Исследование распространения ВНТ в электрических линиях с линейной и нелинейной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВТН В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ С ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ НАГРУЗКОЙ

В.Ю. БЕЛАШОВ, Е.С. БЕЛАШОВА, А.Р. ДЕНИСОВА Казанский государственный энергетический университет

Аналитически и численно, на основе неоднородных телеграфных уравнений и систем уравнений КдВ-типа, исследуется распространение волн тока и напряжения в электрических линиях с линейной и нелинейной нагрузкой при учете воздействия внешнего источника ЭМ поля.

1. Основные уравнения

Поставим целью изучение характера распространения по проводнику наведенных внешним источником волн тока и напряжения (ВТН). Частным случаем такой задачи может быть случай, когда на проводящую линию оказывается внешнее воздействие от источника, которым является удаленный от проводника разряд молнии. В качестве проводящей линии может быть принят, например, кабель или неизолированная воздушная линия. Основной причиной появления критических перенапряжений в проводнике, индуцированных разрядом молнии, в данном случае будет являться возникновение ВТН вследствие растекания зарядов, "подтянутых" электростатическим полем грозового облака. При быстром разряде облака такие заряды на проводнике, находящемся в плохо проводящей среде, растекаются по оболочке кабеля, образуя ВТН.

Распространение ВТН с учетом внешнего источника будем описывать неоднородной системой [1, 2]:

дtI + А [,и,Я,Ь]= 0, ди + В [,и,С,о]= /(X,t),

-<Ж х <<я, t > 0, (1)

л л

где Аи В - некоторые функционалы; Я, С, Ь, О - распределенные параметры: сопротивление, емкость, индуктивность и коэффициент утечки (проводимость), рассчитанные на единицу длины.

В простейшем случае отсутствия тока в линии роль начальных условий будут играть равенства

1( х ,0) = 0, и( х ,0) = 0. (2)

Условия на границах должны выбираться, исходя из конкретных условий рассматриваемой физической задачи.

Функция источника в системе (1) может быть представлена в виде

/ (t, х) = у (х ')\dQ ^ ) /Л ], (3)

где Q - заряд грозового облака; у - функция, описывающая геометрию задачи.

© В.Ю. Белашов, Е.С. Белашова, А.Р. Денисова Проблемы энергетики, 2006, № 11-12

2. Линия с линейной нагрузкой

В случае, когда рассматривается линия с распределенными источниками, типа показанной на рис. 1, функционалы определяются равенствами:

А = (дXU + RI)/Ь , (4)

В = (д x I + GU )/C , (5)

Рис. 1. Элементарный участок линии и система (1) приобретает вид неоднородных

телеграфных уравнений:

и система (1) приобретает вид неоднородных телеграфных уравнений:

Гд х и + Ьд (1 + Я1 = 0,

[д х I + Сд (и + Ои = / (, х ),

- да < х < да, * > 0. (7)

(6)

Рассмотрим вначале, в качестве более простого случая, систему (6) с / (, х )= 0. Если продифференцировать первое уравнение (6) по х, а второе по * и

из найденных выражений исключить производную д XI, получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно и [3]:

д2хи = ЬСд21 + (ЯС + ОЬ)д{и + ояи.

Аналогично выводится дифференциальное уравнение для тока: д 2х1 = ЬСд 21 + (С + ОЬ )д (1 + ОЯ1.

Видно, что напряжение и и сила тока I удовлетворяют одному и тому же уравнению

д\м> = а о д 2 м> + 2 Ьо д + с о м>, (8)

где

а 0 = ЬС, 2 Ь0 = ЯС - ОЬ, с0 = ОЯ.

Введя новую функцию U(х, *), положив м> = e (Ьо/a0 д*и, приведем уравнение (8) к более простой форме

д2хи = a2д 2\и + Ь2U,

(9)

где a = a01/2; Ь = a01д/Ь, - a0c0.

Используя далее метод Римана с начальными условиями U | ^=, = I (х), д (и\(=о = ¥ (х), можно получить аналитическое решение уравнения (9), выраженное через интеграл функций Бесселя нулевого порядка:

х+at

тт( \ I (х - at)+ / (х + at) 1 х+ /

и (х, * )=— -------------------------------------------- -- + — | Ф (х ,* ,

где

' х-a^

■К-

Действуя по аналогии и используя стандартные методы математической физики [4, 5], можно получить и аналитическое решение задачи (6) с I(, х)& 0. Так, в работе [6] решение было найдено в следующем виде:

*

2 о

р+

I (р- ,тд-1(р + ,тд+ к | I (п,т21 (кр

р - р

йт, (10)

„а* Гх+^

Lх-at

+

* р+

| йте"«* | 0 р-

Iт (П,тд+— I(П,тд Ь

10 (кр )йр },

где Iо (х ), 11 (х ) - модифицированные функции Бесселя; а ± = х ± а ( - т ), в 2 = а 2 * 2-(х - р )2 , а 2 = а 2 ( - т )2-(х - р )2, а 2 = 1/ЬС; к = \ЯС - ЬО|/2уГЬс, I = -(ЯС + ЬО)/2 ЬС.

Как видно из (10), аналитическое решение получается весьма громоздким и не позволяет полностью оценить свойства исследуемой системы. В связи с этим, нами выполнялось численное моделирование эволюции ВТН в соответствии с уравнениями системы (6) для широкого спектра значений параметров линии Я ,

© Проблемы энергетики, 2006, № 11-12

а

а

С, Ь, О с разными начальными условиями, включая и нулевые (2). Для моделирования эволюции ВТН на сравнительно малых временах использовалась схема Лакса, а на достаточно больших временных интервалах составлялась неявная схема, удобная для использования метода монотонной прогонки [1].

Г 1 г

и ь

\ \

\

\ . І та:

г ■ г

и /■

2 ' ТІЇ:: Т г1

х? К) VI

Рис. 2. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии под воздействием переменного во времени внешнего импульса от параметров линии: линия без потерь ( Я = О = 0), 2 ^ тах = 100 мкс

т ? ■ Г

и

1 \ \

\ \

\ - і

Г ■ г

и £ у

2 ■ т=і V л

х? КІ V/

Рис. 3. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии под воздействием переменного во времени внешнего импульса от параметров линии: линия с учетом потерь ( Я =10-3 Ом/м О = 10-6 1/Ом-м), 2 ^ тах = 100 мкс

Численные решения, описывающие распространение ВТН в однопроводной линии, с учетом влияния внешних (возмущающих) источников для различных значений параметров Я, С , Ь, О, в случае нулевых начальных условий дали хорошее согласие с результатами прямых расчетов по формулам (10), © Проблемы энергетики, 2006, № 11-12

выполненных в соответствии с алгоритмами, предложенными в [7]. Примеры результатов для источника, описываемого функцией

f (t, x ) = exp [-(t -1о )2 / lt ] exp (— x 2 / lx ) (11)

для L =10 —7 Гн/м, C = 10 -10 Ф/м , t max = 50 мкс, 2 t max = 100 мкс, приведены на

рис. 2, 3.

3. Линия с нелинейной нагрузкой

В случае, когда мы имеем линию, которая включает распределенные нелинейные элементы (рис. 4) (например, полупроводниковые (параметрические) диоды, варисторы или разрядники в качестве нелинейных емкостей и др.), функционалы в системе (1) принимают вид:

A = (a2/dxU + р ^U + RI)/L, (12)

В = (a2Udx/ + p25x/ + Gu)/C, (13)

и мы получаем систему уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ), учитывающих возможные потери в линии:

Гд t/ + (a 1 /( xU + р 1 d 3xU + R/ )/ L = 0,

[d tU + (a 2US x/ + в 2 d I/ + GU )/ C = f (t, x ) с начальными условиями: /(x,0)= /0 (x), U(x,0)= U0 (x).

(14)

Рис. 4. Элемент линии с магнитной связью

Решение данной задачи Коши аналитическими методами даже в случае, когда / (, х ) = 0, представляет значительную трудность, а для произвольных /(, х) вообще вряд ли возможно. Поэтому интегрирование системы (14) проводилось с помощью методов численного моделирования. При этом для численного интегрирования, из соображений удобства, уравнения (14) переписывались в безразмерном виде:

д г1 + «1/д хи + р! д %и + ~! I = 0, ди + й2идХ1 + «2дX/ + «2и = /(*, х),

где коэффициенты и функция / (, х ) являются безразмерными.

Задача (15) с функцией / (, х) вида (3) (включая случай / (, х ) = 0) решалась численно с использованием неявной схемы высокого порядка аппроксимации (см. [8]). Результаты численного интегрирования для

л л

функционалов А и В, определяемых элементами электрической цепи, описывающие эффекты воздействия индуцированных ВТН на параметры функций / (х, ^) и и (х, ^) в кабельных линиях, были получены для различных модельных функций возмущающих источников [8] и приведены на рис. 5-8. При этом наблюдались следующие случаи.

а)

б)

Рис. 5. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии без потерь ( Я = О = 0 ) при / (, х ) = 0, «1 = Й2 = 1 в зависимости от параметров линии:

а - Р1 = Р 2 = 3,47 х 10-3; б - «1 = р 2 = 1,02 х 10-4

Для Я = О = 0 из начального импульса либо формировался солитон ВТН с осциллирующим хвостом позади главного максимума (рис. 5, а; 6), либо, для достаточно больших а [ / Р [ =( = 1,2) (зависящие от соотношений параметров линии Я , С , Ь , О ), начальный импульс распадался на последовательность устойчивых солитонов ВТН (рис. 5, б; 8).

При достаточно малых потерях в линии (малые «1,«2 или Я, О) на начальной стадии формировались солитоноподобные импульсы ВТН с крутыми передними фронтами, амплитуды которых в процессе распространения в линии

экспоненциально затухали (рис. 8). В случае больших Я, О импульсы солитонного типа не формировались.

Г 1 г

и ь

\ \

\ \

\ та

г ■ г

и ь

2 ' т:: Т

1 \

ч 2)

Г

х? И

Рис. 6. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии под воздействием внешнего импульса

а а а а —3

(11) для параметров: Я = О = 0, а 1 = а2 = 1, Р1 = в2 = 3,42х 10 при ^тах = 50,

21 тах = 100 мкс

Г 1 г

и А

N

\ \

\ N

\ - * тщ

г ■ 1 Т

и Ь 1

2

- 1

|

/ Л

*

х, К) V/

Рис. 7. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии под воздействием внешнего импульса

а а а а -3 а а

(11) для параметров: а 1 = а2 = 1, Р1 = в2 = 3,42х 10 , у 1 = ... = у2 = 0,15

при 1 тах = 50; 21 тах = 100 мкс

Г 1 Г

и L,

\

S

\

\ . 1 тля:

т ■ ■ г

и L 1

2 ' ТТ1* V у X- А 1

■

- ч J

Я

ц

х? YL

Рис. 8. Эволюция амплитуды и формы сигнала в линии под воздействием внешнего импульса (11) для параметров: й]_ = Й2 = 1, Pi = ~2 = 1,02х 10 4, ~1 = ~2 = 0,15 при tmax = 50,

21 max = 100 мкс

В численных экспериментах было также установлено, что для некоторых специальных начальных условий (форма ВТН при t = 0) для определенных значений параметров линии может наблюдаться явление параметрического усиления напряжений и токов в линии.

Полученные результаты могут быть полезными при решении задач эксплуатационной надежности и оптимизации, с точки зрения помехоустойчивости, проектирования электротехнических систем и их структур, а также при исследовании причин изменения показателей качества электроэнергии.

Summary

Propagation of the current and voltage waves in the electric lines with linear and nonlinear load with due account of influence of external source of the EM field is studied analytically and numerically basing on the non-uniform telegraph equations and the sets of the equation of KdV type.

Литература

1. Belashov V.Yu., Belashova E.S., Denisova A.R. Theory and numerical simulation of the internal EM fields excited by the external source in the cable lines of different assignment // Proc. XVII Intern. Wroclaw Symp. on EMC. - Wroclaw, Poland, June 29 - July 1, 2004.

2. Хабигер Э. Электромагнитная совместимость. Основы ее обеспечения в технике: Пер. с нем. / И.П. Кужекин; Под. ред. Б.К. Максимова. - М.: Энергоатомиздат, 1995.

3. Курбацкий В.Г. Качество электроэнергии и электромагнитная совместимость технических средств в электрических сетях: Учебное пособие. -Братск: Изд-во БрГТУ, 1999.

4. Венс Э.Ф. Влияние электромагнитных полей на экранированные кабели / Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1982.

5. Дубышкин А.В., Колли Я Н. Наведение ЭДС в длинной линии поперечной плоской электромагнитной волной // Электричество. - 1993. - №9.

6. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1980.

7. Белашов В.Ю., Сингатулин Р.М. Специальные функции: теория, алгоритмы вычисления. - Казань: КГЭУ, 2002.

8. Белашов В.Ю., Денисова А.Р. Воздействие внешних электромагнитных полей на проводящие линии // Научно-технический форум с международным участием «Высокие технологии -2004»: Матер. докл. - Ижевск, 2004. - С. 23-30.