Исследование рабочих зон манипуляционных роботов на основе анализа параметров инерции Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.865.8

О.Н. Крахмалев, Д.И. Петрешин

ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОЧИХ ЗОН МАНИПУЛЯЦИОННЫХ РОБОТОВ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ПАРАМЕТРОВ ИНЕРЦИИ

Предложен подход к оптимизации законов движения манипуляционных роботов, основанный на анализе инерционных свойств таких роботов в пространстве их обобщенных координат.

Ключевые слова: манипуляционные роботы, оптимизация, законы движения, силы инерции.

Целью исследования является разработка подхода к оптимизации законов движения манипуляционных роботов, основанного на анализе инерционных свойств таких роботов в пространстве их обобщенных координат [1]. При этом целевая функция (интегральный критерий оптимизации) не составляется, поэтому задача оптимизации не рассматривается в строгой постановке. Данная научная проблема является актуальной и до настоящего времени не решена в объёме, необходимом для решения вытекающих из неё технических задач, направленных на повышение быстродействия и снижение энергоёмкости процессов манипулирования.

Предлагаемый подход основывается на методе Лагранжа - Эйлера, реализованном с применением аппарата матриц преобразования однородных координат, и методике анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем роботов [2]. Такой подход позволил получить аналитические выражения в виде, удобном для использования в системах управления и автоматизированного проектирования. Для исследования динамики манипуляционных систем роботов рассмотрим математическую модель, основанную на матричном уравнении [3]

щенных сил [4].

[М - положительно определенная матрица размерности п*п, отражающая влияние даламберовых сил инерции, действующих на звенья манипуляционной системы робота. Матрицу [М] можно представить суммой матриц:

[^ - матрица размерности п*п, отражающая влияние центробежных сил инерции, действующих на звенья манипуляционной системы робота. Матрицу [^ можно представить суммой матриц:

дений обобщённых скоростей, имеющий размерность С х 1, п - число степеней свободы манипуляционной системы, СП - число сочетаний из п по 2; ^} - вектор п*1 обоб-

{ л Т \

г -■ ^ \дЛ)кдЛт0к | , ч

М]=к], к = 1 (,=а...,п)).

(2)

к=1

дд,

Н

а2 л1

0,к

дд

] = (1,..., п)).

(3)

] у

[К] - матрица размерности Сп х 1, отражающая влияние кориолисовых сил инерции, действующих на звенья манипуляционной системы робота. Матрицу [К] также можно представить суммой матриц:

[К]= [к 1 ^ к 1 = £*

к=2

дЛо,к Н д2лт0,к Л

(г, 1 = (1,..., п)) .

(4)

^ дд ддгдд} у

Нк - матрица (4*4) инерции к-го звена манипуляционной системы, рассматриваемого как твёрдое тело. Л0,к- матрица (4*4) преобразования однородных координат из системы координат, связанной с к-м звеном, в неподвижную систему координат, связанную с основанием робота.

Элементы матричных коэффициентов [М], [^ и [К] представляют собой параметры инерции манипуляционного робота и являются функциями обобщённых координат, поэтому анализ инерционных свойств манипуляционных роботов в пространстве их обобщенных координат может быть проведен путём анализа ненулевых элементов этих матричных коэффициентов.

По теореме о необходимых условиях экстремума функции многих переменных для элементов матричных коэффициентов ту, ¡у и к^ в точках экстремума дг= дг , /=(1,...,п), должны выполняться условия:

дт1(д*,...,д:)=о, ^(дП)=о,дк*(д*-дП)=о, $=(1,..., п). (5)

дд$

дд$

дд$

Аналитические выражения для частных производных матричных коэффициентов, составляющих уравнения (5), имеют вид

дт у

дд$

Ёгг

к=1

(

дЛ

0,к ТТ д2Л11к . дЛ0,к

дд

Н

я,

д2Ат ^ д Л0,к

кк дд, ддs дд, дд , ддs

дд$

=Ё к

к=1

I]

13 лТ

д\ д3 Л0,к д2л я —~--1--я,

лТ \

д Ак

дд

дд$

= Ё *

к=2

дду дд$ дду дд ,дд,

'дЛ,,* я д3ЛТ,к ^ д2Л,,.

-я к--'--

дд, ддгдд^д$ дд1 дд( к дд,дд,

к и д Л0,к ^

Нк-

$ У

(6)

(7)

(8)

Для поиска экстремумов могут быть использованы численные методы, например метод Ньютона для безусловной минимизации функции многих переменных. Полагаем, что функция f (х1,., хп) дважды дифференцируема в некоторой окрестности своего минимума fmm= f (х1 ,..., хп ). Алгоритм поиска экстремумов на к-м шаге итерации может иметь вид

д 2/ (х|к),..., хПк))

дх2

{\х(к)}=

—

дх

{х(к+1) }={х(к ) }+{^ х(к ) }

к

где {Лх(к)} - вектор (п*1) разности промежуточных решений;

\д/ (х((к),..., х{к) )1

Гессе (пхп); ^---У - градиент (пх 1).

I дх I

a 2f (x *X *))'

2

матрица

Если матрица Гессе в точке экстремума является положительно определенной, то данная точка соответствует локальному минимуму, если отрицательно определенной -локальному максимуму.

Для составления матрицы Гессе и проверки знакоопределенности этой матрицы в

точках экстремума (д,...,д*) используются квадратуры соответствующих функций к, sij и ки, /,/=(1,...,п), И=(1,.. ,,С„2 ), которые могут быть получены из выражений (6-8). В нашем случае будем иметь:

(

a 2 m.(qi,..., qn)

a4p aqq

Ёtr

*=1

A

H

a3 AT*

a3 AT*

л

aq, aqdqpdqq aq, ^PqM,,

-+

+

a2 A*

dq,dqP

H

д2AT* , a2A0

+ -

H

a2 at*

** aq,aqq aq1aqq aq,aq

. p J

a 2 5 .. (qi,..., qn)

aqpaqq

= Ё tr

к=1

aAo,* aqi

h.

a4 A*

aq2aqp

+

h.

a3 AT*

a2 A,*

aq2 * ^q* aq,

■ +

pq

3 лТ

+ a2a,* h a3ao,* + a2a,* h a3at,*

+--h* —2--'--h* —2-

aqiaqp aq aq aqiaqq aq aqt

V

a 2 * h (ql,..., qn)

aqpaqg

= Ё tr

*=2

H

aAo*

aq,

a2 a,

a4 AT

■ +

a2 A*

H

3 лТ 0,*

a3 a,

* ^ßqßqp^o aqiaqt *

+

lp lq

^3 лТ

+

0,*

H,r

a3 at.

+

a2 A*

lp lq

3 лТ

H

a3 a,

0,*

^q, * ^ßqßqq aqiaqq * ^ßqßq

p У

Для исследования движения робота в его рабочей зоне, построенной в пространстве обобщенных координат, удобно использовать не экстремумы функций mi](q1,^,qn), s1](q1,^,qn) и *ih(q1,^,qn), а экстремумы их модулей. Связь между экстремумами этих функций и экстремумами их модулей может быть однозначно определена по следующему правилу:

и = (mi]., S], ), V = (mi] Ц S] [\*i]\), if_ max (и ) > 0 _ and _ min (и ) > 0 _ then _ max (v ) = max (и ), min (v ) = min (и ), if_ max (и ) > 0 _ and _ min (и ) < 0 _ then _ max (v ) = max (max (и ), |min (и )), min (v ) = 0,

if_ max (и ) < 0 _ and _ min (и ) < 0 _ then _ max (v ) = min (и ), min (и ) = max (v ).

В пространстве обобщенных координат на основе точек, соответствующих экстремумам (минимумам) модулей ненулевых элементов матричных коэффициентов динамической модели, определяется область рабочей зоны манипуляционного робота, внутри ко-

*

торой выбирается траектория его движения. Построенная таким образом траектория движения может считаться оптимальной с точки зрения влияния инерционных параметров, определяемых матричными коэффициентами (2-4).

Проиллюстрируем применение рассмотренного подхода к оптимизации законов движения манипуляционных роботов на примере исследования рабочей зоны трехзвенно-го манипуляционного робота, кинематическая схема манипуляционной системы которого представлена на рис. 1.

Первое звено исследуемой манипуляци-онной системы вращается вокруг вертикальной оси, имеет массу ш1=3 кг и моделируется тонкостенным цилиндром длиной /1= 1 ми радиусом R1= 0,01 м. Второе звено, имеющее массу т2=3 кг, совершает поступательные перемещения вдоль горизонтальной оси и моделируется стержнем длиной 2/2=1 м. Третье звено представляет собой сосредоточенную массу т3=1 кг и совершает вращательное движение в вертикальной плоскости, совпадающей со вторым звеном. Используя кинематическую схему манипуляционной системы, составим матрицы А0,к, описывающие её конфигурацию, и матрицы Нк, описывающие распределение масс в звеньях этой манипуляци-онной системы (к=1, 2, 3) [3].

Рис. 1. Кинематическая схема Используя уравнение (1Х п°стр°им ма-

тематическую модель трёхзвенной манипуля-ционной системы, которая будет иметь вид матричного уравнения:

>

41 X

[М][сь с 2, су1 + 2,42Г + ВД^с 24зГ = {QD} + {QG}

(9)

где - вектор (3*1) усилий, развиваемых приводами; ^о} - вектор (3*1) обобщенных сил, соответствующих силам тяжести звеньев исследуемой манипуляционной системы и перемещаемого груза [4].

Матричные коэффициенты [М], [5"] и [К], входящие в уравнение (9), для выбранной модели манипуляционной системы можно представить в развернутом (поэлементном) виде:

(10)

т11 0 0 " 0 0 0 ки к12 0

К] = 0 т22 т23 , К ] = ^21 0 S23 ЛЬ ] = 0 0 0

0 т32 т33 _ ^31 0 0 0 0 0

Ненулевые элементы матричных коэффициентов (10) могут быть получены в общем

виде.

тп = т^ + т2

— /2 + | + т3 (д2 + /2 + /3 cos д3 )2

3

где первое слагаемое - это момент инерции тонкостенного цилиндра массой т1 и радиусом R1 относительно оси вращения первого звена, второе слагаемое - момент инерции второго звена, моделируемого стержнем длиной 2/2 и массой т2, относительно оси вращения первого звена, третье слагаемое - момент инерции третьего звена (сосредоточенная

масса т3) относительно оси вращения первого звена. Аналогично могут быть получены выражения для других ненулевых элементов:

в 2

т22 = т2 + т3, т23 = т32 = - т3/38тд3, т33 = т3/3 ;

¿21 = - т242 - т3(42 + /2 + ^тд3), £23 = - т3/3С0843, £31 = т3/3(42 + /2 + /300843) 8^43; кП = т242 + т3/3(42 + /2 + /300843), к12 = - т3^(42 + /2 + /300843) 8^43.

Полученные зависимости могут быть представлены графически в виде соответствующих им поверхностей, изображенных внутри рабочей зоны робота.

0 < 41 < 2п, - /2 < 42 < /2,- 3п/4 < 43 < 3п/4.

На рис. 2-7 представлены поверхности, соответствующие зависимостям, т11(42,43), т23(42,43), ¿21(42,43), ¿23(42,43), ¿31(42,43), ^1(42,43), а на рис. 8-11 - проекции поверхностей тп(42,43) и ¿31(42,43) на плоскости (тп, 42), (тп, 43) и (£31, 42), (£31, 43) соответственно.

Рис. 2. Поверхность тп(42,43) Рис. 3. Поверхность т23(д2,43)

Рис. 4. Поверхность £21(42,43)

Рис. 6. Поверхность £31(42,43)

Рис. 5. Поверхность £23(42,43)

43, рад 42, м

Рис. 7. Поверхность кц(42,43)

2

m^, кг м

*

0,5

q2, м

Рис. 8. Проекция поверхности mn(q2,q3) на плоскость (mu, q2)

^зь кг м 0,6

0,4

0,2

-0,2 -0,4

-0,5

0,5

q2, м

Рис. 10. Проекция поверхности s31(q2,q3) на плоскость (s31, q2)

m11, кгм

2

Рис. 9. Проекция поверхности m11(q2,q3) на плоскость (m11, q3)

s31, кгм

Рис. 11. Проекция поверхности s31(q2,q3) на плоскость (s31, q3)

Экстремумы модулей исследуемых зависимостей ненулевых элементов к(д2,дз), £//(д2,дз) и к//(д2,дз) (¡,/-1,2,3) могут быть представлены графически (рис. 12). Пунктирными линиями изображены максимумы исследуемых зависимостей, а сплошными линиями -минимумы, не совпадающие с максимумами. Область оптимальных траекторий, полученная объединением областей рабочей зоны робота, соответствующих минимумам исследуемых ненулевых элементов, представлена на рис. 13.

q1, рад

о

q3, рад

q1, рад 5 0

0,5

-0,5

0

q2, м

0,5

q3, рад

о

q2, м

Рис. 12. Экстремумы ненулевых элементов

Рис. 13. Область оптимальных траекторий

Законы движения, необходимые для управления рассматриваемым манипуляцион-ным роботом, могут быть получены на основе выбранных траекторий движения внутри построенной оптимальной области рабочей зоны робота и заданных пространственно-временных условий.

Применение рассмотренного подхода к оптимизации законов движения манипуля-ционных роботов при проектировании робототехнологических комплексов будет способствовать повышению производительности труда в роботизированном производстве за счёт повышения быстродействия роботов и снижения энергоёмкости процессов манипулирования [5-10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крахмалев, О.Н. Оптимизация законов движения при моделировании динамики манипуляционных роботов / О.Н. Крахмалев, Д.М. Медведев, Д.И. Петрешин // Вестн. Брян. гос. техн. ун-та. - 2014. -№1. -С.27-30.

2. Крахмалев, О.Н. Методика анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных роботов / О.Н. Крахмалев // Теория механизмов и машин. - 2012. - №20. -Т. 10. - С. 41-53.

3. Крахмалев, О.Н. Математическое моделирование динамики манипуляционных систем промышленных роботов и кранов-манипуляторов: монография / О.Н. Крахмалев. - Брянск: БГТУ, 2012. -200 с.

4. Крахмалев, О.Н. Моделирование обобщенных сил, действующих на звенья манипуляционных систем / О.Н. Крахмалев, А.П. Болдырев // Вестн. Брян. гос. техн. ун-та. - 2011. -№1. -С. 115-121.

5. Федонин, О.Н. Научное обоснование выбора режимов обработки при поверхностном пластическом деформировании / О.Н. Федонин, С.В. Степошина // Вестн. Брян. гос. техн. ун-та. - 2011. - №1. - С. 4-8.

6. Федонин, О.Н. Учет погрешностей системы управления в балансе точности токарного станка с ЧПУ / О.Н. Федонин, Д.И. Петрешин, А.В. Хандожко, А.В. Агеенко // Вестн. Брян. гос. техн. ун-та. - 2013. -№3. - С.55-57.

7. Финатов, Д.Н. Механосборочный робототехнологический комплекс / Д.Н. Финатов, Д.И. Петрешин, Г.В. Горячев // Обработка металлов: технология, оборудование, инструменты. - 2003. - №1. -С. 4-6.

8. Петрешин, Д.И. Расширение функциональных возможностей металлорежущих станков с ЧПУ путем организации связи между ПЭВМ и УЧПУ при построении адаптивной системы управления / Д.И. Петрешин, О.Н. Федонин, В.П. Федоров, А.В. Хандожко, В.А. Хандожко // Вестн. Брян. гос. техн. унта. - 2011. -№4. -С.4-9.

9. Петрешин, Д.И. Применение лазерного оптического датчика для измерения высотных параметров шероховатости поверхности деталей машин в самообучающейся адаптивной технологической системе / Д.И. Петрешин // Контроль. Диагностика. - 2009. - №11. - С. 53-57.

10. Суслов, А.Г. Определение закона управления для адаптивной технологической системы при обеспечении заданных параметров качества поверхностного слоя деталей машин при механической обработке / А.Г. Суслов, Д.И. Петрешин // СТИН. - 2010. - №1. - С. 30-36.

Материал поступил в редколлегию 19.05.14.