Исследование распространения лазерных пучков в параболическом оптическом волокне с помощью интегрального параксиального оператора Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ОПТИЧЕСКОМ ВОЛОКНЕ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПАРАКСИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

А.С. Стрилец, С.Н. Хонина Самарский государственный аэрокосмический университет Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В данной работе исследуется интеграл, который описывает распространение света в среде с параболическим профилем показателя преломления в параксиальном приближении в рамках скалярной теории. Этот интегральный оператор аналогичен преобразованию Френеля, описывающему в том же приближении распространение света в свободном пространстве.

1. Теоретические основы

1.1. Описание распространения электромагнитной монохроматической волны в среде с параболическим профилем показателя преломления

Рассмотрим среду (волновод) с параболической зависимостью показателя преломления от поперечных декартовых координат х и у

(

п2 (г) = п2

2

1 - 2А-

(і )

'о у

где г = ^х2 + у2 - радиус цилиндрической системы координат; п0 - показатель преломления на оси г волновода при значении радиуса г = 0 ; г0 - радиус волновода; А - параметр дисперсии показателя преломления среды.

Уравнение (1) можно переписать в следующем виде

п2 (г) = п0 - аг2, (2 )

где а = 2 Д —^ - коэффициент при величине г2.

го

Распространение электромагнитной монохроматической волны в среде с указанным показателем преломления п ( г ) при условии, что изменения показателя преломления малы по сравнению с длиной волны, описывается уравнением Гельмгольца [1]:

[V2 + к2п2 (г)] Е(х, у, г) = 0,

д д

д

(3 )

2п

где V = —- +----- +—- - оператор Лапласа; к =

дх2 дУ дг2 X

волновое число, здесь X - длина волны в вакууме; Е (х, у, г) - комплексная амплитуда светового поля.

В параксиальном приближении справедливо соотношение

Е (х, у, г) = р (х, у, г) ехр (кп0г) .

(4 )

где і - комплексная единица; р(х, у, г) - медленно изменяющаяся в зависимости от величины г

комплексная амплитуда (условие медленного изме-

нения

д2 р

дг2

<< 2кп„

др

дг

).

Учитывая соотношение (4) уравнение Гельмгольца (3) в параксиальном приближении принимает следующий вид:

д2 д2 д , 2 / 2 2\

—- +-------- + 2ікп0----ак (х + у )

дх2 ду дг 1 ’

(5 )

сГ2

хР (г, у, г ) = 0.

Согласно [2] от уравнения (5) можно перейти к эквивалентному интегральному соотношению

сехр

21ап(юг)

да да I

| | р0 (у)ехР| 2 .іа( ) X

-да-да [2 єіп (юг)

[(х2 + у2 )о8 (юг)- 2 (х|+ уп)} сіхсіу,

(6 )

где ю = -

к

отношение описанных выше величин

а и к.

Выражение (6) является параксиальным интегралом распространения электромагнитной волны в волокне с параболическим профилем показателя преломления. Этот интеграл позволяет определять распределение комплексной амплитуды Р (Е,,п, г) в

плоскости, находящейся на некотором расстоянии

7 от начала координат, по начальному распределению Р0 (г, у) в плоскости 7 = 0 .

1.2. Анализ параксиального интегрального оператора для произвольного монохроматического светового поля

Проанализируем интегральное соотношение (6) на различных расстояниях 7 от начальной плоскости.

1. Расстояние, определяемое условием юг «1

или, если переписать в другой форме г « к.

2

а

сх

При этом условии можно считать бш (юг) и юг,

008 (юг) и 1, а интеграл (6) примет вид преобразования Френеля:

F (nz )=-Jtх

да да С .-і

xj j F0 (xУ)exp( —x)2 + ( —y)2

—да —да v

, (7)

dxdy,

которое описывает распространение электромагнитной волны в свободном пространстве в параксиальном приближении.

Так как действие преобразования Френеля (7) на начальный световой пучок увеличивает его эффективный радиус, то можно ожидать аналогичное увеличение результата интеграла (6) по сравнению с начальным распределением.

2. Расстояние, определяемое соотношением

(л/ 2 )+л(/ -1) гт = -- ----- --- , I - натуральное число.

ю

В этом случае бш(юг7 ) = (-1)11, соб (юг7 ) = 0, а параксиальный интеграл перепишется в виде

2-(—1)

(8 )

:j j F0 (xy)exP j— ( )f—1 (x + Пу)dxdy-

—да—да I (—1) J

Рассмотрим следующие возможные варианты:

1) при нечётном значении I интеграл (6) принимает вид преобразования Фурье

F (5. іz ) = - 2Пх

j j F0 (x.y)exp{ —ia (x + ПУ)} dxdy;

(9 )

2) при чётном значении I интеграл (6) имеет вид обратного преобразования Фурье

F ч-z, )=2ПХ

: j j F0 (x, y) exp jia (|x + ny)J dxdy.

(10 )

3. Расстояние, определяемое соотношением г1 = П/ю , I - натуральное число.

В этой ситуации бш (юг7 ) = 0, соб (юг, ) = (-1)1. При этом интеграл (6) следует рассматривать в пределе при переходе г ^ г1

<lim

t ^0

sin (t) 2sin (t) j

[!!f0 (xy )exp { 2ЇЦГ)x

<[(x2 + y2)(—1) — 2 (x5+ yn) J dxdy

(11 )

Далее возможны две ситуации:

1) если значение I - нечётное, то, сделав замену а

на и , получим следующее

2sin(t)

F П.Z ) = — - lim

— и^да

iu j j F0 (x.у)

—да —да

{—iu (5 + x)2 + (n + У)2 j dxdy

(12 )

x exp

пользуясь пределом [3]

--{^7 eXP (-iUXl )^ = §(X^

окончательно имеем F (^ П. ) =

да да

= —j j F (x,У)8(l + x)5(n + y)dxdy = (13 )

—да —да

= -F0 ( —n),

где 5 (x) - дельта функция Дирака.

2) если значение l - чётное, то, сделав замену a

2sin(t)

на и , аналогично получим следующее

iu j j F0 (x. У)

(14 )

x exp {—iu (5 — x)2 + (n — У)2 Jj dxdy

да да

= j j F0 ( У )8(5 — x )8(n — У У) dxdy =

—да —да

= F0 (5. n).

Итак, согласно проделанным выкладкам, параксиальный интеграл (6) даёт периодически повторяющееся результирующее распределение комплексной амплитуды Р (, п, г) с периодом

2п 2пк Г 1

гТ = — =-----. На отрезке г е 10, гт I этот интеграл

ю а

имеет следующие особенные точки:

х

—да —да

1 п пк

1) при значении г =— гт = — = — распределе-

4 2ю 2а

ние Р (, п, г) является преобразованием Фурье от р (х, у);

1 п пк

2) при значении г = — гт = — = — результат

2 ю а

F п,-2 zr j = -Fo ( -п)

т.е. является

симметрично отраженным исходным распределением;

3 3п 3пк

3) при значении г = — гт = — =------- распреде-

4 2ю 2а

ление Р (, п, г) является обратным преобразованием Фурье от Р0 (х, у);

4) при значении г = гт распределение Р (£,п, г) в точности равно начальному распределению Р (^ п, гт ) = Р0 (^ п) .

Теперь перейдём к исследованию интеграла (6) в случае, когда Р0 (х, у) представляет собой отдельную моду Гаусса-Лагерра или их суперпозицию.

1.3. Анализ действия параксиального интегрального оператора на моды Гаусса-Лагерра

Известно, что в идеальной градиентной среде с параболическим профилем показателя преломления распространяются моды Гаусса-Лагерра, которые образуют полный ортонормированный базис и теоретически позволяют разложить по ним произвольное поле с любой наперёд заданной точностью [4]. Таким образом, наибольший интерес представляет собой исследование действия параксиального интегрального оператора на моды Гаусса-Лагерра и их суперпозиции, так в этом случае можно сравнить полученные результаты с теоретическими.

Комплексную амплитуду мод ГЛ можно представить в цилиндрической системе координат в следующем виде [5]:

r^/2

xLH

( ..2 Л

(15 )

где ст0 =

exp

/ \1/2 fX Го ^

exp (шф)ехр (/'ßn,mZ),

Vnno J

(2Д) - эффективный радиус

фундаментальной моды; n , m - целые числа, определяющие порядок моды, n > 0; r = x2 + y2 , Ф = arctan (y/x), z - координаты цилиндрической системы координат;

ßn,m =^jk2n02 -(/ст0 )(2w + im + 1) - коэффициент,

определяющий фазовую скорость соответствующей 1

м°ды; Cnm = -

2n!

константа нормиров-

n(n + |m|)!

ки; L (x) - обобщенный многочлен Лагерра, определяемый следующими соотношениями

L0 (x) = 1, Lm (x) = 1 + m - x,

LH (x)=1 [(2n+m -1 - x)L'"„-1 (x)-п L

- (n + m -1) )H-2 (n + m -1).

Вычислим интеграл (6) в цилиндрической системе координат при начальном распределении

т

F0 (Г, Ф) = Тn,m (Г, Ф^) = Cn,

V 0 J

xL

m

ехр \—- + нф>:

iaC

F (р, 0, z ) = - nH

-exp

iap

2nsin(coz) I 2tan(coz)l

xff ^

0 V CT0 J

exp

iar

| 2tan(coz )l

exP 1 2"

2

J exp (нф)>

(16 )

с exp < -1 —

arp

-cos

rdr,

. —„(ф-0)1 d ф 1 sin (coz) I

где p = д/^2 +n2 , 0 = arctan(n/l) •

Используя справочные интегралы [4]:

J exp (i^)exp {ix cos (ф)} ф =

0

= £ JH (x)

да

JrH+1 exp{-ar2}LH (br2) (cr)dr =

0

= 1 f £ Iі H ( - b)

= 2 V 2 J a

(17 )

|m|+n+i exp 1 4a

(18 )

xL

Hl

c2b

4a (b - a)

где ^т{ (х) - функция Бесселя первого рода порядка \т\, в итоге можно получить следующее

F (, е, z ) = Q

(z)l a(z)

хП

m

2р2

л

(19 )

!(z).

exp jl ß„,„ ( z)- ^2p(7)+im ej

i 4sin2 (coz)

где a(z) = ст0 Icos (oz)+-^4—- - эффективный

а 2а4

радиус распределения Р (р, 9, г);

в„т ( г) = (2« + 1Н + 1)Х

аа0

( „2 Л

1 - G°

ар

2tan(юг) 2 ^ ст2 (г2tan(юг)

- функция, определяющая фазовую скорость Р (р, 9, г).

Результат интегрирования похож на моду ГЛ (15). Отличие состоит в зависимости амплитуды и эффективного радиуса пучка от расстояния 7, а также фазы от радиуса р и расстояния г .

При условии юг ^1<< уравнение (19) совпадает с уравнением, описывающим распространение мод ГЛ в свободном пространстве в параксиальном приближении [5]:

Н /

ЬИ

F (р,е,z ) = Сг

а0 f pV2

сехр

a(z )[a(z )у

ІПР - i ß (z)- P

ßn,m (z)

2p2 ^ 2P

а

[XR (z )

V

- + im е

(z).

(20 )

a(z) J

f z \

где ßnm(z) = ( + \m\ + l)arctan — , R(z) = ;

- радиус кривизны параболического фронта светового поля, ст2 (г) = ст0 (1 + г2/г2) - эффективный радиус пучка, г0 = пст2/X - конфокальный параметр.

Ниже на рис. 1, 2 приведено несколько графиков зависимости эффективного радиуса фундаментальной моды из формулы (19) от расстояния при следующих параметрах: X = 633 -10-6 мм , п0 = 1,5.

Ф)Ч

1,5-105

1,0-10

5,0-104

1 г 0=0,1 мм —г0=0,5 мм — го=1 мм

/ // ч\ (/

0

п/2

Зп/2 coz

Рис. 1. Зависимость ст(г)/ст0 от величины юг при параметре дисперсии Д = 0,001 и различных значениях радиуса волокна г0

о

п/2 к

а( z )/а0

Зп/2

сиг

Рис. 2. Зависимость ст(г)/ст0 от величины ю г для волокна с радиусом г0 = 0,5 мм и различными значениями дисперсионного параметра Д

Из рис. 1, 2 видно, что расходимость пучка

уменьшается с уменьшением радиуса волокна г0 и

увеличением его дисперсионного параметра Д.

Эффективный радиус принимает максимальное

2 л + 2л(/ -1)

значение ст =------ в точках г, =---------------------, где

аст0 2ю

формируется Фурье спектр исходного пучка, и ми-

п1

нимальное значение ст = ст0 в точках г1 = —.

ю

Если для эффективного радиуса выполняется соотношение

2 Го

а n04Ä

(21)

то пучок, описываемый уравнением (19), не расширяется. Однако, как видно из выражения (21), в этом случае эффективный радиус будет значительно превышать радиус самого волокна.

Перейдём к анализу суперпозиций световых пучков. В частности рассмотрим суперпозиции мод ГЛ и соответствующих результатов действия на них интегрального параксиального оператора.

1.4. Анализ действия параксиального интегрального оператора на суперпозицию мод Гаусса-Лагерра Рассмотрим суперпозицию двух пучков Е (г, ф, г) = С1Е1 (г, ф, г) + С2Е2 (г,ф, г). Интенсивность

этой суперпозиции определяется следующей формулой

где

I (г, ф, z) = I( (г, ф, z) +

+1 (г, ф, z) cos |ф (г, ф, z)} ,

(фz) =|С11 (фz)С12 (z) , 1 (2) (г , ф, z) = 2 |CiC21

(22 )

Ф( Г, ф, z ) = arg [С ]-arg [С2 ] +

+ arg [ E1 (Г, ф, z )]-arg [ E2 (г, ф, z )] .

Для суперпозиции двух мод ГЛ можно записать Ф(г, Ф, z ) = arg [С1 ]- arg [C2 ] +

(23 )

+ (,m1 -ß„2,m2 )Z + (l - m2 )ф •

Приравнивая выражение (23) к константе и, затем, дифференцируя по переменной z , можно найти скорость вращения суперпозиции вокруг оси волокна

дф ßWl,mi -ß„2,„2

dz m, - m.

При указанных параметрах фундаментальная мода волновода имеет следующий эффективный радиус

(24 )

Суперпозиция двух мод ГЛ представляет собой пучок, не меняющий формы и равномерно вращающийся вокруг оси со скоростью (24). Суперпозиция мод ГЛ, имеющих одинаковое значение 2п + |m| +1,

распространяется, как единая мода, не вращаясь.

Для результата действия интегрального оператора (19) на суперпозицию двух мод можно записать

Ф (г, ф, z) = arg [Ci ] - arg [C2 ] +

+ßn1,m1 ( Z) ßn2 ,m2 ( Z) + (mi - m2 )0 =

= arg [Ci ]-arg [C2 ] + (2 (ni - П2) + \m\ - \m2 |) (25 )

< arctan <!-

-(m1 - m2 )9.

I 2tan(coz)

Аналогично можно получить скорость вращения

59 = 2 (n1 - n2) + |mj - |m2| 2

dz m1 - m2 ka2 (z)

(26 )

В отличие от предыдущего случая (24) здесь скорость вращения уменьшается по модулю с увеличением расстояния г, и, начиная с некоторого момента, при приближении к точке формирования Фу-рье-спектра, пучок практически не вращается. При приближении к точке формирования перевернутого исходного изображения скорость вращения вновь возрастает.

2. Численное моделирование

2.1. Результаты численного моделирования распространения мод Гаусса-Лагерра и их суперпозиций

В данном разделе приведены результаты численного моделирования распространения с помощью (6) световых полей, представляющих собой моды Гаусса-Лагерра и их суперпозиции, т.к. их можно сравнить с теоретическим представлением (15).

При расчётах принимались следующие значения параметров электромагнитной волны и среды её распространения:

1) Х = 633 -10-6 мм - длина волны в вакууме;

2) Д = 0,001 - дисперсионный параметр градиентной среды;

3) г0 = 0,5мм - радиус волновода;

4) п0 = 1,5 - показатель преломления на оси волновода.

(2А)-

(633 -10-6 • 0,5^ л-1,5

(2 • 0,001)-1 4 и 0,0388мм.

Численное интегрирование выражения (6) производилось по методу последовательного интегрирования [6] с использованием квадратурных формул Симпсона. При этом выбирался одинаковый шаг интегрирования к по каждой из координат. Погрешность вычисления параксиального интеграла при

указанном методе порядка О (к4).

На рис. 3 приводятся полученные изображения интенсивности результатов численного расчёта параксиального интеграла для мод ГЛ Т00 (первая

строка), Т 01 (вторая строка) и суперпозиции

+ Т0 2 + Т0 -2 (третья строка).

Как видно из (15) интенсивность отдельных мод при распространении в градиентном волокне не должна меняться. Каждая компонента суперпозиции Тщ + Т02 + Т0-2 имеет одинаковое число

2п + Н| +1 = 3 и, следовательно, одну и ту же фазовую скорость, поэтому данная суперпозиция должна распространяется, как единая мода, с сохранением начального распределения интенсивности на любом расстоянии.

Однако из рис. 3 видно, что при сохранении структуры, поперечная картина всех этих пучков уширяется. Причем, в связи с очень малым значением ю, уширение будет происходить на расстоянии сотни километров, и только после прохождения точки формирования Фурье-спектра начнется сужение.

На рис. 4 приводятся полученные изображения интенсивности результатов численного интегрирования параксиального интеграла (6) (вторая строка) и расчёта суперпозиции Т01 + Т10 по аналитической формуле (15) (первая строка). Размер изображений на первой и второй строках - 0,2 мм. Если бы эффективный радиус выбирался в соответствии с соотношением (21), то размер изображений был около 50 мм.

Теоретическое распределение интенсивности данной суперпозиции вращается вокруг оси волновода с постоянной скоростью, определяемой уравнением (24). Распределение интенсивности результата действия параксиального оператора на данную суперпозицию вращается с переменной скоростью вокруг оси волновода, определяемой формулой (26). Вблизи формирования Фурье-спектра это вращение практически прекращается.

1/4

г = 0 мм

г = 2 мм

г = 6 мм

г = 10 мм

г = 14 мм

Рис. 3. Интенсивность на различных расстояниях, полученная с помощью (6) при использовании в качестве исходных распределений мод ГЛ Т00 (первая строка), Т01 (вторая строка) и суперпозиции Т10

Т02 +Т0 -2 (третья строка)

г = 0 мм

г = 2 мм

г = 6 мм

г = 10 мм

г = 14 мм

Рис. 4. Интенсивность на различных расстояниях для суперпозиции мод ГЛ Т01 +Т10, полученная по аналитической формуле (15) (первая строка), с помощью численного интегрирования выражения (6) (вторая строка)

3. Заключение

При анализе параксиального интеграла (6) было установлено, что его результаты повторяются с определённым периодом по координате г . На четверти и трёх четвертях периода формируется Фурье-спектр начального распределения, на полупериоде образуется с точностью до знака повёрнутое исходное распределение.

Аналитически был получен результат действия исследуемого оператора на отдельные моды Г аус-са-Лагерра и их суперпозиции и показано, что в этом случае пучок при сохранении модовой структуры периодически масштабно уширяется и сужается. При условии ю г ^ 1 (которое ввиду

очень малого значения ю выполняется на расстоянии около сотни километров), полученное урав-

нение совпадает с уравнением, описывающим распространение мод ГЛ в свободном пространстве в параксиальном приближении. Также скорость вращения для «вращающихся» суперпозиций становится не постоянной, а уменьшается с увеличением пройденного расстояния, затем снова увеличивается после точки формирования Фурье-спектра.

Численное моделирование подтвердило полученные аналитические выкладки.

Благодарности Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 07-07-99007.

Литература

1. Agrawal, G.P. Fiber-Optic Communication Systems / G.P. Agrawal - John Wiley, (3rd Edition), 2002

2. Котляр, В.В. Операторное описание параксиальных световых полей / В.В. Котляр, С.Н. Хонина, Я. Ванг // Компьютерная оптика, 2001. - № 21. - С. 45 - 52.

3. Смокий, О.И. Методы теории систем и преобразований в оптике / О.И. Смокий, В. А. Фабриков - М.: Наука, 1987.

4. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн

- М.: Наука, 1977. - 832 с.

5. Методы компьютерной оптики / Под ред. В.А. Сой-фера. - М.: Физматлит, 2003. - 688 с.

6. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин -М.: Наука, 1978. - 512 с.