Исследование разностных схем второго и четвертого порядков точности для нестационарных уранений математической физики Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

JI. Ф. Вахлаева, Т. В. Вахлаева, В. О. Назарьянц

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

При численном решении начально-краевых задач для нестационарных уравнений возникает проблема выбора того или иного порядка аппроксимации разностной схемы. Чем выше порядок аппроксимации по пространственным координатам, тем меньше порядок системы разностных уравнений, которые необходимо решать на каждом временном слое, что особенно важно при решении многомерных задач. Рассматриваются два подхода: разностный метод (неявные и явные схемы) и метод прямых в сочетании с методом Рунге-Кутга 4-го порядка, при этом используются разностные аппроксимации по пространственным координатам 2-го и 4-го порядков. Исследования проводятся на модельных задачах, имеющих точные решения, для следующих уравнений; одномерного и двумерного волновых уравнений, уравнения колебания пластинки. В результате проведенных вычислительных экспериментов найден оптимальный экономичный алгоритм - метод Рунге-Кутта четвертого порядка с аппроксимацией повышенной точности по пространственным координатам.

1. Начально-краевая задача для одномерного волнового уравнения:

^Л + /М>0<К110<Г<Г, (1)

U(xfi) = и0 О), = и, (х), 0 < JC < 1, (2)

dt

U(0,t) = Mi(t), m,t) = и М о <>t< Т.__(3)

Введем сетку таАт = {jc, = ih,i = 0,N,h = 1jN;tj = jtj = 0,M,x = T/M} и сеточную функцию yl=y(.xjj). Задаче (1) - (3) сопоставим разностную схсму с весами

У it = АУ(а) + Ф. (ХОею/п, (4)

Я0 =С/0 (*,),« = OJV,

= U^x,) + -^(U'0(Xj) + f(x„0)) + 0(i2),i = ЩЦ, (5)

т 2

Уо =V-i(tj),yJN =V2({j), (

где y(u) = ayJ+1 + (1 - 2a)yj + ayJ~l, ст = const > 0,

Уп = (у{+Х - 2у/ + уГх)/Х2, Лу, - Лж = - 2_у, + .

Вводя функцшо погрешности решения г = у-11, получим разностное уравнение относительно погрешности 2\ = Л2(а-1 + V]/, (х,Г) ешАт, где у = ф + А{/(ст) - С/,-, является погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) на решении £/(.*,?) исходной задачи (1). Если схема аппроксимирует исходную задачу и устойчива, то она сходится, и порядок точности схемы совпадает с порядком аппроксимации [1]. При ст = 0 схема (4) -явная, она условно устойчива при х < Л , погрешность аппроксимации \\1 = 0(т2 + И2), если ф = /(х1 ). При а> 1/4 схема неявная, безусловно

устойчива, погрешность аппроксимации \у = 0(И2 + т2), если ф = /С*;/у).

1 Л2 Л2 а2/

При а = а. =---- и ф = / (X: Л ,) +--V- погрешность аппрок-

4(1-6) 12т2 ' у 12 ах2

симации ф = 0(Л4 +т2), это схема повышенной точности. Для определения получаем из (4) - (6) разностную краевую задачу, которая решается методом прогонки [2].

Применим теперь к задаче (1) - (3) метод прямых

~71 = Р„ 1 < / < А^ -1,

Л " (7)

Л

7 = Ухх, +Ф<ЛЛ Х1 е ша ■

Порядок системы дифференциально-разностных уравнений (7) равен 2(М -1). Краевые и начальные условия задаются точно.

у,(0) = и0(х,), (8)

У о ~ М-1 С'у )» уЬ = Н-2 (*./)■ (9)

Решая систему дифференциально-разностных уравнений (7) - (9) методом Рунге-Кутга 4-го порядка, получим окончательно погрешность аппроксимации ф = 0(т4 + И2), если ф = /(*/); ф = 0(т4+Л4), если

12 дх2

вым. Устойчивость исследуем на нескольких сгущающихся сетках (т,т/2,т/4,...). Сравнение метода прямых и разностного метода, проведенное на модельных задачах, показало, что наиболее экономичным является метод прямых с погрешностью аппроксимации ф = 0(х4+/г4), т. е.

160

Ф = /(*;,?,) +--—. Метод Рунге-Кутта является явным и одношаго-

метод Рунге-Кутта 4-го порядка с аппроксимацией четвертого порядка по переменной х.

2. Двумерное волновое уравнение

= Ш + /(х,1),0 ={0 <х <1,0 <Т} = О + Г. (Ю)

дг

Краевые и начальные условия аналогичны случаю одномерного волнового уравнения. По аналогии с одномерным волновым уравнением поставим в соответствие задаче (10) разностную схему с весами. Исследуем погрешность аппроксимации у/ = (К х + Л2)С/(<т) - ип + <р схемы, устойчивость и

сходимость. Для решения неявных разностных уравнений используем метод одномерных прогонок по переменным ха (а = 1, 2). Сравнение метода прямых с разностным методом на модельных задачах показало, что наиболее экономичным является метод прямых с аппроксимацией

у=0(}Р + г4).

3. Начально-краевая задача для уравнения колебания пластинки

~ + = 1?(*Д {0 <* = (*!,х2)< 1,0 <?<Г} = £=£> +Г, (ц) дг 4 '

и(х,0) = и0(х), ~(х,0) = £/,(*). (П)

Рассмотрим два типа краевых условий:

<4 =

д2и

дп2

1г дп

= 0,

г

= 0,

(13)

с №

Для решения задачи (11)-(14) применим явный разностный метод с аппроксимацией <Э(И2 + т2) и 0(к4 +т2) и метод прямых с погрешностью 0(И2 + т4) и 0(И4 + х4). Выбор шага т в явном разностном методе и в методе Рунге-Кутта осуществляем на последовательности сгущающихся сеток. Исследования на модельных задачах показали, что оптимальным экономичным алгоритмом является метод Рунге-Кутта с погрешностью 0(И4 +т4), так как он позволяет брать более крупную сетку по сравнению с 0(И2), что приводит к значительному уменьшению порядка системы на каждом слое 1к.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.