Исследование сходимости итерационной процедуры определения параметров движения изображений методом функционализации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518.3

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛИЗАЦИИ1

П.К. Кузнецов, Е.Ю. Чекотило, Б.В. Мартемьянов

Самарский государственный технический университет 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Предложена итерационная процедура определения параметров движения изображения. Исследована сходимость рассматриваемой процедуры для случая движения с тремя степенями свободы (плоско-параллельное движение, вращение в плоскости движения). Методика основана на применении метода функционализации для определения оценок вектора скорости движения носителя изобразительной системы.

Ключевые слова: метод функционализации, итерационная процедура, параметры движения, изображение.

Введение

Одной из актуальных задач технического зрения автономных мобильных роботов является задача восстановления изображений окружающей обстановки на основе данных, получаемых от видео-сенсоров. Ее можно решить путем перехода от анализа изображения окружающей обстановки к анализу динамики векторного поля скоростей движения изображения подвижных яркостных объектов окружающей среды методом функционализации. Этот метод является обобщением известных градиентных методов [1-3] и основан на использовании соотношения, функционально связывающего параметры движения с изменениями измеримых характеристик изображения (ФС-уравнения).

Метод функционализации состоит в формировании с помощью изобразительной системы на чувствительной поверхности ПИ изображения движущегося яркостного объекта, выделении на изображении (по параметрам пространства или времени) окон анализа, измерении в выделенных окнах обобщенных производных по времени и пространственным координатам от функционала специального вида Ф(г, ?) [4], определенного в окне анализа на функциях распределения освещенности изображения, вычислении для каждого окна анализа коэффициентов ФС-уравнений с использованием этих производных, составлении системы ФС-уравнений на множестве окон анализа в количестве, достаточном для получения единственного решения этой системы уравнений.

Практика использования систем технического зрения автономных мобильных роботов, построенных на алгоритмах, реализующих этот метод, показала высокое быстродействие и хорошие метрологические характеристики. Однако при всей универсальности метода функционализации не удается избежать погрешности измерения скорости движения изображения, вызванной неточностью аппроксимации производной по времени первой разностью. Эта погрешность может быть уменьшена до

1 Работа выполнена в рамках Государственного контракта №П2612 от 26.11.2009 г.

Кузнецов Павел Константинович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электропривод и промышленная автоматика».

Чекотило Елена Юрьевна - к.т.н., ученый секретарь НИЧСамГТУ.

Мартемьянов Борис Викторович - к.т.н., доцент кафедры «Вычислительная техника».

допустимого значения за счет применения компенсационного варианта метода функционализации с использованием физического или «электронного» (режим ВЗН ПЗС матриц) подслеживания движения изображения [4-5].

Р и с. 1. Положение областей анализа на изображении

Итерационная процедура определения параметров движения изображений

В компенсационном методе используется итерационная процедура совмещения изображений (рис. 1). Задача совмещения формулируется следующим образом: на анализируемом изображении, заданном функцией освещенности Е = Е (г ) (г

- вектор смещения в системе координат плоскости изображения), выделяются две пересекающиеся прямоугольные области анализа ^ (г) и ^ (г) с изображениями Е (г ) и Е2 (г ) соответственно, т.е.

^( г ) П^( г ) Ф 0 , причем область (г) является

результатом преобразования Т области (г):

^2 г ) = Т(^1 (- )) = Л[^ (- + Аг )], (1)

где Л - матрица преобразования вращения.

Согласно методу функционализации, на каждом шаге итерационной процедуры формируется система алгебраических уравнений, по которой определяются оценки

составляющих вектора смещения изображения ДО [6]. Для этого в каждой области анализа ¥ (г) выделяются идентичные системы N окон анализа Оу размером (/х х I ) (/' = 1, 2 - номер области; ] = 1, 2, ..., N - номер окна), образующих покрытие предполагаемой зоны пересечения рассматриваемых областей анализа (см. рис. 1).

Для каждой пары окон (^ j, ^ j ) составляются уравнения функциональной связи [6] относительно компонентов вектора смещения:

+ Ъ],2 А~у + ,з А« = Р1, (2)

где р 1 - разностное представление полной производной по времени от функционала Ф(г, I), определенного в окне анализа на функциях распределения освещенности изображения.

Для N пар окон анализа формируется переопределенная система ФС-уравнений:

В ‘Л £ = Р .

(3)

решение которой Л £ = [д?х Д?у Да ]Т находится методом квазиобращений:

Л£ = (ВТВ)_1 ВТР . (4)

В итерационной процедуре на каждом шаге определяются оценки составляющих вектора смещения изображения:

!(х +1) = И(х) + ^-Д?(х); (5)

1( 0) = 4

где х = 0, 1, 2,..., п - номер итерации; £(т) = [?х (х), (х), а(х)];

X =

X s 0 0 0 X s 0 0 0 X„

- матрица «коэффициентов обратной связи», значения которых

подлежат определению из условий сходимости процесса (5);

Sо - предполагаемая оценка смещения изображения области анализа ¥2 (г ) относительно области х¥1(г) .

После вычисления оценки смещения изображения А£ (т) на /-том шаге производится сдвиг области анализа ¥2 (г ) на величину получаемой оценки.

Описанные процедуры повторяются до тех пор, пока компоненты вектора смещения А£ (п) на «-ном шаге не станут меньше заданных величин Е х > 0, Еу > 0 и Еа > 0 (в идеальном случае Ех = Еу =Еа = 0).

В реализации итерационного метода удобно использовать «пирамидальную» функцию веса К (г) [5]:

V(x,y) :х е[!х,-!х]у < У(х,у)/уе [/у,-/уJx<

lxX IxX l ’ l у у _ l у l у

Т’~Г

хх

(

1 -J

х

Г

(6)

1-

l

V у J

Параметрами функции веса K (г) являются размеры окон анализа (1х, 1у ).

Получим аналитические оценки сходимости итерационного метода с «пирамидальной» функцией веса без учета аддитивного шума для тестового моночастотного изображения, которое зададим функцией освещенности вида:

E ( r ) = sin( A2 wr ) + cos( A1wr ), (7)

где A1, A2 - первая и вторая строки матрицы A .

В силу сложности получения аналитических оценок сходимости итерационного метода для общего случая (7) рассмотрим отдельно плоско-параллельное движение и вращение в плоскости движения изображения. Для случая плоско-параллельного движения (a(t) = const) система уравнений (5) принимает вид:

- / 11 - / 1 X ¿у(т)w

• т+1=vт) - 2wtg-2~

s( т +1) = • ( т)-^ tg ^ .

2w 2

4(0) = ^0, Sv( 0) = S

(8)

у 0-

На основе известного критерия сходимости итерационных процессов [7] получим достаточный признак сходимости итерационной процедуры (8):

2л 2л _ 2 '

•^0, sy0 е[-^ X s ^ 4w cos2

3w 3w

s(t)w 2 '

(9)

Соотношение (9) дает оценку области сходимости в пространстве начальных

<

данных для тестового изображения (7).

Аналогичным образом получим оценку сходимости итерационного метода для случая чистого вращения а 0 е[0, л/2] в плоскости движения (угол крена и угол тангажа равны нулю). Итерационная процедура имеет вид:

а(т +1) = ф(а(т)) = а(т) + ^а • Аа(а(т)) . (10)

Достаточным признаком сходимости итерационной процедуры (10) является условие

фХаМ^^а-^О^ <1. (11)

ба

Условие сходимости (11) будет выполняться для всех Ха таких, что

Ха^бАа< 0, М<г^7, (12)

ба 1 1 1 + М

- функция нескольких переменных: М = М(а (/), 1Х, 1у, w). Таким

где М = тах

а

5Аа

5а

образом, сходимость итерационного процесса (1 1) при функции веса принятого вида зависит от размеров окон анализа и пространственной частоты тестового сигнала

(7). Обозначим через А,акр максимальное (критическое) значение, отвечающее достаточному признаку сходимости (12). Считаем, что окна анализа имеют форму квадрата, т.е. 1Х = 1у .

В табл. 1 приведена аналитическая оценка зависимости количества итераций итерационного процесса (10) от частоты тестового сигнала при критическом значении коэффициента обратной связи А,акр. Условие (12) является лишь достаточным.

Нетрудно показать, что значение Ха может быть увеличено, при этом скорость сходимости увеличивается.

Результаты исследования влияния Ха на процесс сходимости итерационной процедуры (1 0) для тестового изображения вида (7) представлены в табл. 2.

Т а б л и ц а 1

Длина стороны окна анализа & Погрешность приближения 8

10 ~2 10 ~3 10 ~5

Максимальное число итераций п

8я/ 9w 0,193 14 20 31

32л/45w 0,1763 31 45 72

12 8я/ 135w 0,00277 128 234 341

504л/405w 0,04616 20 29 46

При увеличении А,а > 10 -Хакр сначала увеличивается количество итераций, а затем процесс (10) теряет устойчивость. Таким образом, можно сделать вывод, что наилучшая сходимость с точки зрения максимального быстродействия итерационного процесса достигается при 8 -Ха 1кр < А,а < 10 • А,а 1кр . В табл. 2 приведены резуль-

_3

таты, соответствующие допустимой погрешности 8 = 10 . При других значениях 8

значение А,а остается в тех же пределах.

Длина стороны окна анализа Коэффициент обратной связи

4а = 4-1аКР л*=8 -а 4*=10 -а

Максимальное число ите раций п

8л/9^ 6 5 5

32л/45^ 27 15 7

128Л135^ 52 24 18

504л/405^ 28 10 7

Для подтверждения достоверности высказанных предположений были проведены компьютерные эксперименты по оценке области сходимости итерационного метода по начальным данным и скорости сходимости для случая сложного движения (плоско-параллельное движение, вращение в плоскости движения). Эксперименты

проводились в области начального смещения 50х50 пикселей для изображения типа «Горы» (рис. 2).

Результаты экспериментов сравнивались с результатами, полученными корреляционным методом с использованием для поиска экстремума взаимно-корреляционной функции совмещаемых изображений.

Результаты оценки сравнительного анализа областей сходимости представлены на рис. 3, скорости сходимости

- на рис. 4.

Р и с. 2. Изображение типа «Горы»

Я, пикс. Аа , градус.

а плоско-параллельное движение б вращение

Р и с. 3. Сложное движение. Область сходимости итерационного метода и корреляционного метода. Р - вероятность сходимости, соответствующая начальному смещению Я = ^51Х + 52У для изображения типа «Горы»

Проведенные эксперименты показали работоспособность метода и его существенное преимущество по точностным характеристикам и диапазону измеряемых величин по сравнению с корреляционным методом.

Заключение

В статье предложен компенсационный метод определения параметров движения изображений, основанный на итерационной процедуре совмещения изображений. Получены аналитические оценки сходимости и быстродействия метода для плоско-параллельного движения и поворота в плоскости движения изображения, позволяющие существенно расширить область сходимости по начальным данным и уменьшить количество итераций итерационного процесса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Horn B., Schunck B. Determining Optical Flow// Artificial Intelligence 17. - 1981. - P. 185-203.

2. BlackM.J., Anandan P. A framework for the robust estimation of optical flow // ICCV’93, May. - 1993. -P. 231-236.

3. Schalkov R.J. Image Motion Analysis Using Concept of Weak Solution to Distributed Parametr Systems // Proc. 1983 IEEE Computer Vision and Pattern Recognition Conf., Washington, DC. - 1983. - P. 232-239.

4. Кузнецов П.К., Семавин В.И. Метод определения параметров движения яркостного поля // Известия вузов. Приборостроение. - 1990. - №6. - С. 26-30.

5. Кузнецов П.К., Семавин В.И., Мишин В.Ю., Владимиров М.В. Метод функциональных преобразований в задаче определения скорости движения яркостных полей/ / Вестник Самарского технического университета. - 1994. - №1. - С. 66-76.

6. Кузнецов П.К., Мартемьянов Б.В., Семавин В.И., Чекотило Е.Ю. Метод определения вектора скорости движения подстилающей поверхности // Вестник Самарского технического университета. Серия Технические науки. - 2008. - № 2(22). - С. 96-110.

7. ВолковЕ.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

Статья поступила в редакцию 1 февраля 2010 г.

UDC 681.518.3

RESEARCH ITERATIVE PROCEDURE CONVERGENCE

FOR COMPUTING IMAGE MOTION PARAMETERS BY FUNCTIONALI

ZATION METHOD

P.K. Kuznesov, E.Yu. Chekotilo, B.V. Martemyanov

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

In this paper, we present an iterative procedure for computing image motion parameters. The proposed procedure is based on a functionalization method for computing velocity of moving objects by image analysis.

Key words: functionalization method, iterative procedure, motion parameters, image.

R,

Р и с. 4. Плоско-параллельное движение. Скорость сходимости итерационного метода и корреляционного метода

Pavel K. Kuznesov - Doctor of Technical Sciences, Professor.

Elena Yu. Chekotilo - Candidate of Technical Sciences.

Boris V. Martemyanov - Candidate of Technical Sciences, Associate professor.