CC BY
20This article deals with adaptive algorithm of keeping vessel with paddle wheels on course. Algorithm allows decrease the influence of external factors (wind)on vessel trajectory.
УДК 519.876.5
Столбова Е.А., студентка, ФБОУ ВПО «ВГАВТ» Грошева Л.С., к. т. н., доцент ФБОУ ВПО «ВГАВТ» Гордяскина Т.В., к. ф.-м. н., доцент ФБОУ ВПО «ВГАВТ» Мерзляков В.И., к. т. н. ФБОУ ВПО «ВГАВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРОХОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Ключевые слова: случайные сигналы, цифровые линейные системы, амплитудно-частотная характеристика, сигнальный процессор, белый шум, математическое моделирование, цифровые фильтры
В статье исследовано воздействие случайного сигнала с равномерной спектральной плотностью мощности на цифровые линейные системы (цифровые фильтры) с целью определения формы амплитудно-частотной характеристики системы в программном пакете MatLab R2007b и на сигнальном процессоре TMS320C5510.
Отличительной чертой случайного сигнала является то, что его мгновенные значения заранее не предсказуемы. Однако, изучая такой сигнал, можно заметить, что ряд характеристик можно описать весьма точно в вероятностном смысле. Располагая сведениями о вероятностях флуктуаций случайной величины, удается создать математическую модель случайного колебания. Математической моделью случайного сигнала является дискретный случайный процесс [1]. Дискретный случайный процесс в нормированном времени является индексированным семейством случайных величин п)}. Такое семейство характеризуется совокупностью функций распределения вероятности. Если плотность вероятности инвариантна к сдвигу во времени, сигнал называют стационарным. Стационарный случайный процесс является эргодическим, если усреднение по множеству для него может быть заменено усреднением по времени. Эргодический сигнал можно описать его математическим ожиданием (1):
где E{} - усреднение и по ансамблю, и по времени, N + 1) - количество отсчетов дискретного сигнала, п = 0,1 .. N.
(1)
и дисперсией:
(2)
Столбова Е.А., Грошева Л. С., Гордяскина Т.В., Мерзляков В.И.
Исследование процесса прохождения случайных сигналов через линейные дискретные...
Рассмотрим линейную дискретную систему с импульсной характеристикой h(n). Пусть на её вход воздействует случайная дискретная последовательность x(n) с математическим ожиданием /ux(n). На выходе системы возникает случайная последовательность y(n), обладающая своими вероятностными характеристиками.
Во временной области связь вход-выход описывается формулой свертки:
y(n) = £ h(n - m)x(m) = £ h(m)x(n - m) (5)
m=0 m=0
где h(n-m) - импульсная характеристика, задержанная на m периодов дискретизации.
Математическое ожидание выходного процесса:
N
Цу (n) = E{y(n)} = £h(m)px(n - m) (6)
m=0
В частотной области основной характеристикой ЛДС является фурье-изображение импульсной характеристики h(n), которое определяется с помощью прямого преобразования Фурье для нормированных времени и частоты:
да
H (Ó = £ h(n)e-Jan (7)
n=0
Примером стационарного эргодического случайного процесса может служить «белый шум» с постоянной спектральной плотностью мощности (математическое ожидание = const) во всем диапазоне частот.
Свойства этого случайного сигнала можно использовать на практике при определении амплитудно-частотных характеристик радиотехнических систем. Подавая «белый шум» на вход радиотехнической системы на выходе форма спектральной плотности мощности повторяет форму амплитудно-частотной характеристики системы.
Метод исследований прохождения случайных сигналов через линейные дискретные системы (ЛДС) включает в себя компьютерное моделирование в Matlab R2007b GUI SPTool и натурный эксперимент с применением DSK 5510, структура метода показана на рисунке 1.
Рис. 1. Структура метода моделирования прохождения случайного сигнал через ЛДС
Рассмотрим моделирование процесса цифровой фильтрации случайного сигнала ЛДС - цифровыми фильтрами с использованием программного пакета Matlab R2007b GUI SPTool.
В качестве входного сигнала фильтра используется математическая модель (ММ) случайного сигнала с частотой дискретизации 48 кГц. ММ случайного сигнала получена с использованием функции Matlab2007 rand(), на основе сигнала x, состоящего из двух синусоид с частотами 5000 Гц и 7500 Гц. Частота дискретизации 48 кГц выбрана для сравнения полученных результатов с результатами практических исследований, проведенных с использованием сигнального процессора TMS320C5510.
Рассмотрим осциллограмму и спектральную плотность случайного сигнала, полученных с использованием Matlab2007.
Из рисунка 2 видно, что спектральная плотность входного случайного сигнала имеет равномерное распределение и занимает весь частотный диапазон.
а)
FFT SftKtmm Citimjlc
201 I 1 I— !
-X
-40
_F*"M>C>_и itf*
| M«t«1 " wi'.Kt dTrWTi
б)
Рис. 2. Входной случайный сигнал: а) Осциллограмма; б) Спектральная плотность
Процедура фильтрации сигнала с использованием Matlab R2007b GUI SPTool включает в себя несколько операций [2].
1. Импортирование входного сигнала и анализ его осциллограммы и спектральной плотности.
2. Синтез ЦФ и анализ его характеристик.
3. Моделирование процесса фильтрации.
4. Анализ выходного сигнала и его спектральной плотности.
5. Экспортирование результатов моделирования в MATLAB.
Под цифровым фильтром понимают цифровую систему, которая согласно заданному оператору y(n) = F{x(n)} осуществляет преобразование действующей на ее
входе аддитивной смеси x(n) = x(n) + £(n) цифрового сигнала x(n) либо его параметров с помехой ^(я) [1].
Цифровые фильтры делятся на два больших класса: нерекурсивные - фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и рекурсивные - фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Соотношение вход/выход - может описываться линейным разностным уравнением:
N-1 M-1
y(nT) = Jjbix[(n - i)T] - Y^aky[(n - k)T], (8)
i=0 k =1
где bi, ai - коэффициенты (вещественные константы), x(nT), y(nT) - воздействие и реакция,
i, k - значения задержек для воздействия и реакций соответственно, N, M - константы.
Фильтр называется рекурсивным, если хотя бы один из коэффициентов ak, k=1,2,.. .M-1 разностного уравнения (8) не равен нулю.
Коэффициенты фильтра из Matlab сохраняются в отдельный файл. Результаты
Столбова Е.А. , Грошева Л.С., Гордяскина Т.В. , Мерзляков В.И.
Исследование процесса прохождения случайных сигналов через линейные дискретные...
моделирования при частоте дискретизации Е8=48000 Гц АЧХ фильтров и спектральных плотностей сигналов на выходе представлены на рис. 3, 4 .
JVVv 11/VlUlfVI
1 м
Рис. 3. АЧХ ФНЧ и выходная спектральная плотность (Fpass=10000 Гц, Fstop=12000 Гц)
Рис. 4. АЧХ ФВЧ и выходная спектральная плотность (Fstop =10000Гц, Fpass =12000Гц)
Анализируя АЧХ исследуемых систем и отклик системы, при подаче случайного сигнала с равномерной спектральной плотностью на вход этой системы, можно сделать вывод о том, что форма спектральной плотности выходного сигнала (отклика), повторяет форму АЧХ системы (f,ass и fstop примерно совпадают), следовательно, случайные сигналы с равномерной спектральной плотностью в некотором диапазоне частот можно использовать для определения АЧХ системы. Так же необходимо отметить, что происходит затухание сигнала в полосе задерживания на величину более трех децибел, например уровень сигнала на выходе нерекурсивного фильтра нижних частот в полосе пропускания составляет -60 дБ, а в полосе задерживания ниже -90 дБ. За исходный уровень сигнала принимается уровень в полосе пропускания, таким образом, относительно него сигнал в полосе задерживания подавляется на 30 дБ.
Практическое исследование проводится с применением сигнального процессора TMS320C5510.
1. Импорт синтезированных коэффициентов ЦФ из МайаЬ R2007b GUI SPTool в CC Studio.
2. Подготовка программы для сигнального процессора TMS320C5510.
3. Генерация входного сигнала.
4. Отладка программы и контроль работы фильтра.
Генерация входного сигнала производится с помощью генератора тона. Подключается генератор тона запуском программы NCH Tone Generator (White Noise).
Рис. 3. Структура метода натурного моделирования на аппаратно-программном комплексе DSK 5510
Процесс отладки программы и контроль работы фильтра осуществляется с помощью оболочки Code Compose Studio и осциллографа PCS-500, отображающего осциллограммы и спектральную плотность входного и отфильтрованного сигналов. Подключение осциллографа Velleman PCS-500, производится запуском программы PC-Lab2000. Подготовленная и откомпилированная программа загружается в сигнальный процессор. После запуска программы на сигнальном процессоре результаты ее работы можно наблюдать на осциллографе.
При анализе спектральной плотности входного сигнала видно, что происходит ослабление сигнала с уровня -33 dBV до уровня -70 dBV на частоте свыше 20 кГц. Это обусловлено тем, что шумоподобный сигнал, подаваемый на вход рассматриваемой системы (сигнального процессора TMS320C5510) формируется с помощью звуковой платы ПК, поэтому спектральная плотность входного сигнала не выходит за пределы диапазона звуковых частот 20Гц ^ 20кГц и ее в исследуемом звуковом диапазоне можно считать «белым шумом».
0.51/ 30kHz
Пол oca np ОВОЙ n ^пуска паты S3dB\ ИЯ
звук
fWf v!ri\ AAyJV V/W* tfm -V i I1* f
Ft
\ Wj
л ft
V: -70.31 ¿ВУ 20.03кНг
Рис. 4. Спектральная плотность входного сигнала
На рисунках 5, 6 представлены результаты исследований на примере нерекурсивных фильтров.
Из полученных результатов видно, что форма спектральной плотности на выходе фильтра, при подаче на его вход случайного сигнала с равномерным спектром, соответствует форме АЧХ рассматриваемого фильтра и примерно совпадают),
Столбова Е.А., Грошева Л. С., Гордяскина Т.В., Мерзляков В.И.
Исследование процесса прохождения случайных сигналов через линейные дискретные...
таким образом, результаты математического моделирования совпадают с результатами, полученными путем практического исследования.
I 10
Рис. 5. Выходная спектральная плотность ФНЧ с частотой среза 10кГц
500ЛУ I 1219Х;
Рис. 6. Выходная спектральная плотность ФВЧ с частотой среза 12 кГц
Предложенная методика позволяет исследовать частотные характеристики любых радиотехнических систем.
Список литературы:
[1] Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьёва Е.Б. Учебное пособие. «Основы цифровой обработки сигналов».
[2] Гордяскина Т.В., Грошева Л.С. Учебно-методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов дневного обучения по специальности 16.09.05 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования» «Основы цифровой обработки сигналов в радиоэлектронном оборудовании».
THE RESEARCH OF A PROCESS OF THE PASSAGE RANDOM SIGNAL THROUGH LINEAR DISCRETE SYSTEMS. MATHEMATICAL MODELING AND REAL PROCESSES
E.A. Stolbova, T.V. Godyaskina, L.S. Grosheva, V.I. Merzlyakov
Keywords: random signals, linear discrete .systems, amplitude-frequency characteristics, signal processor, white noise, mathematical modeling, digital filters
In this article discusses a research of a process of influence random signal with evenly power spectral density on the digital linear systems (digital filters) to determine the form of the amplitude-frequency characteristics with using the software MatLab R2007b and of the signal processor TMS320C5510.
