 (1949).
[2] K. Schwarzschild, Gottinger Nachrichten, 128, 132 (1903).
[3] H. Tetrode, Zeits. f. Physik 10, 137 (1922).
[4] A. D. Fokker, Zeits. f. Physik 58, 386 (1929).
[5] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 (теория поля), Москва: Наука, 1973.
[6] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика. т.З (квантовая механика, нерелятивистская теория), Москва: Наука, 1974.
[7] Дирак П.A.M., Лекции по квантовой механике, Москва: Мир, 1968.
[8] Р. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 167, p.148 (1938).
[9] R.P.Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Nobel Lecture, December 11, 1965. Preprint les Prix Nobel en 1965. The Nobel Foundation, Stockholm, 1966. Рус.перевод: Усп.Физ.Наук 91, 29 (1967).
[10] Сб.: "Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами", Киев, Наукова Думка, 1977.
[11] L.E.Elsgoltz, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York 1973.
[12] R. A. Moore, D. W. Qi and Т. C. Scott, Can. J. Phys. 70, 772 (1992).
[13] F. Hoyle and Jayant V Narlikar, Cosmology and Action at a Distance Electrodynamics, (World Scientific, Singapore 1996).
[14] F. Hoyle and J. V. Narlikar, Rev. of Mod. Phys. 67, 113 (1995).
[15] J. Hoag and R. D. Driver, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 15, 165 (1990).
[16] R.Rivera, D.Villaroel // J.Math.Phys. V.38, p.5690 (1997).
[17] P.Stephas, J.Math.Phys. 1992. V.33. N2. p.612.
[18] J. De Luca, Phys. Rev. Lett. 80, 680 (1998).
[19] J. De Luca, Phys. Rev. E 58, 5727 (1998).
[20] J. De Luca, Phys. Rev. E 62, 2060 (2000).
[21] I.N. Nikitin, Hamiltonian formulation of two body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento HOB (1995) p.771.
[22] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Fey nman electrodynamics", II Nuovo Cimento A, V.lll (1998) pp.1281-1292.
[23] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics" Int.J.Mod.Phys.C. 1999. Vol. 10, No. 5, pp.905-920.
[24] Stanislav Klimenko, Igor Nikitin and Wasil Urazmetov: Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, Computer Physics Communications, Vol.126 (2000) pp. 82-87.
[25] Igor Nikitin and Jayme De Luca, Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics, Int. Journal of Modern Physics C, V.12, N.5 (2001) p.739; LANL e-print hep-th/0105285.
[26] Stanislav Klimenko and Igor Nikitin, On structure of 3-dimensional 2-body problem solutions in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento, V.116B N9 (2001) pp.1029-1043.
[27] P.Brusentsev, M.Foursa, P.Frolov, S.Klimenko, S.Matveyev, I.Nikitin and L.Nikitina, Virtual Environment Laboratories Based on Personal Computers: Principles and Applications, p.6, Proc. of 2nd Int. Workshop on Virtual Environment on PC Cluster, VEonPC'2002, Protvino, published by ICPT, ISBN 5-88835-011-7.
[28] J.M. Aguirregabiria, A. Hernandez, M. Rivas, J. Phys. A, 30 (1997) L651-L654.
[29] D. Villarroel, Phys. Rev. A, V.55, N5 (1997) p.3333.
[30] D.G.Currie, J.Math.Phys. 4, 1470 (1963); Phys.Rev. 142, 817 (1966).
[31] D.G.Currie, T.F.Jordan, E.C.G.Sudarshan, Rev.Mod.Phys. 35, 350(1963).
[32] H.Leutwyler, Nuovo Cim. 37, 556 (1965).
[33] R.A. Rudd, R.N.Hill, i.Math.Phys. V.ll p.2704 (1970).
[34] R.N.Hill, Lecture Notes in Physics 162, 104 (1982) "Relativistic Action at a Distance: Classical and Quantum Aspects" Proceedings, Barselona, Spain 1981.
[35] C. G. Darwin, Phil. Mag. 39, 537 (1920).
[36] C. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 802 (1972).
[37] M. Schonberg, Phys. Rev. 69, 211 (1946).
[38] A. Schild, Phys. Rev. 131, 2762 (1963).
[39] C. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 2470 (1972).
[40] Francis G.K., A Topological Picturebook, Springer-Verlag 1987,1988 (M.:Mir, 1991).
[41] C.A.H. Paul, Numerical Analysis Report No. 283, Manchester Centre for Computational Mathematics (1995) <http://www.ma.man.ac.uk/MCCM/MCCM.html>
Цветная вклейка
ЦВ-1: поверхность Кэли, представляющая бифуркацию решений одномерной задачи двух тел в модели Уилера-Фейнмана.
ЦВ-2: диаграмма фазовых переходов для решений трехмерной задачи двух тел в модели Уилера-Фейнмана.
