CC BY
1
Вестник РУДН. Серия: Инженерные исследования RUDN Journal of Engineering Research
2023;24(4):365-372
ISSN 2312-8143 (Print); ISSN 2312-8151 (Online) journals.rudn.ru/engineering-researches
DOI: 10.22363/2312-8143-2023-24-4-365-372 УДК 539.3 EDN: HGUWLO
Научная статья / Research article
Исследование прогиба брусьев различной ширины методом Тагучи
Н.С. Рзаев 13
Бакинский инженерный университет, Баку, Республика Азербайджан nrzayev@beu.edu.az
История статьи
Поступила в редакцию: 17 мая 2023 г.
Доработана: 22 августа 2023 г.
Принята к публикации: 17 сентября 2023 г.
Заявление о конфликте интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Аннотация. Исследован прогиб брусьев различной ширины, изготовленных из алюминиевого материала, методом Тагучи. Ширина образцов, выбранных для эксперимента, составляет 10, 15 и 20 мм, а приложенная нагрузка — 500, 1000 и 1500 г. Опыты проводились при положении бруса с одним закрепленным и другим свободным концом, а также в позиции с обоими свободными концами. Нагрузка приложена к центральной точке бруса. Обработка результатов эксперимента осуществлялась по плану «Тагучи ¿18 (32*21)» с использованием программы «МткаЬ». На основании результатов эксперимента построены графики, описывающие взаимосвязь между прогибом, нагрузкой и шириной бруса в зависимости от варианта его установки (позиционирования). В исследовании также проведен анализ результатов эксперимента. Определено, что оптимальными значениями оперируемых (контролируемых) параметров прогиба являются уровень 2 (В) для условий размещения (позиционирования), уровень 1 для приложенной нагрузки (500 г) и уровень 3 (20 мм) для ширины бруса. Согласно результатам АЫОУА, основным фактором, влияющим на прогиб, является нагрузка, приложенная к брусу. Коэффициент относительного воздействия составляет 40,12 %. Коэффициент относительного влияния условий позиционирования на прогиб составляет 29,68 %, а коэффициент относительного влияния ширины бруса — 18,30 %. По результатам регрессионного анализа создана математическая модель изменения прогиба в зависимости от нагрузки и ширины бруса соответственно положению установки бруса.
Ключевые слова: вариационный анализ, способ крепления концов стержней, нагрузка, управляемые факторы, регрессивный анализ
Для цитирования
Рзаев Н.С. Исследование прогиба брусьев различной ширины методом Тагучи // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. 2023. Т. 24. № 4. С. 365-372. http://doi.org/10.22363/2312-8143-2023-24-4-365-372
© Рзаев Н.С., 2023
Ф© I ' ls work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License ^КЖЯ https://creativecommons.Org/licenses/by-nc/4.0/legalcode
A study of deflection of rods with different widths using the Taguchi method
Natig S. Rzayev 0
Baku Engineering University, Baku, Republic of Azerbaijan nrzayev@beu.edu.az
Abstract. The deflection of rods with different widths made of aluminum material was studied using the Taguchi method. The widths of the samples selected for the experiment are 10, 15 and 20 mm, while the applied load is 500, 1000 and 1500 g. The experiments were carried out with the rod in position with one fixed and the other free ends, as well as in position with both free ends. The load was applied to the central point of the rod. The results of the experiment were processed according to the Taguchi ¿18 (32x21) plan using the Minitab program. Based on the experimental results, graphs describing the relationship between deflection, load and rod width according to the option of its installation (positioning) are plotted. The study also analysed the results of the experiment. The optimum values of the operated (controlled) deflection parameters were determined to be level 2 (B) for placement (positioning) conditions, level 1 for the applied load (500 g) and level 3 (20 mm) for the rod width. According to the results of ANOVA, the main factor affecting the deflection is the load applied to the rod. The relative impact coefficient was 40.12 %. The relative influence coefficient of positioning conditions on deflection was 29.6 8 % and the relative influence coefficient of rod width was 18.30 %. Based on the results of regression analysis, a mathematical model of deflection variation as a function of load and rod width was developed accordingly to the position of rod installation.
Keywords: variance analysis, method of fixing the rod ends, load, controllable factors, regression analysis
For citation
Rzayev NS. A study of deflection of rods with different widths using the Taguchi method. RUDN Journal of Engineering Research. 2023;24(4):365-372. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/2312-8143-2023-24-4-365-372
Article history
Received: May 17, 2023 Revised: August 22, 2023 Accepted: September 17, 2023
Conflicts of interest
The author declares that there is no conflict of interest.
Введение
Брусья из алюминиевого материала нашли широкое применение в различных областях науки, техники и производства. В процессе эксплуатации эти брусья сгибаются и теряют устойчивость под воздействием разного рода нагрузок. В то же время является актуальным анализ прогиба, образующегося в брусьях. Детально изучены вопросы устойчивости в брусьях. Разработана методика теоретического расчета прогиба для различных ситуаций. Но проведенные эксперименты показывают, что между теоретическими и полученными фактическими данными есть веские различия. В связи с этим анализ экспериментально полученных значений прогиба в брусьях также является актуальным.
Как известно, имеются случаи, когда плоскость воздействия сил на брус проходит через его ось. В результате действия подобных сил в сечениях, перпендикулярных оси, появляются внутренние силовые факторы. В этом случае брусья подвергаются деформации прогиба. Получены дифференциальные зависимости между прогибающим моментом, силой среза и распределенной нагрузкой для случая прогиба прямо-осных брусьев. Также выведены формулы для расчета прогиба и угла поворота при различных нагружениях в зависимости от размеров бруса, модуля упругости и приложенной нагрузки1.
Получены модельные уравнения брусьев при различных условиях и положениях нагру-жения. Одновременно проведен анализ величин прогиба брусьев в различных сечениях. Исследовано влияние на прогиб таких параметров, как момент инерции, модуль упругости,
1 Салахутдинов Ш.А., Одинцова С.А., Шейкман Д.В. Сопротвление материалов // Инфра-Инженерия. 2022. 192 с.
нагрузка, сжимающая сила (сила сжатия). Даны результаты влияния сил сжатия на систему. С помощью специальных симуляционных программ смоделировано соответствие закономерности изменению прогиба. Результаты программной симуляции (моделирования) сравнивались со значениями, полученными в результате эксперимента. При этом линейные размеры поперечного сечения бруса принимались постоянными [1; 2].
Проведен экспериментальный и теоретический анализ прогиба брусьев различного размера под действием статической нагрузки в пределах упругости (эластичности). В некоторых точках образца было получено описание профилей прогибов и измерены значения их величин. По методу Тагучи разработан экспериментальный анализ прогиба брусьев, подвергнутых деформации продольного прогиба. Здесь, в лабораторных условиях, был осуществлен эксперимент по продольному прогибу стальных брусьев и проанализированы полученные результаты. При планировании эксперимента и математико-статистическом анализе полученных результатов использовались метод Тагучи и программа «МтйаЬ». В зависимости от приложенной вдоль оси нагрузки и крепления концов брусьев (соотношения длин бруса) определен поперечный прогиб и изучена закономерность его изменения. Установлено, что для шарнирного соединения концов брусьев прогиб при осевом нагружении получается меньше. Также установлено, что прогиб более интенсивен при больших значениях нагрузок. При этом было принято, что нагрузка действует на три точки бруса, а поперечное сечение бруса — неизменно [3-7].
В представленной работе впервые изучено изменение прогиба в зависимости от ширины бруса, приложенной нагрузки и варианта установки бруса. Результаты эксперимента обработаны методом Тагучи.
1. Методы
В соответствии с требованиями, указанными в нормативно-технической документации экспериментально-испытательного стенда, было отобрано три образца бруса различной ширины. Информация по образцам представлена далее:
длина: Ь = 510 мм; толщина: 5 мм; ширина: 10 мм; 15 мм; 20 мм; модуль упругости: 70 ГПа. Эксперимент проводится при двух разных вариантах установки (позиционирования) с применением трех разных нагрузок. Прилагаемые нагрузки: 500, 1000 и 1500 г соответственно. Два различных варианта установки были приняты следующим образом:
> брус не закреплен с обеих сторон (свободно позиционирован с двух сторон). Этот вариант установки условно принимаем за А (рис. 1, а);
> брус закреплен с одной стороны и свободен с другой (свободно позиционирован с одной стороны). Этот вариант установки был принят как В (рис. 1, б).
а б
Рис. 1. Схемы установки бруса: а — брус не закреплен с обеих сторон; б— брус закреплен с одной стороны и свободен с другой.
Источник: составлено автором
Figure 1. Rod installation diagrams: а — the beam is not fixed on both sides; б — the beam is fixed on one side and free on the other Source: made by the author
Эксперименты проводились на стенде W100 для испытаний на прогиб. Структурная схема такой экспериментальной компоновки стенда выглядит следующим образом (рис. 2).
В случае с вариантом для положения А образец 9 размещают на цилиндрических элементах подвижных опор 2 и прикладывают нагрузку 4 к центральной точке. А в случае с вариантом для положения В образец с одной из сторон жестко соединяется с опорой с помощью крепежного элемента и прижимной пластины 6. Значение прогиба фиксируется при помощи измерительного прибора 8.
Эксперимент был построен по плану Тагучи Z18 (32х21). То есть количество оперируемых (контролируемых) факторов равно 2, количество экспериментов равно 27, а количество повторений равно 3. Оперируемые (контролируемые) факторы и их уровни приведены в табл. 1.
Рис. 2. Схема стенда для испытаний на прогиб: 1 — корпус; 2— подвижные опоры; 3— крепежный элемент для опоры; 4— груз; 5— магнитный держатель; 6— крепежный элемент и прижимная пластина; 7— элемент силовой передачи; 8— измерительный прибор; 9— тестовый образец Figure 2. Diagram of the deflection test bench: 1— Housing; 2— Movable supports; 3— Fastening element for support; 4— Load; 5— Magnetic holder; 6— Fastening element and pressure plate; 7— Power transmission element; 8— Measuring device; 9— Test sample
Оперируемые (контролируемые) факторы и их уровни / Operated (controlled) factors and their levels
Таблица 1 /Table 1
Оперируемые факторы / Operated factors Обозначение/ Designation Единица измерения/ Unit of measurement Уровень 1 / Level 1 Уровень 2 / Level 2 Уровень 3 / Level 3
Нагрузка / Load P q 500 1000 1500
Ширина бруса / Beam width B mm 10 15 20
Вариант установки / Installation option A; B - A B -
2. Результаты эксперимента
В табл. 2 приведены полученные экспериментальным путем средние значения прогиба в зависимости от ширины бруса, величины приложенной нагрузки и варианта установки (позиционирования). Также в графической форме на рис. 3, а, б, показано влияние вариантов установки (позиционирования), влияние нагрузки и ширины бруса на прогиб. Для варианта установки (позиционирования) А, когда приложенная нагрузка составляет 500 г, прогиб уменьшается на 0,5 мм, когда ширина бруса увеличивается с 10 до 15 мм, и уменьшается на 0,29 мм, когда ширина бруса увеличивается с 15 до 20 мм. Эти, указанные выше, значения составляют соответственно 1,19 и 0,52 мм, если приложенная нагрузка 1000 г, а при нагрузке в 1500 г состав-
ляют соответственно 1,81 и 0,78 мм. Для варианта установки (позиционирования) В, когда приложенная нагрузка составляет 500 г, прогиб уменьшается на 0,18 мм, когда ширина бруса увеличивается с 10 до 15 мм и уменьшается на 0,14 мм при увеличении ширины бруса с 15 до 20 мм. Эти значения составляют 0,48 и 0,24 мм соответственно для приложенной нагрузки в 1000 г и 0,78 и 0,4 мм соответственно для приложенной нагрузки в 1500 г. Как видно из результатов, величина прогиба уменьшается при сохранении постоянной нагрузки и увеличении ширины бруса, а также при увеличении нагрузки и сохранении постоянным ширины бруса. Сравнительный анализ значений показывает, что величина прогиба в положении В уменьшается на 50^55 % по сравнению с положением А (рис. 3, а, б).
f mm
b mm
P mm
f mm
b mm
P, q
б
Рис. 3. Поверхностный график для прогиба: а — вариант установки (позиционирования) А; б— вариант установки (позиционирования) B
Источник: составлено автором Figure 3. Surface plot for deflection: a — installation option ,4 (positioning); б— installation option B(positioning) Source: made by the author
а
3. Анализ результатов эксперимента 3.1. Анализ соотношения сигнал/шум (S/N)
Необходимо рассчитать соотношения сигнал/шум (S/N) по целевой функции, соответствующей экспериментальным данным. Выделяют три основные целевые функции [10]:
1. Самый большой (наибольший) — лучший:
2. Самый меньший (наименьший) — лучший:
3. Номинальный — лучший:
В рассматриваемой работе, чтобы брус был качественным, прогиб должен быть наименьшим. Поэтому при анализе результатов была выбрана целевая функция «Наименьший — лучший».
В табл. 2 показаны экспериментально полученные значения прогиба и соотношения
сигнал/шум, полученные методом TagucЫ ¿18 (ЗМ1).
На основе таблицы ответов по Тагучи для оптимальных значений прогиба определяется уровень оперируемых (контролируемых) факторов, таких как варианты установки (позиционирования), приложенная нагрузка и ширина бруса. Были получены параметры, обеспечивающие оптимальный уровень прогиба по соотношениям сигнал/шум, составляющие 0,0090 для вариантов установки (позиционирования), -0,52444 для ширины бруса и 2,12549 для приложенной нагрузки (табл. 3). Здесь рассматривалась целевая функция «Наименьший — лучший». Оптимальными значениями контролируемых параметров прогиба были уровень 2 (В) для вариантов установки (позиционирования), уровень 1 для приложенной нагрузки (500 г) и уровень 3 для ширины бруса (20 мм) (рис. 4).
Таблица 2/ Table 2
Результаты эксперимента по соотношению S/N / Results of the experiment on the S/N ratio
Оперируемые (контролируемые) факторы / Operated (controlled) factors Выходной актор / Output factor Результаты анализа методом Тагучи / The results of the Taguchi method analysis
Вариант установки/ Installation option Нагрузка P, г / Load P, g Ширина b, мм / Width b, mm Прогиб mm / Deflection f mm Соотношение S/N для прогиба, dB / S/N ratio for deflection, dB
A 500 10 1,670 -4,4543
A 500 15 1,106 -0,8751
A 500 20 0,816 1,7662
A 1000 10 3,416 -10,6704
A 1000 15 2,223 -6,9388
A 1000 20 1,703 -4,6243
A 1500 10 5,193 -14,3084
A 1500 15 3,383 -10,5860
Окончание табл. 2/ Ending of the Table 2
Оперируемые (контролируемые) факторы / Operated (controlled) factors Выходной актор / Output factor Результаты анализа методом Тагучи / The results of the Taguchi method analysis
Вариант установки/ Installation option Нагрузка P,r / Load P, g Ширина b, мм / Width b, mm Прогиб f, mm / Deflection f mm Соотношение S/N для прогиба, dB / S/N ratio for deflection, dB
A 1500 20 2,600 -8,2995
B 500 10 0,720 2,8534
B 500 15 0,536 5,4167
B 500 20 0,396 8,0461
B 1000 10 1,550 -3,8066
B 1000 15 1,070 -0,5877
B 1000 20 0,823 1,6920
B 1500 10 2,403 -7,6151
B 1500 15 1,620 -4,1903
B 1500 20 1,220 -1,7272
Таблица 3 / Table 3
Таблица ответов для S/N и прогиба / Response table for S/N and deflection
Уровень / Level Вариант установки(позиционирования)/ Installation (positioning) option Нагрузка, г / Load, g Ширина бруса, мм / Beam width, mm
1 -6,55451 2,12549 -6,33357
2 0,00903 -4,15596 -2,96020
3 - -7,78774 -0,52444
Delta 6,56354 9,91323 5,80913
Rank 2 1 3
График основных эффектов для соотношений S/N: значения данных / Main effects plot for S/N ratios: data means
Вариант установки / Installation option Нагрузка P(q) / Load P(q) Ширина b mm / Width b mm
/ \
7 7 7
А В 500 1000 1500 10 15 20
Рис. 4. График взаимозависимости прогиба с вариантом установки (позиционирования), нагрузкой и шириной бруса
Источник: составлено автором Figure 4. Graph of the relationship between deflection and installation (positioning) option, load and rod width
Source: made by the author
3.2. Вариационный анализ (ANOVA)
Вариационный анализ (ANOVA) выполняется для определения отдельных влияний оперируемых (контролируемых) факторов [8-13]. В табл. 4 даны результаты вариационного анализа, показывающие влияние приложенной нагрузки, ширины бруса и вариантов установки (позиционирования) на прогиб при уровне на-
дежности — 88 %. В этой работе, по результатам вариационного анализа, наиболее воздействующим параметром является фактор нагрузки, приложенный к брусу. Соотношение (коэффициент) воздействия составляет 40,12 %. Соотношение (коэффициент) воздействия вариантов установки (позиционирования) на прогиб составляет 29,68 %, а соотношение (коэффициент) воздействия ширины бруса — 18,30 %. Кроме
того, был построен график нормальной вероятности. График нормальной вероятности характеризует отклонение отдельных значений по
сравнению с уравнением регрессионной модели. Точки, сгруппированные вокруг линии, указывают на меньшее отклонение (рис. 5)
График нормальной вероятности / Normal probability plot
прогиб Лмм / deflection fmm
Остаточный / Residual
Рис. 5. График нормальной вероятности. Источник: составлено автором Figure 5. The graph of normal probability. Source: made by the author
Таблица 4 / Table 4
Результаты вариации для прогиба / Results of variation for deflection
Источник/ Source Степень свободы / Degree of freedom Последовательная сумма квадратов/ Ssequential sum of squares Скорректированная сумма квадратов / Adjusted sum of squares Скорректированные средние квадраты / Adjusted mean squares P значение, регресс,%/ Pvalues, regression, % Степень воздействия/ Degree of exposure, %
Вариант установки / Installation option 1 7,699 7,699 7,6989 0,000 29,68
Нагрузка / Load 2 10,407 10,407 5,2035 0,000 40,12
Ширина/ Width 2 4,749 4,749 2,3743 0,004 18,30
Погрешность остатка / Margin of error 12 3,088 3,088 0,2573 - 11,90
Всего / Total 17 25,942 - - - 100,00
3.3. Регрессионный анализ
Регрессионный анализ используется для моделирования и анализа различных переменных, которые имеют связь между одной зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Для этого был проведен регрессионный анализ с использованием программы шт^аЬ для математического моделирования взаимодействия оперируемых (контролируемых) факторов и прогиба. В результате были получены следующие уравнения регрессии:
Положение А:
/= 2,443 + 0,001862Р - 0Д232Й, (1)
Положение В:
/ = 1,135 + 0,001862Р - 0Д232Й . (2)
Как видно из уравнения, величина прогиба увеличивается с постоянным увеличением массы груза. Она уменьшается с увеличением ширины бруса. На основе этой модели можно рассчитать оптимальную величину прогиба в пределах заданных значений нагрузки и ширины.
Заключение
Основные результаты, полученные в ходе исследования.
1. По результатам экспериментов построены трехмерные поверхностные графики, характеризующие изменение прогиба в зависимости от уровней оперируемых (контролируемых) факторов. Определено, что значение прогиба при варианте установки (позиционирования) В примерно на 50% меньше, чем при варианте установки (позиционирования) А.
2. По соотношениям S/N оптимальными значениями контролируемых параметров прогиба были уровень 2 (В) для вариантов установки, уровень 1 для приложенной нагрузки (500 г) и уровень 3 для ширины бруса (20 мм).
3. С помощью вариационного анализа определены факторы, оказывающие наибольшее влияние на прогиб. Согласно результатам ANOVA, наиболее воздействующим параметром является фактор нагрузки, приложенный к брусу. Соотношение (коэффициент) воздействия составляет 40,12 %. Получено соотношение (коэффициент) воздействия вариантов установки (позиционирования) на прогиб — 29,68 % и соотношение (коэффициент) воздействия ширины бруса — 18,30 %.
4. С помощью программы «Minitab» проведен регрессионный анализ результатов эксперимента, получена математическая модель зависимости прогиба от приложенной нагрузки и ширины бруса по условиям установки (позиционирования).
Список литературы / References
1. Pokhrel PR, Lamsal B. Modeling and parameter analysis of deflection of a beam. Bibechana. 2021;18(1): 75-82. https://doi.org/10.3126/bibechana.v18i1.29359
2. Ibhadode ОО, Dagwa IM, Asibor JO, Omo-Oghogho E. Development of a Computer Aided Beam Deflection Analysis (CABDA) Program for Simply Supported Loaded Beams. International Journal of Engineering Research in Africa. 2016;30:23-38. https:// doi.org/10.4028/ www.scientific.net/JERA.30.23
3. Mirzayev H, Rzayev N. Boyuna ayilma defor-masiyasina maruz qalan millarda ayintinin Taqugi
metodu ila eksperimental tadqiqi. Journal of Baku Engineering University. Mechanical and industrial engineering. 2022;6(2):59-66. (Azerbaij.)
4. Gurumoorthy S, Bhaskara Rao L. Simulation and Experimental Substantiation of Beam Deflection under Guided End Conditions. International Journa of Innovative Technology and Exploring Engineering. 2019;9(2): 1782-1791. https://doi.org/10.35940/ijitee.B7668.129219
5. Ravikumar M, Reddappa HN, Suresh R. Aluminium composites fabrication technique and effect of improvement in their mechanical properties — A review. Materials Today: Proceedings. 2018;5((11)3):23796-23805. https://doi.org/10.1016Zj.matpr.2018.10.171
6. Farsi A, Pullen D, Latham J-P, Bowen J, Carlsson M, Stitt EH, Marigo M. Full deflection profile calculation and Young's modulus optimisation for engineered high performance materials. Scientific Report. 2017;7:46190. https://doi.org/10.1038/srep46190
7. Ghuku S, Saha KN. Large deflection analysis of curved beam problem with varying curvature and moving boundaries. Engineering Science and Technology an International Journal. 2018;21(3):408-420. https://doi. org/10.1016/j.jestch.2018.04.007
8. Muñoz S, Ruiz Pico AA, Anton J, Roca D. Comparative Study of Theoretical and Real Deflection of Simple and Reinforced Concrete Joists. Ingeniería e Investigación. 2021;41(2):e86742. https://doi.org/10.1 5446/ing.investig.v41n2.86742
9. Mc Hugh KA, Dowell EN. Nonlinear Response of an Inextensible, Cantilevered Beam Subjected to a Nonconservative Follower Force. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2019;14:DETC2018-85447. https://doi.org/10.1115/DETC2018-85447
10. McHugh KA, Dowell EH. Nonlinear Response of an Inextensible, Free-Free Beam Subjected to a Nonconservative Follower Force. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2020;15(2):021003. https://doi.org/10.1115/L4045532
11. Culver D, McHugh K, Dowell E. An assessment and extension of geometrically nonlinear beam theories. Mechanical Systems and Signal Processing. 2019; 134: 106340. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.106340
12. Falope FO, Lanzoni L, Tarantino AM. Bending device and anticlastic surface measurement of solids under large deformations and displacements. Mechanics Research Communications. 2019;97:52-56. https://doi. org/10.1016/j.mechrescom.2019.04.011
13. Minafo G. Local buckling of reinforcing steel bars in RC members under compression forces. Computers and Concrete. 2018;22(6):527-538. https:// doi.org/10.12989/cac.2018.22.6.527
Сведения об авторе
Рзаев Натиг Самандар, доктор философии в области механики, доцент кафедры инженерной механики, Бакинский инженерный университет, Баку, Азербайджанская Республика; ORCID: 0000-0002-1159-9296; E-mail: nrzayev@beu.edu.az
About the author
Natig S. Rzayev, Ph.D of Philosophy in Mechanics, Associate Professor of the Department of Engineering mechanics, Baku Engineering University, Baku, Azerbaijan Republic; ORCID: 0000-0002-1159-9296; E-mail: nrzayev@beu.edu.az
