Исследование различных моделей вейвлет-фильтров при анализе временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

Н. В. Демич, О. В. Демич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ ПРИ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫ1Х РЯДОВ

Введение

Базовым методом исследования финансовых рынков является технический анализ, который позволяет, используя информацию о закономерностях движения цен в прошлом, делать выводы

о будущем движении цен. Однако есть несколько причин, по которым классический технический анализ на современных рынках «работает» плохо и попытка его использования чаще всего приводит к финансовым потерям. Использование вейвлет-фильтров при анализе финансовых временных рядов позволяет строить более точные прогнозы поведения значений финансовых инструментов.

Целью исследования являлось создание моделей и методов, позволяющих выполнять анализ и прогнозирование динамики финансовых рынков. В данной статье рассматриваются различные модели вейвлет-фильтров при анализе временных рядов.

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) является математическим инструментом, который проектирует временные последовательности на набор ортонормальных базовых функций (вейвлетов) для получения ряда вейвлет-коэффициентов. Эти коэффициенты фиксируют информацию временных рядов с различной частотой в различное время. Дискретное вейвлет-преобразование имеет преимущество перед преобразованием Фурье, синусоиды которого бесконечны и, следовательно, не могут дать коэффициенты, изменяющиеся в течение длительного времени [1].

Для получения вейвлет-коэффициентов в ДВП применяется последовательность фильтраций к двухмерному вектору наблюдений (Ы = 2 для некоторого положительного целого числа .). Вейвлет-коэффициенты анализируют информацию первоначальных временных рядов, связывая их и с временем, и с частотой. С учетом этого свойства ДВП может быть полезно при исследовании динамики финансовых и экономических временных рядов [2].

В отличие от преобразования Фурье, использующего функции синуса и косинуса, чтобы спроектировать данные, вейвлет-преобразование использует функцию, которая совершает колебания в рамках коротких интервалов времени. Вейвлет Хаара - простой пример вейвлет-функции, которая может использоваться для получения многомасштабной декомпозиции временных рядов. Вейвлет-фильтр Хаара содержит вектор длиной Ь = 2, при данном И = (И0, И1) = (1/\2, - 1/\2). Существуют три основных свойства, характеризующие вейвлет-фильтр:

£ И = о, £ И = 1, £ И • И+2п = 0, для всех целых П Ф 0 . (1)

I I I

Эти свойства легко проверяются для вейвлет-фильтра Хаара. Первое свойство показывает, что И идентифицирует изменения в данных. Второе гарантирует, что коэффициенты вейвлет-преобразования сохраняют энергию. Другими словами, коэффициенты вейвлет-преобразования нормализованы и поэтому будут иметь ту же самую дисперсию, что и данные. При этом гарантируется, что никакая дополнительная информация не была добавлена в результате вейвлет-преобразования. Третье свойство гарантирует: набор функций, полученный из И, формирует ор-тонормальный базис для детализации пространства, что позволяет произвести анализ данных. Дополнительным фильтром к И является масштабирующий фильтр Хаара g = (£0, g1) = (1/\2, 1/\2), который имеет следующие свойства:

£ gl = V2, £ ¿1 =1 £ gl • gl+2п = ^ для всех целых п ф ^

I I I

и удовлетворяет отношению gl = (— 1)1+1-ИЬ_1-1 для I = 0, ..., Ь— 1.

Фильтр масштабирования обладает теми же ортонормальными свойствами, что и вейвлет-фильтр, но вместо разницы последовательных блоков наблюдений фильтр масштабирования составляет их среднее значение. Таким образом, g может быть рассмотрен как локальный усредняющий оператор.

Рассмотрим дискретное преобразование Фурье для определения коэффициентов вейвлет-и масштабирующего фильтров:

Ь-1 Ь-1

Н(/)£ И . е-,'2/, G(/)£ gl • е-2/, (2)

I =0 ^0

где 1 = \— 1, / — частота.

Коэффициенты фильтра связаны с функциями преобразования Фурье. Обозначим (И}^Н(/) и {g}•^■G/) для вейвлет- и масштабирующего фильтров соответственно. Для иллюстрации этих отношений вставим коэффициенты вейвлет- и масштабирования в формулу (2), допуская Н(/ = (1 — е~й/)/\2 и G(/ = (1 + е-й/)/\2. Для удобства рассмотрим графики квадратов функций Н(/ = \Н(/ ■ Н*(/ = 28т2(/ и 12 G(/ = |G(/) ■ G*(/)| = 2со8 (Л/), где Н*(/ и G*/ являются функциями, сопряженными с Н(/ и G(/ соответственно (рис. 1).

Н/1' Gf \'

Рис. 1. Зависимость от частоты функций вейвлет- и масштабирующих фильтров Хаара

Квадратная функция вейвлет-фильтра Хаара усиливает высокие частоты и подавляет низкие. Это означает, что данный фильтр является фильтром высоких частот. Квадратная функция, полученная из фильтра масштабирования, напротив, оставляет низкие частоты и подавляет высокие. Это пример фильтра низких частот. Фильтр Хаара и масштабирующий фильтр совместно покрывают весь ряд данных и разбивают его на коэффициенты, связанные с высокими и низкими частотами. Чем больше длина вейвлет-фильтра и фильтра низких частот, тем лучшего приближения можно достичь.

Например, вейвлет-фильтр Даубехиса длиной 4 может быть определен следующим образом:

И =—^(1 — л/3,—3 + л/э,3 + л/з,-1 -л/3У.

4л/2

Квадрат функции вейвлет-фильтра можно описать как Н(/ = 28тУл/)'[1 + 2со8(л/)], а квадрат функции фильтра масштабирования Даубехиса как G/ = 2со84(л/)'[1 + 28т(л/)]. Графики этих функций отражены на рис. 2.

Н/ I' G/) ,|-

Рис. 2. Зависимость от частоты функций вейвлет- и масштабирующих фильтров Даубехиса

Затененные области иллюстрируют удаление от идеального фильтра.

Вейвлет-фильтр - пример фильтра высоких частот, а фильтр масштабирования - низких частот. Однако дифференцирование между высокими и низкими частотами при f = 1/4 значительно улучшено по сравнению с вейвлет- и масштабирующим фильтром Хаара. Это отмечено более крутым изгибом квадратов функций фильтров и более плавным спуском на концах каждого интервала.

Заключение

Выбор оптимального набора вейвлет- и масштабирующих фильтров при применении вейвлет-методологии позволит наиболее точно приблизить модель финансового рынка к реальности и, следовательно, даст возможность эффективно анализировать и предсказывать его состояние.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gerncay R., Se^cuk F., Whitcher B. An Introduction to Wavelets and Other Filtering Methods in Finance and Economics // San Diego: Academic Press, 2001.

2. Ramsey J. B. Wavelets in economics and finance: Past and future // Studies in Nonlinear Dynamics and Economics. - 2002. - N 6. - P. 5-18.

Статья поступила в редакцию 18.11.2009

RESEARCH OF VARIOUS MODELS OF WAVELET FILTERS AT THE ANALYSIS OF TIME SERIES

N. V. Demich, O. V. Demich

Aspects of the application of wavelet models and scaling filters for the analysis of time series are considered in the paper. The analysis of properties of Haar filters and Daubechies filters is resulted. The choice of an optimum set of filters is proved at the application of wavelet-methodology for the most accurate approximation of the model of the financial market to the reality and forecasting of its statuses.

Key words: discrete wavelet transform, discrete Fourier transform, Haar wavelet filter, Daubechies wavelet filter.