Исследование процесса изменения капитала при пуассоновском потоке моментов поступления доходов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.А. Назаров, Е.Л. Туренова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ КАПИТАЛА ПРИ ПУАССОНОВСКОМ ПОТОКЕ МОМЕНТОВ ПОСТУПЛЕНИЯ ДОХОДОВ

Предложены две модели процесса изменения капитала компании. Проведено их исследование методами аналитического, численного анализа и имитационного моделирования. Найдены основные вероятностные характеристики стабильного функционирования компании.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Денежные средства любой компании можно разделить на две категории. К первой относятся средства, активно используемые компанией при проведении текущих операций. Ко второй - средства, выполняющие роль резервного фонда. Поскольку моменты изменения объема денежных средств на активном счете и величина этих изменений носит случайный характер, то для правильного планирования деятельности компании важно знать вероятность того, что в течение некоторого определенного периода времени она не обратится к резервному фонду. В связи с этим, актуальной является проблема разработки математических моделей стабильного функционирования компании в течение фиксированного интервала времени [l - 3].

В данной работе рассмотрены две модели изменения объемов денежных средств на активном счете компании. Первая модель характеризуется тем, что моменты поступлений денежных средств образуют пуассоновский поток, а размеры поступлений средств являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с заданными первыми двумя начальными моментами. Расход средств со счета происходит непрерывно с заданной интенсивностью. Отличие второй модели состоит в том, что расход со счета происходит в случайные моменты времени. Моменты выплат образуют пуас-соновский поток. Размер выплат денежных средств - так же независимые одинаково распределенные случайные величины с заданной функцией распределения.

Для предложенных моделей найдена вероятность того, что в течение определенного интервала времени на активном счете (в дальнейшем, счете) компании останется положительная сумма денежных средств. В работе использованы три метода исследования преложенных моделей: асимптотический анализ, имитационное моделирование и численный метод сеток.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ

Обозначим через s(t) - случайный процесс изменения объема денежных средств на счете компании с течением времени. Пусть горизонтом планирования является интервал времени продолжительностью T. В начальный момент времени на счете находится капитал в размере s0 > 0. В течение горизонта планирования T на счет в случайные моменты времени приходят поступления. Размер поступлений - случайная величина §, функцию распределения которой обозначим A(x). Моменты увеличения капитала образуют простейший поток с интенсивностью X.

В первой модели предполагается, что средства расходуются непрерывно с интенсивностью к. Во второй модели капитал уменьшается в случайные моменты времени на случайную величину п, имеющую функ-

цию распределения В(у). Эти моменты образуют простейший поток с интенсивностью ц.

Очевидно, случайный процесс і(і) является марковским.

Схематично динамика изменения денежных средств на счете для первой модели представлена на рис. 1, для второй - на рис. 2.

Рис.1

Рис.2

Ставится задача определения вероятности того, что случайный процесс 5(/) в течение интервала времени продолжительностью Т не достигает нижней границы 5 = 0.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ СРЕДСТВ НА СЧЕТЕ

Обозначим через Р(5, 0 плотность распределения вероятностей процесса 5(0 в момент времени /. Составим прямое уравнение Колмогорова для плотности Р(5, /). Рассмотрим интервал времени [, /+Д/]. За этот промежуток времени длительности Д( могут произойти следующие события:

- с вероятностью ХД£4'(х)йх+о(Д0 на счет поступают денежные средства в размере хе [х, х+йх), и капитал станет равным 5+х;

- с вероятностью 1-ХД/ + о(Д/) не будет поступления средств. В то же время происходит постоянный расход средств, поэтому капитал станет равным 5 - кД1.

Используя формулу полной вероятности, получим

P(s, t + At) = (l - XAt )(s + kAt, t) +

x'(x) = Xa1 - k,

(8)

- XAtjP(s - u,t)А(м) + o(At).

(1)

Разложим функции Р(5, / + Д/), Р(5, + кД/, /) в ряд Тейлора в окрестности точки (5, /), учитывая слагаемые первого порядка малости относительно Д/:

Р(, / + Д/) = Г(, /)+Д/ ’/) + о(Д/), (2)

+ кД/, /) = Г(, /) + кА1 /) + о(Д/).

Подставим (2) в (1). Затем поделим обе части уравнения на Д/ и, переходя к пределу при Д/ ^ 0, получим

„ , ч др( /) , др( /)

хр( / )= —^+к—^+

У ' 5/

-xj P(s - м, t)dA(u ).

(3)

Уравнение (3) можно решить с использование преобразования Лапласа. Трудность заключается в нахождении обратного преобразования. Поэтому решим последнее уравнение, используя асимптотический метод [4] в условии Т ^ да. В уравнении (3) обозначим 1/Т = е2 и сделаем замену переменных

/е2 = Т, е 25 = х(т) + еу, р(,/)=п(у, т, е), (4)

где х(т) определим ниже. Тогда дГ( /) = е2 ^ е) -

д/ дт ' ' ду ’

дГ(5, /) = дп(у, т, е) д5 8 ду "

В новых переменных уравнение (3) примет вид

Хп(у, т, е) = - е2 е) + е(х'(т) + к)х

Х дП((?уТ’+ х| п(у -ем, т е)А(и). (5)

Решение п(у, т, е) в (5) ищем в виде разложения

п(у, т, е) = п(у, т) + ей(у, т) + о(е). (6)

Подынтегральную функцию в уравнении (5) разложим в ряд Тейлора до членов порядка о(е2):

п(у - ей, т, е) == п(у, т, е) - ем дл(’д’Т’ ^ +

дУ

е2м2 д2л(у, т, е)

+ 2 ду2 + 0i

(9)

з(е2). (7)

Подставим в уравнение (5) разложения (6) и (7). Тогда, с

да да

учетом обозначения а1 = |мйА(м), а2 = |м2йА(м), от ура-0 0

внения (5) перейдем к уравнению

е2((х (т)+к -Ха.М^ +

+ Ха2 д2п(у, т) дп(у, т)) +

+ “2 ду2 дт } +

+ е((х' (т) + к) - Ха1) = 0 .

Найдем функцию х(т) из условия равенства нулю коэффициента при е. Тогда получаем

где х(о) = x0, x0 = SoT = е2 s0.

Определим смысл функции x(t). Параметры уравнения (8) имеют следующий экономический смысл: к - количество расходуемых денежных средств в единицу времени; X -среднее число поступлений денежных средств в единицу времени; al - средняя величина поступающих денежных средств, следовательно, Xa1 - среднее количество денежных средств, поступивших за единичный интервал времени. Таким образом, функция x(t) - это асимптотически среднее значение денежных средств в момент времени т.

С учетом (8) от (5) перейдем к уравнению дп(у, т) = Xa2 д2я(у, т) дт 2 дУ2 "

Уравнение (9) - прямое уравнение Колмогорова [5] для плотности распределения вероятностей п(у, т) значений некоторого диффузионного процесса с нулевым коэффициентом переноса и коэффициентом диффузии Xa2. Обозначим этот случайный процесс через у(т).

По виду прямого уравнения Колмогорова (9) становится очевидным, что диффузионный процесс у(т) определяется уравнением

dy(x) = у] Xa2dw(), (10)

где ^(т) - винеровский процесс. Введем случайный процесс

z(r) = x(c) + sy(x), (11)

дифференциал которого с учетом (8) и (10) имеет вид dz (т) = (Xa1 - к)dт + e^Xa2dw(z) . (12)

Следовательно, z^) - это диффузионный процесс с коэффициентами переноса Xa1 - к и диффузии e2Xa2.

Обозначим Т(т) - длина интервала от момента т до момента достижения процессом z^) нулевого значения. В предположении, что расходуется денежных средств больше, чем поступает, то есть к > Xa1, найдем условную характеристическую функцию для Т(т):

g(м,z) = M{exp{iuT(т)}| z(т)= z} . (13)

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Ar, тогда

g (м, z) = M Az {M { exp {iUT (Aт +

+ T(т + A^) } z(x + Aт) = z + Az}} (14)

Учитывая свойства математического ожидания, соотношение (14) перепишем в виде

g (м, z) = exp {iu Ai} A {g (м, z + Az)}.

Разложим функции g(^ z + Az) и exp { i^A!} в ряды Тейлора, тогда

g ( м, z)= (1 + iuAт + o^x))^^, z)+

+ {Az}+2%^"{Az)2}M{(Az)2}. (15)

В результате предельного перехода при Aт^■0 уравнение (15) перейдет в однородное дифференциальное уравнение второго порядка

z )

2

м, z) ~

-(к-Xa,))^

дz

дz

+ mg (м, z )= 0 ,

(16)

для решения которого составляем характеристическое уравнение

-2 e2Xa2p2 - (k -Xa1 )p + iu = 0 ,

и корни которого

Pi =

iu є Xa2u

k - Xa1

(k - Xa1 )3

P2 =■

+ є2Ха2и2 + 2(k-Xa1)

k -Xa1 (k -Xa1 )3 є2Ха2

2є Xa2iu

найдены при использовании разложения 1 -

у (к - Ха1)

по малому параметру. Тогда общее решение уравнения

(16) имеет вид g(м, г) = с1 ехр{^1^}+ с2 ехр{2г}.

Определим константы с1 и с2. Поскольку характеристическая функция ограничена, \g(u, ¿)\ < 1, и выполняется условие к > Ха1, то второй корень характеристического уравнения теряет смысл. Поэтому полагаем с2 = 0. Из условия g(м, 0) = 1 следует, что с1 = 1.

Окончательно характеристическая функция принимает вид

g (u, z )= cxpj

iuz є 2Xa2u2 z

k -Xa1 (k - Xa1 )3)

(17)

Функция (17) соответствует [5] характеристической функции нормально распределенной случайной величины С, с математическим ожиданием М {} =

k - Xa1

дисперсиеи

Dc}=-

2Xa2 z

Т (к - Ха1 )3

Заметим, что величина г имеет смысл фиксированного значения процесса г(т)в момент времени т, т.е. г(т) = г.

Стабильным функционированием компании назовем ситуацию, когда денежные средства на счете остаются положительными. Найдем вероятность того, что предприятие стабильно функционирует в течение времени Т. В силу выполненных замен

(х - а)2 ^

1 “ Г p(> 1) = 72=^^ exP|

V2na 1 [

где

= _______ _2 =____________

“ Т (к Ха1 У Т2 (к -Ха1 )3'

ИССЛЕДОВАНИЕ ВТОРОЙ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ СРЕДСТВ НА СЧЕТЕ

Выпишем уравнение для нахождения плотности распределения вероятностей процесса 5(/) в условиях второй модели

/ + Д/) = (1 - ХД/ - цД/) (, /)+

2ст2

2s0Xa2

(18)

(19)

+ XAtj P(s - u, t)dA(u )+

0

s

+ —Atj P(s + u, t)dB(u ) + o(t).

0

Проделав преобразования, получим уравнение (X + |a)p(s, t) = - dP>dS’1) + Xj P(s - u, t)dA(u ) +

j P(s + u, t )dB(u ).

(21)

Сделав замену переменных (4) в уравнении (21), ролучим уравнение

(X + —)(у т, є) = -є2 ^

+ єх'(т)

ду

+ Xjn(y -eu, т, e)A(u )+

+ —j п (у + eu, т, e)dB (u),

(22)

которое будем решать аналогично случаю первой модели.

Результатом является уравнение для определения функции х (т) - асимптотического среднего значения денежных средств в момент времени т следующего вида: х (т) = Ха1 - , (23)

да да

где обозначено а1 = | мйА(и), Ь1 = | мйв(м), и уравнение 0 0

Фоккера-Планка для плотности распределения вероятностей случайного процесса у(т) вида

дп(у,т) = (Ха2 + цЬ2) д2л(у,т) (?4)

дт 2 дУ2

с коэффициентом переноса, равным нулю, и коэффициентом

дада

диффузии Ха2 + цЬ2, где а2 = |м2йА(м), Ь2 = |м2йв(м).

00

Следовательно, диффузионный процесс у(т) определяется уравнением

йу(т) = ^Ха2 + цЬ2й^(т) , (25)

где ^(т) - винеровский процесс. Введем случайный процесс г(т) = х(т) + еу(т). Это диффузионный процесс с коэффициентом переноса Ха1 - цЬ1 и коэффициентом диффузии е2(Ха2 + цЬ2), поскольку

йг(т) = (Ха1 - цЬ1 )йт + е^Ха2 + цЬ2й^(т) . (26)

Найдем g(м, г) = М(ехр{/мТ(т)}|г(т) = г} - услов-

ную характеристическую функцию Т(т) - длины интервала от момента т до момента достижения процессом г(т) нулевого значения. Аналогично первой модели уравнение для определения g(м, г) имеет вид

1 , чд2g(м, г)

—|-е (Ха2 + цЬ2)- -- -

о ^2/ - 2

2 dz

-(—b -Xa1 )dg^ + iug (u, z ) = 0 .

(27)

Решение уравнения (27)

/ \ I iuz є2(Xa2 + —b2)2z I

g(u,z)= exp \——X---------------v. 2 P 2(3— \ (28)

[M*1 -Xa1 (—b1 -Xa1 )3 |

соответствует характеристической функции нормально распределенной случайной величины Z, имеющей математическое ожидание м {}= — z X a и дисперсию

(20) d{z}=

цЬ1 - Ха1

2(Ха2 + цЬ2) г

—1Тогда вероятность стабильного

Т (Ь1 -Ха1)

функционирования предприятия в течение интервала времени длительности Т в условиях второй модели определяется соотношением (18), где

s

а = 50 _2 = 250(Ха2 +ЦЬ2) (99)

Т(цЬ. -Ха.)’ Т2 ( -Ха1 )3 ' ^ ^

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Выше исследованы две модели изменения объемов денежных средств на активном счете. Для оценки границ применимости асимптотического подхода была построена имитационная модель изменения объемов денежных средств на счете компании для второй модели. Имитационное моделирование проводилось для трех различных комбинаций функций распределений величин приходов и расходов: экспоненциальное - экспоненциальное, равномерное - экспоненциальное, экспоненциальное - детерминированное. Сравнение теоретических результатов и полученных экспериментальных данных проводилось в пакете прикладных программ 81аййка 6.0. Полученные результаты подтвердили нормальное распределение времени стабильного функционирования компании при интервалах времени Т > 10000 и различных начальных суммах 50 > 1000, средней величине поступлений денежных средств а1 = 95 и средней величине расхода Ь1 = 400 (ц = 1,25; Х = 4,35). По результатам моделирования сравнили модели по вероятности стабильного функционирования предприятия. При выбранных значениях параметров первая модель предпочтительнее второй.

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ

Для двух рассматриваемых моделей численно найдем ) > 0,/ < м < Т | 5(/) = 5) (30)

- вероятность того, что, начиная с текущего момента времени, до момента Т предприятие будет функционировать стабильно. В условиях первой модели уравнение для нахождения вероятности имеет вид

Р(, / - Д )= (1 -ХД - кД/, /) +

-ХДjP(s -u,t)dA(u).

(31)

Полученное уравнение является интегрально-разностным, и его можно использовать для нахождения искомой вероятности численным методом сеток. Проведя стандартные преобразования уравнения (31), получаем

= -XP(s,,)-

dt

- к

dP(s, t)

ds

xj P(s - u, t )dA(u ).

(32)

Частную производную, стоящую в левой части уравнения, по определению можно представить

і) = 1іт і)- і -Аі)

ді ді—>о А і

Тогда

p(t -Д/d Д^0 > p(td - Д/

dP(s, t)

dt

(33)

Используя соотношение (33), преобразуем уравнение (32). Получаем [6] разностное уравнение Р(у, / - Д/) = Р(у, /) - Д/(ХГ(5, /) -

- Х j P(s - u, t )dA(u ) + к

P(s, t)- P(s -As, t)

Дs

(34)

позволяющее варьировать параметры модели.

Для второй модели разностное уравнение для численного нахождения вероятностей имеет вид

P(s, t - At) = (l - XAt)(l - |xAt)p(s, t)+

да

+ XAt (l - цД )J P(s + u, t )dA(u )+

0

s

+ цД/(l -XAt) P(s - u, t)dß(u ). (35)

0

Применение метода сеток [7 ] требует задание ограничений. Область, в которой вычисляется вероятность, ограничена минимальным и максимальным возможным объемом денежных средств на счете и сроком его функционирования.

Пусть объем денежных средств на счете изменяется от 0 до S, а длина интервала времени, на котором рассматривается функционирование счета, равна T. Момент открытия счета равна 0. Шаг, с которым двигаемся по оси s, равен As. По оси времени идем с шагом At. Таким образом, рассматривается сетка следующего вида

S ..............................

S - As...........................

S - 2 As.........................

0 ..............................

0 T - AT

Из вида разностных уравнений видно, что вычисления проводятся справа налево по оси времени и снизу вверх по оси изменения объема денежных средств. Зная значения вероятности в момент времени T для всех значений s, можно найти вероятность в предыдущий момент времени T -At, затем в момент T - 2At и так далее, пока не найдется значение вероятности в нулевой момент времени.

Граничное условие P(s, T) = 1. Это означает, что в течение всего периода времени длительности T компания работает стабильно.

Интеграл в уравнениях (35) и (36) вычисляется по формуле Симпсона [8]

J P(s - u, t)dA(u) = (p(s, t)+4P(s - As, t) +

0

+ 2P(s - 2 As, t) +... + P(s - b, t)),

J P(s - u, t)dA(u) = -^bs((s, t) +4P(s - As, t)pAs +

0

+ 2P(s - 2 As, t)As +.... + P(s - b, t ))

для равномерного и экспоненциального с параметром ß законов распределения соответственно.

Проблема возникает при вычислении интеграла

да

JP(s + u,t)dA(u) в уравнении (35), когда требуется

0

знать значение вероятности при s > S. Если нужно вычислить значение вероятности в узле с координатами (S, T - At), тогда при экспоненциальном распределении размеров поступлений интеграл находится по формуле

J P(S + u, T )dA(u) = -ebs (P(S, T) +4P(S + As, T )erpAs +

0

+ 2P(S + 2 As, T) ~pAs +.... + P(S + b, T )~рл ) и выражается через известные вероятности P(S ,T ) = P(S + As,T ) =

= P(S + 2 As, T) = ...P(s + b, T) = 1.

l6l

Вычисление интеграла для нахождения вероятности в узле (£, Т - 2Д/), зависит от неизвестных вероятностей Р(, Т - Д/) + Ду, Т - Д/)

Р( + 2Д5-,Т)..., Р(£ + Ь,Т - Д/) .

Для этого на предыдущем шаге должны быть вычислены вероятности

Р(,Т -Д/)г(2Д5,Т-Д/), ...,

Р(, Т - Д/) ) ( + Д5, Т - Д/)

Р( + 2Д5,ТР( + Ь,Т -Д/).

Таким образом, количество узлов, в которых нужно вычислить вероятность, увеличилось на и узлов - число отрезков разбиения интервала интегрирования в методе Симпсона.

Для нахождения вероятности в узле с координатами (£, Т - 3Д/) при вычислении интеграла необходимо вычислить неизвестные вероятности в предыдущие моменты времени Т - 2Д/, Т - Д/. Следовательно, количество узлов еще возрастет на п.

В итоге рассматривается схема узлов вида £ + пМ •

£ +(2п + 1)Д5 £ + 2пД5

£ +(п + 1)Д5' £ + пД5

£ + Дл- • • • • • • • •

£ .................................

0 .................................

0 Т - ДТ

когда для вычисления вероятностей в предыдущий момент времени в к узлах, необходимо знать вероятности в текущий момент времени в к + п узлах.

Если обозначить через М - количество узлов по оси времени, N - количество узлов по оси 5, тогда N + пМ -число узлов, в которых задаются граничные значения вероятности в момент времени Т. Количество узлов с координатами (£, Т - кД/), в которых вычисляется вероятность, равно N + п(М - к), к = 1, М.

Непосредственное вычисление вероятности по вышеизложенному методу осуществлялось с помощью программы, задавая граничные условия и параметры распределений. Результатом работы программы является файл, содержащий значения вероятности в узлах заданной сетки. На основе полученных данных были построены графики зависимости вероятности от различ-

ных параметров. Очевидно, что вероятность стабильного функционирования компании в течение времени Т зависит от начальной суммы на счете. Зная интервал времени Т и способ пополнения и расходования денежных средств, можно численно найти необходимый размер начального капитала 50 для стабильного функционирования компании.

Численный метод решения поставленной задачи позволил уточнить сравнение моделей. Сравнение возможно при одинаковых распределениях поступлений в обеих моделях, и если среднее значение размера выплат в единицу времени во второй модели будет равно интенсивности расходования денежных средств первой модели. Получено, что при одинаковом интервале времени Т вероятности для разных моделей отличаются друг от друга. При небольшом интервале времени Т вероятность стабильного функционирования компании больше при использовании первой модели, а при длинном интервале времени Т будет выгоднее использование второй модели. Исследована зависимость вероятности стабильного функционирования компании от распределения размера выплат и поступлений. В условиях обеих моделях выгоднее использовать равномерное распределение поступлений. При равномерном распределении поступлений на короткий срок Т лучше использовать экспоненциальное распределение размера выплат, а на более длинный выгоднее расходовать денежные средства одинаковыми суммами.

Но при применении численного метода возникают трудности при больших значениях интервала времени Т. Тогда целесообразно применять асимптотический метод.

Проведено сравнение вероятностей, найденных асимптотическим и численным методами для обеих моделей. Рассмотрим ситуацию, что обязательно наступит момент времени, когда на счете компании сумма денежных средств станет равной нулю. Обозначим этот момент времени через Т0. Вероятность того, что момент времени Т0 наступит после момента Т, совпадает с вероятностью стабильного функционирования компании от начального момента до момента времени Т. Асимптотическая формула для вычисления Р(Т0 > Т) найдена в виде (19) с параметрами (20) для первой модели и (30) для второй. Сравнение было осложнено заданием граничного условия Р(5, Т) = 1 при численном методе сеток нахождения вероятностей. При выводе формулы (19) такого условия не было. Поэтому, чтобы сравнения стало воз-можным, был подобран момент т, при котором Р(5, Т) = Р(^ > 1) = 1, и от момента т был отложен интервал функционирования компании. Небольшие различия при сравнении вероятностей объясняются тем, что в обоих случаях использовались приближенные методы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. 263 с.

2. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М.: ЮНИТИ, 1998.

3. Вишняков И.В. Стохастическая модель динамики объемов банковских депозитов «до востребования» // Экономика и математические методы. 2002. Т. 38. № 1. С. 94-104.

4. Назаров А.А. Асимтотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

5. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2001. 320 с.

6. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с.

7. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976. 302 с.

8. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятномтей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Том-

ского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 апреля 2004 г.