CC BY
21
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО КОЛЬЦА
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Р. А. Сабиров, С. А. Пикулин, А. А. Пучков
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: rashidsab@mail.ru
Детали в виде колец подверженные сжимающим нагрузкам имеют применение в аэрокосмической технике. Получен конечно-разностный аналог дифференциального уравнения равновесия для численного расчета устойчивости кольца. Продемонстрирована сходимость полученных критических нагрузок в зависимости от густоты разностной сетки к точным сжимающим критическим нагрузкам. На примерах расчета дается оценка эффективности применения метода конечных разностей для дальнейших предполагаемых расчетов колец с переменными параметрами.
Ключевые слова: устойчивость кольца, критическая нагрузка, метод сеток.
THE STUDY OF THE CONVERGENCE OF CRITICAL LOADS IN THE PROBLEM OF CALCULATING THE STABILITY OF THE RING THE FINITE DIFFERENCE METHOD
R. A. Sabirov, S. A. Pikulin, A. A. Puchkov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: rashidsab@mail.ru
Details in the rings exposed to compressive loads have applications in aerospace engineering. The obtained finite-difference analogue of the differential equation of equilibrium for the numerical calculation of the stability of the ring. Demonstrated the convergence of the obtained critical loads depending on the density difference grid for accurate compressive loads. Examples of the calculation of the estimation of efficiency of application of the method of finite differences for further estimated calculations of the rings with variable parameters.
Keywords: stability of a ring, the critical load of buckling, grid method.
Введение. Детали в виде колец имеют широкое применение в аэрокосмической технике, например, шпангоуты, в форме колец применяемые в силовых конструкциях корпусов и топливных баков. Сжимающие нагрузки приводят к потере устойчивости, поэтому проблема вычисления критических сил является актуальной. Для идеальных колец известны аналитические точные методы расчета, они рассмотрены в работах [1; 2]. Однако, для практических расчетов, когда кольцо имеет начальные несовершенства физических и геометрических свойств, необходимо применять численные приближенные методы расчета. Одним из таких методов является метод конечных разностей (метод сеток) [3].
Цель работы. Исследовать возможность приложения метода конечных разностей для расчета устойчивости кольца, заключающуюся в численной проверке сходимости критических сил к точным аналитическим решениям, в зависимости от сгущения конечно-разностной сетки; простоты формирования разрешающих уравнений и времени расчета на ЭВМ.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 1
Рассмотрим дифференциальное уравнение сжатого по окружности кольца нагрузкой в полярной системе координат [1].
d4v _ (1)
dф4 dф2
c _ 1 + qR3 / EJ, (2)
где координаты: 0 < ф < 2п; R _ const - радиус кольца; v _ v(9) - функция прогиба; E - модуль Юнга; J - момент инерции поперечного сечения кольца.
Решение задачи аналитическим методом. Аналитическое решение проблемы устойчивости даётся формулой [2]
qn _ ^EJ , (3)
R
где qn - критическая сила; целые числа n _ 1, 2, ...- есть соответствующий критической силе номер формы потери устойчивости.
Примем R _ 0,1 м , высоту сечения кольца h _ 2 • 10-3 м, ширину кольца b _ 12 -10~3 м, модуль Юнга материала E _ 2 -1011 Па (J _ bh2 /12 _ 8 • 10 8 м4, EJ _ 1,6 Нм2). Формула (3) даёт следующие критические нагрузки: если n _ 0, тогда критическая сила q0 _ 0 и кольцо перемещается как жесткое целое без деформирования; если n _ 1, критическая сила составляет qx _ 600 Н/м. Если n _ 2, тогда q2 _ 1600 Н/м, а для n _ 3 критическая сила равна q3 _ 3000 Н/м.
Численное решение задачи методом конечных разностей. На область кольца нанесем конечно-разностную сетку i _ 1, 2, 3, ..., m; m - конечное число узлов сетки; оно же число шагов (интервалов), на которое разбивается длина окружности кольца l (l _ 2nR). Тогда (1) представится в виде
Vi+2 " 4V +1 + 6Vi " 4Vi-1 + Vi-2 _ VC (-Vi +1 + 2vi " Vi-1 ) . (4)
Здесь Дф есть угол, на который опирается шаг сетки As, т. е. Лф _ As / R . Учитывая, что As _l/m, получаем
Дф _ As /R _ l/(mR) _ 2n/m . (5)
Система уравнений (4) с позиции линейной алгебры представляет собой проблему собст-
Л 2 , Г 2п Y (л qR3) венных чисел. Произведение Дф c в (4), теперь равное Л _ | — | 1 +--
I EJ J
- m J
критические нагрузки q в зависимости от собственного числа X
позволяет вычислять
дт = (Хт2 -(6) 4п к
Проблема собственных чисел не рассматривает тривиальные случаи. Из (6) следует, что действительными будут только те формы потери устойчивости и критические силы, для которых Х > 4п2 / т2. Например, если т = 8, тогда действительны решения, для которых Х > 4п2/82 = 0,617. Если т = 12, тогда во внимание принимаются решения, для Х > 4п2 /122 = 0,274, и так далее.
Результаты расчета кольца покажем в таблице. В первой строке таблицы приведено число узлов конечно-разностной сетки. Во второй строке - параметр X. В третьей строке приведена ¿¡1 - критическая нагрузка, соответствующая первой форме потери устойчивости, а в четвертой строке рассмотрена ¿¡2 - критическая нагрузка, соответствующая второй форме потери устойчивости. График сходимости критических нагрузок к точным решениям = 600 Н/м и д2 = 1600 Н/м от сгущения сетки приведен на рис. 1. Устойчивые равновесные формы покажем на рис. 2.
Результаты численного расчета кольца
m 8 12 16 20 24 26 30 60 120 240
1 0,617 0,274 0,154 0,098 0,069 0,058 0,043 0,01 0,0027 0,00068
q1 448,45 529,5 559,7 574,02 581,88 584,55 588,37 597,07 598,03 532,75
q2 906,98 1259 1401 1470 1509 1522 1541 1585 1596 1598
8 12 16 20 24 26 30 60 120 240
количество узлов разностной сетки
Рис. 1. График сходимости критических нагрузок к их точным значениям: сплошная линия - сходимость ^ к ^ = 600 Н/м; штриховая линия - сходимость д2 к q2 = 1600 Н/м
Рис. 2. Равновесные формы
Выводы. Согласно результатам расчета, приведенным в таблице 1, обнаруживаем, что для первой критической силы q1 точность 4,5 % достигается на сетке m = 20 узлов, а для второй критической силы q2 точность 5 % равна на сетке m = 26 узлов.
Метод позволяет автоматизировать процедуру формирования матриц левой и правой части в системе Maple [4]. Наибольшее машинное время при численном расчете затрачивалось на вычисление всего спектра собственных значений и собственных векторов: m = 30-1 с; m = 60-9 с; m = 120-80 с; m = 240 -700 с.
Следует сказать, что на сетке m = 240 , минимальное собственное число отлично от точного числа на 12,6 %. Это число q1 = 532,75 Н/м показано в таблице курсивом.
Метод конечных разностей приемлем для практических расчетов устойчивости кольца; достаточна сетка 30-60 узлов.
Библиографические ссылки
1. Курс сопротивления материалов / М. М. Филоненко-Бородич, С. М. Изюмов, Б. А. Олисов и др. Ч. 2. М.-Л. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. 528 с.
2. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1978. 226 с.
3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М. : Наука, 1977. 552 с.
4. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб. : БХВ -Петербург, 2001. 528.с.
© Сабиров Р. А., Пикулин С. А., Пучков А. А., 2017
