CC BY
64
www.sibac.mto
Естественные и математические науки в современном мире __________________________________№ 11-12 (35). 2015 г
2.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В ПАКЕТЕ SOLIDWORKS.SIMULATION
Гришечкина Мария Григорьевна
студент Политехнического института Сибирского Федерального Университета, РФ, г. Красноярск E-mail: [email protected]
Колбасина Наталья Анатольевна
канд. техн. наук, преподаватель Политехнического института Сибирского Федерального Университета, РФ, г. Красноярск E-mail: natalya-kolbasina@yandex. ru
RESONANCE FREQUENCY ANALYSIS OF THE DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS OF THE STAFT WITH SOLIDWORKS.SIMULATION
Maria Grishechkina
student of the Polytechnic Institute of the Siberian Federal University,
Russia, Krasnoyarsk
Natalia Kolbasina
candidate of Science, teacher of the Polytechnic Institute of the Siberian Federal University,
Russia, Krasnoyarsk
54
Естественные и математические науки в современном мире № 11-12 (35). 2015 г_____________________________
СибАК
www.sibac.info
АННОТАЦИЯ
В данной работе рассматривается влияние различных принципов разработки расчётной конечно-элементной модели на спектры резонансных частот при исследовании динамических характеристик элементов технических систем. Выявлены различные сочетания граничных условий исключающих разделение форм колебаний. Кроме того, выявлена возможность выделения участка спектра, состоящего из частот, относящихся только к одному виду колебаний.
ABSTRACT
This study examines the effect of various design principles for calculated finite-element model on the ranges of resonant frequencies in the study of the dynamic characteristics for the elements of technical systems. There were revealed various combinations of boundary conditions excluding the sharing of waveforms. Also revealed the possibility for allocating a part of the spectrum consists of frequencies belonging only to one kind of waves was hesitation.
Ключевые слова: резонансные частоты; формы колебаний; конечно-элементные методы; граничные условия; технические системы.
Keywords: resonant frequencies; waveform; finite element methods; boundary conditions; technical systems.
При разработке различных механизмов на этапе проектирования необходимо оценивать динамическое качество изделий. При разработке автоматизированных систем проектирования изделий особую важность представляет собой управление спектром собственных частот будущей механической системы с помощью изменения параметров, таких как геометрические параметры системы, свойства материала, а также, конструктивные особенности исполнения, выражающиеся в различных способах задания граничных условий различных элементов системы. При этом необходимо иметь в виду, что возможность провести частотный анализ аналитически осуществляется не всегда, ввиду сложности конструкции. Кроме того, не всегда представляется возможным разделить задачу на определение форм колебаний вдоль той или иной оси или координатной плоскости. В частности, при исследовании валов часто выделяют только поперечные формы колебаний, только осевые или только крутильные, что невозможно в случае одновременного приложения разнонаправленных нагрузок. В сложной форме конструкции предлагается использовать конечно-элементные методы для определения частотных характеристик системы, что позволяет делать анализ намного проще и быстрее. В таком случае особое
55
Естественные и математические науки в современном мире ___________________________№ 11-12 (35). 2015 г.
внимание следует уделить корректности моделирования граничных условий и нагрузок при решении конечно-элементных задач.
В данной работе определялись резонансные частоты стержня. При этом оценивался, как спектр собственных частот, так и формы колебаний объектов и исследовались влияния различных видов моделируемых закреплений на спектр получаемых резонансных частот и распределение в этом спектре частот различных типов колебаний
Расчёты проводились в SolidWorks программный комплексе САПР для автоматизации работ промышленного предприятия на этапах конструкторской и технологической подготовки производства. Пакет SolidWorks. Simulation позволяет проводить различные типы анализов, таких как структурный, частотный и другие. Так же в этом пакете можно исследовать не только отдельные детали, но и сборки, например, на устойчивость. При нелинейном анализе могут учитываться различные свойства материала, нелинейное нагружение и т. д. [1]. Исследуемый пакет решает задачи с помощью метода конечных элементов [2], что позволяет производить расчёты достаточно быстро.
Метод конечных элементов представляет собой наиболее распространенный приближенный метод в механике твердого тела и может быть интерпретирован с физической или математической точки зрения. Множество элементов, на которые разбита конструкция, называется конечно-элементной сеткой. Механическое поведение каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение математической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дискретной модели, полученной путем сборки всех элементов [2].
Для верификации разработки расчетной конечно-элементной модели была решена тестовая задача для определения собственных частот стержня без граничных условий и нагрузок [2]. Частоты приведены в таблице 1. Было установлено соответствие с результатами аналитического расчета частот при поперечных колебаниях с относительной погрешностью менее 5 %.
Однако, необходимо отметить, что в данной спектре частот были определены частоты, не только соответствующие поперечным колебаниям, а также осевые и крутильные. Визуализация форм колебаний соответствующим разным видам представлены на рисунках 1,2 и 3.
WWW.
56
Естественные и математические науки в современном мире № 11-12 (35). 2015 г_____________________________
СибАК
www.sibac.info
Таблица 1.
Собственные частоты стержня без граничных условий
№ Частота, Гц Тип колебаний № Частота, Гц Тип колебаний
1 0 Поперечные 14 23217 Продольные
2 0,0018033 Поперечные 15 28597 Крутильные
3 0,002715 Продольные 16 28612 Поперечные
4 0,0035333 Поперечные 17 28612 Поперечные
5 0,0045729 Поперечные 18 40260 Поперечные
6 0,0094354 Крутильные 19 40262 Поперечные
7 3679,6 Поперечные 20 42891 Крутильные
8 3679,7 Поперечные 21 46365 Продольные
9 9782,6 Поперечные 22 52858 Поперечные
10 9782,9 Поперечные 23 52863 Поперечные
11 14297 Крутильные 24 57184 Крутильные
12 18292 Поперечные 25 66112 Поперечные
13 18292 Поперечные
Рисунок 1. Продольные колебания стержня четырнадцатой формы без граничных условий
57
www.sibac.mto
Естественные и математические науки в современном мире __________________________________№ 11-12 (35). 2015 г
Рисунок 2. Крутильные колебания стержня шестой формы без граничных условий
Имя исследования: Исследование S Tin эпюры: Частотный Перемещение! О Форма колебаний 10 Значение* 9782.9 Гц Шкала деформации 0.00169179
URES (mm)
U 7 794е*003
. 6.512е+003 . 5.8716+003 . 522Se*003
. 3.947е+003 . 3.3086*003
. 2.023е*003
1 1 382е+003 7 408е*002 9 960е*001
Рисунок 3. Поперечные колебания стержня десятой формы без граничных условий
На рисунках 1, 2 и 3 видно, что колебания действительно разделяются, при отсутствии граничных условий и нагрузок.
Сочетание нескольких видов граничных условий, то есть сложные граничные условия, что в технике бывает очень часто, приводит к тому, что формы собственных колебаний перестают разделяться на классические поперечные, продольные и крутильные, формы собственных колебаний становятся сложными, включающими
58
Естественные и математические науки в современном мире № 11-12 (35). 2015 г.________________________
в себя некоторые их сочетания, что можно видеть на рисунке 4, 5 и в таблице 2.
СибАК
www.sibac.info
Рисунок 4. Комбинированная форма колебаний стержня при граничных условиях: с одного торца - зафиксированной геометрией и по всей цилиндрической поверхности - ролик/ползун
Рисунок 5. Крутильные и поперечные колебания стержня третьей формы при граничных условиях: с одного торца - зафиксированной геометрией и по всей цилиндрической поверхности - ролик/ползун
59
Естественные и математические науки в современном мире ______________________________№ 11-12 (35). 2015 г.
Таблица 2.
Собственные частоты стержня с граничными условиями: с одного торца зафиксированная геометрия и по всей поверхности -ролик/ползун
№ Частота, Гц Тип колебаний № Частота, Г ц Тип колебаний
1 7495,5 Поперечные 14 67839 Поперечные
2 7443,5 Поперечные 15 70250 Поперечные и крутильные
3 7814,2 Крутильные 16 82389 Поперечные и крутильные
4 22480 Поперечные и крутильные 17 82899 Поперечные
5 22621 Поперечные 18 85867 Поперечные и крутильные
6 23420 Поперечные и крутильные 19 97327 Поперечные и крутильные
7 37458 Поперечные и крутильные 20 97887 Поперечные
8 37698 Поперечные 21 1,0132е+005 Поперечные и крутильные
9 39055 Поперечные и крутильные 22 1,1226е+005 Поперечные и крутильные
10 52447 Поперечные и крутильные 23 1,1293е+005 Поперечные
11 52776 Поперечные 24 1,1693е+005 Поперечные и крутильные
12 54661 Поперечные и крутильные 25 1,2714е+005 Поперечные и крутильные
13 67421 Поперечные и крутильные
WWW.
На рисунках 4, 5 и в таблице 2 наблюдаются сочетания продольных и крутильных колебаний, что говорит о том, что при правильном применении граничных условий можно выделить сочетания тех колебаний, которые нам необходимы.
В общем случае при сложных граничных условиях частоты различных форм колебаний не разделяются, а потому говорить отдельно о поперечных, или только о крутильных не правомочно. И в каждом отдельном случае для конкретной механической системы необходимо индивидуально подходить к вопросу о возможности разделения спектров частот различных форм колебаний. Преимущества конечно-элементных методов в том, что такой необходимости
60
Естественные и математические науки в современном мире № 11-12 (35). 2015 г____________________
не возникает, проведя анализ при заданных существующих условиях, мы можем проанализировать получившийся реальный частотный спектр и особенности форм колебаний, соответствующих каждой интересной для исследования частоте.
Кроме того, меняя и комбинируя различные виды граничных условий можно смоделировать ситуации, когда частотный спектр, в заданном диапазоне, будет содержать частоты, соответствующий заданному виду колебаний. Например, исключить поперечные и осевые колебания, для получения только крутильных. К примеру, подобную методику можно применить при проектировании выходного звена шпиндельного станка высокой точности, где необходимо исключить поперечные колебания в заданном диапазоне возмущающего воздействия.
Ни рисунках 6 и 7 применено граничное условие зафиксированное шарнирное опирание, при таких граничных условиях исключаются продольные колебания, так как точкам поверхности при нем невозможно перемещаться в радиальном и осевом направлении [1]. При таких граничных условиях выделяются только крутильные колебания, что мы и наблюдаем в таблице 3, единственное что меняется - число полуволн.
СибАК
www.sibac.info
Рисунок 6. Крутильные колебания стержня третьей формы при граничных условиях: по всей цилиндрической поверхности -зафиксированный шарнир
61
www.sibac.mto
Естественные и математические науки в современном мире __________________________________№ 11-12 (35). 2015 г
Рисунок 7. Крутильные и поперечные колебания стержня шестнадцатой формы при граничных условиях: по всей цилиндрической поверхности - зафиксированный шарнир
Таблица 3.
Собственные частоты стержня с граничными условиями: по всей поверхности - зафиксированная геометрия
№ Частота, Гц Тип колебаний № Частота, Гц Тип колебаний
1 0,13001 Крутильные 14 2,009е+005 Крутильные
2 15529 Крутильные 15 2,1587е+005 Крутильные
3 31065 Крутильные 16 2,3123е+005 Крутильные
4 46614 Крутильные 17 2,3823е+005 Крутильные и продольные
5 62110 Крутильные 18 2,3852е+005 Крутильные и продольные
6 77632 Крутильные 19 2,4429е+005 Крутильные и продольные
7 93107 Крутильные 20 2,4633е+005 Крутильные и продольные
8 1,0863е+005 Крутильные 21 2,4979е+005 Крутильные и продольные
9 1,2399е+005 Крутильные 22 2,5755е+005 Крутильные и продольные
10 1,3948е+005 Крутильные 23 2,5843е+005 Крутильные и продольные
11 1,5477е+005 Крутильные 24 2,5891е+005 Крутильные и продольные
12 1,7022е+005 Крутильные 25 2,5963е+005 Крутильные и продольные
13 1,8549е+005 Крутильные
62
Естественные и математические науки в современном мире № 11-12 (35). 2015 г______________________
Таким образом, мы можем сделать вывод, что граничные условия, их вид, комбинации существенным образом влияют на спектры резонансных частот. При проектировании сложных механических систем необходимо учитывать, что не всегда возможно разделение частот по видам колебаний, что усложняет возможности анализа динамического качества проектируемых изделий. С другой стороны комбинируя различные виды граничных условий можно добиться необходимого поведения того или иного элемента конструкции, то есть управлять динамическими свойствами изделий на этапе проектирования.
Список литературы:
1. Алямовский А. А. SolidWorks\CosmosWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов, - М.: ДМК Пресс, 2004. - 432 с.: ил. (Серия «проектирование»).
2. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. - М: Мир, 1986. - 318 с.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. - М.: Наука, 1979. - 560 стр.
СибАК
www.sibac.info
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ АСИНХРОННОГО ПРИВОДА
Иванов Дмитрий Сергеевич
магистрант, Омский Государственный Технический Университет,
РФ, г. Омск E-mail: [email protected]
Долингер Станислав Юрьевич
ст. преподаватель, Омский Государственный Технический Университет,
РФ, г. Омск E-mail: [email protected]
63
