CC BY
11ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ INTEGRATED ELECTRONICS ELEMENTS
УДК 620.3.049.77 DOI: 10.24151/1561-5405-2021-26-6-491-507
Исследование робастности наноэлектронных структур на базе резонансно-туннельных элементов
А.В. Бондарев, В.Н. Ефанов
Уфимский государственный авиационный технический университет, г. Уфа, Россия
Многовходовые логические элементы на базе двухуровневых логических ячеек MOBILE характеризуются малым (пикосекундным) временем переключения и более высокой функциональностью благодаря возможности реализовывать логические функции меньшим количеством элементов. Это создает хорошие перспективы для разработки сверхбыстродействующих ПЛИС с высокой степенью интеграции, необходимых при организации высокопроизводительных вычислений. Однако чрезвычайно высокая чувствительность резонансно -туннельных элементов к изменению энергий квантовых состояний требует оценки устойчивости таких структур к внешним воздействиям в условиях реальной эксплуатации. В работе рассмотрена задача оценки стабильности наноэлектронных структур, в состав которых входят резонансно-туннельные элементы. Предложена методика исследования робастности логических ячеек MOBILE на базе резонансно-туннельного диода и НВТ-транзистора, позволяющая находить внешнюю интервальную оценку выходного напряжения исследуемого устройства при заданных интервальных моделях исходных компонентов. Методика базируется на использовании систем топологических и параметрических уравнений, записанных в конечных приращениях. Показано, что предложенный принцип декомпозиции исходной интервальной модели обеспечивает алгоритмическую разрешимость поставленной задачи. Разработан вычислительный алгоритм расчета процессов в двухуровневой логической ячейке MOBILE. Алгоритм предусматривает поэтапное интегрирование интервальных дифференциальных уравнений и решение интервальных нелинейных алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования с использованием интервальной арифметики Каухера. Полученные результаты исследования процессов в двухуровневой логической ячейке MOBILE создают предпосылки для расширения области применения устройств резонансного туннелирования в высокоскоростных монолитных ИС.
© А.В. Бондарев, В.Н. Ефанов, 2021
Ключевые слова: наноэлектронные структуры; резонансно-туннельный диод; двухуровневая логическая ячейка; интерполяционная формула; структурно-параметрическая модель; интервальный анализ; вычислительный алгоритм
Для цитирования: Бондарев А.В., Ефанов В.Н. Исследование робастности нано-электронных структур на базе резонансно-туннельных элементов // Изв. вузов. Электроника. 2021. Т. 26. № 6. С. 491-507. DOI: https://doi.org/ 10.24151/15615405-2021-26-6-491-507
Investigation of Robustness of Nanoelectronic Structures Based on Resonant Tunneling Elements
A.V. Bondarev, V.N. Efanov
Ufa State Aviation Technical University, Ufa, Russia [email protected]
Abstract: Multi-input logic gates based on two-level logic cells MOBILE have short (picosecond) switching times and higher functionality due to the ability to implement logic functions with fewer gates. This creates good prospects for the development of ultra-high-speed FPGAs with a high degree of integration, which are required for organizing high-performance computing. However, the extremely high sensitivity of resonant tunneling elements to changes in the energies of quantum states requires an assessment of the stability of such structures to external influences in real operation. In this work, the problem of assessing the stability of nanoelectronic structures that include resonant tunneling elements is considered. The method for studying the robustness of logic cells MOBILE based on a resonant tunneling diode and an НВТ transistor was proposed, making it po ssible to find an external interval estimate of the output voltage of the device under study for given interval models of the initial components. The technique is based on the use of systems of topological and parametric equations written in finite increments. It was shown that the proposed decomposition principle for the initial interval model ensures the algorithmic solvability of the problem posed. A computational algorithm for calculating processes in a two-level logical cell MOBILE has been developed. The algorithm provides for step-by-step integration of interval differential equations and solution of interval nonlinear algebraic equations at each step of integration using Kaucher interval arithmetic. The obtained results of the study of processes in a two-level logic cell MOBILE create prerequisites for expanding the field of application of resonant tunneling devices in high-speed monolithic integrated circuits.
Keywords: nanoelectronic structures; resonant tunneling diode; two-level logic cell; interpolation formula; structural parametric model; interval analysis; computational algorithm
For citation: Bondarev A.V., Efanov V.N. Investigation of robustness of nanoelectronic structures based on resonant tunneling elements. Proc. Univ. Electronics, 2021, vol. 26, no. 6, pp. 491-507. DOI: https://doi.org/ 10.24151/1561-5405-2021-26-6-491-507
Введение. Разработка устройств на основе наноэлектронных структур относится к актуальной и динамично развивающейся области науки. Интерес к этой области связан как с принципиально новыми фундаментальными научными проблемами и физическими явлениями, так и с перспективами создания на основе уже открытых явлений новых квантовых устройств и систем с широкими функциональными возможностями. Использование приборов, в функционировании которых квантовые эффекты играют ключевую роль, позволяет значительно повысить производительность вычислительных систем, увеличить пропускную способность каналов связи, резко увеличить информационную емкость и качество систем отображения информации с одновременным снижением энергозатрат; существенно повысить чувствительность сенсорных устройств и расширить спектр измеряемых величин; создать высокоэкономичные твердотельные осветительные приборы; увеличить удельный вес использования электронных и оптоэлектронных компонентов в медицинских, биологических, химических, машиностроительных и других технологиях [1-6].
Элементная база, основанная на использовании разнообразных низкоразмерных структур, является наиболее перспективной для электронной техники нового поколения. Однако при переходе к системам нанометрового диапазона начинает отчетливо проявляться квантовомеханическая природа квазичастиц в твердом теле. В результате возникает ряд проблем при использовании наноэлектронных структур в радиоэлектронных системах. Эти проблемы в основном связаны как с конструированием таких структур, так и с обеспечением работоспособности подобных устройств в условиях реальной эксплуатации [7, 8]. Электронные системы должны работать при низких или высоких температурах, при наличии вибрации и воздействии электромагнитных полей и т.д. В связи с этим ставится задача оценки работоспособности наноэлектронных устройств при изменении внешних воздействий в широком диапазоне. Такая оценка должна проводиться на всех этапах разработки устройства, в том числе при его схемотехническом проектировании.
Анализ физических процессов в наноэлектронных структурах, построенных на основе резонансно-туннельных элементов. Физические процессы в резонансно-туннельных диодах (РТД) и резонансно-туннельных транзисторах основаны на эффекте туннелирования носителей электрического заряда через потенциальный барьер. При этом туннелирование в наноэлектронных структурах имеет особенности, связанные с волновыми свойствами носителей и квантованием их энергетических состояний. В связи с этим туннелирование носителей в наноструктурах зависит не только от параметров потенциальных барьеров, но и от разрешенных энергетических состояний для носителей в этих структурах. Если уровень Ферми инжектирующего электрода совпадает с дискретным уровнем структуры, ограниченной барьерами, наблюдается резкий рост туннельного тока (явление резонансного туннелирования). Если нижний дискретный уровень квантовой ямы смещается в область энергий, соответствующую запрещенной зоне эмиттера РТД, то на ВАХ появляется область с отрицательным дифференциальным сопротивлением [9, 10]. На рис.1 приведена ВАХ РТД. Это туннельная структура, состоящая из последовательных квантовых колодцев, которые разделены потенциальными барьерами. Обычно используется структура с одним колодцем и двумя барьерами, так как при большем числе колодцев трудно согласовать резонансный перенос электронов. Двухбарьерная структура обычно изготавливается из сверхрешеток GaAs/AlGaAs. Электроды и квантовый колодец формируются из GaAs, а барьеры - из соединения GaAlAs.
ВАХ содержит три различные рабочие области: с положительным дифференциальным сопротивлением PDR-1, PDR-2 и отрицательным дифференциальным сопротивлением NDR. Две области PDR являются стабильными рабочими областями, а область NDR мета-стабильна [11, 12]. Приборы, которые имеют участок отрицательного дифференциального сопротивления, называются «негатроны». В негатронах для каждого значения тока имеются два определенных стабильных значения напряжения. На рис.1 для тока I1 это напряжения U1 и U2. Состояние РТД при напряжении U1 считается низкоомным, или «открытым», состояние U2 является высокоомным, или «закрытым». Переключение таких схем обеспечивается благодаря разности пиковых токов РТД, что при подаче напряжения смещения приводит к «выключению» РТД с малым током, а РТД с большим током остается в «открытом» состоянии.
Существенная нелинейность ВАХ негатронов определяет следующие преимущества приборов этого класса [13, 14]:
- малое (пикосекундное) время переключения;
- более высокая функциональность РТД по сравнению с традиционными элементами за счет возможности реализовывать аналогичные функции меньшим количеством элементов.
Однако наличие внутренней нестабильности и возможность спонтанной генерации электрических колебаний приводят к тому, что электрические схемы, которые построены только на негатронах, неустойчивы. Проблема устойчивости решается за счет использования двухуровневой логической ячейки MOBILE (MOnostable-to-Blstabletransition Logic Element) [15, 16]. В простейшем случае такая ячейка содержит два последовательно соединенных РТД (пара Гото) или комбинацию двухполюсного РТД и трехполюсных НЕМТ- и НВТ-транзисторов.
В паре Гото (рис.2,а) один РТД (RTD1) выполняет функции нагрузки, а второй РТД (RTD2) - активного элемента. Управляя пиковым током активного РТД, можно получать на выходе пары Гото, либо стабильный низкий уровень, либо стабильный высокий уровень. В инверторе на основе НЕМТ-транзистора с РТД-нагрузкой (рис.2,6) бистабильная конфигурация возникает, если Ubias в два раза превышает пиковое напряжение. Это приводит к двум самостабилизирующимся состояниям цифрового выхода. Если Uin соответствует «1» и транзистор открывается, то РТД переходит в высокоомное состояние, т.е. на вторую восходящую ветвь ВАХ, и выходное напряжение становится низким. При подаче «0», т.е. при закрывании транзистора, РТД переключается в низко-омное состояние и выходное напряжение становится высоким. На базе стандартных ячеек MOBILE созданы сверхбыстродействующие многовходовые логические элементы [17, 18]. Их функциональные возможности позволяют реализовать любую логическую функцию за счет расширения базовой конфигурации как последовательными, так и параллельными блоками. На рис.2,в показана схема двухвходового порогового вентиля для выполнения пороговых логических функций.
Рис.1. ВАХ двухбарьерной структуры Fig.1. Current-voltage characteristic of the double-barrier structure
а б в
Рис.2. Двухуровневые логические ячейки MOBILE: а - пара Гото; б - комбинация РТД и НЕМТ-транзистора; в - многовходовый логический элемент Fig.2. Two-level logical cells MOBILE: a - Goto pair; b - a combination of RTD and HEMT transistor; c - multi-input logic element
Разработанные логические элементы MOBILE служат базой для создания ПЛИС, которые имеют малую потребляемую мощность и малые топологические размеры при больших плотностях токов. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к использованию ПЛИС с высокой степенью интеграции в различных отраслях техники, особенно там, где требуется организация высокопроизводительных вычислений. Отметим, что реальная производительность многопроцессорных систем, которые объединяют микропроцессоры с традиционной архитектурой, часто не превышает 10-15 % от заявленной пиковой производительности. Это происходит из-за необходимости реализации множества процедур межпроцессорного обмена, а также синхронизации последовательных процессов, выполняемых в процессорах системы. Основная причина этого -несоответствие между жесткой архитектурой вычислительных систем и информационной структурой задач. Данный недостаток позволяет устранить способ построения вычислительной системы с гибкой динамически программируемой архитектурой, подстраиваемой под информационную структуру конкретной задачи. Ранее практическое внедрение данной концепции сдерживалось отсутствием необходимой для реализации реконфигурируемой архитектуры элементной базы. Такая возможность появляется при использовании ПЛИС, конфигурацию которых можно менять, адаптируя тем самым вычислительную систему для решения конкретного типа задач. В связи с этим аппаратная реализация системы обеспечения параллельного выполнения программ SWARM, которая разрабатывается в рамках программы DARPAUHPC и предназначена для поддержки времени выполнения в больших гетерогенных вычислительных системах, предусматривает использование ПЛИС. ПЛИС являются основой одного из самых высокопроизводительных суперкомпьютеров с изменяемой конфигурацией Novo-G (Флоридский университет, США). Novo-G насчитывает в общей сложности 192 вентильные матрицы AlteraStratix-IIIE260, каждая из которых содержит 768 умножителей (18^18), 254 тыс. логических элементов, 204 тыс. регистров и имеет 4,25 Гб памяти. Еще один характерный пример многофункциональной реконфигурируемой системы на базе ПЛИС - система ConveyHC-1ex компании ConveyComputer. Для перепрограммирования пользователю доступны четыре платы для выполнения пользовательских про-
грамм (Application Engines, AE), в которые можно либо загружать собственную прошивку, либо использовать одно из специализированных приложений (финансовый анализ, биоинформатику, распознавание речи, графовые задачи и др.).
Для широкого внедрения ПЛИС на базе резонансно-туннельных приборов необходимо обеспечить их стабильную работу в широком диапазоне внешних воздействий. Резонансное туннелирование чрезвычайно чувствительно к изменению энергий квантовых состояний в наноструктурах. При этом энергии квантовых состояний определяются распределением концентрации носителей тока. Низкоразмерные системы, используемые в резонансно-туннельных приборах, являются открытыми системами с переменным числом частиц. В таких системах термодинамическое равновесие устанавливается путем обмена частиц между туннельно-связанными электронными системами. Существенное влияние различных внешних факторов на процессы квантового транспорта в наноструктурах приводит к значительному разбросу их характеристик. В работах [19, 20] показано, как технологические погрешности конструктивных параметров резонансно-туннельных приборов, в частности время термического отжига, влияют на изменение ВАХ РТД. В работе [21] приводится спектр ВАХ 130 изготовленных РТД, при этом положение пиков и их высота на каждой характеристике существенно различаются. Существующие методы анализа чувствительности позволяют оценить поведение устройств в малой окрестности номинального режима работы. В связи с этим ставится задача анализа робастности радиоэлектронных систем в заданном диапазоне изменения их характеристик. Решение этой задачи позволит оценить диапазон изменения схемотехнических характеристик исследуемых устройств, определяющих условия сохранения работоспособности последних.
Для решения поставленной задачи сформируем обобщенную структурно-параметрическую модель гибридных радиоэлектронных систем на базе микро- и нано-электронных компонентов с учетом воздействия неопределенных факторов внешней и внутренней среды.
Аналитическая модель резонансно-туннельного диода. Разработку обобщенной структурно-параметрической модели логических ячеек MOBILE начнем с построения модели РТД. В работах [22, 23] приводится имитационная модель РТД, которая состоит из комбинации квантовой емкости C(U) и нелинейного сопротивления R(U) (рис.3).
Квантовая емкость описывает изменение заряда в квантовом колодце. Последовательное сопротивление Rc обусловлено контактным и распределенным сопротивлениями полупроводника. Параметры модели для трех различных областей при типичных смещениях приведены в табл.1.
РТД размером 3*3 мкм обеспечивает соотношение пикового и долинного токов
(PVCR) 5,52 с пиковым током Ip= 11,24 мА и пиковым напряжением Up = 0,8 В. Высокое значение пикового тока при относительно низком пиковом напряжении определяется конструкцией РТД, обеспечивающей равномерное распределение тока.
ВАХ РТД содержит ряд характерных участков, соответствующих положительным и отрицательным значениям дифференциального сопротивления прибора. В связи с этим при построении математической модели РТД используем кусочно-полиномиальную интерполяцию его ВАХ.
Рис.3. Нелинейная модель резонансного туннельного диода для режима больших сигналов
Fig.3. Large-signal-based nonlinear model for a resonant tunneling diode
Таблица 1
Параметры РТД
Table 1
RTD parameters
Область ВАХ Смещение, В R, Ом C, фФ (10-5 Ф)
PDR-1 0,2 255,9 40,8
NDR 1,0 -504,4 69,1
PDR-2 1,3 132,1 43,8
Для обеспечения высокой точности описания ВАХ РТД необходимо задавать большое количество узлов интерполяции. При использовании классических интерполяционных формул Ньютона, Бесселя, Стирлинга и т.д. это приводит к необходимости оперировать с интерполяционными полиномами высоких порядков. Как показывают исследования, в этом случае интервал равномерной сходимости интерполяционных полиномов к интерполируемой функции существенно сокращается. Отсутствие равномерной сходимости говорит о том, что задача интерполяции становится некорректной в смысле Адама-ра. Вследствие этого незначительная модификация исходных данных может привести к значительному изменению результата интерполяции. Указанное противоречие можно устранить с помощью кусочно-полиномиальной интерполяции, когда исходный отрезок [а, Ь] разбивается на меньшие отрезки, на каждом из которых используется свой полином малой степени.
В настоящей работе будем использовать кубические сплайны. Исходная ВАХ 1(Ц) показана на рис.4,а. Эта характеристика получена при комнатной температуредля РТД со структурой InAs/In0,53Ga0,47As/AlAs на подложке из № (3*3 мкм) [22].
. /
_I_I_
1,2 1,4 U, В
Рис.4. Экспериментальная ВАХ РТД (а) и результат ее интерполяции (б) Fig.4. Experimental current-voltage characteristics of the RTD (a) and result of interpolation (b)
Для интерполяции выберем интервал по напряжению от 0,1 до 1,6 В. Данный интервал разобьем на 16 отрезков с шагом 0,1:
a = 0,1 = х0 <х <... <х4 <х15 = b = 1,6. (1)
Значения тока ik = IЩ), k = 0,1,..., n, найденные в узлах интерполяции, приведены в табл.2.
Таблица 2
Исходные данные для интерполяции ВАХ РТД
Table 2
Initial data for current-voltage characteristics of the RTD
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Uk, В 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
ik, мА 0,5 1,1 2,4 3,8 5,7 7,6 9,4 11 6,8 4,2 2,8 2,2 2,0 2,9 4,4 6,2
На каждом отрезке [и^, щ], k = 1,2, ...,15 , необходимо найти сплайн-функцию s (и) = s (и), которая удовлетворяет следующим условиям:
1) является кубическим многочленом на каждом отрезке [щ 1, щ ], к = 1, 2,..., 15;
2) непрерывна на отрезке [0,1; 1,6], как и ее первая и вторая производные;
3) имеется совпадение в узлах интерполяции: s(uk ) = 1(щ ), к = 0,1, 2,...,15 . Функция s(u ), которая удовлетворяет условиям 1-3, представляет собой полином
третьей степени:
с d
sk (и) = ak + Ьк (и - щ ) + (и - щ )2 (и - щ )3, (2)
2 6
< и < щ, к = 1,2, ...,15,
где a, Ь, С, d - коэффициенты полинома, которые необходимо найти. Коэффициенты с удовлетворяют следующей системе уравнений:
Со = С^ = 0 ,
hkck-, + 2(hk + hkck-, + 2(hk + hk+l)ck + hk+lck+l = 6^ - к = 1,2,...,14, (3)
K+i к
здесь hk = Щ - uk-1.
Система уравнений (3) имеет единственное решение, так как матрица коэффициентов трехдиагональная. После нахождения коэффициентов c оставшиеся коэффициенты определяются по следующим формулам:
ak = I(щ ); dk = ck - c 1 -1, (4)
hk
h h2 i - i b = ÏLc. -^d + ; k = 1,2,..., 15.
k 2 k 6 k h
Результаты расчетов приведены в табл.3. Результат кусочно-полиномиальной интерполяции ВАХ кубическими сплайнами представлен на рис.4,6.
Таблица 3
Коэффициенты интерполяционных полиномов
Table 3
Coefficients of interpolation polynomials
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ak 1,1 2,4 3,8 5,7 7,6 9,4 11 6,8 4,2 2,8 2,2 2 2,9 4,4
bk -1,5 1,1 0,9 -3,2 -3 3,6 2,3 -0,2 2,7 1,8 1,5 0,9 -1,5 0,2
Ck 3,8 0,5 -0,7 -20 21 -4,6 -8,5 5,7 1,5 -5,7 5,4 -6,4 2,3 -0,1
dk -1,8 -0,5 -32 69 -21 -13 5,3 -3,5 -12 2,9 -7,9 4,8 -1 0,04
Структурно-параметрическая модель инвертора на основе НВТ-транзистора с РТД-нагрузкой. Используя полученный результат, построим обобщенную структурно-параметрическую модель для оценки робастности логических ячеек MOBILE. Методику исследования робастности логических ячеек MOBILE рассмотрим на примере инвертора, в состав которого входят последовательно соединенные РТД и НВТ-транзистор. Высокочастотные HBT-транзисторы из InP широко используются для разработки высокоскоростных аналоговых, цифровых и интегральных схем со смешанными сигналами [24]. Эквивалентная схема этой ячейки представлена на рис.5,а. Схема содержит модель РТД и модель Эберса - Молла для НВТ-транзистора. Этот нелинейный реактивный многополюсник можно описать с помощью системы нелинейных дифференциальных уравнений. Для обеспечения выполнения условий алгоритмической разрешимости такой системы уравнений проведем топологический и параметрический анализы эквивалентной схемы. Построим топологический граф многополюсника (рис.5,б) и найдем основные топологические матрицы: А - матрицу главных сечений, В - матрицу главных контуров:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 -1 0 1 0 1 А = 00100 0 -1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1
00001 0 00 -1 -1
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 -1 0 1 0 1 В = 00100 0 -1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1
00001 0 00 -1 -1
5
5
V
III
и
а
о
Рис. 5. Топологический анализ инвертора: а - эквивалентная схема инвертора;
б - топологический граф многополюсника Fig.5. Topological analysis of the inverter: a - the equivalent circuit of the inverter; b - topological graph of a multipole
Систему топологических уравнений запишем относительно векторов отклонений А/ и А и токов и напряжений в возмущенном режиме 1о, ио от их значений /п, ип в номинальном режиме работы:
AM = 0; BДU = 0.
(5)
Выделим в составе векторов А/ и Аи составляющие, которые соответствуют следующим типам ветвей: реактивным (емкостным) ребрам, линейным резистивным ребрам, нелинейным резистивным хордам, линейным резистивным хордам. Упорядоченные подобным образом векторы А/ и А и принимают вид
А1 = [[;мр;Мхн ;Ыхк ], Аи = [[; М!%; Аир; Шрк ].
При этом топологическим матрицам соответствует следующая блочная форма записи:
А =
0 ! Атт \ А,
Ас 1
I I —-н—-Т I AR I AR
1 | | AR
В =
т 1 о 1 ян 1 я
1 | и | £>с | nR --1-- +--р н--ТГ
0 1 / 1 В 1 В
| | "С | -"я
я
В результате проведенной декомпозиции система топологических уравнений (5) разбивается на четыре группы уравнений:
AIc =-A^ дН - a; MIX,
T-X
АяД я ar mir ,
дия =-вя ди; - Br- ди;,
диХ = -BR ди; - BR ди;.
Объединение векторов отклонений напряжений и токов для линейных резистивных ветвей позволяет сформировать следующую гибридную систему уравнений:
м; = - Ach мхн +
[0! - a; ]
ди д1Х
дин =-BHди; + [-BRH ¡о]
ди
Mt
д их ] ~-B_l - ди; + " 0 ] д/х 4 [-BR 0 ]
MI ] 0 AH 0 -ar ar
ди
дх
(6)
(7)
(8)
Далее получим параметрические уравнения для электрических ветвей эквивалентной схемы инвертора с учетом конечных приращений их параметров. Эти уравнения находятся на основе анализа возмущенных состояний, которые вызваны воздействием внешних и внутренних факторов.
Для линейного резистора ид(^) = уравнение возмущенного состояния имеет
вид
пк () + Д пк () = (Я + АР)[/й (*) + Агк (()] = = Я1К ^) + АРЯ ^) + ЯДя ^) + АРА^д ^). В результате уравнение в отклонениях будет следующим:
Д ик (() = ЕП + Ар к ),
(9)
где Е'П* = АЯ1К (V) - интервально заданный независимый источник напряжения;
Яечи е [Я + АЯ; Я - АЯ] - эквивалентное интервально заданное значение сопротивления резистора для возмущенного режима.
Аналогично для резистора, который задан своей проводимостью, уравнение в отклонениях имеет вид
А/д (t) = Jn + Yequ А uR (t).
(10)
Для нелинейных резисторов и нелинейных емкостей воспользуемся параметрическими уравнениями в отклонениях, которые получены в работах [25, 26]:
А uH (t) = EHd + ZeqU (Агн, Jdep ), Aic (t) = JCd + JCP (Auc ) + YCqu (Auc) + Cequ (Auc )
d Auc dt
(11) (12)
где Е- интервальный независимый источник напряжения; (ая ,Тйер ) - нелинейное сопротивление; ^ - зависимый (управляемый током) источник тока; ТЩ* - независимый источник тока; (Аис) - зависимый интервальный источник тока; уем(Аис ) - эквивалентная, нелинейная и интервальная, проводимость; Сщи (Аис ) - эквивалентная, нелинейная и интервальная, емкость.
Используя выражения (9)-(12), сформируем векторы приращений токов для емкостных ребер, приращений напряжений для нелинейных резистивных хорд, приращений токов и напряжений для линейных резистивных ребер и хорд:
AIP = JC+JC [auc ) + YC (AUC)+Cp (AUC ) AUH = EH + Zx (AIH ),
d AUp dt
"A UX' " ER' " 0 \ RX" "A UP ~
+ — _|---
_MP _ [ Jp _ J i 0 _ [AiRX _
(13)
(14)
(15)
где Тр, Т (аир ), Ур(Аир ) - векторы-столбцы независимых и зависимых источников тока, а также нелинейных проводимостей; Ср (Аир) - диагональная матрица эквивалентных емкостей; Ея, ^ (ая) - векторы-столбцы независимых источников напряжения и нелинейных сопротивлений; ЕХ, ТРК - векторы-столбцы независимых источников напряжения и тока; Ях, Ур - диагональные матрицы сопротивлений и
проводимостей.
Подставим (13), (14), (15) соответственно в (6), (7), (8):
+ ТР (Аир )+ (Аир) + Ср (Аир ) -
dt
- ACH AIH + [ 0 \ - AC
AU AIX
ЕН + Zx (MH ) = -BHAUP + [-BRH \ 0]
AU}
aiX
- BR
После преобразования получим
" E_' ' 0 \R_" ! 0 i _ "AUP"
_ JP _ \ [AIX _
AUP + " 0 " - AR _ ax _ AIX + -bR 0 0 "- AR ar
Щ MX
dAUP- = FCP (AUP) + VC MX + VC dt
AUP
R
MX_
+vCJpc„
Zx (MX ) = -BH AUCP +[-BX ¡0]
AU AIX
E
BR ' Rx_
YP Ur
AU1 MX
-BR
AUP ^
-AR
AIX -
H -
J,
Н j
■Х "
'Я Р
(16)
(17)
(18)
В (16)
FP
\AUP) = [Cp (AUP)]-1 [JP (AUP )+ YP(AUCP)]; VXC =-[Cp (AUP )]" AC; Cp (AUP )]-1 [0 I - ARC ]; V3C =[Cp (AUP)]" JP .
VC = V 2
Таким образом, структурно-параметрическая модель (16)-(18) рассматриваемого устройства представляет собой совокупность интервальных обыкновенных дифференциальных уравнений, интервальных нелинейных и линейных алгебраических уравнений. Алгоритмическая разрешимость полученной модели обусловлена ее структурой, которая допускает поэтапное интегрирование дифференциальных уравнений и решение нелинейных алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования. При этом искомые параметры A = [AUP; AUP; AIX; AIX ] - интервальные функции Ае A; A . В связи с этим ставится задача оценивания области значений этих параметров A . Эта область задается следующим множеством: range (A; S) = |A e s}. Как следует из [27], вычисление интервальных расширений коэффициентов A на основе только границ интервалов вектора S позволяет получить лишь интервальную оболочку, которая является внешней интервальной оценкой этих коэффициентов. Качество такой оценки определяется следующими неравенствами:
dist (range (A,; S), A, ft)) < y|| wid ^, у > 0,
wid A ft) <51wid ^ , 5 > 0, где dist ftl3 ) - хаусдорфово расстояние между интервалами ^ = ^, ^ и = , ,
которое определяется как dist(^, £2) = maxЦ^-£21,; wid= - ширина соответствующего интервала.
Основная причина расширения интервальных оценок заключается в том, что стандартная интервальная арифметика является коммутативной полугруппой, в которой вместо дистрибутивного закона выполняется субдистрибутивный. Для устранения подобного недостатка предлагается использовать более широкую и полную алгебраическую систему, которая получила название интервальной арифметики Каухера [28]. Арифметика Каухера является группой по сложению и условно полной решеткой по умножению. С учетом сказанного последовательность вычислительных операций задается следующим алгоритмом:
Шаг 1. Полагаем ^ = 0 и l = 0. Задаем начальные приближения искомых параметров.
Шаг 2. Используя правила арифметики Каухера, находим внешнюю интервальную оценку производных:
тX
d-AUp = FP (AUR) + VC MH + V2C
dt
AIX
+ VCJPc
Шаг 3. Находим интервальное расширение вектора:
AUp = AUp +
dAUp А
-— х A,
dt
где А - шаг интегрирования.
Шаг 4. Решаем нелинейную интервальную систему, используя метод конфигураций, который является методом нулевого порядка и не требует вычисления интервальных производных:
Zx (AIX ) = - BH AURP +[-BH 0]
AUr
AIX
E
Шаг 5. Решаем линейную интервальную систему, используя хорошо апробированный интервальный метод Гаусса:
B
,R |
R
I RX
Y ' AR
yp | ar
AUj
AIX
-BR 0
A UP +
0
-AR
AIX -
J;
Шаг 6. Принимаем I = I +1, ^ = ^ + А.
Шаг 7. Процесс закончен? Если «да», идем к шагу 8, иначе - к шагу 2. Шаг 8. Конец.
Результаты расчета интервала изменения выходного напряжения инвертора представлены на рис.6.
Рис. 6. Разброс уровней выходного напряжения инвертора в режиме переключения Fig. 6. The spread of the output voltage levels of the inverter in switching mode
Заключение. Предложенный метод исследования устойчивости наноэлектронных структур позволяет расширить диапазон использования устройств, основанных на квантовых эффектах, в различных технических приложениях. Предварительный анализ работоспособности резонансно-туннельных гетероструктур, изучение особенностей их динамического поведения и реакции на внешние воздействия показали, что можно снизить затраты на расчетно-теоретические работы при создании структурной схемы изделия, обеспечивающей его работу в реальных условиях эксплуатации.
Разработанные интервальные математические модели для базового набора элементов резонансно-туннельных гетероструктур позволяют оценить весь диапазон изменения характеристик исследуемых устройств и избежать перебора всех возможных комбинаций параметров при поиске оптимального варианта. Полученные вычислительные алгоритмы расчета процессов в двухуровневой логической ячейке MOBILE создают предпосылки для расширения области применения устройств резонансного туннелиро-вания в высокоскоростных монолитных ИС.
Литература
1. Yamakura H., Suhara M. Proposal of bow-tie antenna-integrated resonant tunneling diode transmitter utilizing relaxation oscillations and its application to short-distance wireless communications // J. Infrared Milli Terahz Waves. 2018. Vol. 39. P. 1087-1111. DOI: https://doi.org/10.1007/s10762-018-0518-y
2. Fukuoka M., Asakawa K., Suhara M. Analysis of phase mode variation due to bias voltage in arrayed oscillators using resonant tunneling diodes integrated with bow-tie antennas // 2018 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS-Toyama). Toyama: IEEE, 2018. P. 2461-2466. DOI: https://doi.org/10.23919/ PIERS.2018.8597876
3. Lee J., Choi S., Lee J., Yang K. 40 Gb/s low-power 4:1 multiplexer based on resonant tunneling diodes // IEEE Trans. Nanotechnol. 2012. Vol. 11. No. 5. P. 890-895. DOI: https://doi.org/10.1109/TNAN0.2012. 2204768
4. Hu X., Feng G., Duan S., Liu L. Multilayer RTD-memristor-based cellular neural networks for color image processing // Neurocomputing. 2015. Vol. 162. P. 150-162. DOI: https://doi.org/10.1016/j.neucom. 2015.03.057
5. Toward mobile integrated electronic systems at THz frequencies / P. Hillger, M. Van Delden, U.S.M. Thanthrige et al. // J. Infrared Milli Terahz Waves. 2020. Vol. 41. No. 7. P. 846-869. DOI: https://doi.org/10.1007/s10762-020-00699-x
6. Area-efficient series-connected resonant tunneling diode pair as binary neuron in cellular neural network / J. Lee, S. Choi, S.-Y. Kim et al. // IEEE Electron Device Letters. 2020. Vol. 41. Iss. 9. P. 1308-1311. DOI: https://doi.org/10.1109/LED.2020.3008164
7. Lee K., Jeong Y. Temperature-dependent characteristics of a RTD-based microwave push-push oscillator // Microwave and Optical Technology Letters. 2018. Vol. 60. P. 803-805. DOI: https://doi.org/10.1002/ mop.31060
8. Gamma-induced degradation effect of InP HBTs studied by Keysight model / J. Zhang, L. Cao, M. Liu et al. // Nuclear Science and Engineering. 2020. Vol. 195. Iss. 2. P. 173-184. DOI: https://doi.org/ 10.1080/00295639.2020.1798679
9. Ткалич В.Л., Макеева А.В., Оборина Е.Е. Физические основы наноэлектроники: учеб. пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. 83 с.
10. Investigation of switching time in GaN/AlN resonant tunneling diodes by experiments and P-SPICE models / W.-D. Zhang, T.A. Growden, D.F. Storm et al. // IEEE Transactions on Electron Devices. 2020. Vol. 67. No. 1. P. 75-79. DOI: https://doi.org/10.1109/TED.2019.2955360
11. Shin-Ya H., Suhara M., Asaoka N., Naoi M. Implementation of physics-based model for current-voltage characteristics in resonant tunneling diodes by using the Voigt function // IEICE Transactions on Electronics. 2010. Vol. E93.C. Iss. 8. P. 1295-1301. DOI: https://doi.org/10.1587/transele.E93.C1295
12. DalBosco A.K., Suzuki S., Asada M., Minamide H. Feedback effects and nonlinear dynamics in resonant tunneling diodes // 2018 43rd International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz). Nagoya: IEEE, 2018. P. 1-2. DOI: https://doi.org/10.1109/IRMMW-THz.2018.8510286
13. Resonant tunneling diode terahertz sources with up to 1 mW output power in the J-band / A. Al-Khalidi, Kh.H. Alharbi, J. Wang et al. // IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology. 2020. Vol. 10. No. 2. P. 150-157. DOI: https://doi.org/10.1109/TTHZ.2019.2959210
14. InGaAs/AlAs resonant tunneling diodes for THz applications: an experimental investigation / S.G. Muttlak, O.S. Abdulwahid, J. Sexton et al. // IEEE Journal of the Electron Devices Society. 2018. Vol. 6. P. 254-262. DOI: https://doi.org/10.1109/JEDS.2018.2797951
15. Quintana J.M., Avedillo M.J., Nunez J., Pettenghi Roldan H. Operation limits for RTD-based MOBILE circuits // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2009. Vol. 56. No. 2. P. 350-363. DOI: https://doi.org/10.1109/TCSI.2008.925943
16. Maezawa K., Sugiyama H., Kishimoto S., Mizutani T. 100 GHz operation of a resonant tunneling logic gate MOBILE having a symmetric configuration // 2006 Int. Conf. Indium Phosphide and Related Materials. Princeton, NJ: IEEE, 2006. P. 46-49. DOI: https://doi.org/10.1109/ICIPRM.2006.1634108
17. Nikodem М. Synthesis of multithreshold threshold gates based on negative differential resistance devices // IET Circuits, Devices & Systems. 2013. Vol. 7. Iss. 5. P. 232-242. DOI: https://doi.org/10.1049/iet-cds.2012.0368
18. Yao Mq., Yang K., Shen Jz., Xu C. Function synthesis algorithm based on RTD-based three-variable universal logic gates // Frontiers Inf. Technol. Electronic Eng. 2017. Vol. 18. P. 1654-1664. DOI: https://doi.org/ 10.1631/FITEE.1601730
19. Cherkasov K.V., Meshkov S.A., Makeev M.O. Application of computer statistical experiment for studying resonant-tunneling diode parameter reproducibility under batch production conditions // 2018 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). Sochi: IEEE, 2018. P. 1-4. DOI: https://doi.org/ 10.1109/RUSAUTOCON.2018.8501823
20. Analysis of the eight parameter variation of the resonant tunneling diode (RTD) in the rapid thermal annealing process with resistance compensation effect / F. Zhao, Y. Wang, W. Guo et al. // AIP Advances. 2020. Vol. 10. Iss. 3. Art. ID: 035103. DOI: https://doi.org/10.1063/L5133899
21. Resonant-tunnelling diodes as PUF building blocks / I.E. Bagci, Th. McGrath, Ch. Barthelmes et al. // IEEE Transactions on Emerging Topics in Computing. 2021. Vol. 9. Iss. 2. P. 878-885. DOI: https://doi.org/ 10.1109/TETC.2019.2893040
22. Time-domain analysis of large-signal-based nonlinear models for a resonant tunneling diode with an integrated antenna / K. Asakawa, Y. Itagaki, H. Shin-Ya et al. // IEICE Transactions on Electronics. 2012. Vol. E95.C. Iss. 8. P. 1376-1384. DOI: https://doi.org/10.1587/transele.E95.C.1376
23. Accurate small-signal equivalent circuit modeling of resonant tunneling diodes to 110 GHz / R. Morariu, J. Wang, A.C. Cornescu et al. // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2019. Vol. 67. No. 11. P. 4332-4340. DOI: https://doi.org/10.1109/TMTT.2019.2939321
24. EM simulation assisted parameter extraction for transferred-substrate InP HBT modeling / T. Johansen, R. Doerner, N. Weimann et al. // International Journal of Microwave and Wireless Technologies. 2018. Vol. 10. Sp. iss. 5-6. P. 1-9. DOI: https://doi.org/10.1017/S1759078718000636
25. Бондарев А.В., Ефанов В.Н. Принципы формирования математической модели наноэлектронных компонентов квантовых вычислительных комплексов с мемрезистивными ветвями // Системы управления и информационные технологии. 2020. № 1 (79). С. 4-10.
26. BondarevA.V., Efanov V.N. Dynamic mode of the mathematical model of an electric multipole with memresistive branches in conditions of interval uncertainty // 2020 IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2020. Vol. 976 (1). Art. ID: 012013. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/976/1/012013
27. Alefeld G., Mayer G. Interval analysis: theory and applications // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 121. P. 421-464. DOI: https://doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00342-3
28. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Fundamentals of Numerical Computation (Computer-Oriented Numerical Analysis) / eds. G. Alefeld, R.D. Grigorieff. Wien: Springer, 1980. P. 33-49. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-8577-3_3
Поступила в редакцию 11.05.2021 г.; после доработки 09.07.2021 г.; принята к публикации 11.10.2021 г.
Бондарев Андрей Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры технологии призводства летательных аппаратов Уфимского государственного авиационного технического университета (Россия, 450008, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12), [email protected]
Ефанов Владимир Николаевич - доктор технических наук, профессор кафедры электроники и биомедицинских технологий Уфимского государственного авиационного технического университета (Россия, 450008, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12), [email protected]
References
1. Yamakura H., Suhara M. Proposal of bow-tie antenna-integrated resonant tunneling diode transmitter utilizing relaxation oscillations and its application to short-distance wireless communications. J. Infrared Milli Terahz Waves, 2018, vol. 39, pp. 1087-1111. DOI: https://doi.org/10.1007/s10762-018-0518-y
2. Fukuoka M., Asakawa K., Suhara M. Analysis of phase mode variation due to bias voltage in arrayed oscillators using resonant tunneling diodes integrated with bow-tie antennas. 2018 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS-Toyama). Toyama, IEEE, 2018, pp. 2461-2466. DOI: https://doi.org/10.23919/ PIERS.2018.8597876
3. Lee J., Choi S., Lee J., Yang K. 40 Gb/s low-power 4:1 multiplexer based on resonant tunneling diodes. IEEE Trans. Nanotechnol., 2012, vol. 11, no. 5, pp. 890-895. DOI: https://doi.org/10.1109/ TNAN0.2012.2204768
4. Hu X., Feng G., Duan S., Liu L. Multilayer RTD-memristor-based cellular neural networks for color image processing. Neurocomputing, 2015, vol. 162, pp. 150-162. DOI: https://doi.org/10.1016/j.neucom. 2015.03.057
5. Hillger P., Van Delden M., Thanthrige U.S.M., Ahmed A.M., Wittemeier J., Arzi Kh., Andree M., Sievert B., Prost W., Rennings A. et al. Toward mobile integrated electronic systems at THz frequencies. J. Infrared Milli Terahz Waves, 2020, vol. 41, no. 7, pp. 846-869. DOI: https://doi.org/10.1007/s10762-020-00699-x
6. Lee J., Choi S., Kim S.-Y., Lee J., Yang K. Area-efficient series-connected resonant tunneling diode pair as binary neuron in cellular neural network. IEEE Electron Device Letters, 2020, vol. 41, iss. 9, pp. 1308-1311. DOI: https://doi.org/10.1109/LED.2020.3008164
7. Lee K., Jeong Y. Temperature-dependent characteristics of a RTD-based microwave push-push oscillator. Microwave and Optical Technology Letters, 2018, vol. 60, pp. 803-805. DOI: https://doi.org/10.1002/ mop.31060
8. Zhang J., Cao L., Liu M., Liu B., Cheng L. Gamma-induced degradation effect of InP HBTs studied by Keysight model. Nuclear Science and Engineering, 2021, vol. 195, iss. 2, pp. 173-184. DOI: https://doi.org/ 10.1080/00295639.2020.1798679
9. Tkalich V.L., Makeeva A.V., Oborina E.E. Physical foundations of nanoelectronics, study guide. St. Petersburg, ITMO University, 2011. 83 р. (In Russian).
10. Zhang W.-D., Growden T.A., Storm D.F., Meyer D.J., Berger P.R., Brown E.R. Investigation of switching time in GaN/AlN resonant tunneling diodes by experiments and P-SPICE models. IEEE Transactions on Electron Devices, 2020, vol. 67, no. 1, pp. 75-79. DOI: https://doi.org/10.1109/TED.2019.2955360
11. Shin-Ya H., Suhara M., Asaoka N., Naoi M. Implementation of physics-based model for current-voltage characteristics in resonant tunneling diodes by using the Voigt function. IEICE Transactions on Electronics, 2010, vol. E93.C, iss. 8, pp. 1295-1301. DOI: https://doi.org/10.1587/transele.E93.C.1295
12. Dal Bosco A.K., Suzuki S., Asada M., Minamide H. Feedback effects and nonlinear dynamics in resonant tunneling diodes. 2018 43rd International Conference on Infrared, Millimeter, and Terahertz Waves (IRMMW-THz). Nagoya, IEEE, 2018, pp. 1-2. DOI: https://doi.org/10.1109/IRMMW-THz.2018.8510286
13. Al-Khalidi A., Alharbi Kh.H., Wang J., Morariu R., Wang L., Khalid A., Figueiredo J.M.L., Wasige E. Resonant tunneling diode terahertz sources with up to 1 mW output power in the J-band. IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology, 2020, vol. 10, no. 2, pp. 150-157. DOI: https://doi.org/10.1109/ TTHZ.2019.2959210
14. Muttlak S.G., Abdulwahid O.S., Sexton J., Kelly M.J., Missous M. InGaAs/AlAs resonant tunneling diodes for THz applications: an experimental investigation. IEEE Journal of the Electron Devices Society, 2018, vol. 6, pp. 254-262. DOI: https://doi.org/10.1109/JEDS.2018.2797951
15. Quintana J.M., Avedillo M.J., Nunez J., Pettenghi Roldan H. Operation limits for RTD-based MOBILE circuits. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2009, vol. 56, no. 2, pp. 350-363. DOI: https://doi.org/10.1109/TCSI.2008.925943
16. Maezawa K., Sugiyama H., Kishimoto S., Mizutani T. 100 GHz operation of a resonant tunneling logic gate MOBILE having a symmetric configuration. 2006 Int. Conf. Indium Phosphide and Related Materials. Princeton, NJ, IEEE, 2006, pp. 46-49. DOI: https://doi.org/10.1109/ICIPRM.2006.1634108
17. Nikodem M. Synthesis of multithreshold threshold gates based on negative differential resistance devices. IET Circuits, Devices & Systems, 2013, vol. 7, iss. 5, p. 232-242. DOI: https://doi.org/10.1049/iet-cds.2012.0368
18. Yao Mq., Yang K., Shen Jz., Xu C. Function synthesis algorithm based on RTD-based three-variable universal logic gates. Frontiers Inf. Technol. Electronic Eng., 2017, vol. 18, pp. 1654-1664. DOI: https://doi.org/10.1631/FITEE. 1601730
19. Cherkasov K.V., Meshkov S.A., Makeev M.O. Application of computer statistical experiment for studying resonant-tunneling diode parameter reproducibility under batch production conditions. 2018 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). Sochi, IEEE, 2018, pp. 1-4. DOI: https://doi.org/ 10.1109/RUSAUT0C0N.2018.8501823
20. Zhao F., Wang Y., Guo W., Cong J., Tee C.A.T.H., Song L., Zheng Y. Analysis of the eight parameter variation of the resonant tunneling diode (RTD) in the rapid thermal annealing process with resistance compensation effect. AIP Advances, 2020, vol. 10, iss. 3, art. ID: 035103. DOI: https://doi.org/10.1063/L5133899
21. Bagci I.E., McGrath Th., Barthelmes Ch., Dean S., Gavito R.B., Young R.J., Roedig U. Resonant-tunnelling diodes as PUF building blocks. IEEE Transactions on Emerging Topics in Computing, 2021, vol. 9, iss. 2, pp. 878-885. DOI: https://doi.org/10.1109/TETC.2019.2893040
22. Asakawa K., Itagaki Y., Shin-Ya H., Saito M., Suhara M. Time-domain analysis of large-signal-based nonlinear models for a resonant tunneling diode with an integrated antenna. IEICE Transactions on Electronics, 2012, vol. E95.C, iss. 8, pp. 1376-1384. DOI: https://doi.org/10.1587/transele.E95.C.1376
23. Morariu R., Wang J., Cornescu A.C., Al-Khalidi A., Ofiare A., Figueiredo J.M.L., Wasige E. Accurate small-signal equivalent circuit modeling of resonant tunneling diodes to 110 GHz. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2019, vol. 67, no. 11, pp. 4332-4340. DOI: https://doi.org/10.1109/ TMTT.2019.2939321
24. Johansen T., Doerner R., Weimann N., Hossain M., Krozer V., Heinrich W. EM simulation assisted parameter extraction for transferred-substrate InP HBT modeling. International Journal of Microwave and Wireless Technologies, 2018, vol. 10, sp. iss. 5-6, pp. 1-9. DOI: https://doi.org/10.1017/S1759078718000636
25. Bondarev A.V., Efanov V.N. Principles of formation of mathematical model of nano-electronic components of quantum computer complexes with memoresistive branches. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii = Automation and Remote Control, 2020, no. 1 (79), pp. 4-10. (In Russian).
26. Bondarev A.V., Efanov V.N. Dynamic mode of the mathematical model of an electric multipole with memresistive branches in conditions of interval uncertainty. 2020 IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2020, vol. 976 (1), art. ID: 012013. DOI:10.1088/1757-899X/976/1/012013.
27. Alefeld G., Mayer G. Interval analysis: theory and applications. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, vol. 121, pp. 421-464. DOI: https://doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00342-3
28. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR. Fundamentals of Numerical Computation (Computer-Oriented Numerical Analysis), eds. G. Alefeld, R.D. Grigorieff. Wien, Springer, 1980, pp. 33-49. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-8577-3_3
Received 11.05.2021; Revised 09.07.2021; Accepted 11.10.2021.
Andrey V. Bondarev - Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof. of the Aircraft Manufacturing Technology Department, Ufa State Aviation Technical University (Russia, 450008, Ufa, K. Marx st., 12), [email protected]
Vladimir N. Efanov - Dr. Sci. (Eng.), Prof. of the Electronics and Biomedical Technologies Department, Ufa State Aviation Technical University (Russia, 450008, Ufa, K. Marx st., 12), [email protected]
