CC BY
11ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОЙ ПОДЛОЖКИ, СЛОЕВ УПРУГОГО СВЯЗУЮЩЕГО И УПРУГОГО ПОКРЫТИЯ
Эльман Али Хазар
Киргизско-турецкий университет Манне. 720044, Бишкек, Киргизия
УДК 539.3
Разработан метод решения задачи с применением преобразований Лапласа и Фурье. Представлены и проанализированы численные результаты для самоуравновешенных нормальных напряжений, обусловленных локальным искривлением упругого связующего слоя при растяжении и сжатии рассматриваемого тела вдоль свободной лицевой поверхности. Вязкоупругое поведение материалов описывали с помощью дробно-экспоненциальных операторов Работно-ва.
Ключевые слова: продольная неустойчивость, изогнутый слой, критическое время, местный вблизи поверхности изгиб, стабильность, вязкоупругий слой.
A method for solving the problem considered by employing the Laplace and Fourier transformations is developed. Numerical results for the self-balanced nor mal stresses caused by a local curving of an elastic bond layer upon tension and compression of the body mentioned along the free face plane are presented and analyzed. The viscoelasticitv of the materials is described by the Rabotnov fractional-exponential operators.
Key words: buckling instability, curved-laver, critical time, local near-surface buckling, stability, viscoelastic layer.
Введение. Большое количество экспериментальных исследований, описанных в [1-6], свидетельствует о том, что при сжатии или растяжении однонаправленных упругих и вяз-коупругих композитов в направлении укладки слоев или волокон имеет место локальное приповерхностное разрушение (расслоение). Во многих случаях это разрушение обусловлено самоуравновешенными напряжениями, развивающимися в силу наличия локальных искривлений в приповерхностных армирующих слоях. Такие искривления в структуре композитных материалов возникают как следствие разных технологических факторов. Анализ указанных исследований показывает, что для изучения соответствующих проблем разрушения применяют два подхода. Первый основан на изучении распределения напряжений и использовании макроскопического критерия разрушения для нормальных или касательных напряжений, а второй — на критерии потери устойчивости конструкционных элементов композитов.
1. Постановка задачи. Рассмотрим полубесконечное тело (рис. 1) при х3 = const, состоящее из вязкоупругого слоя покрытия 1, упругого связующего слоя 2 и вязкоупругой полуплоскости 3. Величины, относящиеся к этим слоям, и полуплоскости, обозначенные на рис. 1 цифрами 1, 2, 3, будут иметь верхние индексы (1), (2), (3) соответственно.
Г77777^Щ7777777777777^77^-'У//' '/////•'///* '
Фтт
ттщс--
'■'^-■УЛ
щ>
., ., '/////^/////////////////Лу///у//////////'////////////^'Л
//////у///////////////у/////Мж
ГУ'/,-'Л/'?/;///'////''//'У////.'///'У'/•''/¡/¿'У////'///'/// Ч ' ¿///.'//г?' ///////г/г /, /////Г'//'/' /г/Л '/'//^//'///)
У//////////,/////////^
ШШу/ЛШШ:-
'///'///.'///г
Ш Ч< ^ "У0 W Ш ^ Ж Ш Ш
Рис. 1. Геометрия структуры материала
Свяжем срединные поверхности слоя покрытия и связующего слоя с лаграпжевыми системами координат От^ х^х^хЗт (к=1, 2, 3), полученными из декартовой системы координат 0х\х2х3 паралельным переносом вдоль оси Ох2.
Цель настоящей работы — исследование распределения напряжений, обусловленных локальным несовершенством упругого связующего слоя, и определение влияния па пего упругих параметров. Уравнение равновесия слоев и геометрические соотношения имеют
дх
(к)
а,
]т
(к)т
г]
_(к)т / гп + ди
(к)т
д (к) дхпт
г(к)т<к)т(,) + гг с(к)т _ )Ак)т
сг]гво гя (г) + J0 (г — т)£гв (т)ат
0,
(к)т /
_(к)т /
2е.
(к)т
ди)
(к)т
г]
дх
(к)
ди + диI
(к)т
дх
(к)
/0
(к)т г-. (к)т
диП диП дх(к) дх(к)
гт тт
(1)
г; ]; п; г; 5 = 1, 2, 3, к; т = 1, 2
Запишем граничные условия отсутствия усилий на свободной лицевой поверхности слоя покрытия и условия полного контакта между компонентами рассматриваемой систе-
а(1)1 [ гп + ди(1)1
а]п | °г + 0 (1)
дхп1
"Г =
а
(2)1 ]п
гп + оиг
дх,
(2) п1
п
1
и
(1)1
а
(2)1
]п
и
(2)1
гп +
ди(
1
(2)14
дхп1 (1)1
а(1)М гп + ди_
а]п | иг + 0 (1)
дхп1
2+
п
"Г =
а™2
]п
а
гп +
диг(
(1)2
дхХп2
(2)1 ]п
ди(2)1> + диг
дх
(2) п1
пГ,
п
1
д
в
в
в
в
в
в
в
и
(1)1
и
(2)1
а
(2)1
3?
з? +
ди(
(2)14
2+
а
(1)2 з?
3? +
(1)2
дх?2
2
(2)
и
(2)1
5+
и
(1)2
а
(1)2
и
з? (1)2
3? +
д«
(1)2
и
дх (2)2
(1)
2
и
а
(2)2
3?
3? +
ди
(2)2
дх
(2)
2
и
а
(2)2 11
^ Р1,а
(2)2 33
^ Р3, а(з2)2 ^ 0,
(3)
где ] = 11; 33 ав х22) ^
я (1)1 + ^)]
дх.
и)+
5+
0.
(4)
Малое начальное несовершенство упругого слоя задано уравнением его средней поверхности
х(1) _ р (х(1) х(1))_ г/ (х(1) х(1)) (5)
х2т = 1 т(х1т, х3т) = £/т(х1т, х3т), (5)
где е — малый безразмерный параметр (0 ^ е ^ 1),
Предположим, что 1т(х1т,x3т) и ее первая производная непрерывны и удовлетворяют условиям
т дх1т,
+
т
дх3т ,
((1.
2. Метод решения. Рассмотрим общие концепции процедуры решения, используемые в настоящем исследовании и описанные в [3-8],
Во-первых, при условии постоянной толщины 2Н упругого слоя и с учетом уравнения
(5) выведены уравнения для поверхностей Б± (рис, 1), которые можно представить как х(к)± = х(к)±(¿1, Н, е, /(¿^ ¿3)) (к; 1=1, 2, 3), где ¿3 — параметры (¿1, ¿3 € (-го, и к —
полутолщина упругого армирующего слоя. На основе этих уравнений также выведены выражения для компонентов и±. Соответственно величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние составляющих рассматриваемой системы, также представлены в ряде по малому параметру е:
{3 З и«»} = ££«{а«
А/^№>9. ,,(к)>9. .,(к)>9
, ; и2
}.
(6)
д=0
5
5
5
5
п2
п 2
5
5
5
5
2
2
Подставив уравнение (6) в уравнения (1)-(4) и сравнив члены с одинаковыми степенями е, получим замкнутую систему уравнений контактных и граничных условий, В силу
линейности уравнения состояния удовлетворяются для каждого приближения (6) отдельно, так же как и четвертое условие (3),
Предположим, что материалы полуплоскости и слоев умеренно жесткие и что величины, относящиеся к нулевому приближению, можно найти из соответствующих линейных
ди(к)'0 / дх3к)
^ 1, и пренебрежем этими ве-
уравнений. Кроме того, предположим, что личинами в уравнениях первого приближения.
Применим преобразование Лапласа </?(з) = ехр(_з£)^, в > 0 ко всем уравнени-
ям и соотношениям, относящимся к нулевому приближению, В силу постановки задачи и принципа соответствия изображения по Лапласу для нулевого приближения имеют вид
0 Е *(к)т(,р1 + /у*(к)тр3) Е *(к)т (р3 + ¿у*(к)тр1)
— (к)т
а11 ~ Е*(2)2(1 - (р*(к)т)2) Е*(2)2(1 - (р*(к)т)2) '
_(к)т>0 _ Е*(к)т(^р1 + гу*(к)т^р3) Е*(к)т(р3 + //*(к)тр1) а11 '
Е*(2)2(1 _ (р*(й)т)2) Е*(2)2(1 - (р*(й)т)2)
а^'0 = 0 £ог г] = 11, 33,
где Е*(к)т и V*(к)т — операторы,
В силу уравнений (1), (2) можно записать
Е*(к)т = Е0к)т + /0 Е(к)т(£ _ т)Жг,
V*(к)т = ^к)т + ¡0 V(к)т(^ _ т)^т.
Здесь Е0к)т и V*(к)т — мгновенные значения модуля упругости и коэффициента Пуассона связующего материала. Оригиналы искомых величин находим по методу Шейпери [9].
Для первого приближения получены уравнения
да(к)т>1 я2 (к)т,1 оо Шт,1
да32 , (к)т,0д и2 (к)т,0д и2 _ п /-л
дх(к) + а11 д(х(к) )2 + а33 д(х(к) )2 = 0 (7)
дх3т д(х1т) д (х3т)
а также механические и геометрические соотношения
а(к)т,1 = д*(й)т^(к)т,1з3 + 2V *(й)т£(к)т>1 ^(й)т,1 = £(к)тД + £(к)тД + £(к)тД 32 2 32 5 11 22 33 5
Шт,1 = 1 (ди(к)т'1 + ди(к)т'1) . *(й)т = 1 ( Е*(к)ту*(к)т ) /цч
3 2( дх(к) + дх(к) 2((1+^*(к)т)(1-2^*(к)т)), (8)
,,*(к)т = Е*(к)т
" 2(1+V* (к)т)
Граничные и контактные условия имеют вид:
а
(1),1,1
21
_ а(1)>1,0
(1) (1) _ а11
0
Ш'1'1 а22
х21)=+ь!1)
(9)
а(1)'1'1 а23
а(1)'1'0 х21)=+^11) 33
^х31)
а.
(1)'1'1
22
(1) (1)
— а.
(2),1,1
22
х21)=+^2)
(а
(1)'1,0 4/1 Х1 , ^(1)'1,0 _(2)'1,0) #1 33
^х 31
11
— а
11 3 + (а33
— а
^х
33
11
и
(1)1'1
и
Д1)-. ^а) 2
(2)1,1
х22)=+^12)
0, г = 1, 2, 3
(10)
Последующая разработка метода решения зависит от выбора функции (5), описывающей форму начального локального несовершенства, В настоящем исследовании в соответствии с функцией, наблюдаемой в структуре композитных материалов [3], она выбрана как
/ = /1 (х1)./3(х3); / = е-(И) ^ (И)
(11)
где 7 = 13.
Если 7 = 11 = 0 (/3 ^ то), то полученные результаты сходятся с результатами [1]
Предполагали, что ¿((^ и £ = Производную, входящую в (10), можно выразить
как
^ = /1 (х1)./3(х3); ^ = /1(х1)./3(х3). В этом случае изображение по Лапласу (7) можно записать как
(12)
д-(к)т'°
дх
(к)
те
+ / а^'0^)^^ ехр(_в*)Л+
зт
0
д(х1т)
2
р.2 (к)т'1 (к)т,0 /. ч д "
г4 '
т
/0 д(х3т)2
(13)
д 2и(к)
т'1
а
3к3)т'0(^Г.ехр(_в£)^ = 0, г; ] = 1, 2, 3.
А также (8), (9) и (10) изображения по Лапласу можно записать:
' (к)т,0 £(к)т'0 и(к)т'0 л*(&)т ,,*(&)т\ .
а23 , £ ¿3 , " , Л , ^ (• ^
а(к)т,0 £-(&)т,'0 -(к)т,'0 Л*(^)т -*(к)т" а3 , , "г , Л , ^
Теперь рассмотрим интегральные члены в уравнении (13):
а
(к)т,0
11
д 2 и(к)
т' 1
ехр(_ в^)^^ и / а(3)т'0(£)
д 2и(к)'
т' 1
ехр(_ в^)^^.
.0 д(х<т)2 ./0 33 д(х3т)2
Для механических причин значения а(1)т'0(£) и а3к)т'0(£) при £ = 0 и то, В связи с этим,
можно написать
0
0
оо
(к)т '0
аЗГ'0(£)ехр(_в*)<й = а3к)т'0(£*И ехр(_в*)<й
д(х3тт)2 ^ д (х3т,)2
д2и(
аЗ)т'0(£*)д-и^, ^ = 1, 3; г = 1 2, 3. (14)
д(х3т)2
да3к)т '1 + а(к)т,0 д2и(к)т'1 + а(к)т,0 ^Й^'1 = 0 (15)
д (к) + аП д( (к) )2 + а33 д( (к) Г =0. (15)
дх3т д(х1т) д (х3т)
Теперь необходимо найти решение уравнений (8) и (15), удовлетворяющих граничным и контактным условиям (9),
У2#)т'1 + (1 + ^ )_* ,(к)т,1 + Л) +
2 ( Д(к)т) дх(т Д(к)т д (х^т )2 (16)
а33)т'0(£,) д2и(к)т'1 =0 (16)
Д(к)т д(х3т)2 ,
где
2 д2 д2 д2 V2 =-Щ--'--Щ--'--Щ—. (17)
д (х1т )2 д (х2т )2 д(х3т)2
Из уравнений (16) и (17) получаем
(2 + Л(к)т 2¿Г(к)т,1 + ^(1)т,0(**) д2 л(к)т,1 +
(2 + п(к)т )У ^ + д(к)т д(х(к) )2 ^ +
а.
(к)т,0
33
' (М д2 гШтД _ п от—(кКч = 0.
д(к)т д(хзт)2
Х72и(к)т'1 + а(1)т'0(^,) д2и(к)т'1 + а33)т'0(^,) д2и(к)т'1
V " + Д(к)т д(х1т)2 + Д(к)т д(х3т)2
_(1 + ^ )Л) ¿Г(к)т'1.
V Д|(к)т / дх(к)
гт
Применим экспоненциальное преобразование Фурье к уравнениям (16) и (17) и гра-
1
и (17) примут вид
72 л(к)тД (к)т.'0
^13 ' _ (Б2 + „2 + а(1) ' Б2 +
Л2х(к) (Б1 + в3 + 2д*(к)т+Д*(к)т Б1 + а х2т,
(к)т'0 /, ч
а33_Б 2) ¿(к)т = 0
2^»(к)т +Л»(к)т Б3 )^13 =°
,2-(к)тД (к)т'0 (к)т'0 /,ч
) _ ( Б2 + „2 + а(1) ' Б2 + а33) ' Б2)"(к)т
,2 х(к) (Б1 + в3 + Д*(к)т Б1 + „*(к)т Б3
" х2т (18)
= (1 + Л*(к)т )(<3)т 32 + ¿Г(к)т'131 + л(к)т'133) 1 '
= _(1+ „*(к)т )( лШт + ¿13 + ¿13 )
Решая уравнение (18), получим:
Г(к)т'1 = А(к)т'1ег(к)тх2ктт'1 + А^т^-г^^т™'1
и(к)т'1 = С(к)те^(к)тх2т + С(к)те-к(к)тх2т + ^т^«^ + СА(к)те-г<к)тх2т
13 1 2
7(к)тек(к)тх2т + --+ А11 е~ --+ СА12
и2к)т'1 = С^е^^ + с2к)те-к(к)тх2т + Ж^е^^ + СА2к2)те-г1
21 22 21 22 и3к)т'1 = С^е^^т + с32)те-к(к)тх2т + + С^е-^^
Эти функции находятся с применением метода БсИарегу [9], и критическое время оценивается по критерию
и21)М(0)
^ то, ав £ ^ £сг.
На данный момент мы ограничимся рассмотрением метода решения
и21)М(0)
^ то, ав р ^ р1сг
3. Численные результаты и обсуждение. Предположим, что вязкоупругость материалов слоя покрытия и полуплоскости можно описать операторами
1—2 (к)
Е*(к) = Е0к)[1 _ _ ште)], Ик) = ^к)[1 +-^Ш0Да(_^0 _ ште)],
V/ )
1 _2^(2) 3
Л*(к) = Л0к)[1 + (2) . 0 (2)ч -(^^0 _ "«,)],
2v02)(1 + v02)) 2(1 + v02))
^ = л _ чта^д: (_ ^ - (19)
где Е0к), — мгновенный модуль Юнга и коэффициент Пуассон а соответственно; Л0к) и — мгновенные постоянны е Ляме; а, ш0 и _ реологические пара метры; Я — дробно-экспоненциальный оператор Работнова [10], определяемый как
в га+га(1+«)
Яа (в)Ф(*)= / Яа (в,£ _ т)ф(т) (в) = р[, ^ ^ _1 <а ^ 0, (20)
Л П=0г[(п + 1)(1 + а)]
где Г (х) — гамма функция.
Введем безразмерный реологический параметр ш = и безразмерное время
¿' = ш01/(1+а)£. Рассмотрим сначала случай, когда материалы слоя покрытия и полуплоскости также чисто упругие, и проанализируем распределение нормальных напряжений (1)'1
апп(= £о22 ) действующих па поверхности раздела покрывающего и связующего слоев. Пусть £ = 0, 015, Е(2)/Е(1) = Е(2)/Е(3) = 50 v03) = V(2) = v01) =0, 3 и 7 = 0; 20; 100; 200; 300. Влияние геометрической нелинейности на распределение напряжений будем характеризовать параметром е = р/Е(2) х 103,
Анализ численных результатов начнем с зависимости апп /а!?'0^ х^Я = 0, 0) приведенной на рис, 2 при Л,(2)/Я = 0, 3, т = 0, 0 для разных значений е.
0,04-
0,02-
0.00-
-0,02-
■0.04-
■0.06
\
ÜIIlIIIIIII
'К
■
• у-т
Л 7-200
-/-100
+ 7=20
'/=0
7=300
ш 7=200
7-МО
• 7-20
ИНМЙВД
*******************
2.5
h/L
Рис. 2. Зависимость напряжения параметров h(1)/L при h(2)/L = разных значениях e
0, 3,'
от
r(1),0 rii
0, 0 и
. ч, « /о
0.35-, 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0,05 -0,10 -0.15 -0.20 -0.25 -0.30-0.35
»- ? ; i »
■ -/•100
• 7-200
А 7-300
▼ 7=0.т=0
7-100
« 7-200
7-300
• 7-0 Л1-0
г(1),0 Г11
от
Рис. 4. Зависимость напряжения координаты хх\/Ь при = 0, 3 при разных
= 0, 45, е = 5,0 и разных значениях т
0.20 -i 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.080.060.040.020.00-
■ е=50(у=0)
• у=300
▲ у=200
▼ -^=100
KI I ^
h/L
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Д1),0
Рис. 3. Зависимость напряжения ann j иЦ'' от параметров h(2)/L при h(1)/L = 0, 45 и разных значениях е
s>>
0.0020-
íimiinu..................
■ -г 20
• 7-100
— А •/-200
— Т 7-300
♦ 7-°
2.5
3.0
ОТ
0 0 0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 5. Зависимость напряжения времени ¿'при e = 0, 3, h(2)/L = 0, 3 при разных h(2)/L = 0, 45 и а = -0, 5 и разных значе ниях ш
В соответствии с хорошо известными соображениями механики напряжение ann с увеличением параметра h(1)/L должно стремиться к асимптотическому (предельному) значению, т. е. к значению ann, соответствующему случаю, когда слой 2 (см. рис. 1) содержится в бесконечном теле из материала полуплоскости 3. Это предположение подтверждают данные рис. 2 и тот факт, что предельные значения при ann|e| = 1,0 почти совпадают с полученными в рамках линейной теории упругости и проанализированными в |3|, В то же время данные рис. 2 свидетельствуют о том, что при учете геометрической нелинейности абсолютные значения ann с ростом |e| уменьшаются (увеличиваются) при растяжении (сжатии) рассматриваемого материала. В качественном смысле эти результаты согласуются с описанными в |3-26|, что подтверждает обоснованность применяемых алгоритмов и вычислительных программ.
(при x1/L = 0.0) и h(2)/L при разных
an
а
(1),о
11
Рассмотрим зависимость напряжения ей й(1)/Ь = 0, 45; 7 = 0; 100; 200; 300 (рис. 3).
т
растеризующего форму локального искривления армирующего слоя, на распределение
напряжении
а„
а
(1),0 11
увеличиваются с
в зависимости от координаты x1/L (рис, 4) для случаев |e| = 5, 0,
h(1)/L = 0, 45 h(2)/L = 0, 3 y = 0; 100; 200; 300. Видно, что ann /стЦ
ростом m. Как видно го рис. 4, когда y получает более высокие значения приближается к пределу, за которым y равен нулю.
Теперь предположим, что материалы слоя покрытия и полуплоскости вязкоупругие, характеризуемые операторами (19) и (20). Исследуем влияние реологические параметров ше
а
а
(1),0
11
и а на
а
а
чг
^ = 0.0 в уравнениях (10) и (11). Зависимости напряжения
(при х1 /Ь = 0, 0) от безразмерного времени представлены для разных значений ш (а] при й(2)/Ь = 0, 3 й(1)/Ь = 0, 45, т = 0, 0 а = -0,5 (ш = 3, 0), 7 = 0; 20; 100; 200; 300 (рис. 5).
Теперь сформулируем критерии разрушения для рассматриваемого материала. Для этой цели введем следующие обозначения: П± — прочность при растяжении (сжатии) вдоль оси Ож1; П+ — прочность при растяжении в направлении Ож2, Поскольку величина П+ определяется главным образом прочностью адгезии или прочностью материала матрицы, имеем
П+/П+ < 1, 0.
(21)
В соответствии с результатами экспериментальных исследований для армированных стеклопластиков П+/П+ = 0, 055 — 0,10, что согласуется с неравенством (21). В результате приповерхностное разрушение рассматриваемого материала имеет место, когда выполняются соотношения, и это отношение удовлетворяет неравенству (14). Следовательно, вблизи поверхности отказ от рассмотренного материала происходит тогда, когда отношения
= ПЫ1)0 < П+.
Заключение. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы.
Абсолютные значения самоуравновешенного нормального напряжения уменьшаются при приближении локально искривленного упругого слоя к свободной поверхности рассматриваемого тела.
Абсолютные значения самоуравновешенного нормального напряжения увеличиваются (уменьшаются) с ростом абсолютного значения внешней сжимающей (растягивающей) силы, что обусловлено влиянием геометрической нелинейности.
Список литературы
1. Xiao K.Q., Zhang L.C., and Zarudi I. Mechanical and rheological properties of carbon nanotube-reinforced polyethylene composites // Compos. Scien. Technol. 2007. N 67, P. 77-182.
2. Guz A. N. Fracture Mechanics of composites in Compression. Kiev: Naukova Dumka, 1990.
3. Akbarov S.D. and Guz A.N. Mechanics of curved composites. Kluwer Academic Publisher, Dortrecht-Boston-London, 2000.
4. Akbarov S.D. and Guz A.N. Mechanics of curved composites and some related problems for structural members // Mech. Adv. Mater. Struct. 2004. V. 11. N 6. P. 445-515.
5. Akbarov S.D., SISMAM Т., and YahnioGlu N. On the fracture of the unidirectional composites in compression // Int. Y. Eng. Sci. 1997. N 35. P. 1115-1135.
6. Akbarov S. D. and Kosker R. Internal stability loss of two neighboring fibers in a viscoelastic matrix // Int. J. Eng. Sci. 2004. N 42. P. 1847-1873.
7. Akbarov S. D. and TekercioGlu R. Near-surface buckling instability of a system consisting of a moderately rigid substrate, a viscoelastic bond layer, and an elastic covering layer // Mech. Compos. Mater. 2006. V. 42. N 4. P. 363-372.
8.Akbarov S.D. and TekercioGlu R. Surface undulation instability of the viscoelastic halfspace covered with the stack of layer in bi-axial compression // Int. J. Mech. Scien. 2007. N 49. P. 778-789.
9. Schapery R. A. Approximate method of transform inversion for viscoelastic stress analysis / Proc. US. Nat. Cong. Appl. ASME. 1966. N 4. P. 1075-1085.
10. Rabotnov Yu. N. Elements of Hereditary Mechanics of Solid Bodies. Moskow: Nauka, 1977.
11. Akbarov S.D., Cilli A., and Guz A.N. The theorical strength limit in compression of viscoelastic layered composite materials // Composites Part B: Engineering. 1999. N 30. P. 365-472.
12. Aliyev E. A. Local near-surface buckling of a system consisting of elastic (viscoelastic) substrate, a viscoelastic (elastic) bond layer, and an elastic (viscoelastic) covering layer // Mechanics of Composite Materials. 2007. V. 43. N 6. P. 521-534.
13. Akbarov S. D., Aliye v E. A. On the near-surface failure of the layered viscoelastic Materials // Mechanics of Composite Materials. 2009. V. 45. N 5. P. 477-488.
14. Вют M. A. Mechanics of Incremental Deformations. New York, 1965.
15. Guz A.N. Fundamentals of the Three-Dimensional Theory of Stability of Deformable Bodies. Berlin: Springer-Verlag, 1999.
16. Hoff N.J. A surwav of the theories of creep buckling / In proc. of the Third US National Congress of the Applied Mechanics, ASME. New York, 1958.
17. Вавюн I. Yu., Guz A.N. and Chekov V.N. The Three-Dimentional Theory of Stability of fibrous and laminated materials // Int. Appl. Mech. 2001. V. 37. N 9. P. 1103-1141. "
18. ClLLl A. Fracture of the uni-directed fiber-layered composites in compression / PhD. Thesis, The Yildiz Technical University, Turkey, Istanbul, 1998.
19. Guz A.N. Three-Dimensional Theory of Stability of Carbon Nanotube in a Matrix II // Int. Appl. Mech. 2006. V. 42. N 1. P. 19-31.
20. Guz A. N. and Guz I. A. On Models in the theory of stability of Multiwalled carbon nanotubes in matrix // Int. Appl. Mech. 2006. V. 42. N 6. P. 617-628.
21. Zhuk Ya. A. and Guz I. A. Influence of prestress on the velocities of waves propagating normally to the layers of nanocomposites // Int. Appl. Mech. 2006. V. 42. N 7. P. 729-743.
22. Akbarov S. D., Kosker R., Simsek K. Stress distribution in an infinite elastic body with a locally curved fiber in a geometrically non-linear statement // Mech. of Composite Mat. 2005. V. 41. N 4. P. 291-302.
23. Tarnopolsky Yu. M., Rose A. V. Special feature of design of parts fabricated from reinforced plastics. Riga.
24. Guz A.N., Rushchitsky J. J., Guz I. A. Establishing fundamentals of the mechanics of Nanocomposites // Int. Appl. Mechan. 2007. V. 43. N 3. P. 247-271.
25. Zhuk Yu. A., Guz I. A. Features of plane wave propagation along the layers of a pre-strained nanocomposites // Int. Appl. Mech. 2007. V. 43. N 3. P. 361-379.
26. Argatov I.I. Averaging of a finely lamineted elastic medium with roughness or adhesion on the contact surfaces of the layers //J. Appl. Math. Mech. N 73. P. 734-746.
Эльман Али Хазар — доц. Киргизско-турецкого университет,а, Маше, Бишкек, Киргизия; e-mail:ealiyev@sakarya.edu.tr, elmanaliyev@hotmail.com
Дата, поступления — 13.11.2014
