CC BY
21
УДК 531
Исследование процесса консолидации гранул методом
дискретного элемента
В.В. Крижановский, В.И. Мали, Э.Р. Прууэл
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Представлена численная модель компактирования гранул с использованием метода дискретного элемента, но с учетом только упругой силы взаимодействия. Гранулы рассматриваются как набор узлов с возможностью разрушения и образования между ними связей. Узлы располагались по примеру ГЦК-структуры. В рамках данной модели проведены численные оценки прочностных характеристик гранулированного материала. Показано, что прочность материала на растяжение имеет зависимость от диаметра гранул. Проведено численное моделирование экструзии скомпактированного материала.
Ключевые слова: моделирование гранул, метод дискретных элементов, механические свойства материала, экструзия
DOI 10.24412/1683-805X-2021-6-58-64
Discrete element investigation of granule consolidation
V.V. Krizhanovsky, V.I. Mali, and E.R. Pruuel
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
A numerical model of granular compaction based on the discrete element method is presented, in which only the elastic interaction force is taken into account. Granules are considered as a set of nodes, with the possibility of failure and formation of links between them. The nodes are arranged as an FCC lattice. The model is applied for the numerical assessment of the strength characteristics of a granular material. It is shown that the tensile strength of the material depends on the diameter of the granules. The extrusion of the compacted material is numerically simulated.
Keywords: granular modeling, discrete element method, material mechanical properties, extrusion
1. Введение
Порошковая металлургия является привлекательной технологией при серийном производстве как традиционных, так и перспективных материалов. Обычно в процессе формования порошок уплотняется до желаемой формы путем приложения давления и практически не требует дополнительной механической обработки.
В настоящей работе не рассматриваются тепловые поля, а только исследуется процесс механического компактирования порошков под действием одноосного сжатия. Большинство аналогичных работ выполнено с использованием метода конечных элементов (FEM) с помощью известных программ, таких как COMSOL Multiphysics,
© Крижановский В.В., Мали В.И., Прууэл Э.Р., 2021
ABAQUS или [1, 2], в которых порошко-
вую среду заменяют однородной средой. Также имеется незначительное количество работ, в которых использованы другие методы моделирования, например метод дискретного элемента. В этих работах моделируют взаимодействие нескольких десятков частиц и более [3-6].
Метод дискретного элемента [7] является одним из перспективных методов для компьютерного исследования, т.к. этот метод создавался для расчета движения большого количества гранул и порошков. С помощью метода дискретного элемента можно легко моделировать сложные механические свойства гранулированных материалов с силовыми законами, объединяющие физические
параметры благодаря дискретному характеру образца [8-11]. В методе дискретного элемента гранула представляет собой крупную частицу. Для расчетов методом дискретного элемента существуют известные программы MercuryDPM, Yade, GROMOS EDEM (DEM Solutions Ltd.).
Целью настоящей работы является моделирование процесса получения материала из порошка. Порошок представляется гранулами, где каждая гранула — набор связанных между собой узлов с упругим взаимодействием по описанной ниже модели.
2. Описание модели
Модель использует подход, в котором материал описывается ансамблем одинаковых точечных узлов с относительно простой силой взаимодействия [12], в данном случае упругой силой взаимодействия. Рассматривается решение задачи механики движения многих тел под воздействием приведенных внутренних и внешних сил, описывающих прессующее воздействие:
a, = Х F -avi, (1)
j
du dt
dvi
dt
= v,
= ai,
(2)
(3)
(4)
^ = г (г - rj) = к (|г - г,|) - ¿0, где к — коэффициент жесткости; Ь0 — равновесное расстояние, при котором между двумя связанными узлами отсутствует сила взаимодействия.
Приведенная система решается в условиях квазиравновесия. Прессующий поршень движется медленно с заданной постоянной скоростью. В каждый момент времени все узлы находятся в относительном равновесии, так что учитывается только сила взаимодействия двух ближайших узлов. Сила трения -ау г- в формуле (1) добавлена для подавления колебаний. Масса т в данной модели принимается равной единице. Фактически реализуется явный итерационный метод поиска равновесного положения узла при меняющемся положении движущегося поршня.
Важной частью модели является возможность возникновения и разрушения связей между узлами. Для критерия могут использоваться характеристики двух узлов. В самом простом случае это расстояние между ними Ь. Приняты следующие
критерии возникновении связи Ь < 0.95Ь0 и разрушения связи Ь > 1.1Ь0. Критерии описывают сложные процессы, происходящие при необратимом деформировании и разрушении материала, в том числе определяют прочностные характеристики материала. Если центры узлов находятся на расстоянии меньше Ь0, между ними возникает упругая центральная сила отталкивания. Если центры узлов расходятся на расстояние больше Ь > 1.1Ь0, они перестают взаимодействовать.
В модели имеется ряд параметров, которые позволяют описывать материал и задавать его характеристики: модуль Юнга Е, параметр жесткости к х Е, а также условия разрушения и возникновения связей.
Между парой связанных между собой узлов может возникать упругая центральная сила притяжения при расстоянии большем Ь0, но меньшем 1.1Ь0, благодаря чему обеспечивается механическая прочность материала.
Важным преимуществом метода является отсутствие необходимости вводить учет вращательного движения гранул, как в работах [6, 13, 14]. В данной работе структура гранулы выбрана гранецентрированной кубической (ГЦК) с соответствующим расположением узлов, хотя можно выбирать и другие структуры (ОЦК, ГПУ и др.). На рис. 1 представлена соответствующая гранула диаметром 600 мкм с узлами и связями. При таком расположении узлов гранула имеет упорядоченную внутреннюю структуру с максимально заполненными связями.
Механика движения, деформирования, консолидации и разрыва гранул реализуется автоматически сквозным расчетом движения узлов с уче-
Рис. 1. Гранула диаметром 600 мкм содержит 132 узла и 534 связи (цветной в онлайн-версии)
1Р 1
ООО ООО ООО, - \ \ \ х^х4 \\\ \\\
т
\ .3 _2
Рис. 2. Схематическое изображение моделируемой установки: движущийся с постоянной скоростью пуансон (1), неподвижный пуансон (2), стенки пресс-формы (3), гранула (4)
том возникновения и разрушения связей между ними. Предварительно сформированные гранулы располагаются в объеме пресса, после чего происходит их одноосное сжатие до конечной плотности. При этом численно решаются приведенные уравнения (1)-(3) с граничными условиями. Граничные условия были заданы следующим образом: упругие покоящиеся боковые стенки пресс-формы с двумя упругими торцами пуансонов, один из которых неподвижен, а второй движется с заданной постоянной скоростью (рис. 2).
При движении пуансона контролируется давление, которое вычисляется как сумма сил, действующих на узлы со стороны торца пуансона, деленная на его площадь.
В процессе сжатия гранулы переупаковываются и деформируются, между узлами формируются и разрушаются связи. После извлечения из пресс-формы (снятия удерживающих стенок) получается механически прочный образец.
Сформированный в процессе прессовки образец подвергается механическим прочностным испытаниям. Для этого численно решается задача сжатия и растяжения пуансоном образца без пресс-формы со свободной боковой поверхностью. При этом строится график зависимости деформации образца от давления.
3. Результаты
Для проведения расчетов были выбраны следующие параметры модели: внутренний радиус пресс-формы г = 1.96 мм, размер гранулы й= 600 мкм, количество гранул 607 шт., количество узлов N = 80000, равновесное расстояние L0 =
Рис. 3. Процесс прессования гранул и последующего растяжения: расположение гранул в начальный момент времени до начала движения верхнего пуансона (а), спрессованный образец из гранул, готовый к механическим испытаниям (б), образец после теста на растяжение (в) (цветной в онлайн-версии)
100 мкм, расстояние зарождения связи 90, 95, 100 мкм, расстояние разрушения связи 110 мкм, к = 50 • 10% Н/м, а = 0.03^0 Н/(м/с).
На рис. 3 показаны процесс прессования гранул в материал и образец после испытаний на растяжение. На рис. 4 изображена кривая давления. На промежутке АВ происходит сбор гранул, а начиная с промежутка ВС происходит прессование гранул до конечного давления в 4 ГПа. На промежутке СВ образец вынимают из вирту-
—Р{ 0 С |а_
А В ^ Б -р
О 5 10 15 20 25 30 с
—Р{ 0 С\ \б
А В 1 Е
-1-1-1-1-1-
О 5 10 15 20 25 г, с
Рис. 4. График давления от времени с последующим тестом на разрыв для случая, когда расстояние зарождения связей равно 95 мкм
альной пресс-формы. Промежуток ВЕ — тестирование образца на сжатие (рис. 4, а) и разрыв (рис. 4, б). Промежуток Е¥ —дальнейшее воздействие на образец.
На рис. 5 показаны изменение количества связей на узел от времени, а также изменение давления на нижнем и верхнем пуансоне от времени. На кривой 3 можно видеть три характерных участка. Первый участок — быстрый рост связей, начиная с 5 с, который объясняется заполнением пустот гранулами. Второй участок, начиная с 10 до 15 с, соответствует медленному росту количества связей (перераспределению возникающих и пропадающих связей). Третий участок в области
Т-1-1-1-1-
0 5 10 15 20 г, с
Рис. 5. Эволюция давления и количества связей: красная линия показывает давление на верхней крышке (1), зеленая штриховая линия — давление на нижней крышке (2), черная линия — количество связей на узел (3) (цветной в онлайн-версии)
20 с — с быстрым ростом связей и последующим их спадом. Быстрый рост связей объясняется тем, что идет доупаковывание гранул до плотного состояния. Спад связей в области до 22 с происходит после извлечения образца и релаксации остаточных напряжений. Совпадение двух кривых давления 1 и 2 показывает выполнение условия квазиравновесия.
Таблица 1 демонстрирует поведение образцов при нагружении в различных условиях образования связей. Можно заметить следующее: чем ближе значение связи к равновесному состоянию Ь0 = 100 мкм, тем прочнее получается образец и тем более он соответствует хрупкому состоянию. Для определения влияния размера гранулы на прочность материала были приняты следующие параметры модели: внутренний радиус пресс-формы г = 4 мм, количество узлов N = 320000, размер гранулы й = 400, 600, 800, 1000 мкм, равновесное расстояние Ь0 = 100 мкм, расстояние зарождения связи 95 мкм, расстояние разрушения связи 110 мкм, к = 50 • 10% Н/м, а = 0.03кЬ Н/(м/с).
Из рис. 6 можно заметить, что размер гранулы не влияет на прочностные характеристики материала при сжатии. Но для теста на растяжение
Таблица 1. Значения прочности на сжатие и растяжение при различных условиях зарождения связей для различных давлений прессования Р
Расстояние возникновения Прочность на сжатие, МПа Прочность на растяжение, МПа
связей, мкм Р = 1 ГПа Р = 2 ГПа Р = 4 ГПа Р = 1 ГПа Р = 2 ГПа Р = 4 ГПа
90 194 325 438 147 280 416
95 277 473 521 204 395 478
100 337 518 551 217 400 505
-7
--2 -3 -- 4
¡h /
--6 / II
- 7 ; !jl | 1
- 8 /
j
/ * ' и
-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 е
Рис. 6. Испытание на сжатие (1, 3, 5, 7) и растяжение (2, 4, 6, 8) образцов, полученных при разных диаметрах гранул d = 400 (1, 2), 600 (3, 4), 800 (5, 6), 1000 мкм (7, 8) (цветной в онлайн-версии)
размер гранулы играет ключевую роль, т.к. можно видеть, что чем меньше размер, тем прочнее образец. Предельные значения давлений приведены в табл. 2.
Используя данный метод, можно не только моделировать тест на сжатие или растяжение, но также проводить другие испытания, например экструзию [15]. На рис. 7 представлены результаты по экструзии для двух вариантов: экструзия через круглое отверстие в центре пуансона (рис. 7, а) и через отверстие в виде кольца по периферии нижнего пуансона (рис. 7, б).
Таблица 2. Значения прочности на сжатие и растяжение при различных размерах гранул
d, мкм 400 600 800 1000
Прочность на сжатие, МПа 726 726 732 733
Прочность на растяжение, МПа 579 529 475 435
Рис. 8. Образцы после экструзии: выдавливание через отверстие (а), через кольцо (б) (цветной в онлайн-версии)
На рис. 8. показаны образцы, которые подверглись экструзии. Для оценки деформации гранул при экструзии во время одноосного сжатия использовался диаметр гранулы по оси 2 (рис. 9).
Рис. 7. Торец пуансона. Заштрихованная область имеет смысл границы, г — внутренний радиус пресс-формы, Г\ — размер отверстия в пуансоне (а), г2 — радиус неподвижного пуансона (б)
Рис. 9. Распределение диаметра гранул по оси 2 для случая выдавливания через отверстие гх = 0.5 г. О — номер гранулы. Красная линия соответствует начальному размеру гранул й в образце до экструзии (цветной в онлайн-версии)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 туг, тут-
Рис. 10. Зависимость диаметра гранул от безразмерного радиуса. Крайняя правая черная точка и крайняя левая красная точка относятся к случаю, когда нижний пуансон отсутствует. Ось ординат в логарифмическом масштабе (цветной в онлайн-версии)
Рис. 12. Численный расчет экструзии через отверстие в нижнем пуансоне (цветной в онлайн-версии)
С помощью рис. 9 можно определить количество разрушенных и деформированных гранул. По отношению й2/й можно определять деформацию гранул. Варьируя значения размера фильеры, можно изменять величину диаметра гранулы при экструзии, как показано на рис. 10.
Рис. 11. Металлография структуры образцов алюминия из работы [15]: исходный образец (а) и образец после экструзии (б) (цветной в онлайн-версии)
Для сравнения использовались результаты работы [15], в которой проводилась экструзия в условиях искрового плазменного спекания (SPS) образца из алюминия. Ниже представлены изменения структуры на образцах до и после экструзии (рис. 11).
На рис. 12 представлен численный срез экструзии через отверстие в нижнем пуансоне. Хорошо видна деформация гранул, вытягивание в цепочку. Сравнивая экспериментальные данные на рис. 11 с численным расчетом на рис. 12, можно говорит о качественной корреляции с экспериментом.
4. Выводы
Исследована модель для описания прессования гранул с учетом упругого взаимодействия и деформирования. Проведено численное моделирование прочности на сжатие и растяжение гранулированных образцов.
Получены значения прочности для различных расстояний зарождения связей между узлами материала.
Модуль Юнга полученных материалов E = 13 х 109 ~ 0.26k/L0 Па. Варьируя параметры k, L0, можно получать материал с различными значениями модуля Юнга.
Обнаружено влияние размера исходных гранул на прочность материала на растяжение. Прочность материала на сжатие не зависит от размера гранул.
Проверена возможность проведения экструзии при одноосном сжатии пуансона через фильеры с различными отверстиями.
Исследование выполнено при финансовой
поддержке РФФИ в рамках научного проекта
№ 19-33-90228. Исследование экструзии выполнено в рамках госзадания ИГиЛ СО РАН.
Литература
1. Olevsky E.A., Garcia-Cardona C., Bradbury W.L., Haines Ch.D., Martin D.G., Kapoor D. Fundamental aspects of spark plasma sintering: II. Finite element analysis of scalability // J. Am. Ceram. Soc. - 2012. -V. 95. - P. 2414-2422. - https://doi.Org/10.1111/j. 1551-2916.2012.05096.x
2. Wang X., Casolco S.R., Xu G., Garay J.E. Finite element modeling of electric current-activated sintering: The effect of coupled electrical potential, temperature and stress // Acta Mater. - 2007. - V. 55. - P. 3613622. - https://doi.org/10.1016/j.actamat.2007.02.022
3. Semenov A.S., Trapp J., Nothe M., Eberhardt O., Wall-mersperger T., Kieback B. Experimental and numerical analysis of the initial stage of field-assisted sintering of metals // J. Mater. Sci. - 2017. - V. 52. - P. 14861500. - https://doi.org/10.1007/s10853-016-0444-0
4. Reiterer M., Kraft T., Janosovits U., Riedel H. Finite element simulation of cold isostatic pressing and sintering of SiC components // Ceram. Int. - 2004. -V. 30. - P. 177-183. - https://doi.org/10.1016/S0272-8842(03)00086-5
5. Holland T.B., Anselmi-Tamburini U., Quach D.V., Tran T.B., Mukherjee A.K. Effects of local Joule heating during the field assisted sintering of ionic ceramics // J. Eur. Ceram. Soc. - 2012. - V. 32. - P. 3667-3674. -https://doi.org/10.1016/jjeurceramsoc.2012.02.033
6. Jerier J.-F., Hathong B., Richefeu V., Chareyre B., Imbault D., Donze F.-V., Doremus P. Study of cold powder compaction by using the discrete element method // Powder Tech. - 2011. - V. 208. - P. 537541. - https://doi.org/10.1016Zj.powtec.2010.08.056
7. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotech. - 1979. -V. 29. - No. 1. - P. 47-65.
8. Nosewicz S., Rojek J., Pietrzak K., Chmielewski M. Viscoelastic discrete element model of powder sintering // Powder Tech. - 2013. - V. 246. - P. 157-168. -https://doi.org/10.1016/j.powtec.2013.05.020
9. Storakers B., Biwa S., Larsson P.-L. Similarity analysis of inelastic contact // Int. J. Solid. Struct. - 1997. -V. 34. - P. 3061-3083.
10. Hill R., Storakers B., Zdunek A.B. A theoretical study of the Brinell hardness test // Roy. Soc. London Proc. A. - 1989. - V. 423. - P. 301-330.
11. Zhang J., Zavaliangos A. Discrete finite-element simulation of thermoelectric phenomena in spark plasma sintering // J. Electron. Mater. - 2011. -V. 40. - P. 873-878. - https://doi.org/10.1007/s11664-011-1606-0
12. Zheleznyakova A.L., Surzhikov S.T. Molecular dynamics-based unstructured grid generation method for aerodynamic applications // Comput. Phys. Comm. -2013. - V. 184. - P. 2711-2727. - https://doi.org/10. 1016/j.cpc.2013.07.013
13. Di Renzo A., Di Maio F.P. Comparison of contact-force models for the simulation of collisions in DEM-based granular flow codes // Chem. Eng. Sci. -2004. - V. 59. - P. 525-541. - https://doi.org/10.1016 /j.ces.2003.09.037
14. Wu Ch.-Yu, Guo Yu. Numerical modelling of suction filling using DEM/CFD // Chem. Eng. Sci. - 2012. -V. 73. - P. 231-238. - https://doi.org/10.1016/j.ces. 2012.01.048
15. AlekseevA.V., YesikovM.A., Strekalov V.V., Mali V.I., Khasin A.A., Predtechensky M.R. Effect of single wall carbon nanotubes on strength properties of aluminum composite produced by spark plasma sintering and extrusion // J. Mater. Sci. Eng. A. - 2020. - V. 793. -https://doi.org/10.1016/j.msea.2020.139746
Поступила в редакцию 13.05.2021 г., после доработки 05.07.2021 г., принята к публикации 06.07.2021 г.
Сведения об авторах
Крижановский Вячеслав Васильевич, мнс, асп. ИГиЛ СО РАН, fehtunkrizh@gmail.com
Мали Вячеслав Иосифович, к.ф.-м.н., доц., внс ИГиЛ СО РАН
Прууэл Эдуард Рейнович, к.ф.-м.н., зам. дир. ИГиЛ СО РАН, pru@hydro.nsc.ru
