Исследование процесса изменения капитала при непрерывном расходовании средств, зависящем от их объема на активном счете Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.Л. Туренова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ КАПИТАЛА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ РАСХОДОВАНИИ СРЕДСТВ, ЗАВИСЯЩЕМ ОТ ИХ ОБЪЕМА НА АКТИВНОМ СЧЕТЕ

В работе рассматривается модель процесса изменения капитала компании при пуассоновском потоке моментов поступления денежных средств, а расход средств происходит непрерывно с интенсивностью, зависящей от объема капитала на активном счете компании. Проведено исследование методами аналитического анализа и имитационного моделирования. Найдены вероятностные характеристики стабильного функционирования компании.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Денежные средства любой компании можно разделить на две категории. К первой относятся средства, активно используемые компанией при проведении текущих операций. Ко второй - средства, играющие роль резервного фонда. Поскольку моменты изменения объема денежных средств на активном счете и величина этих изменений носят случайный характер, то для правильного планирования деятельности компании важно знать вероятность того, что в течение некоторого определенного периода времени она не обратится к резервному фонду. В связи с этим, актуальной является проблема разработки математических моделей стабильного функционирования компании в течение фиксированного интервала времени [1 - 3].

В данной работе рассмотрена модель изменения объемов денежных средств на активном счете компании, которая характеризуется тем, что моменты поступлений денежных средств образуют пуассонов-ский поток, а размеры поступлений средств являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с заданными первыми двумя начальными моментами. Расход средств со счета происходит непрерывно с заданной интенсивностью, зависящей от объема капитала на активном счете компании. Предполагается, что эта функциональная зависимость известна.

Так как моменты изменения размера капитала на активном счете и величина этих изменений носят случайный характер, то есть процесс изменения объема денежных средств на счете компании с течением времени является случайным, важно при управлении деятельностью компании знать среднее время, в течении которого она не обратится к резервному фонду. В зависимости от полученных результатов компания может регулировать свои финансовые потоки - выбирать источники и способы получения доходов и варианты платежей.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ

Обозначим через 5(/) - случайный процесс изменения объема денежных средств на счете компании с течением времени. Пусть горизонтом планирования является интервал времени продолжительностью Т. В начальный момент времени на счете находится капитал в размере 50 > 0. В течение горизонта планирования Т на счет в случайные моменты времени приходят поступления. Размер поступлений - случайная величина 4, функцию распределения которой обозначим А(х). Моменты увеличения капитала образуют простейший поток с интенсивностью X. Расходуются

средства непрерывно с интенсивностью к(5). Очевидно, случайный процесс 5(/) является марковским.

Ставится задача определения среднего времени, в течение которого случайный процесс 5(0 не достигает нижней границы 5 = 0.

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Обозначим через Р (5, t) плотность распределения вероятностей процесса 5(/) в момент времени t, то есть Р (5, t) = Р {5 < 5 (/) < 5 + ds}. Составим прямое

уравнение Колмогорова для плотности Р (5, t), используя Д/-метод, который предполагает, что за бесконечно малый промежуток времени может произойти не более одного события. Рассмотрим интервал времени [/, t + Дt]. За этот промежуток времени длительности Дt могут произойти следующие события:

- с вероятностью ХД/А'(x)dx + о (Д/) на счет поступают денежные средства в размере х е [ х, х + йх), и капитал станет равным 5 + х;

- с вероятностью 1 - 'kДt + о (Д/) не будет поступления средств. В то же время происходит постоянный расход средств с интенсивностью к(5), зависящей от объема капитала. Для этого случая рассмотрим плотность распределения вероятностей

Р {5 + к (s)Дt < 5 (/) < 5 + + к (5 + )Д/} =

= Р{5 + к(s)Дt < 5(/) <5 + + (к(5)+ к'0)5)Д/} =

= Р {5 + к (5)Дt < 5 (/) < 5 + к (5)Дt + (1 + к'(5)Д/)й5} =

= Р ( 5 + к ( s)Дt, t )(1 + к (5)Д ) .

Используя формулу полной вероятности, получим Р (5, t + Д/) = (1 -ХД/)Р (5 + к (5) А/, t )(1 + к' (5)Д/) +

+ХД/| Р (5 - и, /)йА (и) + о (Д/) . (1)

0

Разложим функции Р (5, t + Д/), Р (5 + к (5)Д/, t) в

ряд Тейлора в окрестности точки (5, t) и, учитывая

слагаемые первого порядка малости относительно Д/, получим

Р (5, t + Д/) = Р (5, /) + Д/ дР ^ 1) + о (Д/) ,

д/

Р (5 + к Д/, /) = Р (5, /) + к (5 )Д/дР ^/) + о (Д/). (2)

Подставим (2) в (1). Затем поделим обе части уравнения на Д/ и, переходя к пределу при Д/ ^ 0 , получим

XP (s, t ) = -dPdl^ + | ( (s, t )k (s)) + +XjP(s-u,t)dA(u) .

(3)

Уравнение (3) можно решить с использованием преобразования Лапласа. Трудность заключается в нахождении обратного преобразования. Поэтому решим последнее уравнение, используя асимптотический метод [4] в условии Т . В уравнении (3)

обозначим 1/Т — е2 и сделаем замену переменных:

/е2 — Т , е25 = х (т) + еу , Р (5, /) —л(у, Т, е) ,

к (5) = к0 ((Т) = к0 (х(т) + еу), (4)

х(т) определим ниже. Тогда

дР(5,/)_^2 дл(у,т,е) ех,(т)дл(у,т,е)

— е ех (Т )-

dt дт

dP (s, t) дл(у, т, е)

■ = е-

ду

k'(s) = е2k0 (x (т) + еу) .

ds ду

В новых переменных уравнение (3) примет вид

Хп(у, т,е) = -е2 —^ , ) + е((т) + k0 (x(т) + еу))> 5т

'' (y, , ^ + е2л (у, т, е)0(х (т) + еу) +

ду

+Х|л(у-ей,т,е)dA(u) .

(5)

е2 (k'o (x) л (у, т, е) + у^0 (х)

дл(у, т, е)

ду

+ Xa2 д л (у, т) дл(у, т, е)) +

2 ду2

дт

+е((х'(т) + к0 (х)) -Ха1) —(у’ , ) + о (е2 ) — 0. (6)

ду

Решение л (у, т, е) этого уравнения будем искать в виде разложения

л (у, Т, е) — л (у, т) + еИ (у, т) + о (е). (7)

Подставим разложение (7) в уравнение (6). Полученный результат поделим на е и перейдем к пределу при е ^ 0 . Тогда

(х' (т) + к0 (х))- Ха1 ^ = о .

ду

Найдем функцию х(т) из условия равенства нулю коэффициента. Получаем общий случай дифференциального уравнения первого порядка для функции х(т): х'(т) — Ха1 - к0 (х(т)) , (8)

где х (0) — х0, х0 — 50/ Т — е250, и функция к0 (х) задана.

Уравнение (8) определяет смысл функции х(т) как асимптотически среднего значения денежных средств в момент времени т.

С учетом соотношения (8) от уравнения (5) после некоторых преобразований перейдем к уравнению

дл (у, т) д

дт ду

= -:Н(-Уk’o(x))л(У, т)] +

Xa2 д2л (у,т) 2 ду2

. (9)

Подынтегральную функцию и функции к0 (х (т) + еу), к0 (х (т) + еу) в уравнении (5) разложим в ряд Тейлора до членов порядка о(е2). Тогда, с учетом обозначений

го го

а1 — | ийА (и ), а2 — | и 2 йА (и ), 00 от уравнения (5) перейдем к уравнению

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Уравнение (9) - прямое уравнение Колмогорова [5] для плотности распределения вероятностей л( у, т) значений некоторого диффузионного процесса с коэффициентом переноса -у^ (х) и коэффициентом диффузии Xa2. Обозначим этот случайный процесс через у(т).

По виду прямого уравнения Колмогорова (9) становится очевидным, что диффузионный процесс у(т) определяется уравнением

dy(т) = -у(т)k0 (х(x))dX + VX02dw(т) , (10)

где w(t) - винеровский процесс.

Для решения этого уравнения рассмотрим

Р (т) = у (т)ехр jj k0 (х (u))du j,

тогда у(т) = p(т)ехрj-Jk0(x(u))duj.

Подставляя это выражение в уравнение (10), получим соотношение

___т Г h 1

Р(т) = \Xa2 jexp j jk0 (х(u))du >dw(h) .

0 10 J

Если продифференцируем уравнение (8), то имеем

k0(x(т)) = -х { )/х' (т) .

Подставим соотношение для k0(x ( т)) в выражение для р(т):

Р(т) = ^lXa2jехР j-jX (“)X'(u)dujdw(h) =

4

= -JXa2 j exp {- ln (x' (h))} dw (h) = yjka-

dw (h)/

a2 J /x'(h).

00

Тогда получаем соотношение, определяющее диффузионный процесс:

у (т) = ijXa2x' (т

х ' (И)'

0

Из последнего уравнения очевидно, что у(т) - это процесс изменения отклонения состояний модели от асимптотического среднего значения денежных средств.

Теперь введем случайный процесс

2 (т) — х (т) + еу (т), (11)

дифференциал которого с учетом (8) и (10) имеет вид йг (т) — (Ха1 - к0 (г))т + е^Хa2dw (т) . (12)

т

Следовательно, z(t) - это диффузионный процесс с коэффициентами переноса Xa: - k0 (z) и диффузии

е2Xa2 .

Для нашей модели процесс z(t) является глобальной диффузионной аппроксимацией количества денежных средств на активном счете компании. Можно исследовать его изменение различными способами. Если задана функция k(s), а значит, и k0(s), можно подставить эту функциональную зависимость в дифференциальное уравнение относительно x(t), решить его и получить выражение для процесса у(т), а затем найти z(t) по формуле (11). Если k(s) представляет собой простую зависимость, то можно эту функцию подставить в дифференциальное уравнение для z(t) и решать его.

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ

Рассмотрим еще один возможный способ исследования процесса глобальной диффузионной аппроксимации - через характеристическую функцию.

Обозначим T(t) - длина интервала от момента т до момента достижения процессом z(t) нулевого значения. Очевидно, что T(t) = 0 при z(t) = 0. Найдем условную характеристическую функцию для T(t). По определению характеристической функции

g (u, z)= M {exp{-uT (т)} | z (т) = z} . (13)

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Дт, тогда

g (u, z)= MAz {M {exp{-uT (Дт + T (т + Дт))} |

| z (т + Дт) = z + Д}} . (14)

Учитывая свойства математического ожидания, соотношение (14) перепишем в виде

g (u, z) = exp{^Дт^^ { (u, z + Az)} .

Разложим функции g (u, z + Д) и exp (^Дт) в ряды Тейлора, тогда характеристическая функция запишется как

g (u, z) = (1 - uДт + o (Дт)) g (u, z)+ .

дz

родное дифференциальное уравнение второго порядка

1 2X d2g (u, z)

-е Xa2-----—--

2 2 dz2

-((0 (z) -Xaj )g z) - ug (u, z) = 0. (16)

dz

Характеристическая функция определяется соотношением

g (u, z) = M {exp{-uT (т)} | z (т) = z} .

Найдем среднюю длину интервала от момента т до момента достижения процессом z (т) нулевого значения. Обозначим эту величину через T (z) = M {T (т) | z (т) = z} .

Для этого преобразуем дифференциальное уравнение для характеристической функции (16) в уравнение для среднего времени T (z). Очевидно, что

dg (u,z)

дu дg (u, z)

дu

Тогда получаем 12

— -T (z) M {exp {-uT (т)} I z (т) — z} .

u—0 —-T (z) , g (u, z)l u—0 — 1.

2

EXa2T" (z)- (k0 (z)-Xaj) T'(z) +1 — 0. (17)

2 * М{<Аг)2}

+М {о <Д2)2}) . (15)

Рассмотрим соотношение (15). В него входят величины М{Д?}, М{(Д2)2}. По определению коэффициенты переноса и диффузии для диффузионного процесса определяются как

а <2 )= Ііт — М {Дг},

4 ’ Дг^о Дг 1 ’

Ь <2 )= Ііт— М |(Дг)2).

4 ’ Дг^о Дг 1 >

Процесс 2(т) вводился как диффузионный с коэффициентами переноса а <2) = Ха1 - к0 <2) и диффузии

Ь <2) = є2Ха2. В результате предельного перехода с учетом определения коэффициентов переноса и диффузии при Дт ^ 0 уравнение (15) перейдет в одно-

НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ

Для решения дифференциального уравнения (17) запишем ограничения на искомую функцию. Первое ограничение, очевидно, Т(0) = 0. Далее, Т(г) - среднее время до момента разорения компании, зависит от начального объема капитала на счете. Будем считать, что Т(г) не может возрастать бесконечно при бесконечном возрастании средств на активном счете фирмы в нулевой момент времени, т. е. начиная с некоторого объема капитала, значение функции Т(2) почти не будет меняться:

Ііт Т < 2 ) = 0.

Замена Т' < 2 ) = р < 2) сведет уравнение (17) к неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. Соответствующее однородное уравнение имеет решение

,(к0 <х)-^аъ

p (z) — c exp jj 2

0 є ^a2

-dx>. (18)

Решение неоднородного уравнения находим методом вариации произвольной постоянной, полагая с — с (2). В результате

xj—-expj -J2v"/—dx\dt +

0 є Xa2

+c

(k0 (x) - Xaj -2Xa2

,exp jj 2((x )-xv

L0 є2ум2

dx \.

Интеграл, стоящий множителем в первом слагаемом, в выражении для р (г) представим в виде

2 ГО ГО

11 (?) ж — | / (/) <и - | / (/) ж.

0 0 г

В предположении, что средние затраты превышают поступления, выполняется неравенство

к0 (х) - Ха1 > 0 .

Следовательно,

‘ ,(к0 (х)-Хаъ

-J 2!

е2Xa^

- dx < 0 .

0 ° 7 2 Тогда несобственный интеграл

i aoT”|"!2

(k0 (x)-Xab е2Xa^

dx > dt = Cj

+exp 2

02 (k0 (x)-Xa1;

е2Xa^

dx;

4-27- exP H2

z е Xa2 I 0

(k0 (x)-Xal, е2Xa^

(19)

lim exp Jj 2-

е2Xa^

-dx;

7 2 f Г (k0 (x) -Xa1) 1

x I —----expJ-I 2 /------— dx;dt = 0

{е2Xa2 [ 0 е2Xa2 J

используя неравенство [6] вида

-J== < exp { 2}J exp {-v2}dv <---------7^===

■Vu + 2 u u +V u + 4/n

(20)

u +1

u > 0,

lim

= 0

Таким образом, для определения константы с1 в выражения (19) перейдем к пределу при 2 ^ го . Получаем

(к0(х)-Ха1;

lim T' (z) = q expJ 12-

е2Xa9

-dx;

10 ° '^2 J

Функция, стоящая под интегралом, положительна, так как

к0 (х) - Ха1 > 0 .

Следовательно, значение интеграла не может быть равным нулю. А для того, чтобы выполнялось ограничение

Иш Т '(г) — 0,

константа с1 = 0 . Итак, получили

сходится. Этот факт позволяет представить

Т '(г) — р (г) в виде

Г (г) — 4'[ 2 *} +

1; е2Ха2 1

T (z)= exp J12

(k0 (x)-X< е2Xa^

dx;

02 t

1:2—exp W2

е2Xa9 z2

(k0 (x)-X< е2Xa^

dx; dt .

(21)

0 ° '^2 }

Интегрируя выражение (20) по переменной г, получим выражение, определяющее среднее время существования компании

2

T (z ) =

е2Xa-

где обозначили с — -с1 + с1. Для нахождения константы с используется второе ограничение на функцию Т (г) вида

Пт Т (г) — 0.

Для этого во втором слагаемом выражения (19) перейдем к пределу при г .

Для конкретного вида функции

к0 (х) — а - х .

доказали, что

,(к0 (х)-Хаъ

(k0 (x)-Xau

е2Xa

dx;

(k0(x )-Xa1; е2Xa^

2

dx\ dt

du .

(22)

0 ° 7 2 J

Полученный интеграл можно вычислить аналитически только для функции вида к0 (х) — к0. Во всех остальных случаях даже при численном нахождении интеграла возникают сложности, поскольку в подынтегральной функции стоит экспонента. Поэтому среднее время существования компании будем искать в другом виде.

НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ В ВИДЕ ПОЛИНОМА

Вернемся к уравнению (17)

12

-е Xa2T"(z)- (k0 (z)-Xa1) T'(z) + 1 = 0.

2

и теорему «о двух милиционерах».

Для доказательства равенства предела (20) нулю в общем случае воспользовались правилом Лопиталя и условием, что

1

^ (к0 (г) - Ха1 ) для любой бесконечно возрастающей функции интенсивности расходования средств к0 (г).

где Т(г) - среднее время до момента достижения процессом г(т) нулевого значения при условии, что г(т) = г. Будем искать функцию Т(г) в виде разложения в ряд по степеням е2 с коэффициентами Т (г), I —1,2,..., зависящими от переменной г:

Т(г) — Т1 (г) + е2Т2 (г) +е4Т3 (г) + е6Т4 (г) +... (23) Тогда уравнение (17) примет вид

1 е2Ха2 (Т1"(г) + е2Т2” (г) +е4Т3'(г) + е6Т4"(г) +...) -

-(^ (г)-Ха!) (Т/(г) + е2Т2'(г) +

+е4Т3' (г) + е6Т4' (г) +...) +1 — 0. (24)

Найдем производные величин Т (г), I— 1А... из условия равенства нулю коэффициентов при одина-

эо

го

го

го

ковых степенях е в уравнении (24). Получили соотношения

1

Т/ (г ) —

(0 (г)-Х<

Т" (г)— 2 ХаТ' (г)Т"(г) ;

(25)

(26)

Т" (г) — [^Ха2 J Т'(г) ('(г) Т"(г)) ; (27)

Т" (г) — [ 1 Ха2Т Т1 (г)(т;(г)((г)ТДг)) ) ,

Интегрируя Тг'(г),г —1,2,... по переменной г, найдем первые коэффициенты представления Т(г) в виде полинома (23). Имеем

т.([ И

ёх

(к0 (х)-Хаь

2 “0 (к0 (х)-ХаЬ

(28)

(29)

Т3([) — Г‘Ха,) |*, (30)

(к0 (х)-Ха1

Это позволяет записать первые три слагаемых представления искомой функции среднего времени Т (г) в виде полинома

ёх

■-е21 Ха2 I-

2

к'0 (х) ёх

0,.^'-/ ---1/ - 0 (0 (х)-Ха1)

+6., )2 г3( к0 (х ))2 - к0~(х)<к0 (х)-Ха,) ёх+...

0 (0 (*)-Х1 )5

Проверим выполнение ограничений на функцию

Т(г):

Т (0) — 0, Ит Т (г) — 0.

Первое ограничение выполняется, так как при г — 0 все интегралы в полученном разложении обращаются в нуль. Проверим, удовлетворяет ли найденное разложение функции Т(г) второму ограничению. Для этого рассмотрим производные первых коэффициентов разложения (25) - (27). Выше получили

Т"' (г )—----1-------.

(к0 (г)-Ха! )

Функция к0 (г) имеет смысл функции интенсивности затрат, зависящей от объема денежных средств на счете компании. Очевидно, что чем больше капитала имеет фирма на счете, тем больше она тратит средств, то есть переменная интенсивности затрат должна возрастать вместе с ростом объема средств на счете:

Ит к0 (г) — го .

Тогда для первого коэффициента разложения выполняется условие Т1 ' (г) ^ 0 при г ^го . Рассмотрим производную

Т" (г) —-1 Ха2---к0 (г) 3 ,

2 (к0 (г)-Ха1)

зависящую от производной функции интенсивности затрат. Будем считать, что скорость возрастания интенсивности расходования средств не должна бесконечно возрастать с ростом капитала, то есть производная функции к0 (г) должна быть ограничена сверху некоторой константой

Ит к’0 (г) — С.

Тогда для второго коэффициента разложения выполняется условие Т2' (г) ^ 0 при г ^го . Рассуждая аналогично, получаем при г ^го Т/(г)^0, г — 3,4,...

Итак, для найденного разложения функции среднего времени существования компании (23) с коэффициентами Тг (г), г —1,2,..., определенными выше, выполняются оба ограничения. Таким образом, мы получили аппроксимацию функции Т (г).

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для оценки границ применимости изложенного асимптотического подхода была построена имитационная модель изменения объемов денежных средств на счете компании. Теоретическое значение среднего времени было найдено с использованием разложения (23) для следующего набора параметров: интенсивности затрат к(5) — а-5, где а — 0,3, экспоненциальное распределение величин поступлений, средняя величина поступлений а1 —1000 , Х — 0,1, начальная сумма на счете 50 — 5000 . Моделирование проводилось для различных горизонтов планирования Т . Получено, что для рассматриваемой модели применение асимптотического подхода возможно начиная с Т —1000.

ЛИТЕРАТУРА

1. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. 263 с.

2. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М.: ЮНИТИ, 1998.

3. Вишняков И.В. Стохастическая модель динамики объемов банковских депозитов «до востребования» // Экономика и математические методы. 2002. Т. 38. № 1. С. 94 - 104.

4. Назаров А.А. Асимтотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.:УРСС, 2001. 320 с.

6. АбрамовицМ, СтиганИ. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.

7. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.