CC BY
21
УДК 532.785; 536.421
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНОГО СПЛАВА В АВТОМОДЕЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
КРОПОТИН Н.В., ЛЕБЕДЕВ В.Г., ФЕДОСИМОВ Д.А.
Удмуртский государственный университет, 426034, г.Ижевск, ул.Университетская, 1
АННОТАЦИЯ. Численно исследованы автомодельные решения для уравнений квазиравновесной теории кристаллизации бинарного сплава Al-Si. Полученные решения дают качественное представление о влиянии параметра равновесности на режим кристаллизации бинарного сплава, в частности на перераспределение примеси в твердой фазе.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: затвердевание алюминиевого сплава, сегрегация примеси, автомодельные решения, параметр равновесности.
ВВЕДЕНИЕ
Изучение фундаментальных вопросов теории затвердевания имеет длинную историю [1, 2], продолжающуюся на основе локально-неравновесных подходов, как в теории [3, 4], так и в эксперименте [5]. Достигнутые результаты нашли своё выражение в целом ряде программных средств, моделирующих реальные технологические процессы литья [6,18-20]. Предсказательная сила таких пакетов существенно зависит от возможности моделирование процессов перераспределения примеси при затвердевании реальных материалов [7], что значительно усложняет вычислительные алгоритмы [8, 9] из-за большой разницы характерных масштабов тепловых и диффузионных явлений.
На практике [10] обычно используется подход квазиравновесной двухфазной зоны [11]. Перераспределение примеси в этом случае выражается модифицированным уравнением Шейла [12], связывающим долю жидкой фазы Ь в единице объёма двухфазной зоны с концентрацией С примеси в её жидкой части:
Ь(С) = ^(С0/С)т? - к^!(1 - ке), (1)
где С0 - начальная концентрация, к - коэффициент распределения примеси, параметр
равновесности е = 8DStf|Я , где DS - коэффициент диффузии в твердой фазе. Поскольку
значение tf - локального времени затвердевания и Я - расстояния между первичными
ветвями дендритов обычно неизвестны, параметр е можно считать феноменологическим подгоночным параметром, позволяющим учитывать неравновесность процесса перераспределения примеси в рамках модели двухфазной зоны. В силу пропорциональности коэффициенту диффузии в твердой фазе, " параметр равновесности" е можно рассматривать как относительную долю твердой фазы, находящейся в равновесии с жидкой частью двухфазной зоны. При е = 1 вся твердая фаза находится в равновесии с жидкостью, а уравнение (1) сводится к традиционному "правилу рычага". Значение е = 0 соответствует классической постановке модели двухфазной зоны, для которой в равновесии находится только граница раздела фаз.
Для описания реальных процессов затвердевания важно качественно понимать влияние феноменологических параметров, в частности, параметра е на кинетику затвердевания и процесс сегрегации в используемой модели. Очевидно, что выбор величины е при моделировании конкретной задачи существенно зависит от скорости теплоотвода и от степени развитости дендритной структуры. Один из способов оценить правильность выбранного е состоит в сравнении разницы температур конца затвердевания в натурных и в численных экспериментах. При этом необходимо учитывать, что численное моделирование реальной задачи включает в себя большое число фиксированных параметров, каждый из
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНОГО СПЛАВА В АВТОМОДЕЛЬНОМ _ПРИБЛИЖЕНИИ_
которых влияет на процесс затвердевания. Более разумно использовать анализ аналитических и полуаналитических решений, которые могут продемонстрировать влияние £ явным образом. Однако построение таких решений для нелинейных задач весьма нетривиально и обычно подразумевает наличие какой-либо симметрии [13], существенно упрощающей решение задачи.
В качестве такой симметрии может быть использована автомодельность задачи затвердевания бинарного сплава в формализме двухфазной зоны [14, 15]. Несмотря на наличие бесконечных (полубесконечных) интервалов в такой постановке, известно, что автомодельные решения достаточно адекватно описывают реальные процессы затвердевания на малых интервалах времени и дают не только качественное, но и количественное описание процессов затвердевания. Последнее может служить основой для выбора феноменологических параметров при моделировании реальных процессов.
Для конкретности, рассмотрим процесс сегрегации в сплаве Al-Si при затвердевании полуограниченного пространства с постоянными начальными условиями для температуры сплава T = T0 и для концентрации примеси (кремний) в жидкой фазе C = C0. Предполагается, что на границе области (неподвижной стенке) задано граничное условие T = TS < T0, а скорость движения расплава определяется только процессами усадки.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАЗИРАВНОВЕСНОЙ ТЕОРИИ
Поскольку изменение концентрации и температуры при затвердевании эвтектического сплава Al-Si происходит в сравнительно небольших интервалах, будем считать, что плотности жидкой и твердой фаз постоянны и связаны соотношением
Ps =Pl (1 + n) (2)
где n << 1, а pL, pS - значение плотностей твердой и жидкой фаз.
При концентрациях, меньших концентрации эвтектики, аппроксимируем линию ликвидуса зависимостью T = Tm - mC, где Tm - температура плавления чистого алюминия,
m - наклон линии ликвидуса.
Двухфазная зона. Для характеристики наличия различных фаз в рамках квазиравновесной теории введём объемные доли (сечения) твердой S и жидкой L фаз, сумма которых равна единице (S + L = 1). Ввиду сделанных предположений задачу можно считать эффективно одномерной, поэтому усредняя физические характеристики по двухфазной зоне как A = AS (1 - L) + AlL , запишем уравнения квазиравновесной теории
двухфазной зоны [2] (без учета диффузии по твердой фазе) в виде
dL
- n— + Vv = 0, (3)
dt
dT — dL
(1 + n(1 - L))— + V(vT) = V(LVT) - Q(1 + n) —, (4)
dt dt
Ш! + (, + n) ЭДЬр + V(vC) ^ V( LVC), (5)
dt dt
v = - K (L)Vpl . (6)
При переходе к безразмерным переменным в уравнениях (3-6) сделаны замены mC ^ C, taL ^ t, v = VL¡ÁLaL , a = AS¡ÁL, Q = q¡kL , где aL = XL¡pLkL , Xs, ÁL -теплопроводности, а kS = kL - удельные теплоемкости твердой и жидкой фаз, q - скрытая теплота кристаллизации, sL = DL/aL - отношение коэффициентов диффузии кремния в алюминии и температуропроводности для жидкой фазы, C, CS - концентрации примеси в жидкой и твердой фазах (в процентах по массе). Через L в уравнении (4) обозначена
комбинация (Ь + а(1 - Ь)). Коэффициент К(Ь) для протекания в пористой среде развитой среды
дендритов определяется формулой Кармана-Козени
Ь3Л2
К (ь) =
180(1 - Ь)2 /и0
(7)
связывающей величину проницаемости К с сечением жидкой фазы и расстоянием между вторичными ветвями дендритов Л2, /и0 - вязкость расплава при температуре затвердевания.
Для учета локального баланса примеси между твердой и жидкой фазами (для эффективного учета диффузии по твердой фазе с помощью "параметра равновесности а") воспользуемся соотношением [2]:
(1 + п)
д((1 - Ь)С8 ) Ы
дЬ
дС
+ М С---(1 -Ь)а — I = 0,
I дГ дг )
(8)
где k - равновесный коэффициент распределения примеси между твердой и жидкой фазами.
Жидкая фаза. Система уравнений (3 - 8) описывает закон сохранения вещества, распределение тепла и концентрации примеси в жидкой и твердой фазах в области двухфазной зоны. При Ь = 1 эти уравнения будут справедливы и в области чисто жидкой фазы, за исключением закона Дарси (6), поскольку проницаемость К (Ь) будет в этом случае иметь особенность. Поскольку закон Дарси описывает процессы просачивания, то в области жидкой фазы оно приводит к нефизическому соотношению между скоростью и внешним давлением, просто обеспечивая подтекание жидкости из бесконечной области. По этой причине будем полагать, что давление на границе двухфазной зоны равно атмосферному, а для того чтобы обеспечить плавный переход от жидкой к двухфазной зоне и сохранить автомодельность задачи, вместо зависимости (7) выберем гладкую аппроксимацию вида:
Ь3
---при Ь < Ьс,
(1 - Ь)2 р С, (9)
К (Ь) = К0
в(1 -а(1 - Ь)3) при Ь > ЬС
такую, что дК/дЬ | Ь=1 = 0 и
К 0
3 - Ьг
а =
180^0
(2Ьс + 3)(1 - Ьс )3
в =
Ь2с (2Ьс + 3) 3(1 - Ьс )2 .
Выражение (9) при Ь < Ьс, где Ьс - порог когерентности (доля жидкой фазы, на которой начинает образовываться сцепленный каркас дендритов) ведет себя аналогично выражению (7), но регулярно при Ьс < Ь < 1 (рис. 1). Величины Л2 и будем в дальнейшем считать константами.
18
у, 15 IX!
£ 12
--Формула
Кармана-Козени соотношение (9)
& Ё
•е-
0,0
0,2
0,4 0,6
Доля жидкой фазы, Ь
Рис. 1. Сравнительное поведение коэффициента Кармана-Козени и соотношения (9) при Ьс = 0,75
Твёрдая фаза. В области, где присутствует только твердая фаза, справедливы следующие уравнения:
лт*
(1 + n) — = aAT, (10)
dt
% = S" ACs , (11)
dt
где ss = DS/aL - отношение коэффициента диффузии кремния в твердой фазе к коэффициенту температуропроводности в жидкой фазе.
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача о затвердевании бинарного сплава в полуограниченном пространстве (3-6, 811) при постоянных теплофизических параметрах инвариантна относительно масштабных
преобразований вида: x ^ Ax, t ^ ЯЯ1, f ^ f, v ^ vj4~t, где под f обозначены функции T, L, C, CS, pL . Вводя автомодельную переменную £ = x/2yft и считая, что L = L(£), T = T (£), C = C (£), CS = CS (£), pL = pL (£), v = v(£)/2v7, приходим к краевой задаче для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть £ = £ (£ = £2) граница между двухфазной зоной и областью с твердой (жидкой) фазой.
1. В области, занятой твердой фазой (£ < £1), имеем
v = 0, L = 0, pL = 0, C = 0, (12)
aT'' + 2(1 + n)£T' = 0, (13)
ssC"s+ 2£C" = 0. (14)
2. В области двухфазной зоны (£ < £ < £2):
v' + 2n£L' = 0, (15)
(LT') ' + 2£(lnT' + Q(1 + n)L') - (vT)' = 0, (16)
sl (LC')' + 2£(CL' (1 - k) + LkC') - (vC) ' = 0, (17)
k(CL' + (L - C)sC') + (1 + n)((1 - L)C") ' = 0, (18)
v = -K (L) pL (19)
T + C = Tm (20)
3. В области, занятой жидкой фазой (£ > £2):
v = v0, L = 1, C" = 0, (21)
T'' + 2£T' - v0T' = 0, (22)
sLC' + 2£C ' - v0C ' = 0, (23)
p'l + ^ = 0. (24)
K0
В уравнениях (12-24) обозначение ( ') соответствует дифференцированию по £ и введены обозначения
Ln = 1 + n(1 - L), Lk = L + sk (1 - L).
ЧИСЛЕННЫИ АЛГОРИТМ
Предположим, что точка £ = £2 и скорость у0 в этой точке известны. Тогда решение уравнений (21-24) в области £ > £2 может быть представлено в виде
Т = Т0 + АегГс( г),
< С = С0 + Вег^(г/^) , (25)
. Рь = Рь + v0К 0-1(£-£2) где 2 = £ - 0.5у0 . Используя уравнение ликвидуса (20) и, как следствие, Т' + С' = 0, находим
В =
- Т - С )
1 0 С0 )
Л^Ъ етЯ(г 2 / Л^Ъ) - ег^Ф 2) ехр( г 22 (1 - е(_1)))
В ехр( г 22(1 -е™))
А = -
Рассмотрим уравнения (15-20). Интегрируя по частям уравнения (15) и (18) и обозначая и (£) = Т' (£), получаем
у(£) = уо + 2«(к£) + £2 -£(£))
С (£) = -к
С(£)Ь(£) - С(£2) + ((£) (1 + п)(1 - Ь(£)) '
(26) (27)
где
С5 (£2) = 0, ¥(£) = \ Ь( ¿)сЬ, (£) = } (и (г)(Ь( г) + е(1 - Ь( 1))))сЬ. (28)
£2 £2
Таким образом, значение скорости у(£) и концентрации в твердой фазе С5 (£) в каждой точке определяется функциями ¥(£) и (р(£) соответственно. По определению, в точке £1, являющейся границей твердой фазы, Ь(£1) = 0 и у(£1 ) = 0. Тогда из соотношения (26) находим
Уо =-2п(щ(£) + £2). (29)
Далее, в силу соотношения (20) уравнение (17) в области £1 <£<£2 можно рассматривать как уравнение для сечения жидкой фазы Ь(£). В результате получаем задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Полученная система может быть записана в параметрическом представлении (с формальным аргументом ^, для регуляризации решения вблизи точки £1, (') далее обозначает дифференцирование по параметру ^) как:
<£' = 2£(пк(Тт -Т)Ь + 8±ЬТ)-аеьи, Ь' = и(у(8ьЬ - Ь) + 2£( ЬЬк-еьЬЬп))
Т' = и£', Р'ь =- у/К (Ь)£ £ у ' = -2п£Ь' , ¥ ' = Ь£\
(' = и( Ь + а(1 - Ь))£',
и' = Ь-1 (и£'У - Ь'((1 + а)и + 2£Т)),
(30)
где введены обозначения
Т = пТ + (1 + п)^ У = У - 2£Ьп, п, = 1 + п - к.
(31)
ь
ь
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНОГО СПЛАВА В АВТОМОДЕЛЬНОМ _ПРИБЛИЖЕНИИ_
В качестве начальных условий при ^ = 0 принимаются значения £(0) = £, у(0) = у0, р (0) = 1, К0) = 0, ф) = 0, 1(0) = 1,
а значения для Т (0) и и (0) находятся из соотношений (25).
Интегрирование по параметру ^ выполняется до тех пор, пока не выполнится одно из следующих условий [15]:
• текущее значение концентрации примеси в жидкой фазе не достигло эвтектики (С < Се), но достигнуто значение или Ь = 0, или £ ' = 0 (что соответствует случаю
степенного поведения Ь(£) вблизи £1);
• текущее значение концентрации примеси в жидкой фазе достигло эвтектики
( С = Се ).
Эти условия определяют точку £1 (£2, у0 ), соответствующую концу двухфазной зоны, как функцию £2 и у0 .
Таким образом, задавая нулевое приближение у00) «-п, £2(0) « 1, система (30) интегрировалась численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка до тех пор, пока не выполнялось одно из граничных условий. По найденному значению £1(п) из соотношения (29) определялось уточненное значение v0"+1) для следующей итерации, после чего весь расчет повторялся с новым значением v0"+1). При достижении заданной точности для у0 проверялось выполнение условий непрерывности по температуре.
Решение уравнения (13) для распределения температуры в области £ < £1 может быть
записано в виде Т(£) = Т5 + В егГ(£(1 + п)/а). Константа интегрирования определяется из
численного решения системы (30) в точке £1 как В = 0.5/(£1 л/п ехр(-£12 (1 + п)/а)) . Функция /, с учетом скачка производной температуры, возникающей из-за появления эвтектики, и скачка сечения жидкой фазы будет равна /(£1) = и(£1 + 0) при С(£1 + 0) < Се, и
/ (£1) = а-1 (Ь(£ + 0)и (£1 + 0) + 2£ ((1 + п)0 + пТ (£1 + 0))Ь(£ + 0)) при С (£1 + 0) = Се.
Полное решение задачи на всем интервале получается в результате поиска корня функции
Е (£() = Т (£1 (£(, - 0) - Т (£1 (£(, + 0). (3()
Распределение концентрации примеси в твердой фазе С5 (£) определяется по её значениям С5 (£1) в момент затвердевания
4 (33)
Cs (£) = kC0 +
Cs (£) kCo erf(£/
erf(£/ )
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Теплофизические параметры, используемые при расчете автомодельных решений, представлены в приведенной таблице.
Таблица
Параметры расчетов для сплава Al-Si
To, К Ts , К Tm , К q a m n Ce , % k ^L *104 -106
950 600 933 368 0,22 7,1 0,46 11,7 0,141 1,2 4,1
Общий вид полученных решений при С0 = 0,5% и С0 = 7% и различных е
представлен на рис. 2-7. В силу малости коэффициента распределения для алюминиевых сплавов затвердевание без образования эвтектики возможно лишь при достаточно малых начальных концентрациях. Из рис. 2 видно, что при е = 0 система выпадает в эвтектику, а при е = 0,5 и е = 1, за счет равновесного перераспределения примеси между жидкой и твердой фазой, сплав затвердевает без образования эвтектики. Соответственно сечение жидкой фазы Ь ^ 0 при е = 0, 0,5 и 1. Из рис. 2, 4, 6 следует, что изменение е при малых концентрациях существенно влияет на ширину двухфазной зоны и поведение характеристик расплава, в отличие от больших концентраций, рис. 3, 5, 7, при которых ширина зоны практически не меняется при изменении е , в результате чего графики при различных е сливаются между собой. Профиль распределения примеси в твердой фазе при е = 0,5 и 1 при малых начальных концентрациях повторяет профиль примеси в жидкой фазе, рис. 4, в то время как при е = 0 из-за отсутствия равновесия концентрации в твердой фазе с концентрацией в жидкой фазе профиль выгнут в другую сторону. При больших концентрациях такое поведение отсутствует, рис. 5. Наблюдаемый скачок производной от температуры связан с изменением теплофизических характеристик при переходе из двухфазной зоны в область £ < £1.
автомодельная переменная, £
Рис. 2. Зависимость Т, и , Ь от автомодельной переменной £ при С0 = 0,5. Все функции нормированы на единицу
автомодельная переменная, £
Рис. 3. Зависимость Т,и,Ь от автомодельной переменной £ при С0 = 7, 0. Все функции нормированы на единицу
автомодельная переменная, £
Рис. 4. Зависимость Сь , С$ от автомодельной переменной £ при Со = 0,5
1 1 1 1 ^^С^щ^^ра^^^авдк^^^зе^рте = 0, 0.5,1
- 1 Концентрация в твердой фазе пр^е = 0,0.5,1 _ * 1 . 1
0,2 0,3 0,4 0,5
автомодельная переменная, £
Рис. 5. Зависимость Сь , С$ от автомодельной переменной £ при Со = 7,0
Рис. 6. Зависимость Рь , V от автомодельной переменной £ при Со = 0,5. Скорость по величине отрицательна, атмосферное давление взято за единицу
С0=7.О 1 1 1
Давление при е = 0,0.5,1
**
_
„ — ■""* Скорости при 6 = 0, 0.5,1
. 1 ,
5-,--,-1-,-
0,2 0,3 0,4 0,5
автомодельная переменная, с
Рис. 7. Зависимость р^, V от автомодельной переменной £ при Сд = 7,0. Скорость по величине отрицательна, атмосферное давление взято за единицу
Из полученного автомодельного решения нетрудно найти поведение солидуса и ликвидуса при затвердевании рассматриваемого бинарного сплава. Из рис. 8 следует, что жидкий расплав всегда находится на равновесном ликвидусе, а поведение солидуса является неравновесным и зависит от выбора е. Выбор параметра "равновесности" влияет также на длину "траектории" на фазовой диаграмме, которую проходит система до затвердевания.
950
са
Н
850
0 5 10
Концентрация кремния, % по массе Рис. 8. Поведение солидуса и ликвидуса для бинарного сплава при различных 8
На рис. 9 представлены графики температур конца затвердевания и ширины двухфазной зоны. При малых концентрациях температура в конце затвердевания повышается при увеличении е. Поведение ширины зоны является обратным - зона сужается при увеличении равновесия в системе, как и можно было ожидать. При больших концентрациях зависимость от е обоих параметров исчезает.
чг
К" §
9
а и
ч а <и
е
м я а н о м Й
£
ЁГ
0,98
0,96
0,94
0,92
— С0 = 0.1, """С =0.5,
•Со=1.0,
—■-с0 = 1.з,
-Со = 2.0,---С0 = 5.0,'
■Со = 7.0
.1. I
/----
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 параметр равновесности, е
0,20
3 я
I 0,15
о
Н &
а 0,10
св Я
15 &
а
0,05
0,00
-С0 = 0.1Л "С0 = 0.5,
-■••с0 = 1.о, —-с0 = 1.з, ■•—с0 = 2.0,
.....С0 = 5Д.
..........Со = 7.0
1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 параметр равновесности, б
1,0
Рис. 9. Зависимость температуры конца затвердевания Т( Е) и ширины двухфазной зоны от е при различных Сд
Зависимости Ь(£1) и С5(ЕЕ) от е приведены на рис. 10. Видно, что существует некоторая предельная начальная концентрация С0 = кСе, при которой возможно затвердевание без эвтектики. Видно также, что при достаточно больших концентрациях сечение жидкой фазы практически не зависит от параметра е . Из графика для С5 (Е1) видно, при повышении е концентрация твердой фазы меняется до тех пор, пока не достигает своего равновесного значения при данных условиях. Причем это значение, равное кС(ЕЕ), несколько выше, чем предсказываемое формулой Шейла, как это видно из рис. 11 а), иллюстрирующего зависимость концентрации примеси С(ЕЕ) в момент затвердевания. Сплошные линии соответствуют автомодельному решению, а пунктирные получены с помощью формулы Шейла (1). Как видно, формула Шейла в данной задаче дает существенно заниженное значение.
¡КГ
0,6
0,5 -
ч; а и и
со
и
¡и о
0,4 -
0,3 -
и
Я
СО к!
>18 О
0,2 -
-С, = 0.1,
---Со = 0.5,
.....с0 = 1.о,
—" с0 = 1.з,
-—С„ = 2.0, ......С0 = 5.0,
............С„-7.0
3 ОД -
0
к
1 0,0
и
2,0 1,8
§ 1,6
св Я
Щ 1 А
« 1,4 а. ' и и
Й 1,2
Р!
1 1,0 з
о
^ 0,8 «
ля 0,6 о
0,0
0,2 0,4 0,6 0,8 параметр равновесности, е
0,4 0,2 0,0
= 0.1,
Со -
У- у'' У' ' ---Со = 0.5, -
у' У • = 1.0, = 1.3, = 2.0, = 5.0,
у ' .< ' ' У ' .....Со — С0 -
У "" " 0 -
......Со
............с = 7.0
0 -
1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 параметр равновесности, е
1,0
Рис. 10. Зависимость степени эвтектичности (сечения жидкой фазы Ь( Е )) и концентрации в твердой фазе С$(Ец ) от е в момент затвердевания при различных Сд
Рис. 11. Зависимость концентрации примеси в жидкой фазе на границах двухфазной зоны от параметра "равновесности" е при различных начальных значениях концентрации Сд : а) С() в момент затвердевания. Сплошные линии соответствует расчетным значениям, пунктир - значениям, полученным по формуле Шейла при Ь() ; б) зависимость С() при различных Сд.
Разница в таком поведении объясняется подтеканием жидкости с бесконечности (V < 0) за счет усадки и пересыщением расплава в двухфазной зоне до более высоких значений, хотя на ее границе величина концентрации примеси фактически не меняется (рис. 11, б). По сути, это артефакт предположений об автомодельности задачи.
Кроме того, все представленные расчеты сделаны в предположении неразрывности кристаллизующегося расплава. Давление является независимой функцией, которая полностью определяется скоростью подтекания и долей жидкой фазы в данной точке, и никак не влияет на процесс затвердевания. Для простоты предполагалось, что коэффициент К0 = 1 и давление в жидкости р (£) = 1. Однако из рис. 2 видно, что вблизи точки конца затвердевания давление резко падает, что в реальной ситуации должно приводить к выделению растворенных газов, всегда присутствующих в расплаве (например, водорода для легких металлов). Характерный размер области, где давление резко падает, определяется как наличием примеси, так и значением е, характеризующим концентрационную "равновесность".
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе получены и численно проанализированы автомодельные решения квазиравновесной теории кристаллизации с учетом параметра "равновесности" е, феноменологически учитывающего степень равновесия в процессах перераспределения примеси между жидкой и твердой фазами при затвердевании бинарного сплава. Приведено сравнение с предсказаниями формулы Шейла (1). Полученные решения дают качественное представление о влиянии параметра е на режим кристаллизации бинарного сплава, в частности на сегрегацию примеси в процессе затвердевания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Флеминге М. Процессы затвердевания. М.: Мир,1977. 424 с.
2. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. 224 с.
3. Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебои Дж. Расширенная необратимая термодинамика. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика"; Институт компьютерных исследований, 2006. 528 с.
4. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformation in nonequilibrium system // Phys. Rev. 2005. E 71. Р.046125.
5. Herlach D.M., Galenko P.K., Holland-Moritz D. Metastable solids from undercooled melts. Amsterdam: Elsevier, 2007. 423 с.
6. http://www.mkmsoft.ru (дата обращения: 01.09.2008).
7. Hattel J. Fundamentals of Numerical Modelling of Casting Processes. Denmark: Polytechnisk Forlag, Kgs. Lynsby, 2005. 540 p.
8. Lee P.D., Chirazi A., Atwood R.C., Wang W. Multiscale modelling of solidification microstructures, includimicrosegregation and microporosity, in an Al-Si-Cu alloy // Mat. Sc. and Eng. 2004. Vol. A. P. 57.
9. Rafii-Tabar J.H., Chirazi J.A. Multi-Scale Computational Modelling of Solidification Phenomena // Phys. Rep. 2002. Vol. 365. P.145-249.
10. Beckermann C. Modelling of macrosegregation: applications and future needs // International Materials Reviews. 2002. Vol. 47, №5. P. 243-261.
11. Журавлёв В.А. Затвердевание и кристаллизация сплавов с гетеропереходами. М.: Ижевск: Изд-во РХД, 2006. 557 с.
12. Brody H.D., Flemings M.C. Solute redistribution in dendritic solidification // Trans. Metall. Soc. AIME, 1966. Vol. 236. P. 615.
13. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.
14. Журавлёв В.А., Колодкин В.М., Васькин В.В. Динамика двухфазной зоны металлических сплавов с химическими реакциями // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. 1983. Т.4, №4, C. 64-68.
15. Васькин В.В. Автомодельное решение уравнения кристал-лизации двойного сплава // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. 1986. Т.83, №1. C. 83-87.
INVESTIGATION OF THE BINARY ALLOY CRYSTALLIZATION UNDER AUTOMODEL APPROXIMATION
Kropotin V.V., Lebedev V.G., Fedosimov D.A. Udmurt State University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The self-similar solutions for equations of quasi-equilibrium crystallization theory of binary alloy Al-Si have been numerically investigated. The received solutions give qualitative representation about influence of phenomenological parameters on crystallization mode of binary alloy, in particular on solute redistribution in solid.
KEYWORDS: solidification of aluminum alloy, impurity segregation, automodel solutions, parameter of equilibrium.
Кропотин Николай Валентинович, аспирант УдГУ
Лебедев Владимир Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, доцент УдГУ, e-mail: lvg@udsu.ru Федосимов Денис Александрович, аспирант, старший преподаватель УдГУ, e-mail: denis.fedsimv@rambler.ru
