CC BY
27
Вычислительные технологии
Том 13, № 1, 2008
Исследование сходимости одного неявного итерационного алгоритма для решения стационарных уравнений тепловой конвекции
П. Б. БЕЙСЕБАй Восточно-Казахстанский государственный университет им. С. Аманжолова, Усть-Каменогорск, Казахстан e-mail: beisebai@mail.ru
Linear and nonlinear implicit iterative fission finite differences algorithms for solving the stationary system of equations describing free convection are considered. The schemes are based on the displaced grids with symmetrical approximation. Convergence of iterative processes is examined.
В параллелепипеде D = {0 < xa < 1, a = 1,N}, где N — размерность пространства, рассмотрим систему стационарных уравнений свободной конвекции в безразмерных переменных
(u V)u + grad p = Au — Gr 9 + f (x), (1)
|g|
div u = 0, (2)
(uV)9 = РГA9 + g(x)> (3)
где f(x), g(x) — заданные функции; u = (U,V,W) — вектор скорости; p — давление, отсчитываемое от гидростатического; 9 — температура; g — вектор силы тяжести; Gr =
----число Грасгофа; v — кинематический коэффициент вязкости; Pr = v/x — число
v 2
Прандтля; x — коэффициент теплопроводности.
Предполагается, что на границах расчетной области компоненты вектора скорости и температура принимают однородные нулевые значения, т. е.
uldD = 9\дП = 0- (4)
Численному исследованию дифференциальных задач тепловой конвекции, описываемых уравнениями (1)-(3), посвящено немало работ [1]. Разработанные вычислительные алгоритмы позволяют изучить конвективные течения несжимаемой жидкости в широком диапазоне параметров среды. Однако математическое обоснование применимости используемых на практике алгоритмов отсутствует.
В работах [2, 3] для численного решения сеточных уравнений тепловой конвекции, соответствующих разностному аналогу дифференциальной задачи (1)-(4), рассмотрены итерационные схемы, основанные на аппроксимации конвективных слагаемых по
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.
формуле Самарского [4], исследованы вопросы устойчивости и численной реализации. Исследование сходимости итерационных алгоритмов, предложенных в работах [2, 3], ввиду того, что коэффициент схемной вязкости нелинейно зависит от значений компонент скорости, затруднительно.
В данной работе для разностных аналогов уравнений (1)-(3), записанных на смещенных сетках с симметричной аппроксимацией, рассмотрим итерационный алгоритм расщепления следующего вида:
п+1/2 _ „га _____ ТГо-
— + ^иига+1/2 + gradhPra = Д^ига+1/2 _ т-^Г+1 + і(х), (5)
т ^
„И+1 _ „П+1/2
+ gradh(pn+1 — рп) = 0, (6)
т
й^ип+1 = 0, (7)
лп+1 Лп 1
-----------+ Ьм лп+1 = —Д^п+1 + д(х), (8)
т Рг
с начальными и однородными нулевыми краевыми условиями, и будем изучать вопросы сходимости. Здесь и в дальнейшем обозначения такие же, как и в работе [3].
Ограниченность итераций алгоритма (5)-(8) можно показать, используя для аппроксимации конвективных членов “энергетически нейтральные” операторы Ь^>и и Ь^д, т. е. такие, для которых выполняются равенства
(ЬМУ,У ) = 0, (Ьм У,У ) = 0,
УУ £ П^(Д^) — пространство сеточных функций с нулевыми значениями на границе. Введем погрешности итерации
2п+1/2 = ип+1/2 _ и, 2п = ип _ и,
Пп = рп _ р, Тп = Лп _ Л,
где и, р, Л — решение соответствующей сеточной стационарной разностной задачи для
(1)-(4).
Сначала рассмотрим линейный случай, т. е. случай, когда конвективные слагаемые отсутствуют. Уравнения для погрешности при этом имеют вид
2п+1/2 _ 2п ----- Сг
+ gradhПn = Д^п+1/2 _ — gTn+1, (9)
~ ХН |
т |g
п+1 _ _га+1/2
--------------+ gradh(п 1 _ пп) = 0, (10)
т
divh 2п+1 = 0, (11)
Тп+1 Фп 1
-----т-----= рГдлФ “+1 (12)
с однородными краевыми условиями для компонент скорости и температуры. Видим, что в этом случае задача конвективного движения распадается на две задачи.
Для погрешности температуры Тга+1 из (12) имеем
2т,
||Тп+1||2 ||Тпу2 + ||тп+1 II2 + —1|V тп+1||2 о
II II II II р-11 II
Отсюда
||тп+1|| ^ ^ ^ ^^1,
( 2т \-1
где « _ ( 1 +----с0 ) ; с0 — константа, не зависящая от параметра сетки, т. е. ||ТП
V р- /
стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.
Умножая (9) скалярно на 2т2га+1/2, имеем
||7п+1/2У2 _ ||ИП|2 + |2га+1/2 _ 2П|2 _ 2т (^П^П+1/2) +2т К^2 ^
^ 2тТ- ( Л Тга+1, zn+1/2
V |g|
Используя (10), после несложных преобразований имеем
^Ч2 + т||gradhпra+112 + ^п+1/2 _ zn||2 + 2т^^^І ^
Тг
^ |К||2 + т2||gradhпra||2 + 2т ^gTra+1, zn+1/2) |.
1 g 1
Отсюда, используя неравенство Коши—Буняковского, теорему вложения и е-нера-венство, получим
z1|2 + 2т (і _ ^ ||^п+1/2||2 ^
йга+1у2 + т21^^пга+11|2 + К+1/2 _ zn|2 + 2т ^1 _ ^^
^ |К||2 + т2|^^п||2 + .ГТ-11Vп+1/21|2, (13)
где е1 — произвольное положительное число, $0 — минимальное собственное число разностного оператора Лапласа.
Запишем энергетическое соотношение для погрешности температуры с произвольным £2, удовлетворяющее условию 0 < £2 ^ 1, в следующей форме:
мТп+1 _ Тпм2 + ПТп+1П2 + (1 _ £\ "у^Тп+1"2 + 2Те2Пу^Тп+1у2 = ||Тп||2.
II II II II Рг и II Рг II II
Ка
Умножая на —~-------, где Ка = Сг • Рг — число Рэлея, имеем
4$о£1£2
Ка "тп+1||2 + ТСг (1 _ £2) II'у^тп+1"2 + -^1||'у^тп+1"2 < гКа ||Фп|2.
4^оЄ1Є2 2^о £1^2 2^0^1 11 4^оЄ1Є2
Полученное выражение сложим с (??):
К+1||2 + т2|^^12 + ||Тп+1||2 + 2т (і _ ||^zn+1/2|2 +
4о0е1е2 V 00 /
+ |^п+1/2 _ zn|2 + т Тг(1 _ е2) ||^Тга+1/2||2 ^ ||zn|2 + т 2||gradhff”'||2 + —||Т п|2.
2Оо 4ОоЄ1Є2
Следовательно,
Еп+1 + "2п+1/2 _ 2п"2 + 2т (1 _ £1Сг^ "'2п+1/2"2 + ТСг(1 £2) "У^Фп+1"2 ^ Еп, (14)
\ $0 / 2$0
где
вя
Еп = К||2 + т2|^^п||2 + --------------||Ф п|2.
4$о£1£2
Отсюда следует сходимость итерационного процесса.
Для расчета скорости сходимости итерационного процесса соотношение (9) запишем в виде
т^пп = тД^п+1/2 _ Фп+1 _ (zn+1/2zn)
|ё|
и, используя неравенство треугольника, имеем
_____ т сг
т|^^п" ^ т"Д^п+1/2Ц + —"У^Фп+1" + "zn+1/2zn". (15)
$0
Введем обозначения
Сг (1 _ £2)
А 1 Оо ) , В 2Оо
и запишем соотношение (15) в следующей форме:
т|^^п|| ^ Со^АЦ'^п+1/2" + Ц^Фп+1Ц + ^п+1/^п".
у А и у В $о
Возведя обе части в квадрат, имеем
-2||gradhпn||2 ^ М (^п+1/^пЦ2 + тА"'^п+1/2"2 + тВ"^Фп+1"2) , (16)
тс2 т Сг2
где М = 1 + -Г-Г2 +
А и2 $02В'
Умножив неравенство (16) на произвольное положительное число а и прибавив к соотношению (14), имеем
Еп+1 + (1 _ аМ) ^п+1/^п"2 + тА (1 _ аМ) "'^п+1/2"2 + ат 2|gradhпn|2+ + (1 _ аМ) "'^Фп+1"2 ^ Еп
Выбирая число а, удовлетворяющим условиям 1 _ аМ ^ а0 > 0 и 0 <а ^ 1, имеем (1 + тАао$о) ||zn+1"2 + т2"^^1"2 + 4$-^- + 4-Bа.$0^2) "Фп+1"2 ^
Яя
^ КЦ2 + 4^ИТ"Н2 + т2 (1 _ а) к^пп||2. (17)
Перепишем неравенство (17) следующим образом: (1 + тАао$о) К+1||° + т2"gradhпn+1"2 + ^
< (1 + тАао$о)
1
4$о£1£2
п 2 2 п 2
z || + т (1 _ а) ||п || +
1 + 4тВа$0£1£Л "фп+1"2 <
+ Кa ) 11 11 <
1 + тАа0$
+
Ra
4$о£1£2 Следовательно, имеем
1 + 4тВа$о£1£2^
1
Кa У 1 + 4тВа$о£1£2
Кa
Фп+1 <
где
Фп = (1 + тАао$о) |^п||2 + -2|gradhпn||2 +
Кa
4$о£1£2
1 + 4тВа$0£1£А |фп ||2 + Кa " ,
1
1 + т А£о$
1 _ а,
1
4$Ва$0£1£2
< 1,
1+
Кa
т. е. величина Фп стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем строго меньше единицы.
Заметим, что если выбрать а ~ О (и), то выполнение условия 1 _ аМ ^ а0 > 0 равносильно выбору итерационного параметра т, удовлетворяющего соотношению т < Ми, где М > 0 — равномерно ограниченная константа, и скорость сходимости будет иметь первый порядок по пространственным шагам разностной сетки.
Рассмотрим теперь нелинейный алгоритм. В этом случае уравнения для погрешности имеют вид
z
п+1/2 _ zn
Сг
т
+ Ь^и(и>п+1/2 + Ьм^п)и + gradhПn = Д^п+1/2 _ — gФn+1, (18)
181
7п+1/2 _ ,7п
т
+ gradh(пn+1 _ пп) = 0,
divhz
.п+1
0,
Фп+1 __ фп 1
-----------+ ЬЛ,д (ип)Фп+1 + Ьм (zn) Л = — Д^Фп+1-
т Рг
(19)
(20) (21)
Умножая (18) на 2тzn+1/2 и рассуждая так же, как и в линейном случае, имеем для погрешности компонент вектора скорости и давления
|^п+1/2"2 + ^п+1/° _ zn"2 + т2"g-adhпn+1"2 + т"'^п+1/2"2 <
< |К||2 + т"^^ "2 + т"'^Фп+1"2 + 2т| (ЬЛ)и ^п) и, zn+1/2) |
и для погрешности температуры
"Фп+1"2 + "фп+1 _ фп"2 + 2т (1 _ £) "'^Фп+1"2 < ||Фп||2 + 2т|(Ь^д (zn) Л
II II II II Рг II II IV
2
Оценим вклад нелинейных слагаемых на погрешности следующим образом:
| (Ьм (zn) и, zn+1/2) | < | (Ьм (zn+1/2 _ zn) и, zn+1/2) | + | (Ьм ^п+1/°) и, zn+1/2) | <
< С°|'ли| ("^+1/2 _zn"Ь4(Дп) • к+1/2||Ь4(Дп) + к^2"^) < < С1|'ли| (" V (zn+1/2 _ zn)" • " ^п+1/2" + |"'^п+1/°
| (Ьм (zn) Л, Фп+1) | < | (Ьм ^п+1/° _ zn) Л _ Ьм (zn+1/2) Л, Фп+1) | <
Т I ™+1/2 п
^,0 I Z _ z
Л, Тга+1) + ^^п+1/2) Л, Тп+1/2) 1
< с||'ьЛ|| ("V (zn+1/2 _ zn)" • ||^Фп+1|| + ||'^п+1/2|| • ||^Фп+1||) .
Далее, используя £-неравенство, из этих соотношений имеем | (Ьм (zn) и, zn+1/2)| < с^^иЦ ^(1 + £з) "VhZn+1/2"2 + 41- "V (zn+1/2 _ zn' "2
||Тп+1|2 + ||Тп+1 _ Тп||2 + (1 _ еосо Рг ||^Л||) (Є4 + Єб) ||
"’П м +
Рг
+Р>.||?*Т"+1||2 < |^.+!/2 _ ^|»й(ви) + ГММ!|| V*-+1/2||2, (22)
^п+у2 + ^п+1/2 _ zn|2 + т+ тА^VhZra+1/2||2 ^ ^ |И|2 + т2||^пп||2 + тВ|| ^Т^Ц2 + 2тё1||^и|| (1 + Єз) || ^п+1/2||2 +
+ 2^С1И^и|| К+1/2 _ z”'|l2
"zn+1"2 + ^1 _ "zn+1/2 _ zn"2 + т2|^пп+1 "2 + т [А _ 2с1|| ^и||2х
х(1+ £)] Ц^^2"2 < |К||2 + т2"^пп"2 + тВ||^Фп+1 "2. (23)
Перепишем соотношение (18) в следующем виде
т Сг
-gradhПn = _ (zn+1/2 _ zn) + тДzn+1/2 _ —8Фп+1 _ тЬ^и(и>п+1/2 _ тЬм^п)и =
|8|
= _ ^п+1/° _ zn) + тД^zn+1/2 _ тСг8Фп+1 _ тЬ^и(un)zn+1/2 +
|8|
+тЬм^п+1/2 _ zn)u _ тЬмК+1/2)и,
и оценим таким образом:
т Сг
т|^^п|| ^ К+1/2 _ zn|| + т||Д^"+1/2|| + 11Vп+1| + тсо||^и!Ь2(д,
х ||^п+1/2|| + тсо||^и|| |^п+1/2 _zn|| + тсо||^и||||^п+1/2|| _
_ (1 + тсоИ^и||) ^п+1/2 _ + тсо ^^ + ИиПИЬ2(Дп) + И^и|^ х
х ||^п+1/2|| + ^Т-Ц^Т^Ц. V °о
Возведем обе части в квадрат и имеем
т2 < М (|^п+1/2 _ zn"2 + т"^^2"2 + т"^Тп+1"2) , (24)
где
М = (1 + ^О^-иЮ2 + тс(° ^ и + |ип|Ь2(Дп) + +
Неравенство (24) умножаем на а и прибавим к (23):
К+1"2 + ^1 _ -C2£V;2UІI _ аМ^ ^п+1/2 _ zn"2 + -2"gradhпn+1"2+
+т [А _ 2c1||Vhu|| (1 + £3) _ аМ ]" Vhzn+1/2" <
< |К||2 + т2 (1 _ а) "g-adhпn"2 + т (В + аМ) " ^Фп+1||2. (25)
Рг (В + аМ)
Соотношение (22) умножим на О =--------------------и сложим с (25), тогда имеем
2£й
+ (х _ -ClИV0U« _ аМ _ o-CoДV0Л^^ |ип+1/2 _ z"||2 + т
2£-и2 2£4^2 ) 11 11
х ||^и||_ аМ _ Осо|17^Л| 2£5
А _ 2с1 (1 + £3) х ц^^2"" + т 2"g-adhПn+l"2+
+О"Фп+1||2 + 2О- (1 _ £6 _ со Рг (£4 + £5) || ^Л||) "■У^Лп+1"2 <
< |К||2 + О||Фп||2 + т2(1 _ а)|^^пп||2. (26)
Пусть параметры сетки и входные данные задачи удовлетворяют условиям
1 _-clНVhuН _ аМ _ отСО^ > 0,
“£-и2 2£4^2 ^ ’
А _ 2с1 (1 + £-) |У^и|| _ аМ _ ОС^^^ ^ ао > 0, (27)
2£5
2От
“5— (1 _ £6 _ с0 Рг (£4 + £5) || ^ ОД0 > 0-
Рг
Тогда из соотношения (23) имеем
(1 + тао) |^п+1"2 + О (1 + тво) "Фп+1 "2 + т2||g-adhПn+1"2 <
< ||znН2 + т (1 _ а) Ц^^"2 + О||Фп||2,
п+1"2 + О (1 + тво) "пп+1"2 + т2"gradhпn+1 "2 < (1 + тао)-1 (1 + тао) х
хНг“+1||2 + О(1 + т-Д) + т2||g-ad,1п'‘+1||'2 <
< д
(1 + тао) ||ип| + О (1 + тДо) ||ФпН + т2"gradhП
11
где д = max <-, 1 _ а,-— > < 1.
Ч + тао 1 + тДо
То есть для величины
^п = (1 + та-) К||2 + О (1 + тДо) ||Фп||2 + т2||^лпп||2 имеет место оценка
фп+1 < д^п
Следует отметить, что условия (27), обеспечивающие сходимость итераций, совпадают по порядку с условиями, гарантирующими существование и единственность решения исходной задачи (1)-(4).
Список литературы
[1] Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.
[2] Бейсевай П.Б., Данаев Н.Т. О численном решении свободной конвекции при подогреве сбоку // Вестник КазНУ. Серия матем., мех., информ. 2007. № 1(52). С. 71-80.
[3] Бейсевай П.Б., Данаев Н.Т. Об одном исследовании разностной схемы для уравнений тепловой конвекции // Матер. междунар. конф. “Информационно-коммуникационные технологии как основной фактор развития инновационного общества”. Усть-Каменогорск, 2007. Ч. 2. С. 6-12.
[4] Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
Поступила в редакцию 5 сентября 2007 г.
