CC BY
155
Локализация деформации и разрушение в геоматериалах.
Численное моделирование
Ю.П. Стефанов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе получены выражения, позволяющие использовать дилатансионные модели Друккера-Прагера и Николаевского для численного моделирования процессов упругопластической деформации геоматериалов. С использованием указанных моделей, а также алгоритмов разделения узлов сетки и взаимодействия поверхностей рассмотрен ряд задач о локализации деформации и разрушении геоматериалов в условиях сжатия и сдвига.
1. Введение
Описание поведения геоматериалов остается актуальной задачей для понимания происходящих в них процессов и прогноза их поведения в различных условиях. Макроскопическое поведение данных материалов в зависимости от условий нагружения может быть хрупким, а может быть близко к пластическому. При этом наблюдается ряд особенностей, отличающих их поведение от пластического поведения металлов, имеющего иной физический механизм. В первую очередь, это влияние давления на процесс пластического, а точнее псевдопласти-ческого, деформирования и последующего разрушения, а также заметное изменение объема в ходе деформирования. Эти явления объясняются тем, что данные материалы либо вовсе не являются сплошными, либо таковыми являются не в полной мере и содержат значительное количество пор и трещин различного масштаба. В ходе деформирования происходит их рост и слияние. В конечной мере поведение материалов зависит от траектории роста и возможности образования магистральных трещин. В свою очередь, это напрямую зависит от условий взаимодействия поверхностей трещин, а следовательно, и величины сжимающих напряжений.
Для формулирования условий прочности и прогноза поведения квазихрупких материалов используются два существенно различных подхода. В первом анализируется напряженно-деформированное состояние вокруг трещин различной ориентации и рассматриваются ус-
ловия их роста, взаимодействия и слияния [1-4]. Во втором подходе поведение материала рассматривается как пластическое и формулируются соответствующие модели пластичности [4-13].
Интерес представляет, в первую очередь, поведение среды в условиях сжатия и сдвига. Следует отметить, что численное моделирование таких процессов представляет дополнительные сложности, которые вызваны тем, что деформирование хрупких и квазихрупких материалов неизбежно сопровождается образованием и ростом трещин. При небольшом количестве трещин возможно их индивидуальное рассмотрение, результаты использования такого подхода находят хорошее экспериментальное подтверждение [2, 3]. В том случае, когда число трещин велико, а напряженное состояние препятствует их раскрытию и формированию магистральных трещин, т.е. до тех пор, пока в целом образец сохраняет сплошность, наиболее подходящий способ описания поведения — это использование соответствующей модели пластичности. В зависимости от материала и условий нагружения модель должна учитывать в том числе и повреждаемость. Учет повреждаемости материала сводится либо к заданию упругих характеристик в виде функции параметров состояния, либо поверхности нагружения, зависящей от тех же параметров. В качестве примеров использования такого подхода при численном моделировании можно привести работы [14-16].
© Стефанов Ю.П., 2002
В данной работе численно моделируется поведение геоматериалов в условиях сжатия и сдвига. Для описания процесса деформирования используется комплексный подход, согласно которому считается, что в ходе пластической деформации происходит накопление повреждений, снижающих прочность материала, а раскрытие трещин происходит под действием растягивающих напряжений. Процесс пластической деформации описывается с использованием двух дилатансионных моделей. Образование и рост трещин моделируются явным образом, с формированием свободных поверхностей.
2. Упругопластическая деформация
До наступления пластической деформации будем считать, что поведение среды описывается законом упругости
ау = - РЩ + Ху ,
Dt
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь — компоненты тензора напряжений; Ъу — компоненты девиатора тензора напряжений; Р — среднее давление; Єу — компоненты тензора деформаций Коши:
1 /
Є у = 2(иі, у + иуЛ
(5)
ыг — компоненты вектора перемещения, аду — компоненты тензора скоростей вращения:
®у = \(иі, у - иЛ)’
(6)
К и ц — модули сжатия и сдвига соответственно.
Полные деформации состоят из упругих и пластических:
Є- = Є - + Єр
у у у .
(7)
Наиболее распространенным законом для описания поведения геоматериалов за пределом упругости остается закон Кулона-Мора и его обобщения. В работе Друк-кера и Прагера [5] рассмотрено применение ассоциированного закона течения для обобщенного условия Кулона-Мора в форме Мизеса-Шлейхера:
+ 32/2 = У,
(8)
где J1 = (ст1 + ст2 + ст3), J2 = 2(sijs у), а — коэффициент внутреннего трения, Y— сдвиговая прочность материала, или сцепление.
Здесь же показано, что при использовании данной модели для описания пластических деформаций последние могут иметь не только сдвиговой, но и объемный характер. Вывод об объемной пластической деформации при использовании такого типа условий был сделан В.В. Новожиловым в [17]. В.Н. Николаевский, отказавшись от ассоциированного закона, предложил использовать независимую связь между объемной и сдвиговой составляющими пластической деформации [8-10].
Запишем основные соотношения этих моделей и приведем их к виду, пригодному для использования в численных расчетах.
2.1. Модель Друккера—Прагера
Скорость пластической деформации определяется из соотношения:
є,р =А/
1 дау
(9)
Здесь X — безразмерный скалярный множитель. Для ассоциированного закона пластический потенциал f и функция текучести (8) совпадают, значит
(
Л
1/2
(10)
Видно, что объемная часть скорости пластической деформации будет равна
/Р = Є Р = ЗА а, а девиаторная
еР = А у
2 322 '
(11)
(12)
Отсюда
Х = 21 2р1/2, тогда
1р = 6а/2р1/2.
Скорость диссипации энергии на пластической деформации будет равна
(13)
(14)
д/
Ж = а у Є Р = а у А
у у у да
= А/ = АУ.
(15)
Для проведения расчетов необходимо получить выражения для вычисления компонент напряжений. При-
ращение пластической деформации на очередном шаге по времени или приращения нагрузки будет пропорционально разности напряжений, вычисленных по упругому закону, которые обозначим «*», и истинных напряжений на поверхности текучести, т.е. для девиаторов будет справедливо выражение
Дер =-----------:
1 2ц
■ = Х
Умножив обе части на х.
sijsij - sijsij =^ sijsij
2ц
2 J2/2 ’
после суммирования получим
2J2
j*12
J
12
-1
=2цХ 2/2
2J
12
j f = j 2*12 -цх.
Аналогично для объемной части J1 = ^*- 3К 3аХ.
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Осталось вычислить X. Для этого, подставив (19) и (20) в условие (8), получим
л а/* + /*1/2 - Y
C
За 3K + ц За 3K + ц
C = а/* + J2*1/2 - Y.
Теперь можно записать:
/ = /* - 3KЗа—--------------,
За 3K + ц
J12 = J У- - ц
C
За 3K + ц
(21)
(22)
(2З)
(24)
Теперь, зная исправленное значение J2, компоненты девиатора тензора напряжений определяются путем умножения каждой компоненты на множитель то есть
J
12
3V *V j*l/2 J
(25)
ґ а - а ^
wx
12
+ c cos ф =
-sin ф, (27)
где
cos ф =
(1 - 12а 2)1/2
(1 - 12а2)12 (1 - За2)12
sin ф =
За
tgф =
(1 - За2)12 За
(28)
(1 - 12а2)12
значит, 12а < 1, или а < 0.288675 (ф < 90°).
2.2. Модель Николаевского
В качестве условия пластичности здесь также, как и в модели Друккера-Прагера используется условие Мизеса-Шлейхера (8).
Скорость пластической деформации определяется выражением
ер. = |ст у + 2ЛаН8 у - (1 + 2Ла) ^ 8 у ^ X, (29)
причем независимо от (29) устанавливается связь между объемной и сдвиговой пластической деформацией:
If = 2Л12р1/2,
(З0)
где Л — коэффициент или скорость дилатансии.
В отличие от предыдущей модели, здесь множитель
-1
X имеет размерность ст
Величина сцепления Y определяется как
3аН = У,
(З1)
где Н можно назвать давлением связности.
Выражение (29) для определения скорости пластической деформации будет следовать из
ер =Л^,
1 да.
(З2)
причем в отличие от (9) пластический потенциал имеет вид:
Ф(а«) = J 2 + а2Л
J2
HJ1 +
1 2 • 9
+ const.
(ЗЗ)
Теперь получим формулы для вычисления напряжений так же, как и для модели Друккера-Прагера:
а гидростатическая часть — непосредственно из выражения (23):
ЗР = -а*- = - /.
(26)
Для плоской деформации условие (8) можно записать в форме Кулона-Мора:
ДЄР = Sij Sij
1 2ц
= Xsi;
1f = ер = 2Л(ЗаН - qJj)X = 2Л/2/2Х, / = J* - 3K2Л/2/2Х,
(34)
(35)
(36)
*
*
зУ2 =
Г *12 3 2
2цА + Г
С = аз* + /*1/2 - У,
А =
С
/2*1/2 (ЗаК2Л + 2ц) - 2цС ’
31 = 31 -
ЗКЛС ЗаКЛ + ц
312 = 3 *12 цС
2 2 ЗаКЛ + ц'
(37)
(38)
(39)
(40)
В условиях плоской деформации угол внутреннего трения ф можно выразить через а и Л следующим образом:
sm ф = а
(9 - ЗЛ2)1/2 1 - аЛ
а угол дилатансии
З-Л
(41)
(42)
При Л = За получим модель Друккера-Прагера, при Л = а = 0 — модель Прандтля-Рейсса.
На значения параметров Л и а также, как и в модели Друккера-Прагера, накладываются ограничения: Л/3 < < 0.288675; а< 0.333 при Л = 0, а< 0.288675 при Л/3 = 0.288675.
3. Разрушение
Условие разрушения записывалось в виде:
(
а
ей
= ап (1 - а) + ата < а”
1 -р
( /р Л
Л
(4З)
при стп > 0,
где стп, стт — соответственно нормальная и касательная составляющие вектора напряжений; а, в, п — парамет-
* *
ры; ст, е — соответственно предельное значение напряжения и предельный уровень объемной пластической деформации.
Таким образом, принимаем, что разрушение и раскрытие трещин происходят при наличии и под действием растягивающих напряжений. В ходе пластической деформации происходит накопление повреждений, с которыми по смыслу связана объемная пластическая деформация. В результате накопления повреждений происходит снижение прочности материала. Уравнение (41) равносильно использованию функции повреждаемости в виде:
(44)
4. Численное описание
Для описания процесса деформации численно решается система уравнений механики сплошной среды (уравнения движения, неразрывности, энергии). Замыкают систему уравнений модельные соотношения раздела 2. Система уравнений решается при заданных начальных и граничных условиях. Задачи решались в двумерной постановке для условий плоской деформации. Для решения системы уравнений использовалась схема, предложенная в [18].
Процедура расчета на каждом временном интервале включает следующую последовательность операций:
1. Расчет движения узлов расчетной сетки при соответствующих граничных условиях. На всех поверхностях, где эти условия заранее не заданы, а определяются в ходе решения задачи, используются условия свободных поверхностей.
2. Расчет контактного взаимодействия поверхностей (условие непроникновения и закон скольжения) и коррекция движения в соответствии с взаимодействием.
3. Расчет напряженно-деформированного состояния в ячейках сетки.
4. Проверка условия разрушения и формирование новых поверхностей (разделение узлов и задание соответствующих условий на новых поверхностях).
При выполнении локального условия разрушения (43), которое проверялось для всех пар расчетных ячеек, осуществлялась процедура разделения узлов расчетной сетки [19] и задание на вновь образованных границах условий свободной поверхности. Это обеспечивает автоматический учет образования трещин в процессе деформирования во всей расчетной области. При этом, образование и развитие трещин описываются явным образом. Использование такого способа описания образования трещин позволяет учитывать и рассматривать проскальзывание их поверхностей. Естественно, что при численном описании приращения имеют дискретный характер, а сама трещина принимает вид ломаной.
Реализация граничных условий на контактирующих поверхностях трещины осуществлялась по схеме коррекции движения узлов расчетных ячеек. Используемый алгоритм реализации контактных условий аналогичен алгоритмам, описанным в работах [20, 21]. Некоторые детали использования разработанных алгоритмов разделения узлов и контактного взаимодействия поверхностей трещины приведены в [22].
5. Результаты расчетов
Были рассмотрены различные схемы деформирования материалов, при которых проявляется ряд явлений, присущих неупругому деформированию геоматериалов. Упругие характеристики материала для всех расчетов были одинаковы: р = 3.8 г/см3, К = 8-1010 Па, ц = 2.5-1010 Па. Варьировались лишь параметры, опи-
*
Є
*
Є
Рис. 1. Распределение деформации при сжатии образца: модель Прандтля-Рейсса, Y = const, а = Л = 0 (а); модель Друккера-Пра-гера, Y = const, Л = 3а, а = 0.21 (б) , Y = const, Л = 3а, а = 0.28 (в), Л = 3а, а = 0.21 (г)
сывающие пластические свойства и разрушение материала.
5.1. Локализация деформации при сжатии образца
Для иллюстрации особенностей проявления локализации деформации рассмотрим поведение прямоугольного образца в условиях сжатия, используя для этого описанные выше модели. Условия нагружения соответствовали жесткому сжатию при отсутствии скольжения на торцах образцов. Боковые грани свободны от напряжений.
1. Наиболее простой случай, который следует из полученных выше выражений при а = Л = 0, это модель Прандтля-Рейсса. В данной модели отсутствуют зависимость предела текучести от давления и дилатансия. При использовании этой модели полосы локализации пластической деформации развиваются в направлении наибольших касательных напряжений. В рассматриваемом случае на некотором удалении от поверхностей приложения нагрузки можно принять, что направления главных осей напряжений совпадают с осями симметрии образца. Таким образом, направление развития полос локализации деформации 0 должно составлять п/4 к направлению приложенной нагрузки, совпадающему с осью образца.
На рис. 1, а хорошо видно, что полосы локализации зарождаются в угловых точках и, отразившись от свободной боковой поверхности, проходят через весь образец. В местах их пересечения уровень деформации оказывается существенно выше.
Процесс развития полос локализованной деформации, но для условий растяжения металлического образца, с использованием данной модели был рассмотрен в [23].
2. Вводя в рассмотрение зависимость предела текучести от давления, перейдем к дилатансионной модели Друккера-Прагера (3а = Л Ф 0).
Данная модель предсказывает развитие полос локализации в направлении 0 =П- — к оси наибольшего сжатия.
При а = 0.21 значение угла внутреннего трения — = = 45° (рис. 1, б). Полученная картина деформирования полностью согласуется с теоретическими представлениями. Угол наклона полос локализации составляет 0 = 22.5°.
На рис. 1, в показан случай деформирования для а = 0.28, когда — = 73.85 °, соответственно 0 = 8 °. Такой угол оказывается меньше угла наклона линии, соединяющей противоположные углы образца. В этом случае локализации почти не наблюдается, но хорошо видно раздувание образца.
Наличие упрочнения приводит к более однородному деформированию и бочкообразному расширению образца (а = 0.21) (рис. 1, г).
3. Существенным усложнением будет использование модели Николаевского (3а Ф Л).
Данная модель оказывается наиболее чувствительной к любого рода неоднородностям напряженно-де-
Рис. 2. Распределение деформации (а, б), поврежденности (в) и картина растрескивания (г) при сжатии образца: модель Николаевского, Y = const, а = 0.28, Л = 0.56 (а), Y = const, а = 0.21, Л = 0.21 (б), а = 0.28, Л = 0.28 (в, г)
Рис. 3. Картины растрескивания (а-г) и локализация деформации в последовательные моменты времени (д, е) в образце с центральным отверстием при сжатии
формированного состояния. Процесс деформирования образца, описываемый с использованием указанной модели, проявляет склонность к локализации деформации на ранних стадиях. Если на ранней стадии процесса мы имеем симметричную картину развития полос локализации (как оно и должно быть в однородном образце) (рис. 2, а-в), то дальнейшее деформирование протекает несимметрично. На более поздних стадиях деформация преимущественно протекает по некоторым из полос, происходит смещение частей образца. Причиной несим-метрии является неоднородность напряженно-деформированного состояния, имеющая порядок ошибки вычислений. Чем большее значение имеет коэффициент дилатансии, тем более устойчиво поведение образца.
Результаты расчета с явным формированием трещин показаны на рис. 2, г. Использование функции повреждаемости в виде (43) обеспечивает предпочтительное образование трещин в местах локализации деформации. Поэтому на представленных картинах растрескивания образцов основная часть трещин лежит в зонах локализации — зонах наиболее поврежденного материала. В то же время, формирование трещин контролируется наличием и величиной растягивающих напряжений в каждой точке расчетной области. Поэтому система раскрытых трещин не везде совпадает с полосами локализации на рис. 2.
При наличии геометрической особенности, например отверстия в центральной части образца, локализация деформации и разрушение инициируются в этой области. Например, на рис. 3 представлен расчет деформирования такого образца с явным учетом образования трещин (рис. 3, а-г) и без него (рис. 3, д, е). Условия нагружения соответствовали вертикальному сжатию образца с идеальными смазанными торцами. По мере деформирования происходит расширение полосы локализации. В результате, угол ее наклона несколько меняется (рис. 3, е). В связи с этим ориентация трещины может в некоторой степени зависеть от величины предельной накопленной деформации — дилатансии (насыщенности микротрещинами и их раскрытия).
Полученные результаты согласуются с экспериментальными картинами разрушения плоских образцов горных пород, представленных в работе [24].
5.2. Сдвиг по границам слоя
Рассмотрим развитие деформации «пластичного» слоя в условиях сдвига по его границам. Торцевые поверхности оставим свободными от напряжений.
При сдвиговом деформировании слоя, ограниченного жесткими стенками, практически с самого начала деформирования возникают полосы локализованной деформации (рис. 4, 5). Можно наблюдать основные и
Рис. 4. Формирование полос локализации при сдвиге по границам слоя среды: а = 0.21, Л = 0.05 (а), а = 0.3, Л = 0.1 (б), а = 0.328, Л = 0.05 (в)
сопряженные системы полос деформации, различающиеся углом наклона и интенсивностью. Интенсивность последних существенно ниже, чем основных, лишь в самом начале деформирования интенсивности оказывались близки. Угол наклона основных полос в зависимости от параметров среды менялся в пределах от 10° до 23°, а наклон дополнительных сопряженных полос составлял около 70°. Эшелонированная система полос локализации такого рода, называемая сдвиговыми полосами Риделя, наблюдается в геологической среде в зонах разлома [1, 25].
Дополнительные или сопряженные полосы первоначально возникают в центральной части слоя, где наиболее стесненные условия деформирования (рис. 4, б, в). Причем на начальном этапе на их проявлении сказывается скорость деформирования, с увеличением ско-
рости четче проявляются сопряженные полосы. Вполне вероятно, что наличие сопряженных полос в реальной геологической среде в значительной мере связано с резкими подвижками стенок разломов. При данной геометрии среды ярко выраженные сопряженные полосы наблюдались лишь в случаях больших значений внутреннего трения (а > 0.28) и малой скорости дилатан-сии (Л < 0.12).
На начальном этапе деформирования расположение полос имеет периодический характер, расстояние между ними и угол наклона одинаковы. По мере деформирования развивается лишь часть из них, часть на фоне остальных исчезает, а часть сливается. В результате слияния угол наклона и расстояние могут несколько измениться. При толщине слоя Н = 3 см, расстояние между полосами L составляло от 1.03 до 1.9-2.15 см. При оцен-
Рис. 5. Формирование полос локализации при прямом и обратном сдвиге по границам слоя среды: а = 0.21, Л = 0.115 (а), а = 0.28, Л = 0.1 (б), а = 0.31, Л = 0.175 (в)
ках L = 0.25 Н + 0.3 см [10] расстояние L должно составлять 1.05 см. Отличие от натурных наблюдений может быть связано не только с модельной идеализацией, в частности здесь не рассматривались формирование трещин и возможная переупаковка частиц, но и с разницей граничных условий. Вероятно, сказывается влияние ограниченной длины слоя и идеально жестких стенок.
Возникновение полос локализованной деформации в рассмотренных условиях связано с параметрами среды. Чем сильнее мы отходим от модели Друккера-Пра-гера (Л = 3 а), т.е. чем больше разница между коэффициентами внутреннего трения и дилатансии, тем сильнее проявление полос. Например, при Л > а полосы локализации для заданной геометрии среды заметны лишь вблизи свободных торцов слоя.
Обратное смещение стенок и соответственно деформация обратного знака приводят к формированию новых полос локализации, аналогичных первоначальным, так что среда покрывается ромбической сеткой полос (рис. 5). Полученная сетка полос локализации сходна с полосами, наблюдаемыми в известных экспериментах с песком [26].
Изменение геометрии среды отражается и на картинах полос локализации, меняется интенсивность основных и сопряженных полос. Увеличение толщины слоя приводит к появлению полос при параметрах, для которых при прежней геометрии их не наблюдалось. Например, при соотношении толщины к длине слоя 1: 8 можно увидеть основные и сопряженные полосы в случаях, когда Л = а.
При уменьшении длины слоя и увеличении его толщины возникает тенденция к формированию полос, в том числе и искривленных, которые соединяют противоположные углы расчетной области.
Изменение углов внутреннего трения и дилатансии, в том числе и в процессе деформации, дает различные картины локализации деформации. На рис. 6 приведен пример моделирования поведения слоя среды, обладающего указанными свойствами, в условиях простого сдвига. Зарождение полос локализации происходит в угловых точках расчетной области, которые в данном случае являются единственными особенностями структуры. Далее ее распространение диктуется углами внутреннего трения и дилатансии; так как их величины могут меняться, развитие локализации деформации может иметь криволинейный характер. Рассматривая зоны локализованной деформации в соответствии с принятой схемой как наиболее поврежденные, полученные картины можно трактовать как формирование блоков в исходно квазиоднородной среде. Форма и размеры формирования таких блоков зависят как от геометрических особенностей строения среды, так и от ее свойств, изменения состояния. В данном случае в качестве параметра состояния была взята накопленная пластическая дефор-
мация, а параметры модели, углы внутреннего трения и дилатансии были периодической функцией состояния:
Y = Y0 + aеp -4(еР)2,
8
Л = b sin ((сеp — 0.5) +1),
a = 0.87, е* = 0.075, b = 0.15, a = 0.1.
В случае, если одна из стенок не является жесткой, имеет место коробление поверхности (рис. 7, а, б). Возникают сдвиговые полосы деформации, причем деформации в основных и сопряженных полосах имеют сопоставимую интенсивность. Наибольшая деформация сосредоточена вблизи деформируемой поверхности, так что при разрушении поверхностного слоя возможно формирование дугообразных зон деформации, проходящих от одной границы фрагмента поверхности к другому (рис. 7, в). Картины деформирования при учете трещинообразования представлены на рис. 7, г, д. Согласно принятой схеме повреждаемости, развитие трещин, в первую очередь, происходит в областях наи-
Рис. 6. Образование криволинейных полос локализации, разбивающих среду на блоки
Рис. 7. Формирование складок на свободной поверхности при сдвиге по границам слоя среды (а, б); дугообразные полосы локализации, образующиеся при периодическом разрушении верхнего упругого слоя (в); картины растрескивания при сдвиге по границам слоя (г, д)
большей деформации материала. Сформировавшиеся трещины напоминают о предварявших их образование полосах локализованной деформации.
5.3. Деформирование области, содержащей включения поврежденного материала
Рассмотрим фрагмент среды, содержащей включение быстро повреждающегося материала. Пусть среда находится в напряженном состоянии чистого сдвига, близком к критическому (т = 0.9970). Условия нагружения такого вида эквивалентны приложению равных по величине напряжений растяжения по одной диагонали образца и напряжений сжатия по другой. В начальный момент времени все механические характеристики в основном материале и во включении совпадают, напряженное состояние всей области однородно. Допустим, в материале включения сцепление уменьшается, включение постепенно пластически деформируется и разрушается.
Симметрично от границы включения развиваются две пары полос деформации. Ориентация полос, а также интенсивность деформаций в основной и сопряженной полосах меняются не только в зависимости от параметров модели, но и от формы и ориентации включения (рис. 8, 9). Например, для круглой формы включения полосы всегда имеют одинаковую интенсивность, для эллиптической формы можно наблюдать основную и дополнительную, сопряженную полосу. Следует заметить, что деформация включения также имеет полосовую структуру, что хорошо видно в случае круглого включения (рис. 8).
Очевидно, что наклон полос зависит от параметров модели, углов внутреннего трения и дилатансии. Например, при нулевых значениях углов внутреннего трения и дилатансии (модель Прандтля-Рейсса) имеем взаимно ортогональные полосы. Наибольшие отклонение и сближение полос наблюдаются при Л = 3а (модель Друккера-Прагера), причем с увеличением этих величин происходит сближение полос в каждой паре и их отклонение к оси сжатия.
По мере вытягивания эллиптического включения его влияние на напряженно-деформированное состояние окружающего материала приближается к влиянию трещины. Развитие полос локализованной деформации от каждой из вершин показывает влияние двух конкурирующих механизмов распространения нарушения. Одна из полос является как бы продолжением сдвиговой трещины-включения, вторая, с меньшей интенсивностью деформации (которая зависит от параметров модели, т.е. свойств материала), начинает развиваться ортогонально к нему и далее изгибается (рис. 9). Наиболее четко сопряженная полоса проявляется при Л = 3а. Как и в случае с трещиной, в вершинах включения возникают антисимметрично расположенные зоны растяжения и сжатия.
В рассмотренных условиях, в зависимости от параметров среды, могут быть получены различные картины разрушения. При высоких значениях а* и е*, что можно считать соответствующим слабоповрежденной высокопрочной среде, разрушение происходит по отрывному механизму роста наклонной или сдвиговой трещины. От вершин разрушающегося включения в областях дей-
Рис. 8. Полосы локализации при «разрушении» включения круглой формы в условиях чистого сдвига: Л/3 = а = 0.21 (а); а = 0.288, Л = 0.288 (б)
ствия растягивающих напряжений развиваются трещины отрыва. На первом этапе их рост происходит ортогонально нарушению. Дальнейший рост трещин обеспечивает ортогональную оси растяжения ориентацию зоны разрушения (рис. 10, а).
При высокой скорости повреждаемости, т.е. малых *
значениях е , естественно, что разрушение развивается в полосах локализации пластической деформации. При наличии выраженных сопряженных полос локализации от каждой вершины развиваются две трещины, одна из которых является продолжением нарушения. В случае, слабой интенсивности сопряженной полосы локализации развиваются лишь последние (рис. 10, б).
При малых значениях а*, т.е. в случае, когда среда является равномерно поврежденной, возникает система параллельных трещин (рис. 10, в, г). Эта система трещин, в основном, лежит в полосе, образованной либо дополнительными полосами локализации, либо трещинами отрыва. Направление трещин меняется от параллельного полосам локализации, продолжающих нарушение, до ортогонального оси растяжения. Причем при Л = 3а, особенно при их высоких значениях, система трещин сосредоточена в полосе, ограниченной допол-
нительными полосами локализации, а их ориентация близка к направлению основных полос. При Л Ф 3а ориентация трещин и их расположение в большей степени привязаны к направлению растяжения. В этом случае полоса растрескивания образована трещинами отрыва.
Следует отметить, что развитие трещин и эволюция полос локализованной пластической деформации не являются изолированными процессами. Они являются проявлением одного процесса.
6. Заключение
В работе численно смоделирован процесс развития полос локализованной деформации и образования трещин в геоматериалах при различных условиях нагружения. Получены картины формирования систем трещин вокруг разрушающегося включения и в слое среды в результате сдвига. Смоделирован процесс образования полос локализованного сдвига Риделя и криволинейных полос локализации при сдвиге. Рассмотрены разрушение и локализация деформации в образцах при сжатии.
Расчеты были выполнены с использованием упругопластических моделей Прандтля-Рейсса, Друккера-Прагера и Николаевского. Причем последнюю модель
Рис. 9. Полосы локализации при «разрушении» включения вытянутой формы в условиях чистого сдвига, Л/3 = а = 0.28 (а); Л/3 = а = 0.21 (б); а = 0.28, Л = 0.28, и распределение х- и _у-компонент напряжений (в)
Рис. 10. Формирование трещин в среде после «разрушения» включения: а = 0.28, Л = 28, а = 0.5 ГПа, е е* = 0.005 (б); а* = 0.25 ГПа, е* = 0.05 (в); Л/3 = а = 0.28, а* = 0.3 ГПа, е* = 0.0025 (г)
= 0.1 (а); а = 0.5 ГПа,
можно рассматривать как более общую, включающую две первые модели как частный случай, при определенных ограничениях на параметры. С целью использования указанных моделей в численных расчетах были получены соответствующие выражения для расчета напряженного состояния и пластических деформаций.
Совершенно очевидно, что для описания конкретных процессов деформации в геологической среде необходим тщательный подбор параметров, описывающих ее свойства. Кроме упоминавшихся выше характеристик, вероятно, следует учитывать изменение свойств в конкретных условиях, а также такие характеристики, как размер зерен и шероховатость поверхностей. Учет данных характеристик может быть осуществлен, например, в виде периодической функции для параметров, как это сделано в п. 5.2. Есть основания полагать, что таким простым способом можно описать некоторые явления, не рассматривавшиеся в данной работе, например прерывистое скольжение.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант
№ 02-05-65346, и интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 77.
Литература
1. Райс Дж. Механика очага землетрясения // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 28. Механика очага землетрясения. - М.: Мир, 1982. - С. 10-132.
2. Germanovich L.N., Cherepanov G.P. On some general properties of strength criteria // Int. J. Fract. - 1995. - V. 71. - P. 37-56.
3. Germanovich L.N., Salganik R.L., Dyskin A.V., Lee K.K. Mechanisms of brittle fracture of rock with pre-existing cracks in compression // PAGEOPH. - 1994. - V. 143. - No. 1/2/3. - P. 117-149.
4. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения / Под ред. Г. Либовица. - М.: Мир, 1975. -С. 336-520.
5. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975. - С. 166-177.
6. Райс Дж.Р. Локализация пластической деформации // Теоретичес-
кая и прикладная механика. Труды XIV междунар. конгресса IUTAM, 30 авг. - 4 сент. 1976, Делфт, Нидерланды / Под ред.
В.Т. Койтера. - М.: Мир, 1979. - С. 439-471.
7. Rudnicki J. W, Rice J.R. Condition for localization of plastic deformation in pressure sensitive dilatant materials // J. Mech. and. Phys. Solids. - 1975. - V. 23. - No. 6. - P. 371 -390.
8. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория плас-
тичности // Механика твердых деформируемых тел. Том 6. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1972. - С. 5-85.
9. Николаевский В.Н. Обзор: земная кора, дилатансия и землетрясения
// Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 28. Механика очага землетрясения. - М.: Мир, 1982. - С. 133-215.
10. Гарагаш И.А., Николаевский В.Н. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - № 1. - С. 131-183.
11. Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластически хрупкого поведения скальных пород и бетона // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. - М.: Мир, 1983. - С. 163188.
12. Бажант 3. Эндохронная теория неупругости и инкрементальная теория пластичности // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. - М.: Мир, 1983. - С. 189-229.
13. Giambanco G., Mroz Z. The interphase model for the analysis of joints in rock masses and masonry structures // Meccanica. - 2001. -V. 36. - P. 111-130.
14. Черепанов О.И. Численное моделирование деформации материалов с учетом неустойчивой ветви а-е-диаграммы // Физ. мезо-мех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 5-16.
15. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Черепанов О.И., Трубицына Н.В., Ворошилов Я. С. Упруго-вязкопластическая деформация и разрушение угля на мезоскопическом масштабном уровне // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 63-87.
16. Giambanco G., Rizzo S., Spallino R. Numerical analysis of masonry structures via interface models // Comp. Methods Appl. Mech. Engng. - 2001. - V. 190. - P. 6493-6511.
17. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная математика и механика. - 1965. - Т. 29. - Вып. 4. - С. 681-689.
18. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212263.
19. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды: применение к расчету деформирования и разрушения горных пород // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 107-114.
20. Descombes C., Fanget A., LeRoux A.Y An augmented Lagrangian formulation for dynamics contact/impact problems in an explicit Lagrangian finite element code // International Workshop on New Models and Numerical Codes for Wave Processes in Condensed Media. - Great Britain, AWE Hunting - Brae, 1997. - P. 762-772.
21. Gulidov A.I., Fomin V.M., Shabalin I.I. Mathematical simulation of fracture in impact problems with formation of fragments // Int. J. Frac. -1999. - V. 100. - No. 2. - P. 121-131.
22. Stefanov Yu.P Wave dynamics of cracks and multiple contact surface interaction // Theor. and Appl. Frac. Mech. - 2000. - V. 34/2. - P. 101108.
23. Makarov PV, Smolin I.Y., Prokopinsky I.P Localized plastic strain in polycrystalline materials with hole and notches // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 1998. - V. 29. - P. 11-20.
24. Labuz J.F., Dai S.-T, Papamichos E. Plane-strain compression of rock-like materials // Int. J. of Rock Mech. and Min. Sci. & Geomech. Abstr. - 1996 - V. 33. - No. 6. - P. 573-584.
25. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Мир, 1969. - Т. 2. - 863 c.
26. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. ископаемых. - 1974. - № 3. -
С. 130-133.
