ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

УДК 517.95

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

А. И. Кожанов, С. Е. Айтжанов, К. А. Жалгасова

Аннотация. Исследуется разрешимость в пространствах Соболева задач восстановления коэффициентов правой части, или внешнего воздействия, в гиперболических дифференциальных уравнениях первого порядка. Подобные задачи относятся к классу линейных обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Для изучаемых задач в работе доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений (т. е. решений, имеющих все обобщенные по Соболеву производные, входящие в уравнение).

Б01: 10.25587/8УРи.2022.91.49.004 Ключевые слова: гиперболические дифференциальные уравнения первого порядка, обратные задачи, неизвестное внешнее воздействие, регулярное решение, существование, единственность.

1. Введение

Целью работы является исследование разрешимости линейных обратных задач для гиперболических уравнений первого порядка.

Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математической физики. В отличие от классических краевых задач математической физики, в обратных задачах наряду с неизвестной функцией, которая удовлетворяет рассматриваемому уравнению, отыскивается коэффициент (коэффициенты) самого уравнения, или же коэффициент, определяющий правую часть уравнения. В подобных задачах, как правило, вместе с краевыми и начальными условиями, характерными для того или иного класса дифференциальных уравнений, задаются также некоторые другие условия, называемые условиями переопределения.

Обратные задачи имеют многочисленные приложения и возникают в различных сферах деятельности таких, как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.

Работа А. И. Кожанова выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект Р'№КР-2022-0008).

© 2022 Кожанов А. И., Айтжанов С. Е., Жалгасова К. А.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах.

Непосредственно к теме настоящей статьи близкими являются работы [1-5] (см. также имеющуюся в этих работах библиографию), в которых изучались обратные задачи для интегродифференциальных уравнений переноса. Вместе с тем отметим, что методы и подходы, применяемые ниже, будут существенно отличаться от методов и подходов предшественников, полученные ниже условия разрешимости будут также отличаться от известных условий.

Поясним вкратце суть используемого ниже подхода. Именно, наш подход использует идею, связанную с переходом от изучаемой обратной задачи к новой уже прямой краевой задаче для уравнения составного типа (см. [6, 7]). Как говорилось выше, этот подход приведет к новым условиям разрешимости соответствующих линейных обратных задач.

2. Постановка задач

Пусть Q = {(x,t) :0 < x < 1, 0 <t< T} — прямоугольник, a(x,t), c(x,t), f(x,t), h(x,t) и uq{x) — заданные функции, определенные при (x,t) G Q, a и ß — заданные действительные числа такие, что a2 + ß2 > 0.

Обратная задача I. Найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением

ut — a(x, t)ux + c(x, t)u = f (x, t) + q(t)h(x, t), (1)

при выполнении для функции u(x, t) условий

u(x, 0) = u0(x), x e (0,1), (2)

u(0,t) = 0, t e (0,t), (3)

u(1,t) = 0, t e (0,t). (4)

Обратная задача II. Найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением (1) при выполнении для функции u(x, t) условий (2), (3), а также условия

aux(0,t)+ ßux (1, t) = 0. (5)

Обратная задача III. Найти функции u(x, t) и q(t), связанные в области Q уравнением (1) при выполнении для функции u(x,t) условий (2), (3), а также условия

1

IN ,x)u(x'i) dx = 0 (6)

0

В этих задачах условия (2) и (3) суть условия обычной начально-краевой задачи для гиперболического уравнения первого порядка, а условия (4), (5) и

условие (6) интегрального вида можно трактовать как условия переопределения, их наличие объясняется наличием дополнительной неизвестной величины — коэффициента д(£). Эти условия переопределения задаются на разных многообразиях, в первом случае условие (4) задается на правой стенке, а во втором случае условие переопределения (5) связывает значения производной решения при х = 0 и х = 1, т. е. нелокальное.

3. Разрешимость обратной задачи I

Будем считать, что выполняется условие

к(х, г) > к0 > о при (ж,г)е<2. (7)

Положим

, . . . . . . а(х,Ь)Л.х(х,Ь) , . , Л.х(х,Ь) = с{х,Ь) - ах{х,Ь) + у Ъ2(х,1) = -- '

сх(х,4) = Сх(х, Ь) -

Л.(х,Ь) ' ' Л.(х, Ь)

с(х, Ь)Л.х(х, Ь)

Л.(х, Ь)

Теорема 1. Пусть выполняются условие (7) и условия

а(х, г) € С2(д), с(ж, € С2(д), Л(а:, € С2(д); (8)

а(ж, > а0 > О, ^ + (1 - х)Ь2(х, > Ь20 > 0 при (ж, £) € ф; (9) /(х,ь) е ¿2(3), Л(х,ь) е ¿2(3), Уж^(х,ь) е ¿2(3); (10)

О

ио(х) е ж2(0,1) п ж!(0,1), (11)

/х(х, 0) + а(х, 0)и0'(х) - &1(х, 0)и0(х) - сх(х, 0)и0(х) = 0 при х е [0,1]. (12)

Тогда обратная задача I имеет решение {и(х, Ь), д(Ь)} такое, что и(х, Ь) е ¿то(0, Т; ¿2(0,1)), (х, Ь) е ¿то(0, Т; ¿2(0,1)), ижж(х,4) е ¿2(3), д(ь) е ¿2([0,Т]).

Доказательство. Как говорилось во введении, воспользуемся методом, основанном на переходе от исходной обратной задачи к прямой краевой задаче для дифференциального уравнения более высокого порядка, чем порядок исходного уравнения.

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х, Ь), являющуюся в прямоугольнике 3 решением уравнения

Uxt — а(х, Ь)ихх + Ь1(х, Ь)их + Ь2(х, + с1(х, = /1(х, Ь) (13)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4).

Данная задача является начально-краевой задачей для гиперболического уравнения второго порядка, называемого в некоторых источниках линеаризованным уравнением Линя — Рейсснера — Цзяня [8]. Различные краевые задачи для таких уравнений изучались в работах [9-13], непосредственно же к задаче (13), (2)-(4) близка задача, исследованная в [11].

Разрешимость краевой задачи (13), (2)-(4) в нужном пространстве докажем с помощью метода регуляризации.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию п(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

е(пи - пхх1) + пХ1 — а(х, 1)пхх + Ьх(х, 1)пх + ^(х^п + о1(х,г)п = Д(х, Ь) (14)

и такую, что для нее выполняются условия (2)-(4), а также условие

щ(х, 0) = 0, х е (0,1). (15)

Определим линейное пространство V:

о о

V = {у(х,Ь) : у(х,ь) е Ьж(0,Т; W2(0,1)ПЖ1(0,1)), Уг(х,Ь) е Ьж(0,Т; ^21(0,1)),

уи(х,ь) е ¿2^), Ухх±(х,ь) е L2(Q)}.

В краевой задаче (14), (2)-(4), (15) вследствие условий (8) и (10) для функции /1(х,Ь) будут выполняться включения /1(х,Ь) е Ь2(^), /14(х,Ь) е L2(Q). Следовательно, эта задача будет иметь решение п(х,Ь) такое, что п(х,Ь) е V, щ(х, Ь) е V (см. [6,14]). Покажем, что для решении п(х, Ь) имеют место нужные (для дальнейшего предельного перехода) априорные оценки.

Пусть А — число из промежутка (1; Рассмотрим равенство

t 1

еJJ (А — х)(птт — пххт)пт ¿хйг 0 0

t 1 t 1

+ Л(А — х)(пхт — апхх + Ь1Пх + Ь2Пт + С1п)пт ¿Ыг = Ц(А — х)/1Пт <Ъ*г. 0 0 0 0

Это равенство нетрудно преобразовать к виду

1 t 1 2

J (А — х)п^(х, Ь) ¿х + е ^ J (А — х)п"хт ¿хв,г

п2 ¿хйг

| / [А-Х)^

0 0 0 t 1

+

^ + (А-х)Ъ2(Х,Т)

00

1 t 1 12

+ — У (А — х)а(х, (ж, £) ¿х = — J У ((А — х)а)хихит с1хс1т

t 1 1

0 0 0

t 1

J J (А — х)Дит ¿х^г.

+

00

Уточним величину числа А. Именно, будем считать это число таким, что при А > 1 выполняется неравенство

^ + {А-х)ь2{х,г) > о при (ж,г)е<Э- (17)

Вследствие условия (9) это возможно.

Учитывая неравенство (17), применяя далее неравенство Юнга и лемму Гронуолла, нетрудно показать, что равенство (16) влечет априорную оценку

1 t 1 1 t 1 е^ и2(х, Ь) ¿х + е^ J иЖт ¿х^г + J иХ(х,Ь) ¿х + J ^ и2 ¿х^г < М1, (18)

0 оо о оо

постоянная М1 в которой определяется лишь функциями а(х,Ь), с(х, Ь), Л.(х,Ь), ио(х) и /(х,Ь), а также числом Т.

Прежде чем переходить к получению следующей оценки, заметим, что для решений и(х,Ь) краевой задачи (14), (2)-(4), (15) вследствие условия (11) имеет место равенство

и«(х, 0) = 0 при х е (0,1). (19)

Продифференцируем уравнение (14) по переменной Ь, затем умножим его на функцию ий(х, Ь) (все эти действия возможны) и проинтегрируем по переменной х от 0 до 1 и по переменной Ь от 0 до текущей точки. Повторяя рассуждения и выкладки, проведенные при доказательстве оценки (18), и учитывая саму оценку (18), получим, что имеет место неравенство

1 t 1 1 t 1

е^ и^(х,Ь) ¿х + е^ J иЖтт ¿х^г + | иЖ^х,Ь) ¿х + J ^ и2т ¿х^г < М2, (20) о о о о о о

постоянная М2 в котором определяется лишь функциями а(х, Ь), с(х, Ь), Л.(х,Ь), ио(х) и /(х,Ь), а также числом Т.

На следующем шаге вернемся к уравнению (14), умножим его на функцию —иХХ(х,Ь) и проинтегрируем по прямоугольнику 3. Используя оценки (18) и (19), а также учитывая положительность функции а(х, Ь), получим, что для решений и(х,Ь) краевой задачи (14), (2)-(4), (15) выполняется оценка

У иХЖ ¿х^ < Мз (21)

Я

с постоянной М3, определяющейся лишь функциями а(х, Ь), с(х, Ь), Ь(х, Ь), п0(х) и /(х,Ь), а также числом Т.

Последняя необходимая оценка для решений п(х,Ь) краевой задачи (14), (2)-(4), (15)

t 1 22

<хт <х<т < М4 (22)

00

с постоянной М4, определяющейся вновь функциями а(х, Ь), с(х, Ь), Ь(х, Ь), п0(х), /(х, Ь) и числом Т, очевидным образом выводится с помощью самого уравнения (14) и оценок (18), (20) и (21).

Выберем последовательность {ет }„=1 положительных чисел так, чтобы выполнялось ет ^ 0 при т ^ ж. Обозначим через пт(х,Ь) решение краевой задачи (14), (2)-(4), (15) в случае е = ет. Для семейства {пт(х, Ь)}^=1 имеют место равномерные по т априорные оценки (18), (20), (21). Эти оценки и свойство рефлексивности гильбертова пространства [15] означают, что существуют подпоследовательность {птк(х,Ь)}]?=1 исходной последовательности {пт(х, Ь)}„=1, а также функция п(х, Ь) такие, что при к ^ ж имеют место сходимости етк (пmktt(x, Ь) пткxxt(x, Ь) ^ 0) слабо в ¿2^), птк (x, слабо в Очевидно, что предельная функция п(х, Ь) будет принадлежать

пространству W2!(Q) и представлять собой решение краевой задачи (13), (2)-(4).

Покажем, что с помощью функции п(х, Ь) можно построить решение обратной задачи I.

Уравнение (13) можно записать в виде

д_

дх

^ (щ - аих + си) - /

= 0.

Положим

а(0,г)пх(0,г) + / (0,Ь)

т ЩТ) '

Очевидно, что функции п(х,Ь) и д(Ь) будут связаны в прямоугольнике Q уравнением (1). Также очевидно, что функция д(Ь) принадлежит пространству Ь2(0,Т). Вместе с принадлежностью функции п(х,Ь) пространству W2'(Q) это означает, что функции п(х, Ь) и д(Ь) дают требуемое решение обратной задачи I. Теорема доказана.

4. Разрешимость обратной задачи II

Прежде всего заметим, что в случае а = 0 обратная задача II подобна обратной задаче I, отличается лишь тем, что при х =1 задается иное условие, нежели условие (4).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (7)-(11), а также условие а = 0. Тогда обратная задача II имеет решение {п(х, Ь), д(Ь)} такое, что

п(х, Ь) е Ьж(0, Т; ¿2(0,1)), пх^х, Ь) е Ьж(0, Т; ¿2(0,1)),

C2(x, t)=

Uxx(M) е L2(Q), q(t) е ЫМ).

Доказательство этой теоремы проводится вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Рассмотрим теперь обратную задачу II в случае а = 0. Положим

^ ^ ^ ht(x, t) — 2a(x, t)hx(x, t) + b\(x, t)h(x, t) ' h(x, t) '

hxt(x, t)-a(x, t)hxx(x, t)+bi(x, t)hx(x, t)+b2(x, t)ht(x, t)+ci(x, t)h(x, t)

h(x,t) '

Теорема 3. Пусть выполняются условие (7) и условия

a(x,t) £ С1 (Q), с(х, t) G С2 (Q), h(x,t) £ С3 (Q); (23)

a(x,t)<-a0< 0 при (x,t)£Q; (24)

2b3(x,t) + ax(x,t) > k> > 0, c2x(x,t) < 0 при (x,t) £~Q; (25)

c2(M)>0, ßf(t) < min {1, min fili^l 1 щ)И ie[0,T];

l a(0,t)J

ßt(x, i) — 2а(ж, t)bz(x, t) >b\> 0, а(ж, t)c2x(x, t) — ax(x, t)c2(x, t) > 0 при (x,t) £ Q; а = 0, hx(1,t) = 0 при t G [0,T], uo(x) = 0 при x G O. (28)

(26) (27)

Тогда для любой функции /(ж, г) такой, что /(ж, г) 6 /х(ж,г) £

¿2(3), /хх(ж, г) 6 Ь2(ф), обратная задача II имеет решение {и(ж, г), ?(£)} такое, что и(ж,г) 6 Ж^), их(ж,4) 6 Ж^), д(г) 6 ¿2([0,Т]).

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию г>(ж, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

^х^ - а(ж, ¿)«хх + Ьз(ж, ¿)«х + С2 (ж, г)-у = /2(ж, г) (29)

и такую, что для нее выполняются условия

«(ж, 0) = 0, ж 6 (0,1), (30)

и(0,г) = 0, их(0,г) = вх(гЫМ), г 6 (0,т). (31)

В этой задаче уравнение (29) вновь представляет собой гиперболическое уравнение второго порядка, второе же условие (31) является нелокальным по переменной ж условием. Заметим, что в случае в = 0 условие (31) дает условие Коши по переменной ж. Это означает, что в уравнении (29) переменная ж играет роль временной переменной. Другими словами, краевая задача (29)—(31) есть нелокальная по временной переменной задача для гиперболического уравнения

второго порядка. Покажем, используя метод регуляризации, что данная задача имеет при выполнении условий теоремы регулярное решение.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию „(х,1), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

уХ1 - а(х, 1)ухх + Ьз(х, 1)ух + С2(х, 1)у - еухЫ = Ь(х, I) (32)

и такую, что для нее выполняются условия (30) и (31), а также условие

Уг(х,Т) = 0, х е (0,1). (33)

В этой задаче уравнение (32) является параболическим относительно функции ш(х,ь) = ух(х,ь) уравнением с подчиненным младшим слагаемым с2(х, £)г>(х, £) и с временной переменной х. Условие ух(0,ь) = в1 (^)^х(1, ¿) представляет собой нелокальное по временной переменной условие для функции ш(х,ь), найдя же функцию ш(х, £), нетрудно с помощью условия г>(0, £) = 0 найти и саму функцию

Уточним, что разрешимость в классе регулярных решений нелокальной по временной переменной задачи для параболических уравнений хорошо изучена (см., например, [16,17]). В частности, из результатов этих работ вытекает, что при выполнении условия (26) нелокальная задача (30)—(33) будет иметь регулярное решение. Следовательно, для доказательства разрешимости краевой задачи (29)—(31) достаточно установить наличие равномерных по е априорных оценок решений краевой задачи (30)-(33) и далее организовать процедуру предельного перехода.

Покажем, что требуемые оценки действительно имеют место. Умножим уравнение (32) на функцию ух(х,ь) и проинтегрируем по прямоугольнику Q. Затем, интегрируя по частям и применяя неравенства Коши — Буняковского, Юнга и лемму Гронуолла, получим первую оценку

т

Ы + Ы +/„2 (М)<й < №||Л||>,га, V. е (0.1). (*)

Я Я 0

постоянная N1 в которой определяется лишь функциями а(х,Ь), с(х,ь), ь,(х,ь) и /(х,ь), а также числами а, в и Т.

Умножим уравнение (32) на функцию и проинтегрируем по области

Q. Повторяя выкладки, связанные с интегрированием по частям, и используя оценку (34), получим, что для решений у(х,ь) краевой задачи (29)-(31) выполняется неравенство

j „хг(х, 0) <х + | ¿,х(И + е j „ха <1х<И

< ||/2||2(я) + Н/2х|Ц2(д)) V. е (0,1). (35)

в котором постоянная N2 определяется функциями a(x, t), c(x, t), h(x, t) и f (x, t), а также числами a,ß,T.

Оценок (34) и (35) вполне достаточно для предельного перехода. Выбирая последовательность {£m}m=i положительных чисел, обозначая через vm(x,t) решение краевой задачи (30)-(33) и далее используя свойство рефлексивности гильбертова пространства, нетрудно показать, что существует последовательность {vmk (x,t)}^=1, сходящаяся к точному решению v(x,t) краевой задачи (29)-(31), причем у этого решения будут существовать все обобщенные производные, входящие в уравнение (29).

Определим функцию u(x,t): u(x,t) = -щ^щ- Очевидно, что эта функция будет решением уравнения (13) и что для нее будут выполняться краевые условия (2), (3) и (5).

Аналогичным образом, как и при доказательстве теоремы 1 определим функцию q(t). Эта функция и функция u(x,t) составляют требуемое решение обратной задачи II.

Теорема доказана.

5. Разрешимость обратной задачи III

Исследование разрешимости обратной задачи III проведем с помощью перехода от исходной задачи к прямой задаче для специального «нагруженного» [18,19] уравнения.

Положим

f0(t) = J N(x)f (x,t) dx, h0(t) = У N(x)h(x, t) dx, n n

h(x, t)

ai(x, t) = (a(x, t)N(x))x + c(x, t), h\(x, t) = -——

h0(x, t)

f(x,t) = f (x,t) - hi(x,t)fo(t). Далее по заданной функции v(x,t) определим функцию <p(t,v):

ф^^) = У at(x,t)v(x,t) dx - N(1)a(1,t)v(1,t).

n

Определим также необходимые ниже постоянные:

A1 = max ( / h?(x,t) dx), A2 = max ( / a?(x,t) dx 0<t<T\J J 0<t<T\J

Вi = \N(l)\AH max |a.(l,t)|)^.

1 o< t<T

Теорема 4. Пусть выполняются условия

a(x,t) GC\Q), c(x,t) gC\Q), h(x,t) GC(Q); |ho(t)| > 0 при t G [0,T], a(0,t) < 0, a(1,t) < 0; c(x, t) + — ax(x, t) > cq > 0 при (ж, t) G Q,

1

Co - (Au42)2 - -Bf > 0,

c(x, t) — — ax(x, t) > 0 при (ж, t) G Q, f (x,t) G L(Q), fx(x,t) G L2(Q).

Тогда обратная задача III имеетрешение {u(x, t), q(t)} такое, что u(x, t) G W2(Q), q(t) G L2([0,T]).

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

щ — a(x, t)ux + с(ж, t)u = /(ж, i) + /ii (ж, и) (36)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). В этой задаче уравнение и является «нагруженным» уравнением; разрешимость краевой задачи (36), (2), (3) докажем, используя метод регуляризации и метод продолжения по параметру.

Пусть е — положительное число, А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

щ — euxx — a(x, t)ux + с(ж, t)u = /(ж, t) + Xhi(x, t)<f>(t, u) (37)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условие

Ux(1,t) = 0, t G (0,T). (38)

Пусть вначале е — фиксированное число. Покажем, что при всех А из отрезка [0,1] краевая задача (37), (2), (3), (38) разрешима в пространстве W^'1(Q).

Прежде всего заметим, что уравнение (37) является «нагруженным» параболическим уравнением. Из общей теории краевых задач для параболических уравнений (см., например, [20]) следует, что при А = 0 краевая задача (37), (2), (3), (38) имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству W^'1(Q). Далее, из теоремы о методе продолжения по параметру [15, гл. III; 14] следует, что краевая задача (37), (2), (3), (38) разрешима в пространстве W^'1(Q) при всех А из отрезка [0,1], если для всевозможных решений этой задачи будет иметь место априорная оценка

IMIl/^'^Q) < До(||/||ь2(<Э) + IKIlw^O) ). (39)

Покажем, что требуемая оценка действительно выполняется. Умножим уравнение (37) на функцию и(х, £) и проинтегрируем по прямоугольнику (. После несложных преобразований получим равенство

— J и2(х,Т)<1х + е J и2 ¿хсИ + J и2 <1х<И + — J |а(1, ¿)|и2(1, £) сИ

п я Я о

= У h1(x,t)^J аг(у,Ь)и(у,Ь) ¿у^и(х,Ь) dxdt—N (1) J к1(х,Ь)а(1,Ь)и(1,Ь)и(х,Ь) ¿хй1

Я п я

+ J fudxdt+— У и$(х)с1,х. Я п

Для первых двух слагаемых 11 и 12 правой части равенства (40) имеют место оценки

\1\ | < {ММ)^ У и2{х,г)йх<И

N < В (у |a(1,t)|u2(1,t)dt I u2(x,t) dxdt оЯ Отсюда с использованием условий теоремы выводим следующую оценку: 1

У и2(х,Т)йх + е У и2сйх<И + У и2 ¿хсИ < Кг (||/|||2(д) + 11ио||^/1(о)) • (41)

0 я Я

Умножим уравнение (37) на функцию ихх(х,{) и проинтегрируем по прямоугольнику (. Повторяя выкладки и используя доказанную оценку (41), получим вторую априорную оценку

1

у и2х(х,1)(],Х + £ У и2ххв,Х<],г + У П^хМ < Д2(||/х|||2(д) + 1ко||^/21(о))- (42)

о я Я

Оценки (41), (42) позволяют выбрать последовательность, сходящуюся к решению краевой задачи (36), (2), (3). Пусть |ет}т=1 _ последовательность положительных чисел, монотонно стремящаяся к нулю, Обозначим через ит(х, ^ решение краевой задачи (37), (2), (3), (38) при е = ет. Для функций игп(х,^ имеют место априорные оценки (41), (42). Из этих оценок и из свойства рефлексивности гильбертова пространства следует, что в пределе мы можем получить решение и(х^) краевой задачи (36), (2), (3), причем решение, для которого сохранятся оценки (41), (42). А это означает, что полученная функция и(х^) будет искомым решением краевой задачи (36), (2), (3).

1 2

2

Покажем, что с помощью функции u(x, t) можно построить решение обратной задачи III. Умножая уравнение (1) на функцию N(x) и интегрируя его по x от 0 до 1, нетрудно определить функцию q(t):

Очевидно, что функции u(x, t) и q(t) связаны в прямоугольнике Q уравнением (1). Также очевидно, что функция q(t) принадлежит пространству L2(0,T). Вместе с принадлежностью функции u(x, t) пространству W21(Q) это и означает, что функции u(x, t) и q(t) дают требуемое решение обратной задачи III. Теорема доказана.

В работе исследована разрешимость линейных обратных задач определения вместе с решением гиперболического уравнения первого порядка также неизвестного коэффициента специального вида, определяющего внешние источники. Используемые методы основаны либо на переходе от исходного уравнения к новому уравнению более высокого порядка, не содержащему неизвестного коэффициента, либо на переходе к новому «нагруженному» интегро-дифференциальному уравнению. Полученные результаты о разрешимости обратных задач являются новыми. Условия, при выполнении которых имеет место разрешимость изучаемых задач, ранее в литературе не встречались.

1. Kharroubi M. M. Mathematical topics in neutron transport theory: New aspects. River Edge, NJ: World Sci. Publ. Co. Inc., 1998.

2. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker Inc., 2000. (Monogr. Textb. Pure Appl. Math.; V. 222).

3. Hamdi N. An inverse problem for a nonlinear transport equation with an integral overdetermination // Vestnic Bull. Math. Ser. 2003. V. 1, N 10. P. 109.

4. Klibanov M., Yamamoto M. Exact controllability for the time dependent transport equation // SIAM J. Control Optim. 2007. V. 46, N 6. P. 2071-2095.

5. Hamdi N. An inverse problem for a nonlinear transport equation with final overdetermination // Lobachevskii J. Math. 2008. V. 29. P. 230-244.

6. Kozhanov A. I. Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic equations // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 1997. V. 5, N 4. P. 337-352.

7. Акимова Е. В., Кожанов А. И. Линейные обратные задачи пространственного типа для квазипараболических уравнений // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 3. C. 3-17.

8. Lin C. C., Reissner E., Tsien H. S. On two-dimensional nonsteady motion of a slender body in a compressible fluid // J. Math. Phys. 1948. V. 27, N 3. P. 220-231.

9. Ларькин Н. А. К теории линеаризованного уравнения Линя — Рейсснера — Цзяня // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1980. С. 126-131.

10. Ларькин Н. А. О линеаризованном уравнении нестационарной газовой динамики // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск: Ин-т математики, 1983. С. 107-118.

1

0

6. Заключение

ЛИТЕРАТУРА

11. Кожанов А. И. О постановке и разрешимости краевой задачи для одного класса уравнений, не разрешенных относительно временной производной // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Ин-т математики, 1987. С. 84-98.

12. Глазатов С. Н. Задача с данными на характеристике для линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 5. С. 1019-1029.

13. Глазатов С. Н. О разрешимости пространственно-периодической задачи для уравнения Линя — Рейсснера — Цзяня трансзвуковой газовой динамики // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 1. С. 137-140.

14. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

15. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

16. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

17. Уварова М. В. О некоторых нелокальных параболических краевых задачах // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2009. № 8. С. 94-108.

18. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.

19. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: ИТПМ, 1995.

20. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 8 августа 2022 г. После доработки 8 августа 2022 г. Принята к публикации 31 августа 2022 г.

Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 kozhanov@math.nsc.ru

Айтжанов Серик Ерсултанович

Казахский национальный университет имени Аль-Фараби, пр. Аль-Фараби, 71, Алматы 050040, Казахстан Aitzhanov.Serik81@gmail.com Жалгасова Коркем Абилдакызы

Южно-Казахстанский университет имени М. Ауэзова, пр. Тауке хана, 5, Шымкент 160012, Казахстан k.zhalgasova@gmail.com

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

UDC 517.95

SOLVABILITY OF PROBLEMS OF RECOVERING

THE EXTERNAL INFLUENCE IN THE

FIRST ORDER HYPERBOLIC EQUATIONS

A. I. Kozhanov, S. E. Aitzhanov, and K. A. Zhalgassova

Abstract: We study the solvability in Sobolev spaces of the problem of recovering the coefficients of the right-hand side, or the external influence, in the first order hyperbolic differential equations. Such problems belong to the class of linear inverse problems for partial differential equations. For the problems under study, we prove the existence and uniqueness theorems for regular solutions (having all generalized in Sobolev's sense derivatives entering the equation).

DOI: 10.25587/SVFU.2022.91.49.004

Keywords: first order hyperbolic differential equation, inverse problem, unknown external influence, regular solution, existence and uniqueness of solution.

REFERENCES

1. Mokhtar Kharroubi M., Mathematical Topics in Neutron Transport Theory: New Aspects, World Sci. Publ. Co. Inc., River Edge, NJ (1998).

2. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I.A. , Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker Inc., New York (2000) (Monogr. Textb. Pure Appl. Math.; vol. 222).

3. Hamdi N., "An inverse problem for a nonlinear transport equation with an integral overdetermination," VESTNIC Bull. Math. Ser., 1, No. 10, 109 (2003).

4. Klibanov M. and Yamamoto M., "Exact controllability for the time dependent transport equation," SIAM J. Control Optim., 46, No. 6, 2071-2095 (2007).

5. Hamdi N., "An inverse problem for a nonlinear transport equation with final overdetermination," Lobachevskii J. Math., 29, No. 4, 230-244 (2008).

6. Kozhanov A. I., "Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 5, No. 4, 337-352 (1997).

7. Akimova E. V. and Kozhanov A. I., "Linear inverse problems of spatial type for quasiparabolic equations [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 25, No. 3, 3-17 (2018).

8. Lin C. C., Reissner E., and Tsien H. S., "On two-dimensional nonnsteady motion of a slender body in a compressible fluid," J. Math. Phys., 27, No. 3, 220-231 (1948).

9. Larkin N. A., "To the theory of the Lin-Reissner-Tsien linearized equation [in Russian]," in: Well-Posed Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical Physics, pp. 126-131, Inst. Mat., Novosibirsk (1980).

10. Larkin N. A., "On the linearized equation of the nonstationary gas dynamics [in Russian]," in: Nonclassical Equations and Equations of Mixed Type, pp. 107-118, Inst. Mat., Novosibirsk (1983).

11. Kozhanov A. I., "On the statement and solvability of the boundary value problem for a class of equations not solved with respect to the time derivative [in Russian]," in: Boundary Value

© 2022 A. I. Kozhanov, S. E. Aitzhanov, K. A. Zhalgassova

Problems for Nonclassical Equations of the Mathematical Physics, pp. 84—98, Inst. Mat., Novosibirsk (1987).

12. Glazatov S. N., "A problem with data on a characteristic for a linearized equation of transonic gas dynamics," Sib. Math. J., 37, No. 5, 898-906 (1996).

13. Glazatov S. N., "On solvability of a spatial periodic problem for the Lin-Reissner-Tsien equation of transonic gas dynamics," Math. Notes, 87, No. 1-2, 130-134 (2010).

14. Yakubov S. Y., Linear Differential-Operator Equations and Their Applications [in Russian], Izdat. ELM, Baku (1985).

15. Trenogin V. A., Functional Analysis [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

16. Kozhanov A. I., "A time-nonlocal boundary value problem for linear parabolic equations [in Russian]," Sib. Zhurn. Ind. Mat., 7, No. 1, 51-60 (2004).

17. Uvarova M. V., "On some nonlocal boundary value problems [in Russian]," Vestn. Samar. Gos. Univ., Estestvennonauchn. Ser., No. 8, 94-108 (2009).

18. Nakhushev A. M., Loaded Equations and Their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

19. Djenaliev M. T., On the Theory of Linear Boundary Value Problems for Loaded Differential Equations [in Russian], Almaty (1995).

20. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

Submitted August 8, 2022 Revised August 8, 2022 Accepted August 31, 2022

Aleksandr I. Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics,

4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk, Russia kozhanov@math.nsc.ru

Serik E. Aitzhanov

Al-Farabi Kazakh National University, 71 Al-Farabi Avenue, 050040 Almaty, Kazakhstan Aitzhanov.Serik81@gmail.com

Korkem A. Zhalgassova

Auezov South Kazakhstan University,

5 Tauke Khan Avenue, 160012 Shymkent, Kazakhstan k.zhalgasova@gmail.com